最新最新题库广东省茂名市高考数学一模试卷及参考答案(理科)

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2019 年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题，本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有项是符合题目要求的 1．【解答】 解： B＝{ x|2≤ x≤5} ；
∴ A∩ B＝ {3 ， 5} ． 故选： B． 2．【解答】 解：∵（ 1+i ）（ a+i）＝（ a﹣ 1） +（ a+1） i 是实数， ∴ a+1＝0，即 a＝﹣ 1． 故选： C．
在区间（ 0， ）上， sin2x＞ 0， sinx＞ 0，
即 f（ x）＞ 0，∴排除 B 和 C； 故选： A． 9．【解答】 解：函数 f（ x）＝ cos（ ﹣ 2x）＝ cos（ 2x﹣ ），
把 y＝ f（ x）的图象向左平移
个单位得到函数 g（ x）的图象，
得到： g（ x）＝
＝cos（ 2x+ ），
13．（ 5 分）已知向量 ＝（ 1， 2）， ＝（ m，﹣ 1），若 ∥（ + ），则 m＝
．
14．（ 5 分）（ x+ ） 3 的展开式中的常数项是
．
15．（ 5 分）在△ ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，已知 ab＝（ a2+c2）cosC，cosB
＝ ，若 b+c＝ 2+ ，则△ ABC 的面积为
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故： ① g（ ）＝ cos ＝﹣ ，
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② 当 x＝ 时， g（ ）＝ cos ＝﹣
，
③ 当 x＝ 时， g（ ）＝ cos ＝﹣ ≠ 0， 故： A、 B、C 错误． 故选： D ． 10．【解答】 解：作一个长，宽，高分别为 4， 3， 3 的长方体， 根据三视图知该几何体是三棱锥 A﹣ BCD ，如图所示； 因为三棱锥 A﹣ BCD 的四个顶点，都在这一个长方体中， 所以三棱锥 A﹣ BCD 体积为
）
A ．1
B．2
C．
D．3
8．（ 5 分）函数 f（ x）＝ sin2x+sinx 在 [﹣ π， π]，的图象大致是（
）
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A．
B．
C．
D．
9．（ 5 分）已知函数 f（x）＝ cos（ ﹣ 2x），把 y＝ f（x）的图象向左平移
数 g（x）的图象，则下列说法正确的是（
）
过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．【解答】 解：（ I）由 Sn＝ 2an﹣ 2…… ① 得 Sn﹣1＝2an﹣1﹣ 2…… ② ① ﹣ ② 得 an＝ 2an﹣ 2an﹣1，∴ an＝2an﹣1， 由 S1＝ 2a1﹣ 2，得 a1＝ 2， ∴ { an} 是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列
在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（ 5 分）“ x＞ 1”是“ x+ ≥4”成立的（
）
A ．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
x
7．（ 5 分）已知函数 f（ x）＝ ax﹣ ln（ e +1）（ a∈R）为偶函数，则 a＝（
11．（5 分）已知数 f（ x）是定义域在 R 上的偶函数，且 f（x+1）＝ f（ x﹣ 1），当 x∈[0，1]
时， f（ x）＝ x3，则关于 x 的方程 f（ x）＝ |cosπx|在[ ﹣ ， ] 上所有实数解之和为 （
）
A ．1
B．3
C． 6
D．7
12．（ 5 分）已知双曲线
﹣ ＝ 1（a＞ 0， b＞ 0）的左，右焦点分别为 F1， F 2，右顶点
为 A，P 为其右支上一点， PF 1 与渐近线 y＝﹣ x 交于点 Q，与渐近线 y＝ x 交于点 R，
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RQ 的中点为 M ，若 RF2⊥ PF1，且 AM ⊥ PF 1，则双曲线的离心率为（
）
A ． +1
B．2
C．
D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题纸上
点 Q 到点 G 的距离与到点 F 的距离之和为 4． （Ⅰ）求动点 Q 的轨迹； （Ⅱ）若 p＝ 2 ，设过点 D（ 0，﹣ 2）的直线 l 与 Q 的轨迹相交于 AB 两点，当△ OAB 的面积最大时，求直线 l 的方程．
21．（ 12 分）已知函数 f（x）＝ lnx+ （ a∈R）在 x＝ 1 处的切线与直线 x﹣2y+1＝ 0 平行．
∴
；
（ II ）
，
T2n＝（ b1+b3+b5+… +b2n﹣1） +（ b2+b4+b6+… +b2n）
（Ⅰ）求实数 a 的值，并判断函数 f（ x）的单调性； （Ⅱ）若函数 f（ x）＝ m 有两个零点 x1， x2，且 x1＜ x2，求证： x1+x2＞ 1． [选修 4-4：坐标系与参数方程 ]
22．（ 10 分）在平面直角坐标系 xoy，已知椭圆的方程为：
+ ＝ 1，动点 P 在椭圆上，
O 为原点，线段 OP 的中点为 Q． （Ⅰ）以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点
B ．{3 ， 5}
C． {5 ， 7}
D． {1 ， 7}
2．（ 5 分）已知 i 是虚数单位，若（ 1+i ）（ a+i）为实数，则实数 a 的值为（
）
A ．1
B ．﹣ 2
C．﹣ 1
D．0
3．（ 5 分）若 x， y 满足约束条件
，则 z＝x﹣ 2y 的最小值为（
）
A ．﹣ 3
B ．﹣ 2
C．﹣ 1
D．0
4．（ 5 分）已知 a＝ 3 ， b＝ 2 ，c＝ log32，则 a， b， c 的大小关系为（
）
A ．b＞ a＞ c
B ．a＞ c＞ b
C． b＞ c＞ a
D． a＞ b＞ c
5．（ 5 分）七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，它是由五块等腰直角三角形、
一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若
2019 年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题，本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有项是符合题目要求的
1．（ 5 分）已知集合 A＝ {1 ， 3， 5， 7} ，B＝ { x|x2﹣ 7x+10 ≤ 0} ，则 A∩ B＝（
）
A ．{1 ， 3}
13．【解答】 解：
；
∵
；
∴ 1﹣ 2（ m+1）＝ 0；
解得 m＝ ．
故答案为：
14．【解答】 解：
的展开式的通项为
＝
，
令 3﹣3k＝ 0，得 k＝ 1．
因此，二项展开式的常数项为
．
故答案为： 3．
15．【解答】 解：由余弦定理得：
，
所以有：
，
化简得： b2（ a2﹣c2）＝（ a2+c2）（ a2﹣ c2）， 当 a2﹣ c2＝0 时，则 a＝ c，所以：△ ABC 为等腰三角形； 当 a2﹣ c2≠0 时，则： b2＝ a2+c2，则 B 为直角，而
＝ 4，当且仅当 x＝ ，即 x＝ 2 时，取等号，
则“ x＞1”是“ x+ ≥ 4”成立的充分不必要条件， 故选： A．
7．【解答】 解：方法一： 定义法： 由 f（﹣ x）＝f（ x）得，
，
，
即 lnex＝ 2ax，
，故选 C．
方法二：特值法： f（﹣ 1）＝ f（ 1）得，
，
，
故选： C． 8．【解答】 解：显然 f（ x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 D ；
19．（ 12 分）已知在三棱锥 P﹣ ABC 中， AB＝BC＝ AC，∠ PAB ＝∠ PAC． （Ⅰ）求证： PA⊥ BC；
（ Ⅱ ） 若 AB ＝ PA ＝ 2 ， cos ∠ PAB ＝ ， 求 二 面 角 B ﹣ PA ﹣ C 的 平 面 角 的 余 弦
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值． 20．（ 12 分）已知抛物线 C：y2＝ 2px（ p＞ 0），点 G 与抛物线 C 的焦点 F 关于原点对称，动
17．（ 12 分）已知 Sn 为数列 { an} 的前 n 项和， Sn＝ 2an﹣2．
（Ⅰ）求数列 { an} 的通项公式；
（Ⅱ）若 bn＝
， k∈N* ，求数列 { bn} 的前 2n 项和 T2n．
18．（ 12 分） 2018 年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到
200 件参赛
作品，为了了解该赛区参赛作品的质量，现从这些作品中随机抽取
12 件作品进行试评，
成绩如下： 67，82， 78，86， 96，81， 73， 84， 76，59， 85，93．
（Ⅰ）求该样本的中位数和方差；
（Ⅱ）若把成绩不低于 85 分（含 85 分）的作品认为为优秀作品，现在从这 12 件作品中
任意抽取 3 件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望．
3．【解答】 解：由 x， y 满足约束条件
，作出可行域如图，联立
，解得
A（ 0， 1）， 化目标函数 z＝ x﹣2y 为 y＝ x﹣ ， 由图可知，当直线 y＝ x﹣ 过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值为﹣ 2． 故选： B．
4．【解答】 解：∵ ∴ a＞ b＞ c．
；
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A ．g（ ）＝
个单位得到函
B ． g（ x）的图象关于直线 x＝ 对称
C． g（ x）的一个零点为（
，0）
D ．g（ x）的一个单调减区间为 [﹣ ， ]
10．（ 5 分）如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，
则此几何体的体积为（
）
A ．6
B ．18
C． 12
D． 36
作出函数 f（x）和 y＝）＝ |cosπx|在 [ ﹣ ， ] 上图象如图：
由图象可得， 取 x＝ 1 外，两两关于 x＝ 1 对称， 则实数解的和为 2× 3+1 ＝7， 故选： D ．
有 7 个交点，
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12．【解答】 解：若直接联立方程求解 R， Q 的坐标，运算会十分繁琐． 因为 RF2⊥ PF 1，所以 R 的坐标可看做圆 x2+y2＝ c2
．
故选： A．
11．【解答】 解：因为 f（ x+1 ）＝ f（ x﹣ 1），则 f（ x）＝ f（ x﹣ 2），所以 f（ x）的最小正周期 为 2， 当 x∈[ ﹣ 1，0]时，﹣ x∈[0， 1]， 则 f（﹣ x）＝（﹣ x） 3＝﹣ x3＝ f（ x）， 则 f（ x）＝﹣ x3， x∈[﹣ 1，0] ， 又由 f（ x+1）＝ f（ 1﹣ x）得 f（ x）的图象也关于 x＝1 对称，
．
16．（ 5 分）把三个半径都是 2 的球放在桌面上，使它们两两相切，然后在它们上面放上第
四个球（半径是 2），使它与下面的三个球都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离
为
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分其中 17 至 21 题为必做题， 2、 23 题为选做題解答
过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤
，不合题意；
故△ ABC 为等腰三角形；
根据余弦定理：
，可知：
， a＝c，
，
有： c＝a＝ 2，
所以：
．
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故答案为： ．
16．【解答】 解：如图，四个球心连线是正三棱锥，棱长均为
4，
∴
，
∴
．
∴第四个球的最高点与桌面的距离为 OA 加上两个半径，即
．
故答案为：
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分其中 17 至 21 题为必做题， 2、 23 题为选做題解答
故选： D ．
5．【解答】 解：设正方形的边长为 2，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成，
则正方形的对角线长为
，则等腰直角三角形的边长为
＝，
对应每个小等腰三角形的面积 S＝ ×
＝，
则阴影部分的面积之和为 3× ＝ ，正方形的面积为 4，
若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为
＝，
故选： C． 6．【解答】 解：当 x＞0 时， x+ ≥ 2
Q 的轨迹的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线 l 的参数方程为
，（ t 为参数）， l 与点 Q 的轨迹交于 M 、N 两点，
求弦长 |MN |． [选修 4-5：不等式选讲 ] 23．已知函数 f（ x）＝ |2x+1|﹣ |x﹣ a|（ a＞ 0）．
（Ⅰ）当 a＝ 1 时，求不等式 f（ x）≥ 1 的解集； （Ⅱ）若不等式 f（ x）＞﹣ 2 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围．
与渐近线
的交点，
由
解得 R（ a，b），
所以可得直线
，
由
，解得
，所以
，
由△ F1MA ～△ F1RF2，可得
，即
，
即
，
所以
，因此
即
，所以
化简得 c2﹣ 2a2﹣ ac＝ 0， 由 e＝ ，即 e2﹣e﹣ 2＝ 0，
解得 e＝2 或 e＝﹣ 1（舍去）， 故选： B．
， ，
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二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题纸上