排列组合
排列组合基本知识
排列组合基本知识排列组合是概率统计学中常用的一种数学方法，用于描述一个或多个物体之间的不同状态。
它是定义所引入的一种概念，可用于研究诸如概率，排序，决策，密码和自然语言等的问题。
排列组合的基本概念是用来描述一个或多个物体的“排列状态”。
它有助于把具有不同特性的多个物体进行组合，以协助分析物体的关联的特性。
例如，在计算机方法中，可以使用排列组合来模拟某种算法的运行效率，以及它和其他算法之间的比较；游戏玩家可以利用排列组合来做出最佳的决策；市场营销人员也可以利用排列组合来表示和分析客户偏好和行为。
排列分为几种类型：简单排列，互换排列，重复排列，标准排列。
简单排列是指把一系列数据（组成物体）按一定的顺序安排起来，没有重复次数。
例如，3个不同颜色小球正确的排列可以是红、绿、蓝，也可以是绿、蓝、红，而红、红、蓝则不是正确的排列。
重复排列也称为混排，也是在排列时每种物体可以重复参与排列，但是每种物体的次数可以相同，只要所排列的物体不重复即可，它主要用于研究物体之间的搭配关系。
例如，从3个不同颜色小球中取出任意2个，可以得到红色、绿色；绿色、蓝色；红色、蓝色，而不是红绿蓝三色全都选择。
标准排列是一种复杂的排列，它常用于研究物体和它们之间的关系。
例如，分析市场上20种商品的销售模式可以使用标准排列，以了解每种商品的销售额和销量的分布，并与其他商品进行比较，从而帮助商家正确定位消费者。
排列组合等数学方法常常用于统计分析和决策，不仅可以应用到社会科学，自然科学，技术科学，也可以用于日常生活中的决策和分析，如文字拼写检查，排序，计算路线图等。
排列组合的运算过程可以被计算机程序执行，可以更有效地解决问题。
排列组合公式排列组合公式
推论
• 方程x1+x2+…+xn=r 的非负整数解的个数。 • n≤r时，此方程的正整数解的个数 • n元集合的r-可重组合数，要求每个元素至少
出现一次。 • 正整数r的n-长有序分拆的个数 • 求x1+x2+x3+x4=20的整数解的数目，其中x1 ≥
3, x2 ≥ 1,x3 ≥ 0,x4 ≥ 5。
排列组合公式排列组合公式
有约束条件的排列：引例
• 用两面红旗、三面黄旗依次悬挂在一根旗杆 上，问可以组成多少种不同的标志？
排列组合公式排列组合公式
5、有约束条件的排列
• 设有k个元素a1，a2，…，ak，由它们组成一 个n-长的排列，其中对1≤i≤k，ai出现的次数 为ni，n1+n2 +… +nk=n，求排列的总数。
。
(2x13x25x3)6
x13x2 x32
(x1x2 xr)n
项，其中
n n1 1, nn 22, ,n r为 nrn非负 n1整 n2n 数 nrx1n1x2n2 xrnr
排列组合公式排列组合公式
例题
• 数1400有多少个正因数？ • 1400=23 × 52 × 7 • (3+1)(2+1)(1+1)=24
排列组合公式排列组合公式
多边形
排列组合公式排列组合公式
例题
• 对角线的条数为C(10,2)-10=45-10=35 • 任选两条对角线，可能相交在多边形内部，可能
交点为多边形的顶点，可能无交点（交点在多边 形外） • 任选四个顶点，对应一个交点，每个对角线分成 两段 • 每个对角线是一段 • 35+C(10,4) × 2=455
排列组合的计算方法
排列组合的计算方法
排列组合是一种用来计算可能性和组合情况的数学方法。
它通常应用于问题中涉及对象的顺序或选择的情况。
以下是计算排列组合的常用方法：
1. 计算排列
排列是指从给定对象集合中选取一部分元素按照特定顺序进行排列的方式。
计算排列时，可以使用以下公式：
P(n, r) = n! / (n-r)!
其中，n表示对象的总数，r表示要选择的对象数量，"!"表示阶乘运算。
2. 计算组合
组合是指从给定对象集合中选取一部分元素按照任意顺序进行组合的方式。
计算组合时，可以使用以下公式：
C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)
其中，n表示对象的总数，r表示要选择的对象数量，"!"表示阶乘运算。
3. 使用计算器或计算软件
当对象的数量较大时，手工计算排列组合可能会非常繁琐。
因此，可以借助计算器或计算软件来快速计算排列组合。
大多数科学计算器或计算软件都提供了排列组合计算的功能。
需要注意的是，在使用排列组合计算时，应根据具体问题的要
求选择合适的方法。
对于一些问题，可能需要使用排列、组合或二者的组合来求解。
此外，还应注意理解排列组合的概念和计算原理，并注意在公式中正确地代入相应的值。
排列组合的讲义
万华：公考传奇缔造者！万华：公考培训黄埔军校！排列组合的讲义一、排列组合定义1、什么是C公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。
例如：编号1～3的盒子，我们找出2个来使用，这里就是运用组合而不是排列，因为题目只是要求找出2个盒子的组合。
即C（3，2）＝32、什么是P或A公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。
例如：1～3，我们取出2个数字出来组成2位数，可以是先取C（3，2）后排P22，就构成了C（3，2）×P（2，2）＝A（3，2）3、A和C的关系事实上通过我们上面2个对定义的分析，我们可以看出的是，A比C多了一个排序步骤，即组合是排列的一部分且是第一步骤。
4、计算方式以及技巧要求组合：C（M，N）＝M！÷（N！×（M－N）！）条件：N<=M排列：A（M，N）＝M！÷（M－N）！条件：N<=M为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1～7的阶乘，当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如C（M，N）当中N取值过大，那么我们可以看M－N的值是否也很大。
如果不大。
我们可以求C（M，[M－N]），因为C（M，N）＝C（M，[M－N]）二、排列组合常见的恒等公式1、C（n，0）＋C（n，1）＋C（n，2）＋……＋C（n，n）＝2^n2、C（m，n）＋C（m，n＋1）＝C（m＋1，n＋1）针对这2组公式我来举例运用(1)有10块糖，假设每天至少吃1块，问有多少种不同的吃法？解答：C（9，0）＋C（9，1）＋……＋C（9，9）＝2^9=512(2)，公司将14副字画平均分给甲乙筛选出参加展览的字画，按照要求，甲比乙多选1副，且已知甲按照要求任意挑选的方法与乙任意挑选的方法之和为70，求，甲挑选了多少副参加展览？C（8，n）＝70 n＝4 即得到甲选出了4副。
万华：公考传奇缔造者！万华：公考培训黄埔军校！三、排列组合的基本理论精要部分（分类和分步）(1)、加法原理（实质上就是一种分类原则）：一个物件，它是由若干个小块组成的，我们要知道这个物件有多重，实际上可以分来算，比如，我们知道每一个小块的重量，然后计算总和就等于这个物件的重量了，这就是我们要谈的分类原则。
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则摘要：一、排列组合的概念二、排列组合的运算法则1.排列公式2.组合公式3.排列组合公式三、实例解析四、应用场景正文：排列组合是组合数学中的基本概念，它广泛应用于各种学科和实际问题中。
排列组合的研究对象是有限的、不同的元素，主要研究将这些元素进行有序排列或无序组合的问题。
接下来，我们将介绍排列组合的运算法则，并通过实例进行解析。
一、排列组合的概念1.排列：从n个不同元素中取出m个元素进行有序排列，称为排列。
排列用符号A(n,m)表示。
2.组合：从n个不同元素中取出m个元素，不考虑元素之间的顺序，称为组合。
组合用符号C(n,m)表示。
二、排列组合的运算法则1.排列公式排列公式为：A(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1。
2.组合公式组合公式为：C(n,m) = n! / [m! * (n-m)!]其中，n!和m!分别表示n和m的阶乘。
3.排列组合公式排列组合公式为：P(n,m) = C(n,m) * A(m,m)其中，P(n,m)表示从n个元素中取出m个元素的排列组合数。
三、实例解析例如，有5个人参加一场比赛，需要分成3个小组，求不同的分组方法数量。
解：根据组合公式，C(5,3) = 5! / [3! * (5-3)!] = 10所以，有10种不同的分组方法。
四、应用场景1.密码学：在密码学中，排列组合可用于计算密码组合的数量，以评估密码的安全性。
2.组合优化：在组合优化问题中，排列组合可用于计算不同方案的数量，以便找到最优解。
3.概率论：在概率论中，排列组合可用于计算事件的组合概率。
4.生物学：在生物学中，排列组合可用于研究基因组合和生物多样性。
总之，排列组合的运算法则在许多领域具有广泛的应用价值。
排列组合公式公式解释
排列组合是数学中的一个重要概念，用于计算不同元素的组合方式。
它在组合数学、概率论、统计学等领域中经常被应用。
本文将详细介绍排列组合的概念以及相关公式，并给出一些实际应用的例子。
1. 排列的概念及公式排列是指从n个元素中选取r个元素进行排序的方式。
这个过程中，每个元素只能使用一次，并且顺序不同即为不同的排列。
排列通常用P(n, r)表示，计算公式如下：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * … * 2 * 1。
n的阶乘表示从n个元素中选取所有元素进行排列的总数，而(n-r)!表示剩余元素的阶乘，即可以从n个元素中选取r个元素进行排列的总数。
排列的计算公式可以帮助我们高效地计算大量元素的排列情况。
例如，从10个数中选取3个数进行排列，即P(10, 3)，可以通过计算10! / 7!得到结果。
2. 组合的概念及公式组合是指从n个元素中选取r个元素进行组合的方式。
与排列不同，组合不考虑选取元素的顺序，因此不同顺序的元素组合被视为同一种组合方式。
组合通常用C(n, r)表示，计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，n!仍表示n的阶乘，r!表示r的阶乘，(n-r)!表示剩余元素的阶乘。
组合的计算公式可以帮助我们统计不同元素组合的数量。
例如，从10个数中选取3个数进行组合，即C(10, 3)，可以通过计算10! / (3! * 7!)得到结果。
3. 排列组合的应用排列组合在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些例子：3.1. 抽奖问题假设有10个人参加抽奖，每个人的抽奖号码是从1到10之间的整数。
如果我们想要知道抽取出来的3个人的号码的所有可能情况，可以使用组合的方法计算。
结果为C(10, 3) = 120。
3.2. 选课问题假设有10门课程可以选择，每个人可以选择其中的5门进行学习。
如果我们关心的是不同学生选择不同课程的情况，可以使用排列的方法计算。
数学排列组合常用方法与技巧精讲
比赛分组
在大型体育赛事中，如何将参赛选手或队伍分成若干小 组进行预赛是一个重要的排列组合问题。例如，在篮球 比赛中，将参赛队伍分成若干小组进行循环赛，需要考 虑队伍之间的实力对比和小组内比赛的公平性。
彩票中的排列组合问题
彩票选号
彩票选号是一个典型的排列组合问题。彩票号码由一 组数字组成，每个数字都有特定的范围和出现概率。 彩民需要从指定范围内选择一定数量的数字，并按照 一定的顺序排列，以获得中奖的机会。
不同元素问题
总结词
解决不同元素问题时，需要全面考虑 所有元素的排列或组合情况。
详细描述
在排列组合问题中，如果所有元素都 是不同的，需要全面考虑所有元素的 排列或组合情况。可以采用全排列或 全组合的方法进行计算。
插空法
总结词
插空法是一种解决排列组合问题的常用方法，通过在已排好的元素之间插入新元素来满足题目的要求 。
详细描述
特殊元素优先法是指在解决排列组合问题时，优先考虑特殊元素或特定位置的选取和排 列。这种方法的关键在于识别出问题中的特殊元素或特定位置，然后优先处理它们，从
而简化问题并提高解题效率。
分组法
总结词
将问题中的元素按照一定的规则进行分 组，然后对分组后的元素进行排列组合 ，可以解决一些复杂的问题。
答案
$A_{5}^{2} - 1 = 24$
解析
先从5个元素中取出2个元素进行排 列，再减去特定元素不在首位的排 列方式。
题目
在7个不同元素中取出4个元素进行 组合，其中某个特定元素必须包含在 内，有多少种不同的组合方式？
答案
$C_{6}^{2} = 15$
解析
先从7个元素中取出2个元素进行组 合，再减去特定元素不在首位的组 合方式。
排列组合公式(全)
排列组合公式排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。
排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。
排列的个数用P(n,r)表示。
当r=n时称为全排列。
一般不说可重即无重。
可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合有记号C(n,r),C(n,r)。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。
显然各子集没有共同元素。
每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则S（A）=S（B）*3！S（B）=9！/3！这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。
排列组合20种常用方法
排列组合20种常用方法
1. 列出所有可能的组合
2. 使用递归排列组合
3. 使用循环排列组合
4. 使用动态规划排列组合
5. 使用回溯法排列组合
6. 使用数学公式计算排列组合
7. 使用位运算排列组合
8. 使用逆序排列组合
9. 使用有序集合排列组合
10. 使用栈数据结构排列组合
11. 使用队列数据结构排列组合
12. 使用重复排列组合
13. 使用有限制条件的排列组合
14. 使用自定义函数进行排列组合计算
15. 使用字符串拆分和拼接进行排列组合
16. 使用二叉树进行排列组合
17. 使用堆进行排列组合
18. 使用图进行排列组合
19. 使用集合进行排列组合计算
20. 使用贪心算法进行排列组合。
12个基本排列组合公式
12个基本排列组合公式排列组合是数学中一个挺有意思的部分，咱们今天就来聊聊 12 个基本的排列组合公式。
先来说说排列公式，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A(n, m) ，公式就是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，那排法就有 A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 60 种。
再看组合公式，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作C(n, m) ，公式是 C(n, m) = n! / [m! (n - m)!] 。
就像从 10 个同学里选 4 个参加活动，选法就有 C(10, 4) = 10! / [4! (10 - 4)!] = 210 种。
我记得之前在课堂上，给学生们讲排列组合的时候，发生了一件特别有趣的事儿。
当时我出了一道题：在一个班级里有 8 个男生和 6 个女生，要选 3 个同学去参加比赛，其中至少有一个女生，有多少种选法？同学们开始埋头苦算，有的皱着眉头，有的咬着笔杆。
这时候，有个平时很调皮的男生突然举手说：“老师，这题太难啦，能不能少选几个同学啊？”大家都被他逗笑了。
我笑着说：“别着急，咱们一步步来分析。
”首先，我们可以算出总的选法有 C(14, 3) 种。
然后，算出全是男生的选法有 C(8, 3) 种。
那么至少有一个女生的选法就是总的选法减去全是男生的选法，即 C(14, 3) - C(8, 3) 。
经过一番计算和讲解，同学们终于恍然大悟。
咱们继续说排列组合公式。
还有一些特殊的情况，比如可重复排列，从 n 个不同元素中可重复地选取 m 个元素的排列数，公式是 n^m 。
还有环形排列，n 个不同元素的环形排列数是 (n - 1)! 。
在实际生活中，排列组合的应用可多啦。
比如说抽奖，从一堆号码里抽出中奖号码，这就是组合；而把获奖的人排个名次，这就是排列。
再比如安排座位，教室里有 30 个座位，让 25 个同学去坐，这也是一种排列组合的问题。
排列组合基础知识
关于排列组合的一些基础知识1. 排列：从n个元素中取出m个（m≦n），并按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。
2. 组合：从n个元素中取出m个（m≦n），并按照一定的方式进行组合，称为从n个元素中取出m个元素的组合。
3. 排列的公式：A(n,m)=n×（n-1）×（n-2）×...×（n-m+1）。
4. 组合的公式：C(n,m)=n×（n-1）×（n-2）×...×（n-m+1）÷m×（m-1）×（m-2）×...×2×1。
5. 重复排列：在排列时允许相同的元素重复出现，每个元素出现的次数与排列的顺序有关，这种排列称为重复排列。
6. 重复组合：在组合时允许相同的元素重复出现，每个元素出现的次数与组合的方式无关，这种组合称为重复组合。
7. 排列数的性质：若A(n,m)=0，则m<0或m>n；若0≦m≦n，则A(n,m)=A(n,n-m)；若n=m则A(n,m)=1。
8. 组合数的性质：若C(n,m)=0，则m<0或m>n；若0≦m≦n，则C(n,m)=C(n,n-m)；若n=m则C(n,m)=1。
9. 插空法：在解决有关问题时，将元素分成两部分，一部分暂时不取，然后对剩下的元素进行排列或组合，这种方法称为插空法。
10. 捆绑法：在排列或组合时，先将几个元素捆绑在一起，作为一个元素处理，然后再对其他元素进行排列或组合的方法称为捆绑法。
11. 插板法：在解决有关问题时，将元素分成两部分，一部分暂时不取，然后对剩下的元素进行排列或组合，这种方法称为插板法。
12. 隔板法：在解决有关问题时，将元素分成两部分，中间插入隔板，使得每部分元素的个数等于规定的个数，这种方法称为隔板法。
排列组合全部20种方法
排列组合解法解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.练习、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为_________三.不相邻问题插空策略3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为______________四.定序问题倍缩空位插入策略4、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法?练习、10人身高各不相等，排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法?五.重排问题求幂策略5、把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法练习1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 ______六.环排问题线排策略6、8人围桌而坐,共有多少种坐法?一般地,n个不同元素作圆形排列，共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1A-n n练习、6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？七.多排问题直排策略7、8人排成前后两排,每排4人，其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法?' —犷排—" —后排~练习、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 _____________八.排列组合混合问题先选后排策略8、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有种九.小集团问题先整体后局部策略9、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？练习、1.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为____________2. 5男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种十.元素相同问题隔板策略10、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？练习题：1. 10个相同的球装5个盒中，每盒至少一有多少装法？2. x + y + z +攻=100求这个方程组的自然数解的组数?十一.正难则反总体淘汰策略11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种？练习、我们班里有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种？十二.平均分组问题除法策略12、6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？练习题：1、将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少分法？2、10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法3、某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为十三.合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目, 有多少选派方法练习：1、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ___2、3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人，2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3 只船,但小孩不能单独乘一只船，这3人共有多少乘船方法.十四.构造模型策略14、马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏, 也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决练习、某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？十五.实际操作穷举策略15、设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习 1、同一寝室4人，每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？2、给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有种十六.分解与合成策略16、30030能被多少个不同的偶数整除练习：正方体的8个顶点可连成多少对异面直线分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案，每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略十七.化归策略17、25人排成5X5方阵,现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?练习、某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？____ ____ _____ ____ .B十八.数字排序问题查字典策略18、由0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的 A 数？练习：用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是—十九.树图策略19、3人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传求后，球仍回到甲的手中，则不同的传球方式有________对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果练习：分别编有1, 2, 3, 4, 5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅(i 1,2,3,4,5 )的不同坐法有多少种？二十.复杂分类问题表格策略20、有红、黄、兰色的球各5只，分别标有A、B、C、D、E五个字母，现从中取5只，要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法排列组合解法解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
排列组合
例3：核桃组的9个人继续照相，这次排队有了新的讲究： 天天、向向、糖糖三个人强烈要求必须相邻，任谁劝都不 听，这时候只见摄像师小段拿着一根绳子笑着就走过来了 说：我能很快解决你们这样一共有几种排队方式的问题。
A A 30240 (种)
3 3 7 7
必须相邻——捆绑法
例4：书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本 不同的故事书，全部竖起排成一排，如果要求童话书排列 在一起，漫画书排列在一起有多少种排法？
例10：:10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘 子空着，请问一共有多少种不同的放法？
练习题
• 1 A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站一起， 共有（ ）种站法。 • 2 A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共 有（ ）种站法。 • 3 将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少 放一个球，一共有多少种方法？ • 4 有9颗相同的糖，每天至少吃1颗，要4天吃完，有多少种吃法？ • 5 一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不 变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？
例6:8个人围圆桌聚餐，甲乙两人必须相邻，而乙丙两人不 得相邻，有几种坐法？
环排列A n A
n n
n1 n1
甲乙两人必须相邻，可以把他们看做是1个人（他们 2 6 之间还有顺序），总排列数为 A2 A6 从中扣除甲乙相邻且乙丙也相邻（这和甲乙丙三人 相邻是不同的，如甲在乙丙之间符合后者，但不符 2 5 合前者）的情况 A2 A5 所以，符合提议的排列法有
例9： (1)有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有 多少种不同的吃法？ (2)有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃两粒，共有 多少种不同的吃法？ (3)有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃三粒，共有 多少种不同的吃法？
排列与组合的基本概念
排列与组合的基本概念排列与组合是数学中的基本概念，主要用于计算对象的排列和组合方式。
在实际生活中，排列与组合的概念与应用十分广泛。
本文将介绍排列与组合的基本概念及其应用，并探讨其在日常生活以及其他学科中的重要性。
一、排列的基本概念排列是指将一组对象按照一定的顺序排列的方式。
对于给定的n个对象，如果不重复使用这些对象，将它们按照一定的顺序排列，就得到了排列。
排列的基本概念有以下几个：1. 全排列：将n个对象按照所有可能的顺序排列，得到的排列方式称为全排列。
全排列的数量为n! (n的阶乘)。
2. 线性排列：将n个对象按照一定的线性次序排列，得到的排列方式称为线性排列。
3. 圆排列：将n个对象排成一个圆环状，得到的排列方式称为圆排列。
4. 重复排列：如果给定的n个对象中存在重复的元素，将它们按照一定的顺序排列，得到的排列方式称为重复排列。
二、组合的基本概念组合是指从给定的n个对象中，选择出若干个对象组成一个集合的方式。
对于给定的n个对象中，选择其中k个进行组合，得到的组合方式称为组合。
组合的基本概念有以下几个：1. 排列组合：从n个对象中选择k个进行排列的组合方式称为排列组合。
排列组合的数量可以通过公式C(n,k)来计算，公式表示为n个对象中选取k个对象的方式的数量。
2. 无序组合：从n个对象中选择k个进行无序排列的组合方式称为无序组合。
无序组合的数量可以通过公式C(n,k)来计算。
三、排列与组合的应用排列与组合在实际生活和其他学科中有广泛应用，在以下几个方面具有重要性：1. 随机事件的计数：在概率统计中，排列与组合可以用来计算事件的可能性。
基于排列与组合的知识，可以计算出在随机事件中不同结果的数量。
2. 电子密码学：在密码学中，排列与组合可以应用于信息的加密和解密。
根据排列与组合的原理，可以构建密码算法，保护敏感信息的安全。
3. 计算机科学：在计算机科学的算法设计和优化中，排列与组合也发挥着重要作用。
排列组合
排列组合排列组合是组合学最基本的概念。
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。
排列组合与古典概率论关系密切。
定义及公式!-阶乘排列的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。
A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 此外规定0!=1组合的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号 C(n,m) 表示。
C(n,m)==A(n,m)/m！；C(n,m)=C(n,n-m）。
（n>=m)其他排列与组合公式从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1！×n2！×...×nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m）。
符号C-Combination 组合数A-Arrangement 排列数（在旧教材为P-Permutation）N-元素的总个数M-参与选择的元素个数常见的一道题目一些公式：排列组合常见公式组合恒等式基本计数原理⑴加法原理和分类计数法⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
排列组合公式排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴ 等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6 解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为∵ ，，∴ 原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )A.60个B.48个C.36个D.24个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种解： 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C 14·C 25种；甲型2台乙型1台的取法有C 24·C 15种 根据加法原理可得总的取法有 C 24·C 25+C 24·C 15=40+30=70(种 ) 可知此题应选C.例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式? 解： 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C 38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C 15种； 丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C 24种； 丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C 22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C 3 8×C 15×C 24×C 22= ×1=1680(种). (四)二项式定理、二项展开式的性质说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识 ，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题. 例6 在(x- )10的展开式中，x 6的系数是( ) A.-27C 610 B.27C 410 C.-9C 610 D.9C 410 解 设(x- )10的展开式中第γ+1项含x 6， 因T γ+1=C γ10x 10-γ(- )γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C 410(- )4=9C 410故此题应选D.例7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0. (五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )A.1B.-1C.0D.2解：A.例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )A.6种B.12种C.18种D.24种解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。
排列组合八大方法
排列组合八大方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊排列组合八大方法呀！这可真是个超级有趣的话题呢！
排列组合，就像是一个神奇的魔法盒子，里面装满了各种奇妙的可能性。
比如说，从一群人中选出几个来站成一排，这就是排列；而从一堆东西里挑出几个不管顺序，那就是组合。
想想看呀，我们生活中的好多事情不都和排列组合有关嘛！就像你去商场买衣服，面对那么多款式和颜色，你得在心里默默排列组合一下，想想怎么搭配才最好看。
这不就和排列组合八大方法挂上钩了嘛！
插空法，就好像是在一群人中间找缝隙挤进去，把新的元素巧妙地安插进去。
捆绑法呢，就像是把几个好伙伴紧紧绑在一起，当成一个整体来考虑。
还有什么定序问题缩倍法呀，那感觉就像是把一些已经有固定顺序的东西进行巧妙处理，让它们变得更有意思。
再比如，在一场比赛中，安排选手的出场顺序，这得多考验对排列组合方法的运用啊！你能想象没有这些方法，那得乱成什么样吗？
分类讨论法，就像是把一个大问题分成好多小块，逐一去解决，多有条理呀！还有什么住店法、染色法等等，每一种方法都有它独特的魅力和用处。
这八大方法可不是随随便便就有的呀，它们是数学家们智慧的结晶！它们就像是我们解决问题的得力助手，帮助我们在复杂的情况中找到清晰的思路。
排列组合八大方法，真的是太重要啦！它们让我们的思维更加灵活，让我们能够应对各种看似复杂的局面。
我们可不能小瞧了它们呀！它们就像是隐藏在数学世界里的宝藏，等待着我们去挖掘，去运用。
所以呀，大家一定要好好掌握这些方法，让它们为我们的生活增添更多的精彩和可能！。
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§ 排列组合1．理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题． 2．理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．1． 排列(1)排列的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示．(3)排列数公式：A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)．(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，A nn ＝n ·(n －1)·(n －2)·…·2·1＝n ！.排列数公式写成阶乘的形式为A mn ＝n ！n －m ！，这里规定0！＝1.2． 组合(1)组合的定义：从n 个不同元素中，任意取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中，任意取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中任意取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示．(3)组合数的计算公式：C m n＝A mn A m m ＝n ！m ！n －m ！＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！，由于0！＝1，所以C 0n ＝1.(4)组合数的性质：①C m n ＝C n －m n __；②C m n ＋1＝C m n __＋C m －1n __.题型一 排列问题例1 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法教学目标学习内容知识梳理 例题讲解(1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男女相间．思维启迪 这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起．对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考虑)． 解 (1)方法一 (元素分析法) 先排甲有6种，其余有A 88种， 故共有6·A 88＝241 920(种)排法． 方法二 (位置分析法)中间和两端有A 38种排法，包括甲在内的其余6人有A 66种排法，故共有A 38·A 66＝336×720＝241 920(种)排法． 方法三 (等机会法)9个人的全排列数有A 99种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A 99×69＝241 920(种)． 方法四 (间接法)A 99－3·A 88＝6A 88＝241 920(种)． (2)先排甲、乙，再排其余7人， 共有A 22·A 77＝10 080(种)排法． (3)(插空法)先排4名男生有A 44种方法，再将5名女生插空，有A 55种方法，故共有A 44·A 55＝2 880(种)排法．思维升华 本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路．巩 固 用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数解 本题可分两类：第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为A 44＝24；第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1,3,7之一，这一步有A 13＝3种方法．又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，这一步有方法A 13＝3(种)．十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，这一步有方法A 33＝6(种)．根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为A 13·A 13·A 33＝54. 由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有 24＋54＝78(个)． 题型二 组合问题例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种思维启迪可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法．解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种)．∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100(种)．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．(4)选取2件假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种)．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．(5)选取3件的总数有C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．巩固甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种解(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C24C24，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C24种，因此满足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30(种)．题型三排列与组合的综合应用问题例34个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法思维启迪把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空．解 (1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22＝144(种)．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法． (3)确定2个空盒有C 24种方法．4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法．故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22)＝84(种)． 思维升华 排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．巩 固 (1)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种(2)(2013·重庆)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答) 答案 (1)B (2)590解析 (1)先放1、2的卡片有C 13种，再将3、4、5、6的卡片平均分成两组再放置，有C 24A 22·A 22种，故共有C 13·C 24＝18种．(2)分三类：①选1名骨科医生，则有C 13(C 14C 35＋C 24C 25＋C 34C 15)＝360(种)． ②选2名骨科医生，则有C 23(C 14C 25＋C 24C 15)＝210(种)； ③选3名骨科医生，则有C 33C 14C 15＝20(种)．∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590.易错题 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种．易错分析 易犯错误如下：先从一等品中取1个，有C 116种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C 219种不同取法，共有C 116×C 219＝2 736种不同取法．上述做法使两次取的一等品有了先后顺序，导致取法重复．解析 方法一 将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理有C 116C 24＋C 216C 14＋C 316＝1 136(种)． 方法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C 320－C 34＝1 136(种)． 答案 1 136温馨提醒 (1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题．(2)“至少、至多型”问题不能利用分步乘法计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解.A组1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ×)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( ×)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！. ( √)(5)A m n＝n A m－1n－1. ( √)(6)k C k n＝n C k－1n－1. ( √)2．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 ( )A．4种 B．10种 C．18种 D．20种答案B解析方法一不同的赠送方法有A45A22A33＝10(种)．方法二从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本．由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C14＝4(种)赠送方法；第二种取法中只需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C24＝6(种)赠送方法．因此共有4＋6＝10(种)赠送方法．3．(2012·大纲全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 ( )A．12种 B．18种 C．24种 D．36种答案A解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．4．用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ( )A．8 B．24 C．48 D．120答案C解析分两步：(1)先排个位有A12种排法．(2)再排前三位有A34种排法，故共有A12A34＝48种排法．5．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．答案14解析①有1名女生：C12C34＝8.②有2名女生：C22C24＝6.∴不同的选派方案有8＋6＝14(种)．B组1．(2012·课标全国)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( )A．12种 B．10种 C．9种 D．8种答案A解析利用分步乘法计数原理和组合数公式求解．分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．2． 10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为 ( )A．C27A55 B．C27A22 C．C27A25 D．C27A35答案C解析从后排抽2人的方法种数是C27；前排的排列方法种数是A25.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C27A25. 3．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A．36种 B．42种 C．48种 D．54种答案B解析分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C13种排法，其他3个节目有A33种排法，故有C13A33种排法．依分类加法计数原理，知共有A44＋C13A33＝42(种)编排方案．4．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有( )A．11种B．20种C．21种D．12种答案C解析当第一组开关有一个接通时，电路接通有C12(C13＋C23＋C33)＝14(种)方式；当第一组开关有两个接通时，电路接通有C22(C13＋C23＋C33)＝7(种)方式．所以共有14＋7＝21(种)方式，故选C.5．(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( ) A．232 B．252 C．472 D．484答案C解析利用分类加法计数原理和组合的概念求解．分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．6．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有________种．答案60解析可先排C、D、E三人，共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理知满足条件的排法共有A35＝60(种)．7．(2013·北京)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．答案96解析将5张参观券分成4堆，有2个连号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A44种分法，∴不同的分法种数共有4A44＝96.8．用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．答案8解析先把两奇数捆绑在一起有A22种方法，再用插空法共有个数A22·C12·A22＝8.9．某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．答案24解析甲、乙排在一起，用捆绑法，丙、丁不排在一起，用插空法，不同的排法共有2A22·A23＝24(种)．10．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法解(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C518＝8 568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C12C418＋C318＝6 936(种)；(4)方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C112C48＋C212C38＋C312C28＋C412C18＝14 656(种)．方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．C组1．(2012·北京)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18 C．12 D．6答案B解析当选0时，先从1,3,5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C12种方法，剩余1个数字排在首位，共有C23C12＝6(种)方法；当选2时，先从1,3,5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C12种方法，其余2个数字全排列，共有C23C12A22＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个)奇数．2．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在右图中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有( )A．2 680种B．4 320种C．4 920种D．5 140种答案 B解析 先将7盆花全排列，共有A 77种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5A 33A 44(种)，故所求摆放方法有A 77－5A 33A 44＝4 320(种)．3． 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有( ) A ．A 44A 55 B ．A 33A 44A 35 C ．C 13A 44A 55 D ．A 22A 44A 55答案 D解析 先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有A 22种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法有A 22A 44A 55种．4． (2013·浙江)将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)． 答案 480解析 分类讨论：A 、B 都在C 的左侧，且按C 的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况．所以共有2(A 22·A 33＋C 13A 33·A 22＋C 23A 44＋A 55)＝480(种)．5． 将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴省运会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)． 答案 1 080解析 先分组再分配，共有C 16C 15C 242A 22·A 44＝1 080(种)分配方案．6． 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种(用数字作答)． 答案 96解析 甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A 44种方法． 乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A 44种方法． 丙传第一棒，共有C 12·A 44种方法．由分类加法计数原理得，共有A 44＋A 44＋C 12·A 44＝96(种)方法．7． 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8种卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有________种(用数字作答)． 答案 432解析 取出的4张卡片所标数字之和等于10，共有三种情况：1144,2233,1234. 所取卡片是1144的共有A 44种排法． 所取卡片是2233的共有A 44种排法．所取卡片是1234，则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是红色，共有排法A44＋C14A44＋C24A44＋C34A44＋A44＝16A44(种)，∴共有排法18A44＝18×4×3×2×1＝432(种)．方法与技巧1．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．2．排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．失误与防范1．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．2．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．3．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．。