排列组合

§ 排列组合

1．理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题． 2．理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．

1． 排列

(1)排列的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出

m 个元素的一个排列．

(2)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m

n 表示．

(3)排列数公式：A m

n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)．

(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，A n

n ＝n ·(n －1)·(n －2)·…·2·1＝n ！.排列数公式写成阶乘的形式为A m

n ＝n ！

n －m ！

，这里规定0！＝1.

2． 组合

(1)组合的定义：从n 个不同元素中，任意取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的一个组合．

(2)组合数的定义：从n 个不同元素中，任意取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中任意取出m 个元素的组合数，用符号C m

n 表示．

(3)组合数的计算公式：C m n

＝A m

n A m m ＝n ！m ！n －m ！

＝

n n －1n －2…n －m ＋1m ！

，由于0！＝1，所以C 0

n ＝1.

(4)组合数的性质：①C m n ＝C n －m n __；②C m n ＋1＝C m n __＋C m －1

n __.

题型一 排列问题

例1 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法

教学目标

学习内容

知识梳理 例题讲解

(1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男女相间．

思维启迪 这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起．对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考虑)． 解 (1)方法一 (元素分析法) 先排甲有6种，其余有A 8

8种， 故共有6·A 8

8＝241 920(种)排法． 方法二 (位置分析法)

中间和两端有A 3

8种排法，包括甲在内的其余6人有A 6

6种排法，故共有A 3

8·A 6

6＝336×720＝241 920(种)排法． 方法三 (等机会法)

9个人的全排列数有A 99种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A 9

9×69＝

241 920(种)． 方法四 (间接法)

A 9

9－3·A 8

8＝6A 88＝241 920(种)． (2)先排甲、乙，再排其余7人， 共有A 2

2·A 7

7＝10 080(种)排法． (3)(插空法)

先排4名男生有A 4

4种方法，再将5名女生插空，有A 5

5种方法，故共有A 4

4·A 5

5＝2 880(种)排法．

思维升华 本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路．

巩 固 用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数

解 本题可分两类：

第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为A 4

4＝24；

第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1,3,7之一，这一步有A 1

3＝3种方法．又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，这一步有方法A 1

3＝3(种)．十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，这一步有方法A 3

3＝6(种)．根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为A 1

3·A 1

3·A 3

3＝54. 由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有 24＋54＝78(个)． 题型二 组合问题

例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．

(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种

(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种

(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种

(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种

(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种

思维启迪可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法．

解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，

∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．

(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种)．

∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．

(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100(种)．

∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．

(4)选取2件假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种)．

∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．

(5)选取3件的总数有C335，因此共有选取方式

C335－C315＝6 545－455＝6 090(种)．

∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．

思维升华组合问题常有以下两类题型变化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，

则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含

义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．巩固甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：

(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种

(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种

解(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24(种)．

(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C24C24，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C24种，

因此满足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30(种)．

题型三排列与组合的综合应用问题

例34个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．

(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法

(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法

(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法

思维启迪把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空．