上海市徐汇区位育中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题

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上海市徐汇区上海中学2020-2021高二上学期期中考试数学(解析版)

上海中学2020-2021学年高二年级第一学期期中考试数学试卷 2020.11.考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、班级、考号等；2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分54分，共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 点(2,3)P 到直线320x -=的距离为2. 将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(2,0)-重合，且点(2020,2021)与点(,)m n 重合，则n m -=3. 已知(2,1)A ，(4,2)B -，(1,)C x -，若向量OA OB +与OC 垂直（O 为坐标原点），则实数x 的值为4. 直线2(1)10()x a y a +++=∈R 的倾斜角的取值范围是5. 若实数x 、y 满足不等式组523030y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则||2z x y =+的最大值是6. 平面内b 为单位向量，(1,1)a =，且|2|6a b -=，则向量a 、b 的夹角为7. 若关于x 、y 、z 的三元一次方程组212sin 32sin 3x z x y z x z θθ⎧+=⎪++=⎨⎪+=⎩有唯一解，则实数θ的取值集合是8. 平行四边形ABCD 中，3AB =，4AD =，6AB AD ⋅=-，13DM DC =，则MA MB ⋅的值为 9. 已知圆222:(62)4560C x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,1)，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为10. 若不全为零的实数a 、b 、c 成等差数列，点(1,2)A 在动直线:+0l ax by c +=上的射影为P ，点Q 在直线1:34120l x y -+=上，则线段PQ 长度的最小值是11. 实数x 、y 满足221x y +≤，则22x y x y ++-+的取值范围为 12. 过点(2,1)P 任意作一条直线分别交x 轴、y 轴的正半轴于点M N 、，若||||OM ON +-||()MN m m ≤∈R 恒成立，则m 的最小值为二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13. 已知{(,)|(1)(1)}A x y x x y y =-≤-，22{(,)|}B x y x y a =+≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（） A. B. 1[,)2+∞ C.[2,)+∞ D. )2+∞14. 已知向量a 、b 为平面内的单位向量，且12a b ⋅=-，向量c 与a b +共线，则||a c +的最小值为（） A. 1 B. 12 C. 34D. 3 15. 如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且22||||PA PB +2||PC a +=（a 为常数），下列结论中，正确的是（）A. 当01a <<时，满足条件的点P 有且只有一个B. 当1a =时，满足条件的点P 有三个C. 当1a >时，满足条件的点P 有无数个D. 当a 为任意正实数时，满足条件的点P 总是有限个16. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE x AD y AP x y =+∈R ，则2x y +的最小值为（）A. 1- B. 1 C. 2 D. 3三、解答题（本大题満分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.17. 已知直线l 经过原点，且与直线31y x =+的夹角为30°，求直线l 的方程.18. 若矩阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，定义det()A 为行列式11122122a a a a 的值，已知t ∈R ，102t t B -+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2011C ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求矩阵BC 、CB ，并比较det()BC 和det()CB 的大小.19. 如图，3xOy π∠=，定义平面坐标系xOy 为仿射坐标系，在该仿射坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：1e 、2e 分别为与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若1OP xe =+2(,)ye x y ∈R ，则规定点P 的斜坐标为(,)x y .（1）求以O 为圆心，半径为1的圆在该仿射坐标系中的方程；（2）已知点A 的斜坐标为(1,2)，点B 的斜坐标为(2,0)-，求直线AB 在该仿射坐标系中的方程.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .（1）求k 的取值范围；（2）是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线，如果存在，求k 的值，如果不存在，说明理由.21. 已知△ABC 的三个顶点(1,0)A ，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为圆H .（1）求圆H 的方程；（2）若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（3）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点M 、N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围.上海中学2020-2021学年高二年级第一学期期中考试数学试卷 2020.11.一、填空题（本大题满分54分，共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 点(2,3)P 到直线320x -=的距离为【答案】 432. 将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(2,0)-重合，且点(2020,2021)与点(,)m n 重合，则n m -=【答案】 13.已知(2,1)A ，(4,2)B -，(1,)C x -，若向量OA OB +与OC 垂直（O 为坐标原点），则实数x 的值为【答案】23- 4. 直线2(1)10()x a y a +++=∈R 的倾斜角的取值范围是【答案】3[,)4ππ 5. 若实数x 、y 满足不等式组523030y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则||2z x y =+的最大值是【答案】146. 平面内b 为单位向量，(1,1)a =，且|2|6a b -=，则向量a 、b 的夹角为【答案】23π 7. 若关于x 、y 、z 的三元一次方程组212sin 32sin 3x z x y z x z θθ⎧+=⎪++=⎨⎪+=⎩有唯一解，则实数θ的取值集合是【答案】{|,}2k k πθθ≠∈Z 8. 平行四边形ABCD 中，3AB =，4AD =，6AB AD ⋅=-，13DM DC =，则MA MB ⋅的值为【答案】 169. 已知圆222:(62)4560C x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,1)，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为【答案】230x y +-=10. 若不全为零的实数a 、b 、c 成等差数列，点(1,2)A 在动直线:+0l ax by c +=上的射影为P ，点Q 在直线1:34120l x y -+=上，则线段PQ 长度的最小值是【答案】111. 实数x 、y 满足221x y +≤，则22x y x y ++-+的取值范围为【答案】23,23⎡⎤-+⎣⎦12. 过点(2,1)P 任意作一条直线分别交x 轴、y 轴的正半轴于点M N 、，若||||OM ON +-||()MN m m ≤∈R 恒成立，则m 的最小值为【答案】二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13. 已知{(,)|(1)(1)}A x y x x y y =-≤-，22{(,)|}B x y x y a =+≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A. (0,2) B. 1[,)2+∞ C. [2,)+∞ D. 2[,)+∞ 【答案】C14. 已知向量a 、b 为平面内的单位向量，且12a b ⋅=-，向量c 与a b +共线，则||a c +的最小值为（） A. 1 B.12 C. 34D. 3 【答案】D 15. 如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且22||||PA PB +2||PC a +=（a 为常数），下列结论中，正确的是（）A. 当01a <<时，满足条件的点P 有且只有一个B. 当1a =时，满足条件的点P 有三个C. 当1a >时，满足条件的点P 有无数个D. 当a 为任意正实数时，满足条件的点P 总是有限个【答案】C16. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE x AD y AP x y =+∈R ，则2x y +的最小值为（）A. 1-B. 1C. 2D. 3【答案】B三、解答题（本大题満分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.17. 已知直线l 经过原点，且与直线31y x =+的夹角为30°，求直线l 的方程.【答案】 0x =或3y x =.18. 若矩阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，定义det()A 为行列式11122122a a a a 的值，已知t ∈R ，102t t B -+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2011C ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求矩阵BC 、CB ，并比较det()BC 和det()CB 的大小. 【答案】19. 如图，3xOy π∠=，定义平面坐标系xOy 为仿射坐标系，在该仿射坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：1e 、2e 分别为与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若1OP xe =+2(,)ye x y ∈R ，则规定点P 的斜坐标为(,)x y .（1）求以O 为圆心，半径为1的圆在该仿射坐标系中的方程；（2）已知点A 的斜坐标为(1,2)，点B 的斜坐标为(2,0)-，求直线AB 在该仿射坐标系中的方程.【答案】20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .（1）求k 的取值范围；（2）是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线，如果存在，求k 的值，如果不存在，说明理由.【答案】（1）3(,0)4-；（2）不存在.21. 已知△ABC 的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为圆H .（1）求圆H 的方程；（2）若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（3）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点M 、N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围.【答案】（1）22(3)10x y +-=；（2）3x =或423y x =-；（3）10410(,).。

上海市位育中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题解析高中数学

6.已知直线与直线互相垂直，则 ________
答案：
利用两条直线垂直的等价条件可得，解方程即可求的值.
解：因为直线与直线互相垂直，
所以，
解得：，
故答案为： .
7.以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且分别以、为两条渐近线的方向向量的双曲线方程为________
答案：
记所求双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，根据抛物线的方程得到焦点坐标，确定的值；根据渐近线的方向向量，得到渐近线方程，求出；进而可得双曲线方程；
12.已知实数、、、满足：，，，则的最大值为______．
答案：
设A（x1，y1），B（x2，y2）， =（x1，y1）， =（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1， + 的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．
9.已知正三角形边长为2，若点在边上且满足，则 ________
答案：
由得到、，再由可得答案.
解：
，
所以，所以，
.
故答案为： .
点评：本题考查了平面向量基本定理、数量积的运算，关键点是，的转化，考查了向量的基本运算.
10.已知双曲线的左右焦点分别是，点是双曲线右支上一点，且，则三角形的面积等于____
解：记所求双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，
因为的焦点为，所求双曲线以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，所以，且焦点在轴上，
又、为两条渐近线的方向向量，
所以渐近线方程为，即，
由解得，

2021-2022学年上海市徐汇中学高二(上)第一次月考数学试卷(解析版)

2021-2022学年上海市徐汇中学高二（上）第一次月考数学试卷（9月份）一、填空题（共12小题）.1．两条直线没有公共点是这两条直线为异面直线的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）2．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有条．3．从同一点出发的四条直线最多能确定个平面．4．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是．5．已知∠AOB＝120°，直线a∥OA，直线b∥OB，且a与b为异面直线，则a与b所成角的大小是．6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为．7．如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是cm．8．异面直线a、b成80°角，点P是a、b外的一个定点，若过P点有且仅有2条直线与a、b所成的角相等且等于θ，则θ的范围为．9．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC＝．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于．11．如图，正三角形P1P2P3，点A、B、C分别为边P3P1、P2P3、P1P2的中点，将三角形沿AB、BC、CA折起，使P1，P2，P3三点重合为点P，则折起后P1A与平面ABC所成的角为．12．如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是．二.选择题13．若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥αC．若a⊥α，b⊆α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b14．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交15．过平面α外一点A引线段AB，AC以及垂段AO，若AB与α所成角是30°，AO＝6，AC⊥BC，则线段BC长的范围是（）A．（0，6）B．（6，+∞）C．（0，6）D．（6，+∞）16．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．三、解答题17．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AB＝2，AD＝4，求B到平面PAC的距离．18．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2A1＝，BB1＝2，点E分别是BC的中点．（1）求证：AE⊥平面BCB1；（2）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．19．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）作出平面A1BE与平面ABCD的交线，保留作图痕迹；（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使得B1F∥平面A1BE，若存在，说明点F的位置，若不存在，请说明理由．参考答案一.填空题1．两条直线没有公共点是这两条直线为异面直线的必要不充分条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）【分析】利用两条直线的公共点的个数与位置关系即可得出．解：两条直线没有公共点⇒这两条直线为异面直线或平行直线，∴两条直线没有公共点是这两条直线为异面直线的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．2．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有5条．【分析】由两条平行直线、两条相交直线确定一个平面逐一分析长方体的棱得答案．解：如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有：BC、DC、BB1、AA1、D1C1共5条．故答案为：5．3．从同一点出发的四条直线最多能确定6个平面．【分析】利用平面的基本性质及推论直接求解．解：同一点出发的四条直线最多能确定平面个数：n＝＝6．故答案为：6．4．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．【分析】O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．如图所示，由AC∥BD，可得AC 与BD确定一个平面β，于是又已知可得α∩β＝CD，再证明O∈直线CD即可．解：O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．证明如下：如图所示，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，∵A∈β，B∈β，A∈l，B∈l，∴l⊂β，∵l∩α＝O，∴O∈α，O∈β，∴O＝α∩β．∵C，D∈α，∴α∩β＝CD，∴O∈直线CD．∴O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．故答案为在同一条直线上．5．已知∠AOB＝120°，直线a∥OA，直线b∥OB，且a与b为异面直线，则a与b所成角的大小是60°．【分析】利用异面直线所成角是定义，写出结果即可．解：∠AOB＝120°，直线a∥OA，直线b∥OB，且a与b为异面直线，则a与b所成角的大小是：60°．故答案为：60°．6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为平行四边形．【分析】根据平面ABFE∥平面DCGH和面面平行的限制定理得EF∥GH，再由FG∥EH得四边形EFGH为平行四边形．解：∵平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，∴EF∥GH．同理，FG∥EH，∴四边形EFGH为平行四边形．故答案为：平行四边形．7．如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是8cm．【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来一半．由于y'轴上的线段长度为，故在平面图中，其长度为2，且其在平面图中的y轴上，由此可以求得原图形的周长．解：由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：8cm．故答案为：8．8．异面直线a、b成80°角，点P是a、b外的一个定点，若过P点有且仅有2条直线与a、b所成的角相等且等于θ，则θ的范围为（40°，50°）．【分析】先将异面直线a，b平移到点P，求出∠BPE的角平分线和∠EPD的角平分线与a和b的所成角，再由运动思想分析得答案．解：先将异面直线a，b平移到点P，则∠BPE＝80°，∠EPD＝100°，而∠BPE的角平分线与a和b的所成角为40°，∠EPD的角平分线与a和b的所成角为50°，当θ满足40°＜θ＜50°时，直线与a，b所成的角相等且等于θ有且只有2条，当θ＝40°时只有1条，当θ＜40°时不存在，当θ＝50°时有3条，当50°＜θ＜90°时有4条，当θ＝90°时有1条．故答案为：（40°，50°）．9．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC＝．【分析】根据题意，将几何体复原，可以看出△ABC，判断形状，求得结果．解：几何体复原如图：则△ABC是正三角形，所以∠ABC＝故答案为：10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于．【分析】由已知可得AC1⊥平面A1DB，可得P为AC1与截面A1DB的垂足时线段AP最小，然后利用等积法求解．解：如图，连接AC1交截面A1DB于P，由CC1⊥底面，可得CC1⊥BD，又AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC1，则AC1⊥BD．同理可得AC1⊥A1B，得到AC1⊥平面A1DB，此时线段AP最小．由棱长为1，可得等边三角形A1DB的边长为．，∵，∴，解得AP＝．故答案为：11．如图，正三角形P1P2P3，点A、B、C分别为边P3P1、P2P3、P1P2的中点，将三角形沿AB、BC、CA折起，使P1，P2，P3三点重合为点P，则折起后P1A与平面ABC所成的角为arccos．【分析】由题意得到，折起的三棱锥P﹣ABC为正四面体，设正四面体的棱长为2，设点到P在底面的射影为O，连接AO，PO，由线面角的定义可知，∠PAO即为所求的角，在三角形中，由边角关系求解即可．解：如图，折起的三棱锥P﹣ABC为正四面体，设正四面体的棱长为2，设点到P在底面的射影为O，连接AO，PO，则OP⊥平面ABC，所以∠PAO即为折起后P1A与平面ABC所成的角，在正三角形ABC中，AO＝，在Rt△PAO中，cos∠PAO＝＝，则∠PAO＝arccos所以折起后P1A与平面ABC所成的角为arccos．故答案为：arccos．12．如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是36．【分析】先考虑6个表面，每一个表面有四条棱与之垂直；再考虑6个对角面，每个对角面又有两条面对角线与之垂直．解：正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；故答案为36．二.选择题13．若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥αC．若a⊥α，b⊆α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．解：选项A中，由a⊥α，a⊥b，则b可能在平面α内，故该命题为假命题；选项B中，由a∥α，a⊥b，则b⊥α或b∥α，故该命题为假命题；选项C中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题；选项D中，由a∥α，b∥α可得到a，b相交或平行，故该命题是假命题，故选：C．14．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可推出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选：D．15．过平面α外一点A引线段AB，AC以及垂段AO，若AB与α所成角是30°，AO＝6，AC⊥BC，则线段BC长的范围是（）A．（0，6）B．（6，+∞）C．（0，6）D．（6，+∞）【分析】由已知画出图形，可得△OCB是以OB为斜边的直角三角形，求出OB的距离，则线段BC长的范围可求．解：如图，AO⊥α，则AO⊥BC，又AC⊥BC，∴BC⊥平面AOC，则BC⊥OC，在Rt△AOB中，由已知可得OB＝，则在平面α中，要使△OCB是以OB为斜边的直角三角形，则BC∈（0，6）．故选：C．16．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABA1B1＝n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1＝60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．三、解答题17．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AB＝2，AD＝4，求B到平面PAC的距离．【分析】（1）连接BD交AC于点F，连接EF，证明PB∥EF，然后证明PB∥平面AEC；（2）利用已知条件证明平面PAC⊥平面ABCD，然后利用等面积法求B到平面PAC的距离．【解答】（1）证明：连接BD交AC于点F，连接EF，在三角形BDP中，点E是PD的中点，点F是BD的中点，即线段EF是△BDP的中位线，∴PB∥EF，又∵PB⊄平面AEC，EF⊂平面AEC，∴PB∥平面AEC；（2）解：∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD，又平面PAC∩平面ABCD＝AC，在平面ABCD内，过B作BH⊥AC，则BH⊥平面PAC，即BH为B到平面PAC的距离，在Rt△ABC中，由AB＝2，AD＝4，得AC＝，由等面积法可得，B到平面PAC的距离为．18．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2A1＝，BB1＝2，点E分别是BC的中点．（1）求证：AE⊥平面BCB1；（2）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．【分析】（1）推导出AE⊥BB1，AE⊥BC，由此能证明AE⊥平面BCB1；（2）以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，过E作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．解：（1）证明：∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∵AE⊂平面ABC，∴AE⊥BB1，∵AB＝AC＝3，点E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，∵BC∩BB1＝B，∴AE⊥平面BCB1；（2）以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，过E作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，2，），B1（﹣，0，2），＝（﹣，﹣2，），平面BCB1的法向量＝（0，1，0），设直线A1B1与平面BCB1所成角为θ，则sinθ＝＝＝，∴直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°．19．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）作出平面A1BE与平面ABCD的交线，保留作图痕迹；（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使得B1F∥平面A1BE，若存在，说明点F的位置，若不存在，请说明理由．【分析】（1）延长A1E与D交于点P，连接BP即为所求；（2）存在，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，通过证明EG//A1B 可得四点共面，根据正方体的性质得到B1F∥BG，根据线面平行的判定定理即可得到结论．解：（1）延长AE与D交于点P，连接BP，由于A1E∩AP＝P，∴P∈A1E，P∈A1BE，又∵P∈ABCD，∴P为面A1BE和面ABCD的公共点，同时B也为面A1BE和面ABCD的公共点，根据公理3可得BP为平面A1BE和平面ABCD的交线．解：（2）存在，当F为C1D1的中点时，满足题意，理由如下，如图所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因为A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG⊂平面A1BE，由正方体的性质易知B1F∥G，而BF⊄平面ABE，故B1F∥平面A1BE．。

上海市位育中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题(2)

上海市位育中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．AB BC CA ++=______.2．方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩的増广矩阵是_____________. 3．已知点(1,3),(4,15)A B -，则与AB 同向的单位向量为________________.4．三阶行列式123456789的元素4的代数余子式是___________.5．函数sin 4cos )31(x xf x =的最大值为_____________.6．若ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，且AB a =，AD b =，则BE 可以用a 和b 表示为____________.7．计算：12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭________. 8．设(2,7),(,3)p q x ==-，若p 与q 的夹角为钝角，则x 的取值范围是_________. 9．在ABC ∆中，若B C BA BC A A =⋅⋅，则ABC ∆的形状为__________.10．若向量(1,2)n a =是直线:(21)10l a x ay +-+=的一个法向量，则a =___________.11．在ABC ∆中，14AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M 在ABC ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是．12．给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为_______.二、单选题13．已知(,),(5,0)a m n b ==-且向量a 在向量b 方向上的投影是2-，则（）A ．2,2m n ==-B ．2,2m n =-=C ．2m =，n 取任意实数D ．2m =-，n 取任意实数14．设a 、b 是非零向量，命题甲：//a b 且||a b |=|，命题乙：a b =，则命题甲是命题乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．设a 、b 、c 是三个任意的非零平面向量，且互不平行，有下列四个结论：（1）()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅ （2）[()()]0b c a c a b c ⋅⋅-⋅⋅⋅=（3）||||||a b a b -<- （4）22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=- 其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．416．已知在ABC ∆中，0P 是边AB 上的一个定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任意一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅，则（） A ．2B π= B ．2A π= C ．AB AC = D ．AC BC =三、解答题17．已知O 为原点，(3,1)OA =，(1,2)OB =-，OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，求OC 的坐标.18．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==，求b 与c 的夹角.19．用行列式的方法解关于x ，y 的方程组(2)36m x y m x my m -+=-⎧⎨+=--⎩，并对解的情况进行讨论.20．在ABC ∆中，已知()1,2A 、()2,1B -．（1）若点C 的坐标为()4,5C ，直线//l AB ，直线l 交AC 边于D ，交CB 边于E ，且CDE ∆与ABC ∆的面积之比为49，求直线l 的方程；（2）若(),C x y 是一个动点，且ABC ∆的面积为2，试求y 关于x 的函数关系式． 21．如图，M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交,AB AC 两边于点,P Q ，设,AP x AB AQ y AC ==，记()y f x =（1）求函数()y f x =的表达式；（2）设APQ ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，且12S kS =，求实数k 的取值范围参考答案1．0【分析】根据向量加法的法则即可化简求值.【详解】因为AB BC AC，所以+0AB BC CA AC CA++==.故答案为：0【点睛】本题主要考查了向量的加法运算，属于容易题.2．116 312⎛⎫ ⎪--⎝⎭【分析】先将方程组转化成632x yx y+=⎧⎨-=-⎩，写出方程组的系数矩阵，再加入常数列，从而得到増广矩阵.【详解】因为方程组60320x yx y+-=⎧⎨-+=⎩等价于632x yx y+=⎧⎨-=-⎩，所以系数矩阵为1131⎛⎫ ⎪-⎝⎭，所以増广矩阵是116 312⎛⎫ ⎪--⎝⎭.故答案为：116 312⎛⎫ ⎪--⎝⎭.【点睛】本题考查増广矩阵的概念，考查对概念的理解与应用，属于容易题.3．512, 1313⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】可求出(5,12)AB =，从而得出与AB 方向相同的单位向量为(,)|5121313|AB AB =．【详解】因为(5,12)AB =；所以与AB 方向相同的单位向量坐标为：(,)|5121313|AB AB =．故答案为：512,1313⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查向量的坐标表示及单位向量的坐标运算，考查基本运算求解能力，注意所求单位向量的方向与AB 方向相同．4．2389- 【分析】利用代数余子式定义直接求解．【详解】在三阶行列式123456789中，元素4的代数余子式的为：32323(1)8989-=-． ∴元素4的代数余子式的为2389-．故答案为2389-．【点睛】本题考查行列式的代数余子式的求法，而不是求代数余子式的值，解题时要认真审题，考查概念的理解与应用．5．5【分析】先根据二阶行列式的计算得到()3sin 4cos f x x x =-，再由三角恒等变换中的辅助角公式，将()f x 化成正弦型三角函数，从而求得最大值.【详解】因为sin 4cos ()3sin 4cos 5sin()31x xf x x x x θ==-=-，其中4tan 3θ=，当sin()1x θ-=时，max ()5f x =.故答案为：5.【点睛】本题考查二阶行列式的计算、三角恒等变换公式的应用、三角函数的最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意辅助角公式的运用.6．12BE b a =-【分析】利用平面向量基本定理，取a 和b 为基底，将BE 用基向量表示出即可．【详解】如图，1122BE AE AB AD DE AB AD AB AB b a =-=+-=+-=-．故答案为：12BE b a =-.【点睛】考查向量的加法、减法、数乘运算的综合运用，属于容易题．7．881820⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推，即可得到答案.【详解】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推：所以12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭881820⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：881820⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查矩阵相乘的定义，考查基本运算求解能力，属于容易题.8．6621,,772⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∪ 【分析】利用数量积公式知向量的夹角为钝角时数量积小于0且不是方向相反的向量，除去当两向量平行时x 的取值，进而得到x 的取值范围.【详解】p 与q 的夹角为钝角，∴0p q ⋅<，即2210x -<，解得212x <. 当p 与q 方向相反时，设p q λ=且0λ<，(2,7)∴(,3)x λλ=-，∴273x λλ=⎧⎨=-⎩，67x ∴=-. x 的范围为212x <且67x ≠-；故答案为：212x <且67x ≠-. 【点睛】本题考查向量夹角与向量数量积的关系，考查转化与化归思想的应用，求解时注意数量积小于0无法保证向量的夹角为钝角，还要把共线向量的情况除掉．9．等腰三角形由向量数量积的定义，将等式转化成||cos ||cos AC A BC B =，再由三角形的中线与高合一，判断三角形的形状.【详解】作CD AB ⊥交AB 于D ，因为AB AC BA BC ⋅=⋅所以||||cos ||||cos ||cos ||cos AB AC A BA BC B AC A BC B =⇒=，所以AD BD =，则D 为AB 的中点，由三角形底边AB 中线与高合一，所以ABC ∆为等腰三角形.故答案为：等腰三角形.【点睛】本题考查三角形形状的判定，求解过程中要注意利用向量既有几何又有代数的双重身份进行求解，求解的关键在于和平面几何知识的结合运用.10．34-或0 【分析】由直线:(21)10l a x ay +-+=的方程可得直线的一个方向向量为(,21)v a a =+，利用0n v ⋅=可求得a 的值.【详解】取(,21)v a a =+为直线l 的一个方向向量，所以0n v ⋅=4(21)320a a a a ⇒+⇒+⋅==-或0a =. 故答案为：34-或0.本题考查直线的方向向量与法向量的关系，考查基本运算求解能力，属于容易题. 11．304m <<【详解】试题分析：设1,4AD AB =过点D 作DE 平行AC 于E 点，则3,4DE AC =由向量加法的几何意义知，点M 必在线段DE 上（不含端点）.又0m =时，M D =；34m =时，M E =，所以304m <<. 考点：向量加法的几何意义12．【分析】先利用向量的数量积公式，求出60BOC ∠=︒，利用余弦定理求出BC ，由等面积可得O 到BC 的距离，即可求出ABC ∆面积的最大值．【详解】3OB =，2OC =，3OB OC ⋅=，60BOC ∴∠=︒，BC ∴==设O 到BC 的距离为h ，则由等面积可得1132222h =⋅⋅⋅，7h ∴=，ABC ∆∴面积的最大值为1(4)27+=故答案为：．【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查分析解决问题的能力，求出BC ，O 到BC 的距离是关键．13．C 【分析】由向量a 在向量b 方向上的投影定义得到方程2||cos ,||a ba ab b ⋅-=<>=，将向量的坐标代入，即可得到关于,m n 的关系. 【详解】由向量a 在向量b 方向上的投影定义得：2||cos ,||a ba ab b ⋅-=<>=，所以5225mm --=⇒=，所以2m =，n 取任意实数.故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积中投影的定义，考查对投影概念的理解和坐标运算，属于容易题. 14．B 【分析】由于命题甲中两个向量可能为相反向量，所以推不出命题乙，反过来命题乙成立可以推出命题甲成立，故可得到答案. 【详解】因为命题甲中两个向量可能为相反向量，所以推不出命题乙，所以充分性不成立；反过来，当两个向量是相等向量时，则这两个向量互相平行且大小相等，所以命题乙可推出命题甲成立，所以必要性成立. 故选：B. 【点睛】本题以相等向量、平行向量、模的概念为背景，考查简易逻辑知识，考查对概念的理解与应用，属于容易题. 15．C【分析】对（1），向量的数量积不满足结合律；对（2），利用向量的数量积与数乘运算，再根据数量积的交换律可判断；对（3），根据向量差的模与模的差的关系，根据其几何意义判断；对（4），利用数量积运算的分配律. 【详解】对（1），向量的数量积不满足结合律，所以()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅错误，故（1）错误；对（2），原式()()()()()()()()0b c a c c a b c b c a c b c a c =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=，故（2）正确；对（3），由向量的减法法则知，两向量差的模一定大于两向量模的差，故（3）正确；对（4），由数量积运算的分配律得：2222(32)(32)949||4||a b a b a b a b +⋅-=-=-，故（4）正确. 故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积的运算律和向量加法、减法法则的运用，考查对概念的深刻理解与运用，属于中档题. 16．D 【分析】如图所示：以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设AB 4=根据00PB PC P B P C ⋅≥⋅得到()()()110m m x --+≥，即0x =得到答案. 【详解】如图所示：以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系.设AB 4=，则()2,0B ，()01,0P ，设(),C x y ，()(),0,22P m m -≤≤ 00PB PC P B P C ⋅≥⋅即()()()()()22,0,1,01,210m x m y x y m x m x -⋅-≥⋅-∴-+++≥ 恒成立()()()110m m x --+≥恒成立，故0x = 即C 在AB 的垂直平分线上，CA CB =故选：D【点睛】本题考查了向量的恒成立问题，建立坐标系可以简化运算，是解题的关键. 17．(14,7). 【分析】设C 为(),x y ,则(),OC x y =,故BC OC OB =-,由题可得0OC OB ⋅=,BC 与OA 平行,进而求出点C 坐标即可【详解】由题, 设C 为(),x y ,则(),OC x y =,所以()1,2BC OC OB x y =-=+- 因为OC 与OB 垂直,则0OC OB ⋅=,即20x y -+=①, 又因为BC 与OA 平行,则1231x y +-=②, 由①②可得,14x =,7y =, 所以OC 的坐标为()14,7 【点睛】本题考查向量的垂直与平行关系,考查坐标法处理向量的位置关系,考查运算能力18．π-【分析】利用向量的夹角公式cos ,||||b cb c b c ⋅<>=，根据条件分别把,||,||b c b c ⋅三个值算出，再代入公式求得余弦值，即可得到答案. 【详解】因为(32)(2,4)(2,2)12a b c -⋅=-⋅-=，所以32123a c b c b c ⋅-⋅=⇒⋅=-，因为(2,2)c =-，所以||22c =，所以cos ,16||||42b c b c b c ⋅<>===-⋅，因为,[0,]b c π<>∈，所以,arccos 16b c π<>=-. 【点睛】本题考查向量夹角、向量数量积、向量的模及已知三角函数值求角等知识的交会，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求夹角时要注意反三角函数知识的运用.19．当3m =时，方程有无数解；当1m =-时，方程组无解；当3m ≠且1m ≠时，方程组有唯一解2141m x m m y m --⎧=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数构成列向量．计算系数矩阵对应的行列式223D m m =--，再对D 进行分类讨论，求得方程组解的情况. 【详解】系数矩阵对应的行列式221233m D m m m-==--，当2230D m m =--≠，即1m ≠-且3m ≠时，方程组有唯一的解，1621m m m m x D m -----==+，62341m m m y m D m ----==--+．2230D m m =--=，即3m =或1m =-时．当3m =时，原方程为3339x y x y +=-⎧⎨+=-⎩无数个解，当1m =-时，原方程组为3133x y x y -+=⎧⎨-=-⎩无解．【点睛】本题二元一次方程组解的行列式求法，考查基本的运算求解能力． 20．（1）370x y -+=；（2）1133y x =+或133y x =+.【分析】（1）作出图形，可得出CDEABC ∆∆，根据面积比为49得出23CD AC =，从而得出2CD DA =，设点(),D m n ，利用向量的坐标运算求出点D 的坐标，并求出直线AB 的斜率，即为直线l 的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线l 的方程；（2）求出直线AB 的方程和AB ，设点C 到直线AB 的距离为d ，利用ABC ∆的面积为2求出d 的值，结合点到直线的距离公式可求出y 关于x 的函数关系式. 【详解】（1）//l AB ，即//DE AB ，CDE ABC ∴∆∆，且249CDEABCCD S S AC ∆∆⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭， 2CD DA ∴=，设点D 的坐标为(),m n ，()4,5CD m n =--，()1,2DA m n =--，()()421522m m n n ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩，()2,3D ∴.直线AB 的斜率为211123AB k -==+，//l AB ，则直线l 的斜率为13. 因此，直线l 的方程为()1323y x -=-，即370x y -+=；（2）直线AB 的方程为()1213y x -=-，即350x y -+=，AB ==设点C 到直线AB 的距离为d ，则ABC ∆的面积为11222ABC S AB d d ∆=⋅==，得d =，另一方面，由点到直线的距离公式得d ==， 354x y ∴-+=±，解得1133y x =+或133y x =+.因此，y 关于x 的函数关系式为1133y x =+或133y x =+.【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形的面积求出动点的轨迹方程，涉及两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）41x y x =-，1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）11,43k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，,AP xAB AQ y AC ==，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy 的方程，进而可得函数()y f x =的表达式；（2）设ABC ∆的面积为21S =，则APQ ∆的面积2141x S xy x ==-，1(1)3x ≤≤，利用导数法，求出函数的值域，可得答案．【详解】（1）如图所示：D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，∴111111()222244AM AD AB AC AB AC ==+=+，又PQM 三点共线，故(1)(1)AM AP AQ AB y AC λλλ=+-=+-，故141(1)4x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，故11144x y+=，即()41x y f x x ==-，1(1)3x ≤≤. （2）设ABC ∆的面积为21S =，则APQ ∆的面积2141x S xy x ==-，1(1)3x ≤≤故2'1242(41)x xS x -=-，当1132x ≤<时，'10S <，函数为减函数，当112x <≤时，'10S >，函数为增函数，故当12x =时，1S 取最小值14，当13x =，或1x =时，1S 取最大值13，故1211[,]43S S ∈，因为12APQ ABCS S k S S ∆∆==，所以11[,]43k ∈【点睛】本题考查函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．。

上海市位育中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试卷(解析版)

若a∥α，则过a只能作唯一一个平面β与α平行.
故答案为：0或1.
9.在长方体中，如果对角线与过点A的相邻三个面所成的角分别是，，，那么 ______．
【答案】2
【解析】
【分析】由已知得，，，由此能求出的值．
【详解】∵在长方体中，面，
∴ 与面所成的角为，
同理与面所成的角为，
，，
，
两式相加得，
.
所以 .
故答案为：
7.如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中：
① 与平行；
② 与是异面直线；
③ 与成角；
④ 与垂直.
以上四个结论中，正确的是______.
【答案】③④
【解析】
【分析】将展开图还原为正方体，根据图像对四个结论逐一分析，由此确定结论正确的序号.
【详解】展开图复原的正方体如图，不难看出：
【详解】作 // 交于点，分别取的中点
连接，如图，
由翻折前该四边形为菱形，且，所以为等边三角形
同时点在上，由平面
所以平面 ,又 // ，所以平面，所以
直线与所成角即直线与所成角，该角为
所以 ,由点不与重合，
所以当点翻折到与点重合时，最小，最小与点位置无关；
所以平面与正方体所有的棱所成的角都相等，
故只需让所在的平面与平面平行即可，易知有无数个，故（3）错误；
对于（4）：同（3），要使直线与正方体所有棱所成的角相等，
只需该直线与正方体某个顶角周围的三条棱所成的角相等即可，在中，由于为正三棱锥，
所以只有过点和△ 中心的直线与，，所成的角相等，
【答案】见解析

上海市位育中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题

9．如果要使函数在区间上至少出现次最大值，则的最小值是___________.
10．若一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，则其中最小内角的正弦值为_________．
11．已知、都为正数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是________.
12．设是公比为的等比数列，首项，对于，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则的取值范围为_____________.
（4）不存在这样的、，使得 .
其中假命题的个数是（）
A． B． C． D．
16．已知的三边分别是、、，且，若当时，满足条件的所有三角形的个数为，则数列的通项公式为（）
A． B． C． D．
三、解答题
17．已知数列是公差不为零的等差数列，，且、、成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
3．
【分析】
根据对数函数的真数大于0，二次根号下被开方数大于等于0，即可求出答案.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了函数定义域的求法，属于基础题.
4．
【分析】
利用函数的周期性可得出，然后代值计算即可.
【详解】
由于函数的最小正周期为，则 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用函数的周期性求值，考查计算能力，属于基础题.
所以，的最小值为， .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查根据正弦型函数的最值求参数，涉及正弦函数周期的应用，考查计算能力，属于中档题．
10．
【解析】
试题分析：设直角是C，最小角是A，另一个角是B．
∴sinC=1，设sinB=q，则sinA=q2

上海市徐汇区2020-2021学年高二上学期期末数学试题

上海市徐汇区2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．直线3450x y --=的倾斜角的大小为__（结果用反三角函数值表示） 2．若()5,4OA =-，()7,9OB =，则与AB 同向的单位向量的坐标是__．3．若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫⎪⎝⎭,解为21x y =⎧⎨=⎩,则a b +=_______. 4．行列式中63125142k --中元素-3的代数余子式的值为7，则k =__．5．以点()3,4P 和点()5,6Q -为一条直径的两个端点的圆的方程是___．6．若顶点在原点的抛物线的焦点与圆2240x y x +-=的圆心重合，则该抛物线的准线方程为__．7．在ABC ∆中，||3,||7,||5AB BC CA ===，则BA 在AC 方向上的投影是_______. 8．已知双曲线221kx y -=的一条渐近线的方向向量()2,1d =-，则k =__． 9．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= ．10．已知1F 、2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积为16，则b =__． 11．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则22||||OP PF +的最小值为_________12．在直角坐标系中，两个动圆均过(1,0)A 且与直线:1l x =-相切，圆心分别为12C C 、，若动点M 满足22122C M C C C A ---→---→--→=+，则M 的轨迹方程为_____________二、单选题 13．“11220a b D a b =≠”是“方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的（）条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．不充分不必要14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．715．已知集合(){},25P x y x y =+=，(){}22,5Q x y xy =+=，则集合P Q 中元素的个数是（） A ．0B ．2C ．4D ．816．已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为(),0by x a b a=±>，若双曲线上有一点()00,M x y ，使00b x a y <，则双曲线的焦点（） A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．当a b >时在x 轴上D ．当a b >时在y 轴上三、解答题17．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a = （1）若||25c =，且//c a ，求c 的坐标；（2）若5||b =，且2 a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ.18．已知直线l 经过点(P -，并且与直线0:20l x +=的夹角为3π，求直线l 的方程．19．如图所示，()A 、B 、C 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上的三点，BC过椭圆E 的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）求ABC ∆的面积．20．如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是22440x y y +--=，双曲线的左、右顶点A 、B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点．（1）试求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左、右焦点为1F 、1F ，试在“8”字形曲线上求点P ，使得12F PF ∠是直角．21．对于曲线():,0C f x y =，若存在非负实常数M 和m ，使得曲线C 上任意一点(),P x y 有m OP M ≤≤成立（其中O 为坐标原点），则称曲线C 为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界0M 成为曲线C 的外确界，最大的内界0m 成为曲线C 的内确界．（1）曲线24y x =与曲线()2214x y -+=是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C 上任意一点(),P x y 到定点()11,0F -，()21,0F 的距离之积为常数a a ，求曲线C的外确界与内确界．(0)参考答案1．3arctan 4【解析】【分析】根据3tan 4k α==即可得解. 【详解】∵直线3450x y --=，∴直线的斜率是34，∴3tan 4α=，[]0,απ∈，∴3arctan4α=，故答案为：3arctan 4．【点睛】本题考查了直线的倾斜角和斜率的关系，考查了反三角函数的概念，属于基础题. 2．125,1313⎛⎫⎪⎝⎭【分析】先求出()12,5AB =，再利用与AB 同向的单位向量为AB AB即可得解.【详解】∵()5,4OA =-，()7,9OB =，∴()12,5AB OB OA =-=，1213AB ==；∴与AB 同向的单位向量的坐标为125,1313ABAB ⎛⎫= ⎪⎝⎭．故答案为：125,1313⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了向量的线性运算和单位向量的概念，属于基础题. 3．2【分析】根据线性方程组的增广矩阵写出方程组的形式,根据它的解可以求出相关系数,最后计算即可. 【详解】因为线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫⎪⎝⎭,所以有02201ax y ax x y b y b +⋅==⎧⎧⇒⎨⎨⋅+⋅==⎩⎩, 解为21x y =⎧⎨=⎩,所以有221211a a ab b b ⋅==⎧⎧⇒⇒+=⎨⎨==⎩⎩. 故答案为：2 【点睛】本题考查了增广矩阵的概念,考查了数学运算能力. 4．3 【分析】由题意可知求得122412kA k =-=+-，代入即可求得k 的值．【详解】由题意可知：设63125142A k -=-，元素3-的代数余子式122412kA k =-=+-，∴47k +=， ∴3k =，故答案为：3．【点睛】本题考查了代数余子式的概念和二阶行列式的计算，属于基础题. 5．()()221517x y ++-= 【分析】由中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出圆半径后即可得解．【详解】∵点()3,4P 和点()5,6Q -，设圆心为C ，半径为r ，∴以点()3,4P 和点()5,6Q -为一条直径的两个端点的圆的圆心为C ()1,5-，圆的半径12r PQ ===∴圆的方程为：()()221517x y ++-=．故答案为：()()221517x y ++-=．【点睛】本题考查了中点坐标公式、两点间距离公式和圆的标准方程，属于基础题. 6．2x =- 【分析】由已知得抛物线的焦点()2,0F ，由此能求出该抛物线的准线方程．【详解】∵顶点在原点的抛物线的焦点与圆2240x y x +-=的圆心重合， ∴抛物线的焦点()2,0F ， ∴该抛物线的准线方程为2x =-．故答案为：2x =-．【点睛】本题考查了由圆的一般方程确定圆的圆心和抛物线的性质，属于基础题. 7．32【分析】利用余弦定理得到23A π∠=，再利用投影公式BA AC AC ⋅计算得到答案.【详解】||3,||7,||5AB BC CA ===，利用余弦定理得到：2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅解得12cos 23A A π=-∴∠=BA 在AC 方向上的投影为：()cos 1322BA AC A BA AC BA ACACπ⋅-⋅===故答案为：32【点睛】本题考查了余弦定理，投影公式，混淆向量的夹角是容易发生的错误. 8．14【分析】根据题设条件求出渐近线的斜率k ．【详解】∵双曲线221kx y -=的渐近线的一条渐近线的方向向量()2,1d =-，∴渐近线的斜率12=-， ∴14k =．故答案为：14．【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程和方向向量的概念，属于基础题. 9．152【解析】试题分析：根据正三角形的性质以及向量的数量积的定义式，结合向量的特点，可以确定22121()3333AB BD AB AB AC AB AB AC ⋅=⋅+=+⋅211159333322=⋅+⋅⋅⋅=，故答案为152．考点：平面向量基本定理，向量的数量积，正三角形的性质． 10．4 【分析】12Rt PF F ∆中，由勾股定理及双曲线的定义，结合12PF F ∆面积为16，利用等量关系可得出224464a c =-，即可求出b ．【详解】设1PF m =，2PF n =，12PF PF ⊥，得1290F PF ∠=︒，∴2224m n c +=，12PF F ∆的面积为16，∴32mn =∴()2224464a m n c =-=-， ∴22216b c a =-=， ∴4b =．故答案为：4．【点睛】本题考查了双曲线的性质，考查了方程思想和整体意识，属于中档题. 11．2 【解析】本题考查椭圆标准方程,几何性质,函数思想的应用.椭圆2212x y +=中心(0,0),O 左焦点(1,0);F -设(,),P x y 则21(2x y x =-≤≤于是22222222||||(1)2(1)(1)2x OP PF x y x y x x +=++++=+-++2(1)2(x x =++≤≤，当1x =-时，22||||OP PF +取最小值，最小值是2.12．221y x =- 【分析】先利用抛物线定义得圆心12C C 、的轨迹，再利用相关点法代入求解M 的轨迹方程【详解】由题意，两个动圆均过(1,0)A 且与直线:1l x =-相切，则圆心12C C 、的轨迹为抛物线24y x =，设(),M x y ，由22122C M C C C A ---→---→--→=+，则M 为1AC 的中点，即()121,C x y -故()24421y x =-，即M 的轨迹方程为221y x =-故答案为：221y x =- 【点睛】本题考查抛物线定义求轨迹，考查向量的几何意义，考查相关点法求轨迹，是中档题13．C 【分析】二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解与系数行列式不为零互为充要条件可得正确结果. 【详解】解：由于二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解，则系数行列式111221220a b a b a b a b =-≠，故“11220a b D a b =≠”是“方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的充要条件，故选：C. 【点睛】本题考查二元一次方程组有唯一解的充要条件，一般转化为系数行列式不等于零来处理，是基础题. 14．A 【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果. 【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题. 15．C 【分析】做出P 与Q 中表示的图象，根据图像交点确定出两集合的交集，即可做出判断．【详解】对于P 中25x y +=，当0x >，0y >时，化简得：25x y +=；当0x >，0y <时，化简得：25x y -=；当0x <，0y >时，化简得：25x y -+=；当0x <，0y <时，化简得：25x y --=，对于Q 中，225x y +=做出图形，如图所示，P Q 中元素的个数是4个，故选：C ．【点睛】本题考查了含绝对值函数的化简和圆的标准方程，考查了转化化归思想、分类讨论思想和数形结合思想，属于中档题. 16．B 【分析】设出双曲线的一般方程，利用题设不等式，令二者平方，整理求得的2200220y x b b->，进而可判断出焦点的位置．【详解】渐近线方程为(),0b y x a b a =±>，2222(0)x y a bλλ∴-=≠00||||0a y b x >≥，平方222200a y b x >，两边除22a b ，2200220y x b b->，∴2222(0)x y a b λλ-=>， ∴双曲线的焦点在y 轴上.故选：B. 【点睛】本题考查已知双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，考查对双曲线标准方程的理解与运用，求解时要注意焦点落在x 轴或y 轴的特点，考查学生分析问题和解决问题的能力． 17．（1）(2,4)或(2,4)--；（2）π. 【分析】（1）根据共线向量的坐标关系运算即可求解；（2）由向量垂直及数量积的运算性质可得52a b ⋅=-，再利用夹角公式计算即可. 【详解】（1）设(,)c x y =，||25c =且//c a ，222020x y x y ⎧+=∴⎨-=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩，(2,4)c ∴=或(2,4)c =--；（2）由已知得(2)(2),(2)(2)0a b a b a b a b +⊥-∴+⋅-= ，即2252320,253204a ab b a b +⋅-=∴⨯+⋅-⨯=，整理得52a b ⋅=-，cos 1||||a ba b θ⋅∴==-，又[0,π]θ∈，πθ∴=. 【点睛】本题主要考查了共线向量的坐标运算，数量积的运算，夹角公式，属于中档题.18．2x =-或10x -=．【分析】根据条件求出直线0l 的倾斜角，可得直线l 的倾斜角，即可求得直线l 的方程．【详解】由于直线0l ：20x +=6π，由于直线l 和直线0l ：20x -+=的夹角为3π，故直线l 的倾斜角为2π或56π，故直线l 的斜率不存在或斜率为再根据直线l 经过点(P -，可得直线l 的方程为2x =-，或)2=+y x ，即2x =-或10x -=．【点睛】本题考查了直线的倾斜角和斜率的关系、点斜式确定直线方程，属于基础题.19．（1）221124x y +=（2）6【分析】（1）由题意可得a =再由正三角形的条件可得3ab ，解得b ，即可得到椭圆方程；（2）由题意写出A 点坐标，直线CB 方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点C 、B 的纵坐标，12ABC B C S OA y y ∆=⋅-，代入数值即可求得面积．【详解】（1）A 的坐标为0)，即有a =椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形，可得3ab ，解得2b =，则椭圆E 的方程为221124x y +=，（2）直线BC 的方程为y x =，代入椭圆方程22312x y +=，得y x ==∴126ABC B C S OA y y ∆=-=⋅=， ABC ∆的面积为6．【点睛】本题考查了椭圆方程的确定和椭圆与直线的位置关系，属于基础题. 20．（1）=1,（2）（），（﹣），（﹣，﹣），（，﹣）．【解析】试题分析：由于上半个圆所在圆方程是22440x y y +--=，令，求出，得双曲线的顶点，可知，又双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点，令，双曲线过点，满足双曲线方程，待定系数法求出双曲线方程；第二步由于点满足12F PF ∠是直角，则点在以为圆心半径为的圆上，满足,把圆的方程与双曲线方程联立解出交点坐标，由于与上下两圆弧无交点，所以交点只有求出的四个 .试题解析：（1）设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，在已知圆的方程中，令，得240x -=，即，则双曲线的左、右顶点为()2,0A -、()2,0B ，于是,令2y =，可得280x -=，解得22x =±，即双曲线过点()22,2±，则228412b -=所以2b =，所以所求双曲线方程为22144x y -=.（2）由（1）得双曲线的两个焦点()1F -，()2F ,当1290F PF ︒∠=时，设点(),P x y ，①若点在双曲线上，得224x y -=，由120F P F P ⋅=，有则，由22224{80x y x y -=-+=，解得{x y ==((1234,,,P P P P②若点在上半圆上，则()224402x y y y +--=≥，由120F P F P ⋅=，得(20x x y+-+=，由2222440{80x y y x y +--=+-=无解. 综上，满足条件的点有4个，分别为((1234,,,P P P P .考点：1.求双曲线方程；2.求曲线的交点；21．（1）曲线24y x =不是“有界曲线”，理由见解析；曲线()2214x y -+=是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2）当01a <<时，曲线C ，13a ≤≤时，曲线C 0；当3a >时，曲线C ．【分析】（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案；（2）由题意求出曲线C 的方程，进一步得到x 的范围211a x a -≤≤+，把22x y +转化为含有x 的代数式，分类讨论得答案．【详解】（1）24y x =的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，∴曲线24y x =不是“有界曲线”；∵曲线()2214x y -+=的轨迹为以()1,0为圆心，以2为半径的圆，如图：由图可知曲线()2214x y -+=上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线()2214x y -+=是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2a =，整理得：()2222214x y x a ++-=，∴()221y x =+，∵20y ≥21x ≥+，∴()222214x x a +≤+，∴()2221x a -≤，∴211a x a -≤≤+，则()222211x y x x +=+=，∵211a x a -≤≤+，∴()()2222242a x a a -≤+≤+，即22|2|4|2|a x a a -++，当01a <<时，22242a x a a -++，则221411a x a a -+-+，221x y a ++，则曲线C当12a ≤≤时，22242a x a a -++，则221411a x a a -+-+，∴0≤≤C ，0；当23a <≤时，22242a x a a -++，则311a a -≤≤+，∴0≤≤C ，0；当3a >时，22242a x a a -++，则311a a -≤+，221x y a ++，则曲线C ．综上，当01a <<时，曲线C当13a ≤≤时，曲线C ，0；a>时，曲线C．当3【点睛】本题考查了对新概念的理解和求最值的方法，考查了转化化归和分类讨论的思想，属于难题.。

上海市位育中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题(1)

上海市位育中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．计算：AB AC BC -+=________2．如果向量(,1)a k =，(4,)b k =共线且方向相反，则k 等于 .3．已知2111n n a n n=+，则lim n n a →∞= . 4．已知||6a =，||4b =，则a b -的取值范围是________5．若12201102x x -=-，则x =________6．与(1,3)a =-垂直的单位向量的坐标为________7．若11223PP PP =，则2P P =________1PP 8．已知矩阵0110A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =______________ 9．已知向量(2,2)OA =，(4,1)OB =，在x 轴上存在点P 使得AP BP ⋅有最小值，则点P 的坐标为________10．如图，在三角形ABC 中，0BA AD ⋅=，||2AB =，2BC BD =，则AC AB ⋅=____11．已知函数()1x f x x =+，在9行9列的矩阵111213192122232991929399a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭中，()ij i a f j =，则这个矩阵中所有数之和为________ 12．如图，OM //AB ，点P 在由射线OM、线段OB 及AB 的延长线组成的区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+，当12x =-时，y 的取值范围是________二、单选题13．已知a 、b 为非零向量，则222||||a b a b +=-是a b ⊥的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 14．下列三阶行列式可以展开为a bb c a c de ef d f ++的是（） A ．111a b c d e f B ．111a b c d e fC ．111a b c d e fD ．111a b c d e f - 15．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则m n 的值为（） A ．13 B ．3CD16．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，*n N ∈．下列命题中真命题是 ( )A ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列三、解答题17．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==，求b 与c 的夹角. 18．设()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =.（1）求证ABAC ⊥，并求ABC ∆的面积；（2）对向量()11,a x y =，()22,b x y =，定义一种运算：()1221,f a b x y x y =-，试计算(),f AB AC 的值，并说明它与ABC ∆面积之间的等量关系，由此猜想这一运算的几何意义. 19．用行列式解关于x 、y 的方程组3(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩，并讨论说明解的情况. 20．已知OA a OB b ==，，对于任意点M ，点M 关于点A 的对称点为点S ，点S 关于点B 的对称点为点N .（1）用a ，b 表示向量MN ；（2）设122a b MN ⎡==∈⎣，，，求a 与b 的夹角θ的取值范围.21．如图，M 为△ABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交线段AB 、AC 于点P 、Q 两点，设AP xAB =，AQ y AC =，记()y f x =.（1）求11x y+的值；（2）求函数()y f x =的解析式（指明定义域）；（3）设32()32g x x a x a =++，[0,1]x ∈，若对任意11[,1]3x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．0【分析】根据向量的加减运算及运算律计算可得.【详解】解：0AB AC BC AB BC AC AC AC -+=+-=-=故答案为：0【点睛】本题考查向量的加减运算，属于基础题.2．2k =-【解析】试题分析：(,1)a k =，(4,)b k =共线，1(,1)(4,)44,12a b k k k λλλλλ=⇒=∴==∴=±，又(,1)a k =与(4,)b k =方向相反，1,22k λ∴=-=- 考点：平面向量共线的充要条件3．1-【详解】解：由题意可知2222121lim 11(1)(1)n n n n n n n a n n n n n n →+∞+-+-=-=∴=-+++ 4．[2,10]【分析】根据向量的三角形不等式可得.【详解】解：6a =，4b =a b a b a b ∴-≤-≤+6464a b ∴-≤-≤+即[]2,10a b -∈故答案为：[]2,10【点睛】本题考查向量的三角形不等式，属于基础题.5．5-【分析】用三阶行列式的化简方法把方程左边化简，得到一个关于x 的一元一次方程，解出x 即可。

上海市位育中学2020-2021学年高二第一学期期中考试数学试卷

上海市位育中学2020-2021学年高二第一学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知a =（x ,3），b =（3,1），且a ∥ b ，则x =_______.2．行列式42k 354112---中第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则k =______．3．增广矩阵为3?110m n -⎛⎫⎪⎝⎭的二元一次方程组的实数解是12x y =⎧⎨=⎩，则m +n =__________.4．已知矩阵A =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭，矩阵B =4231⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算：AB = ． 5．已知直线上两点A （2,3），B =（-1,5），则直线AB 的点方向式方程是____________. 6．直线l 的一个方向向量d =（1,2），则l 与直线-20x y +=的夹角为______________（结果用反三角函数值表示）.7．若实数x ,y 满足10304x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为_____________.8．与直线2350x y ++=___________. 9．若直线l：y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.10．在△ABC 中，AB =6，AC =4，D 为BC 中点，则•AD BC =____________. 11．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．12．在如图所示的平面中，点C 为半圆的直径AB 延长线上的一点，AB =BC =2，过动点P 作半圆的切线PQ ，若PCPQ ，则△PAC 的面积的最大值为______________.二、单选题13．关于向量，下列结论错误的是（）A ．0a ⋅=0B ．()()(,)m na mn a m n R ⋅=⋅∈C ．AB BA =D ．()(,)m n a m a n a m n R +⋅=⋅+⋅∈.14．如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程0(),f x y =的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）A ．曲线C 是方程0(),f x y =的曲线B ．方程0(),f x y =的每一组解对应的点都在曲线C 上C ．不满足方程0(),f x y =的点(,)x y 不在曲线C 上D ．方程0(),f x y =是曲线C 的方程15．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为 ( )A ．6B ．4C ．3D ．216．已知直线1l ：-10ax y +=，2l ：10,x ay a R ++=∈，和两点A （0,1），B （-1,0），给出如下结论：①不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直；②当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点A （0,1）和B （-1,0）；③不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称；④如果1l 与2l 交于点M ，则MA MB ⋅的最大值是1；其中，所有正确的结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4.三、解答题17．讨论关于x ，y 的一元二次方程组223(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩的解得情况. 18．已知圆O ：225x y +=.（1）当直线l ：20ax y a ++=与圆O 相交于A 、B 两点，且AB =l 的方程;（2）求与圆O 外切点（-1,2），且半径为.19．已知2,1a b ==，a b 与的夹角为45°.（1）求a b 在方向上的投影；（2）求2a b +的值;（3）若向量()2-3a b a b λλ-与（的夹角是锐角，求实数λ的取值范围.20．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，设此点为'A .（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为k ，（k 为常数），试用k 表示点'A 的坐标，并求折痕所在的直线的方程；（3）当-20k +≤≤时，求折痕长的最大值.21．定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ.（1）设圆220:1,C x y +=求过P （2,0）的直线关于圆0C 的距离比λ=（2）若圆C 与y 轴相切于点A （0,3）且直线y =x 关于圆C 的距离比λ=圆的C 的方程；（3）是否存在点P ，使过P 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆222212:(1)1:(-3(-34C x y C x y ++=+=与））的距离比始终相等？若存在，求出相应的点P 点坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1．9【解析】∵(,3)a x =，(3,1)b =，a ∥b∴133x ⨯=⨯∴9x =故答案为92．-14【解析】【分析】先由题意得到3212k M (1)12=--，再进一步计算即可得出结果. 【详解】由题意得3212k M (1)221k 1012=-=⨯+⨯=-- 解得：k 14=-．故答案为：14-．【点睛】本题主要考查矩阵的计算，熟记概念和公式即可，属于基础题型.3．-4【解析】∵增广矩阵3110m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭的二元一次方程组的实数解是1{2x y == ∴321{20m n +=-+= ∴2,2m n =-=-∴m n 4+=-故答案为4-4．1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：AB =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭4231⎛⎫ ⎪⎝⎭=1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭。

2021-2022学年上海市徐汇中学高二上学期9月月考数学试卷及答案

2021-2022学年上海市徐汇中学高二上学期9月月考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、填空题1．两条直线没有公共点是这两条直线为异面直线的______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）2．在正方体1111ABCD A B C D -中,既与AB 共面也与1CC 共面的棱有______条．3．从同一点出发的四条直线最多能确定______．4．若直线l 与平面α相交于点O ,A 、B l ∈,C 、D α∈,且//AC BD ,则O 、C 、D 三点的位置关系是______．5．已知120AOB ∠=︒,直线//a OA ,直线//b OB ,且a 与b 为异面直线,则a 与b 所成角的大小是______．6．如图是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形EFGH 为截面,长方形ABCD 为底面,则四边形EFGH 的形状为______．7．如图,正方形OABC 的边长为1cm ,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是______cm ．8．异面直线a 、b 成80°角,点P 是a 、b 外的一个定点,若过P 点有且仅有2条直线与a 、b 所成的角相等且等于θ,则θ的范围为______．9．右图是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A 、B 、C 为其上的三个顶点,则在正方体盒子中ABC ∠大小为______．10．如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点P 在截面1A DB 上,则线段AP 的最小值等于______．11．如图,正三角形123PP P ,点A 、B 、C 分别为边31P P 、23P P 、12P P 的中点,将三角形沿AB 、BC 、CA 折起,使1P 、2P 、3P 三点重合为点P ,则折起后1P A 与平面ABC 所成的角为______．12．如果一条直线和一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”,在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有4个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是______．二、选择题13．若a 、b 表示两条直线,α表示平面,下列命题中的真命题是（）A ．若a α⊥,a b ⊥,则//b αB ．若//a α,a b ⊥,则b α⊥C ．若a α⊥,b α⊆,则a b ⊥D ．若//a α,//b α,则//a b14．若直线1l 和2l 是异面直线,1l 在平面α内,2l 在平面β内,l 是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是（）A ．l 至少与1l 、2l 中的一条相交B ．l 与1l ,2l 都相交C ．l 至多与1l 、2l 中的一条相交D ．l 与1l 、2l 都不相交15．过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ,若AB 与α所成角是30°,6AO =,AC BC ⊥,则线段BC 长的范围是（）。

上海市徐汇区2020-2021学年高二上学期期中数学试题(解析版)

徐汇区高二期中数学试卷一．填空题1. 直线210x y -+=的一个法向量为______.【答案】()2,1-【解析】【分析】先求得直线210x y -+=的斜率，由此与其垂直的直线的斜率，进而求得直线210x y -+=的一个法向量.【详解】直线210x y -+=的斜率为2，故与其垂直的直线的斜率为12-，故直线210x y -+=的一个法向量为()2,1-.故填：()2,1-.【点睛】本小题主要考查直线的法向量的求法，属于基础题.2. 直线350x -=的倾斜角大小为___________. 【答案】3π 【解析】【分析】根据直线的一般式化成斜截式得直线的斜率，再由tan k α=得直线的倾斜角，得解.【详解】由350x -=得3y =-，所以直线的斜率k =，设直线的倾斜角为α且0απ≤<，由tan k α=得直线的倾斜角为3π. 故填：3π. 【点睛】本题考查直线的一般式化成斜截式得直线的斜率，再得直线的倾斜角的问题，属于基础题.3. 椭圆22219x y a +=（3a >）的两个焦点为1F 、2F ，且12||8F F =，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长是_______．【答案】20【解析】【分析】由题意可得4c =，利用222a b c =+，求出a ，再运用椭圆定义得△2ABF 的周长为4a 即可.【详解】如图所示，由12||8F F =，得28c =，即4c =，椭圆22219x y a +=（3a >）， ∴22291625a b c =+=+=，得5a =，弦AB 过点1F ，根据椭圆定义得△2ABF 的周长为420a =. 故答案为：20.【点睛】结论点睛：在椭圆中，弦过椭圆的一焦点与椭圆相交于A ，B ，与另一焦点形成的三角形的周长为4a .4. 已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．【答案】11【解析】试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=．考点：简单的线性规划．5. 已知矩阵30x A y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，20112y B y x -⎛⎫= ⎪--⎝⎭，3301C -⎛⎫= ⎪⎝⎭，且A B C +=，则x y +的值为__. 【答案】6.【解析】【分析】由矩阵加法运算可得231121x y x -=⎧⎨-=⎩，求出,x y ，即可得出结论.【详解】由题意，231121x y x -=⎧⎨-=⎩，∴5x =，1y =， ∴6x y +=.故答案为：6.【点睛】本题考查矩阵的加法运算，属于基础题．6. 若行列式12311311a a a a--中第一行第二列元素的代数余子式的值为4，则a =__.【答案】2【解析】【分析】本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算，即可得到本题结论. 【详解】∵行列式12311311a a a a--中第一行第二列元素的代数余子式的值为4， ∴1341a a-=， ∴()34a a --=，∴2a =.故答案为：2.【点睛】本题考查行列式的概念，考查代数余子式的定义，属于基础题．7. 椭圆221369x y +=的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，当12PF PF ⊥时，△12F PF 的面积是_______．【答案】9【解析】【分析】根据椭圆定义有12212PF PF a +==，再由勾股定理得222221124108PF PF F F c +===，进而可得1218PF PF ⨯=，即可得到12F PF △面积.【详解】根据椭圆的定义，12212PF PF a +== ①，12PF PF ⊥，由勾股定理得，2222121244(369)108PF PF F F c +===⨯-= ②，①²-②得：21214410836PF PF ⨯=-=， 12121189221F PF S PF PF ∆∴=⨯=⨯=. 故答案为：9.8. 对任意实数m ，圆2224620x y mx my m +--+-=恒过定点，则其坐标为______. 【答案】()1,1、17,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】将圆的方程重新按m 合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.【详解】由2224620x y mx my m +--+-=由得()2222320m x y x y -+-++-=，故2223020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故填：()1,1、17,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题.9. 直线350x y -+=关于直线y x =对称的直线方程为_______【答案】350x y -++=【解析】【分析】在所求直线上设动点(,)M x y ,则M 关于直线y x =对称的点(,)N y x 在已知直线上,将N 的坐标代入已知直线方程可得答案.【详解】设所求直线上任意一个点(,)M x y ,则M 关于直线y x =对称的点(,)N y x 在已知直线350x y -+=上,所以350y x -+=,即350x y -++=.故答案为:350x y -++=.【点睛】本题考查了求直线与直线关于直线对称的直线方程,属于基础题.10. 设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A,B 两点，且弦AB 的长为23，则a =_____. 【答案】0【解析】【分析】由已知可得圆心(1,2)到弦的距离为1，利用点到直线的距离公式可得a 的值.【详解】解：由直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A,B 两点，且弦AB 的长为23，可得圆心(1,2)到弦的距离为1，可得21,01a a ==+，故答案：0【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质及点到直线的距离公式，相对简单.11. 以AB 为直径的半圆，||2AB =，O 为圆心，C 是AB 上靠近点A 的三等分点，F 是AB 上的某一点，若AC ∥OF ，则AF BC ⋅=________【答案】32-【解析】【分析】可以点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，并连接OC ，根据条件可得出60COA FOB ∠=∠=︒，并且1OC OF ==，这样即可求出点A ，B ，C ，F 的坐标，进而得出向量,AF BC的坐标，从而得出AF BC 的值．【详解】以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，连接OC ，据题意，60COA ∠=︒，60CAO FOB ∴∠==︒，且1OC OF ==. ∴1313(1,0),(,),(1,0),(,)2222A FBC --， ∴3333(,),(,)2222AF BC ==-， ∴933442AF BC =-+=-．故答案为：32-．【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将向量问题坐标化，使问题的求解更简便.12. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_______．（写出所有正确命题的编号）① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；② 如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点；③ 如果直线l 经过两个不同的整点，则直线l 必经过无穷多个整点；④ 直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数．【答案】①③【解析】【分析】给直线l 分别取不同的方程，可得到②和④的反例，同时找到符合条件①的直线；通过直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点，③正确.【详解】①令直线l 为：12y x =+，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线l为：y =-()2,0，②错误；③令直线l 为：y kx b =+，过两个不同的整点()11,x y ，()22,x y ，则1122y kx b y kx b =+⎧⎨=+⎩，两式作差得：()1212y y k x x -=-，即直线l 经过整点()1212(),(),n x x n y y n Z --∈，∴直线l 经过无穷多个整点，③正确；④令直线l 为：1132y x =+，则l 不过整点，④错误. 故答案为：①③.【点睛】本题考查对于直线方程的理解，关键是能够通过特例来否定命题和验证存在性的问题，对于学生对直线方程特点的掌握有较高的要求. 二．选择题13. 如果曲线C 上任一点的坐标都是方程(),0F x y =的解，那么下列命题中正确的是（）A. 曲线C 的方程为(),0F x y =B. (),0F x y =的曲线是CC. 以方程(),0F x y =的解为坐标的点都在曲线C 上D. 曲线C 上的点都在方程(),0F x y =的曲线上【答案】D【解析】【分析】根据曲线和方程的关系选出正确选项.【详解】依题意可知，曲线C 上任一点的坐标都是方程(),0F x y =的解，也即曲线C 上的点都在方程(),0F x y =的曲线上.但是方程(),0F x y =的解，不一定是曲线C 上的点，所以A,B,C 选项错误，D 选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查曲线和方程的关系，属于基础题.14. 直线:10l y kx --=与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是（） A. (0,1)B. (0,5)C. [1,5)(5,)⋃+∞D. [1,)+∞【答案】C【解析】【分析】由于直线:10l y kx --=恒过点(0,1)，所以要使直线:10l y kx --=与椭圆2215x y m+=恒有公共点，只要点(0,1)椭圆上或椭圆内即可，从而可求得m 的取值范围【详解】解：直线:10l y kx --=恒过点(0,1)，因为直线:10l y kx --=与椭圆2215x y m+=恒有公共点，所以点(0,1)椭圆上或椭圆内即可，所以050115m m m⎧⎪>⎪≠⎨⎪⎪+≤⎩，解得m 1≥且5m ≠，所以m 的取值范围是[1,5)(5,)⋃+∞，故选：C15. 若圆C ：()()222x a y a a -++=被直线l ：20x y ++=分成的两段弧长之比是1:3，则满足条件的圆C （）A. 有一个B. 有两个C. 有三个D. 有四个【答案】B【解析】【分析】设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，根据圆被直线l 分成两段弧长之比是1:3可知AOB 90∠=，由此得到圆心到直线的距离，进而以此列方程，解方程求得a 的值，从而得出得出正确选项.【详解】设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，由于圆被直线l 分成的两段弧长之比是1:3，所以AOB 90∠=.由于圆的圆心为(),a a -，半径为a ，所以圆心到直线l 的距离为22a ，也即22,2,222a a a a a -+===±，所以满足条件的圆有两个. 故选B.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查数形结合的数学思想方法，考查圆的几何性质，属于基础题.16. 已知()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（） A. 无论12k P P 、、如何,总是无解B. 无论12k P P 、、如何,总有唯一解C. 存在12k P P 、、，使之恰有两解 D. 存在12k P P 、、，使之有无穷多解【答案】B【解析】【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出1122,,,a b a b 的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案．【详解】由题意，点()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，直线1y kx =+的斜率存在，所以2121b b k a a -=-，即12a a ≠，且11221,1b ka b ka =+=+，所以211212122121a b a b ka a ka a a a a a -=-+-=-，由方程组11221(1)1(2)a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩， 21(1)(2)b b ⨯-⨯可得：122121()a b a b x b b -=-，即1221()a a x b b -=-，所以方程组有唯一的解．故选B ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，直线的斜率的求法，以及一次函数根与系数的关系和方程组的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．三．解答题17. 求圆心为(1,1)且与直线4x y +=相切的圆的标准方程．【答案】22(1)(1)2x y -+-=．【解析】【分析】由于直线4x y +=与圆相切，所以圆心(1,1)到直线的距离等于半径，求出半径，从而可求出圆的标准方程【详解】解：由题意可知圆的半径为r ==，所以所求的圆的方程为22(1)(1)2x y -+-=18. 已知向量(1,2)a =，(,1)b x =．（1）若(2)(2)a b a b +⊥-时，求x 的值；（2）若向量a 与向量b夹角为锐角，求x 的取值范围．【答案】（1）2x =-或72；（2）{2|x x >-且1}2x ≠．【解析】【分析】（1）先求出2a b +，2a b -的坐标，再由(2)(2)a b a b +⊥-得(2)(2)0a b a b +⋅-=，列方程可求出x 的值；（2）由向量a 与向量b 的夹角为锐角，可得0a b ⋅>，且向量a 与向量b 不共线，从而可求出x 的取值范围【详解】解：（1）因为向量(1,2)a =，(,1)b x =，所以2(1,2)2(,1)(21,4)a b x x +=+=+，22(1,2)(,1)(2,3)a b x x -=-=-，因为 (2)(2)a b a b +⊥-，所以(2)(2)0a b a b +⋅-=，所以(21)(2)430x x +-+⨯=，即223140x x --=，解得2x =-或72x =，（2）因为向量a 与向量b 的夹角为锐角，所以0a b ⋅>，且向量a 与向量b 不共线，所以20121x x +>⎧⎪⎨≠⎪⎩，解得2x >-且12x ≠，所以x 的取值范围为{2|x x >-且1}2x ≠19. 已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标.【答案】（1）240x y +-=；（2）点A 坐标为()3,4、()3,0-【解析】【分析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC 的距离，根据面积7ABC S ∆=以及点A 在直线2360x y -+=上列方程组，解方程组求得A 点的坐标.【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---，即240x y +-=.（2）BC ==A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为d =A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,. 【点睛】本小题主要考查利用两点式求直线方程，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积公式，属于基础题.20. 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线l 过点(,0)A a -，且与椭圆相交于另一点B ．（1）求椭圆的方程；（2）若线段AB，求直线l 的倾斜角．【答案】（1）2214x y +=；（2）4π或34π．【解析】【分析】（1）由题设列出基本量方程组，解得基本量，从而得方程.（2）设直线l 方程，代入椭圆方程得关于x 的一元二次方程，韦达定理整体思想及弦长公式得关于斜率的方程，解得斜率得直线方程.【详解】(1)由题意可知22222212242b a a b a b c⨯=⎧⎪⎪⨯⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩ ， 2a = ，1b =，c =。

上海市位育中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试卷 Word版含答案

2020-20201学年上海市位育中学高二上数学10月月考卷2020.10一. 填空题1. 计算：2. 三阶行列式123456789的元素4的代数余子式为3. 已知点(4,3)A ，(1,15)B -，则向量的单位向量为4. 若线性方程组的增广矩阵为122332c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= 5. 若ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，且，，则可以用和表示为6. 若行列式4a b b a b a+-=+，则a b += 7. 计算：12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭8. 设，，若与的夹角为钝角，则x 的取值范围是9. 在△ABC 中，若，则△ABC 的形状为10. 在△ABC 中，，向量的终点M 在△ABC 的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是11. 已知平行四边形ABCD ，4AB =，AD =A为锐角，且sin 5A =，点0P 是边CD 上一定点，点P 是边CD 上一动点，若恒成立，则12. 设H 是△ABC 的垂心，且，则cos ABC ∠=二. 选择题 13. 已知直线l 的方程为1221x y --=-，则l 的法向量可以是（） A. (2,1)- B. (2,1) C. (1,2)- D. (1,2)14. 已知，，且向量在向量方向上的投影是2-，则（）A. 2m =，2n =-B. 2m =-，2n =C. 2m =，n 取任意实数D. 2m =-，n 取任意实数15. 已知向量，，对任意的t ∈R ，恒有，则（）A. B. C. D.16. 对于非零向量、，定义运算“#”：，其中θ为、的夹角，有两两不共线的三个向量、、，下列结论：①若，则；②；③若，则∥；④；⑤；其中正确的个数有（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4三. 解答题17. 已知O 为原点，，，与垂直，与平行，求的坐标.18. 用行列式的方法解关于x 、y 的方程组(2)36m x y m x my m-+=-⎧⎨+=--⎩，并对解的情况进行讨论.19. 已知，，，，求与的夹角.20. 在△ABC 中，已知(1,2)A ，(2,1)B -.（1）若点C 的坐标为(4,5)C ，直线l ∥AB ，直线l 交AC 边于D ，交CB 边于E ，且△CDE 与△ABC 的面积之比为49，求直线l 的点方向式方程；。