第9讲 线面、面面平行与垂直
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第9讲 线面、面面平行与垂直 关系的判定与性质
1．考题展望 立体几何解答题中的第 (1) 问基本上是对位置关系的 考查，难度中等．以相对规则的多面体为载体，考查 点、线、面之间平行、垂直的判定，需特别注意线面 平行、面面垂直性质的使用．
2．高考真题 考题1(2014 四川)在如图所示的多面体中， 四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形． (1)若 AC⊥BC，证明：直线 BC⊥平面 ACC1A1； (2)设 D，E 分别是线段 BC，CC1 的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使直线 DE∥平面 A1MC？请 证明你的结论．
平行关系的转化 两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平 行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行， 所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的 转化示意图．
解决平行问题时要注意以下结论的应用 (1) 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平 面平行． (2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必 平行于另一个平面． (3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它 与另一个也相交． (4)平行于同一条直线的两条直线平行． (5)平行于同一个平面的两个平面平行． (6)如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这 条直线必与它们的交线平行．
在直角梯形 EADP 中， 因为 AE＝1， AD＝PD＝2， 所以 PE＝ 5， 所以 PE＝BE.又因为 F 为 PB 的中点， 所以 EF⊥PB. 要使 PB⊥平面 EFM，只需使 PB⊥FM. 因为 PD⊥平面 ABCD，所以 PD⊥CB， 又因为 CB⊥CD，PD∩CD＝D， 所以 CB⊥平面 PCD， 而 PC⊂平面 PCD，所以 CB⊥PC. PM PF 若 PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得 PB ＝PC. 由已知可求得 PB＝2 3，PF＝ 3，PC＝2 2， 3 2 所以 PM＝ . 2
(2)因为∠BAD＝90°， 所以 AD⊥AB. 又因为 AD⊥C′B，且 AB∩C′B＝B， 所以 AD⊥平面 C′AB. 因为 C′A⊂平面 C′AB，所以 AD⊥C′A. 因为△BCD 是等边三角形，AB＝AD， 不防设 AB＝1，则 BC＝CD＝BD＝ 2，可得 C′A＝1. 由勾股定理的逆定理，可得 AB⊥C′A. 因为 AB∩AD＝A，所以 C′A⊥平面 ABD.
1．有关平行垂直命题的判定 例1若 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个 不同的平面，给出下列命题： ①若 m⊥α，n∥α，则 m⊥n；②若 α⊥γ，β⊥γ， 则 α∥β； ③若 m∥α， n∥α， 则 m∥n； ④若 α∥β， β∥γ， m⊥α ，则 m⊥γ. 其中正确命题的序号为( ) A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
1 即 G 是 PB 的中点，且 GH＝ BC＝4. 2 由已知可得 OB＝4 2， PO＝ PB2－OB2＝ 68－32＝6， 所以 GK＝3. GH＋EF 故四边形 GEFH 的面积 S＝ ·GK 2 4＋8 ＝ ×3＝18. 2 【命题立意】本题主要考查利用立体几何知识证 明线线平行、求面积的能力．
【点评】(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清 折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一 侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变 化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题 时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的 图形，也要分析折叠前的图形．
3．平行、垂直的综合问题 例4(2014 北京)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中， 侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝Fra Baidu bibliotek， E，F 分别是 A1C1，BC 的中点．
【解析】(1)如图，在△PAD 中，因为 E，F 分别 为 AP，AD 的中点，所以 EF∥PD. 又因为 EF⊄平面 PCD，PD⊂平面 PCD. 所以直线 EF∥平面 PCD.
(2)连接 BD.因为 AB＝AD， ∠BAD＝60°，所以△ABD 为正三角形． 因为 F 是 AD 的中点，所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD， BF⊂平面 ABCD， 又平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， 所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF⊂平面 BEF，所以平面 BEF⊥平面 PAD.
【命题立意】 本题主要考查线面平行的判定定理， 并考查学生的空间想象能力．
考题2(2014 安徽)如图，四棱锥 P－ABCD 的底面 是边长为 8 的正方形， 四条侧棱长均为 2 17.点 G， E， F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平 面 GEFH⊥平面 ABCD，BC∥平面 GEFH. (1)证明：GH∥EF； (2)若 EB＝2，求四边形 GEFH 的面积．
垂直关系的转化 与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如 下示意图．
在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直 的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它 们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面 垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化．
必备方法 1． 证明平行、 垂直问题常常从已知联想到有关判 定定理或性质定理， 将分析法与综合法综合起来考虑． 2．证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行 与垂直，再转化为线线的平行与垂直． 3． 使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几 何问题． 4．正向思维受阻时，可考虑使用反证法． 5．计算题应在计算中融入论证，使证算合一，逻 辑严谨．通常计算题是经过“作图、证明、说明、计 算”等步骤来完成的，应不缺不漏，清晰、严谨．
1．已知 m、n、l 是三条不同的直线，α、β、γ 是 三个不同的平面，给出以下命题： ①若 m⊂α ，n∥α，则 m∥n； ②若 m⊂α ， n∥β， α⊥β， α∩β＝l， m⊥l， 则 m⊥n； ③若 n∥m，m⊂α ，则 n∥α； ④若 α∥γ，β∥γ，则 α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A．②④ B．②③ C．③④ D．①③
因为 AC∥ A1C1，且 AC＝A1C1，所以 FG∥EC1， 且 FG＝ EC1，所以四边形 FGEC1 为平行四边形． 所以 C1F∥EG. 又因为 EG⊂平面 ABE，C1F⊄平面 ABE， 所以 C1F∥平面 ABE. (3)因为 AA1＝AC＝2， BC＝1， AB⊥BC， 所以 AB＝ AC2－BC2＝ 3. 1 1 所以三棱锥 E－ ABC 的体积 V＝ S△ ABC·AA1＝ 3 3 1 3 × × 3× 1× 2＝ . 2 3
1．判断空间基本元素点、直线、平面基本位置关 系的关键是：(1)熟练基本概念和有关的基本定理；(2) 用实物模拟空间的基本位置关系来提高空间想象与思 维能力，如用笔模拟直线，用书本或桌面模拟平面， 打开书本模拟二面角，观察教室墙角思考三面互相垂 直等． 2．熟练以下平行关系、垂直关系的转化．
3． 立体几何中动态的探究性问题与符合某条件的 点的存在性问题属于开放型问题，处理方法主要有两 种：(1)猜想特殊点(如线段中点)后再验证、证明；(2) 先假设存在该点，再从假设出发，通过推理、计算(常 常用到方程思想)确定该点具体位置或推出矛盾 (若推 出矛盾，则可以说明不存在符合条件的点)．
【解析】(1)证明：因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形， 所以 AA1⊥AB，AA1⊥AC. 因为 AB，AC 为平面 ABC 内两条相交的直线， 所以 AA1⊥平面 ABC. 因为直线 BC⊂平面 ABC，所以 AA1⊥BC. 又由已知，AC⊥BC，AA1，AC 为平面 ACC1A1 内两条相交的直线，所以 BC⊥平面 ACC1A1.
【解析】(1)证明：因为 F，G 分别为 PB，BE 的 中点， 所以 FG∥PE. 又因为 FG⊄平面 PED，PE⊂平面 PED， 所以 FG∥平面 PED.
(2)因为 EA⊥平面 ABCD， 所以 EA⊥CB. 又因为 CB⊥AB，AB∩AE＝A，所以 CB⊥平面 ABE. 由已知 F，H 分别为线段 PB，PC 的中点， 所以 FH∥BC. 则 FH⊥平面 ABE. 而 FH⊂平面 FGH，所以平面 FGH⊥平面 ABE. (3)在线段 PC 上存在一点 M， 使 PB⊥平面 EFM. 证明如下： 在直角三角形 AEB 中，因为 AE＝1，AB＝2， 所以 BE＝ 5.
【解析】(1)证明：因为 BC∥平面 GEFH，BC⊂ 平面 PBC，且平面 PBC∩平面 GEFH＝GH，所以 GH∥BC.同理可证 EF∥BC，因此 GH∥EF. (2)如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于 点 K，连接 OP，GK.
因为 PA＝PC，O 是 AC 的中点，所以 PO⊥AC， 同理可得 PO⊥BD. 又 BD∩AC＝O，且 AC，BD 都在底面内， 所以 PO⊥底面 ABCD. 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD， 且 PO⊄平面 GEFH，所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH＝GK， 所以 PO∥GK，且 GK⊥底面 ABCD， 从而 GK⊥EF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高． 由 AB＝8，EB＝2 得 EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4， 1 1 从而 KB＝ DB＝ OB，即 K 为 OB 的中点． 4 2 1 再由 PO∥GK 得 GK＝ PO， 2
(2)取线段 AB 的中点 M，连接 A1M， MC， A1C， AC1，设 O 为 A1C， AC1 的交点． 由已知， O 为 AC1 的中点． 连接 MD， OE， 则 MD， OE 分别为△ ABC， △ ACC1 的中位线， 1 1 所以 MD AC， OE AC，因此 MD OE. 2 2 连接 OM，从而四边形 MDEO 为平行四边形，则 DE∥ MO. 因为直线 DE⊄平面 A1MC， MO⊂平面 A1MC， 所以直线 DE∥平面 A1MC. 即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点)， 使直 线 DE∥平面 A1MC.
(1)求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面 ABE； (3)求三棱锥 E－ABC 的体积．
【解析】(1)在三棱柱 ABC－A1B1C1 中， BB1⊥底面 ABC， 所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC， 所以 AB⊥平面 B1BCC1， 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)取 AB 的中点 G，连接 EG，FG. 因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点， 1 所以 FG∥AC，且 FG＝ AC. 2
例3 如图，△BCD 是等边三角形， AB ＝ AD ， ∠BAD＝90°，M，N，G 分别是 BD，BC，AB 的中 点，将△BCD 沿 BD 折叠到△BC′D 的位置，使得 AD⊥C′B. (1)求证：平面 GNM∥平面 ADC′； (2)求证：C′A⊥平面 ABD.
【解析】(1)因为 M，N 分别是 BD，BC′的中点， 所以 MN∥DC′. 因为 MN⊄平面 ADC′， DC′⊂平面 ADC′， 所以 MN∥平面 ADC′. 同理 NG∥平面 ADC′. 又因为 MN∩NG＝N， 所以平面 GNM∥平面 ADC′.
【解析】选 D 根据线面垂直的性质可知①正确．②中两个平面 α，β 不一定平行，所以错误．③平行于同一个平面的直线 可能会相交或异面，所以错误．④正确．
【点评】利用实物模型，或作图想象．
2. 平行、垂直关系的判定与性质 例2如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAD⊥平 面 ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F 分别是 AP，AD 的中点． 求证：(1)直线 EF∥平面 PCD； (2)平面 BEF⊥平面 PAD.
【备选题】 例5如图，已知四边形 ABCD 是正方 形，EA⊥平面 ABCD，PD∥EA，AD＝PD＝2EA＝2， F，G，H 分别为 BP，BE，PC 的中点． (1)求证：FG∥平面 PDE； (2)求证：平面 FGH⊥平面 AEB； (3)在线段 PC 上是否存在一点 M，使 PB⊥平面 EFM？若存在，求出线段 PM 的长；若不存在，请说 明理由．
1．考题展望 立体几何解答题中的第 (1) 问基本上是对位置关系的 考查，难度中等．以相对规则的多面体为载体，考查 点、线、面之间平行、垂直的判定，需特别注意线面 平行、面面垂直性质的使用．
2．高考真题 考题1(2014 四川)在如图所示的多面体中， 四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形． (1)若 AC⊥BC，证明：直线 BC⊥平面 ACC1A1； (2)设 D，E 分别是线段 BC，CC1 的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使直线 DE∥平面 A1MC？请 证明你的结论．
平行关系的转化 两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平 行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行， 所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的 转化示意图．
解决平行问题时要注意以下结论的应用 (1) 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平 面平行． (2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必 平行于另一个平面． (3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它 与另一个也相交． (4)平行于同一条直线的两条直线平行． (5)平行于同一个平面的两个平面平行． (6)如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这 条直线必与它们的交线平行．
在直角梯形 EADP 中， 因为 AE＝1， AD＝PD＝2， 所以 PE＝ 5， 所以 PE＝BE.又因为 F 为 PB 的中点， 所以 EF⊥PB. 要使 PB⊥平面 EFM，只需使 PB⊥FM. 因为 PD⊥平面 ABCD，所以 PD⊥CB， 又因为 CB⊥CD，PD∩CD＝D， 所以 CB⊥平面 PCD， 而 PC⊂平面 PCD，所以 CB⊥PC. PM PF 若 PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得 PB ＝PC. 由已知可求得 PB＝2 3，PF＝ 3，PC＝2 2， 3 2 所以 PM＝ . 2
(2)因为∠BAD＝90°， 所以 AD⊥AB. 又因为 AD⊥C′B，且 AB∩C′B＝B， 所以 AD⊥平面 C′AB. 因为 C′A⊂平面 C′AB，所以 AD⊥C′A. 因为△BCD 是等边三角形，AB＝AD， 不防设 AB＝1，则 BC＝CD＝BD＝ 2，可得 C′A＝1. 由勾股定理的逆定理，可得 AB⊥C′A. 因为 AB∩AD＝A，所以 C′A⊥平面 ABD.
1．有关平行垂直命题的判定 例1若 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个 不同的平面，给出下列命题： ①若 m⊥α，n∥α，则 m⊥n；②若 α⊥γ，β⊥γ， 则 α∥β； ③若 m∥α， n∥α， 则 m∥n； ④若 α∥β， β∥γ， m⊥α ，则 m⊥γ. 其中正确命题的序号为( ) A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
1 即 G 是 PB 的中点，且 GH＝ BC＝4. 2 由已知可得 OB＝4 2， PO＝ PB2－OB2＝ 68－32＝6， 所以 GK＝3. GH＋EF 故四边形 GEFH 的面积 S＝ ·GK 2 4＋8 ＝ ×3＝18. 2 【命题立意】本题主要考查利用立体几何知识证 明线线平行、求面积的能力．
【点评】(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清 折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一 侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变 化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题 时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的 图形，也要分析折叠前的图形．
3．平行、垂直的综合问题 例4(2014 北京)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中， 侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝Fra Baidu bibliotek， E，F 分别是 A1C1，BC 的中点．
【解析】(1)如图，在△PAD 中，因为 E，F 分别 为 AP，AD 的中点，所以 EF∥PD. 又因为 EF⊄平面 PCD，PD⊂平面 PCD. 所以直线 EF∥平面 PCD.
(2)连接 BD.因为 AB＝AD， ∠BAD＝60°，所以△ABD 为正三角形． 因为 F 是 AD 的中点，所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD， BF⊂平面 ABCD， 又平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， 所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF⊂平面 BEF，所以平面 BEF⊥平面 PAD.
【命题立意】 本题主要考查线面平行的判定定理， 并考查学生的空间想象能力．
考题2(2014 安徽)如图，四棱锥 P－ABCD 的底面 是边长为 8 的正方形， 四条侧棱长均为 2 17.点 G， E， F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平 面 GEFH⊥平面 ABCD，BC∥平面 GEFH. (1)证明：GH∥EF； (2)若 EB＝2，求四边形 GEFH 的面积．
垂直关系的转化 与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如 下示意图．
在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直 的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它 们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面 垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化．
必备方法 1． 证明平行、 垂直问题常常从已知联想到有关判 定定理或性质定理， 将分析法与综合法综合起来考虑． 2．证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行 与垂直，再转化为线线的平行与垂直． 3． 使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几 何问题． 4．正向思维受阻时，可考虑使用反证法． 5．计算题应在计算中融入论证，使证算合一，逻 辑严谨．通常计算题是经过“作图、证明、说明、计 算”等步骤来完成的，应不缺不漏，清晰、严谨．
1．已知 m、n、l 是三条不同的直线，α、β、γ 是 三个不同的平面，给出以下命题： ①若 m⊂α ，n∥α，则 m∥n； ②若 m⊂α ， n∥β， α⊥β， α∩β＝l， m⊥l， 则 m⊥n； ③若 n∥m，m⊂α ，则 n∥α； ④若 α∥γ，β∥γ，则 α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A．②④ B．②③ C．③④ D．①③
因为 AC∥ A1C1，且 AC＝A1C1，所以 FG∥EC1， 且 FG＝ EC1，所以四边形 FGEC1 为平行四边形． 所以 C1F∥EG. 又因为 EG⊂平面 ABE，C1F⊄平面 ABE， 所以 C1F∥平面 ABE. (3)因为 AA1＝AC＝2， BC＝1， AB⊥BC， 所以 AB＝ AC2－BC2＝ 3. 1 1 所以三棱锥 E－ ABC 的体积 V＝ S△ ABC·AA1＝ 3 3 1 3 × × 3× 1× 2＝ . 2 3
1．判断空间基本元素点、直线、平面基本位置关 系的关键是：(1)熟练基本概念和有关的基本定理；(2) 用实物模拟空间的基本位置关系来提高空间想象与思 维能力，如用笔模拟直线，用书本或桌面模拟平面， 打开书本模拟二面角，观察教室墙角思考三面互相垂 直等． 2．熟练以下平行关系、垂直关系的转化．
3． 立体几何中动态的探究性问题与符合某条件的 点的存在性问题属于开放型问题，处理方法主要有两 种：(1)猜想特殊点(如线段中点)后再验证、证明；(2) 先假设存在该点，再从假设出发，通过推理、计算(常 常用到方程思想)确定该点具体位置或推出矛盾 (若推 出矛盾，则可以说明不存在符合条件的点)．
【解析】(1)证明：因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形， 所以 AA1⊥AB，AA1⊥AC. 因为 AB，AC 为平面 ABC 内两条相交的直线， 所以 AA1⊥平面 ABC. 因为直线 BC⊂平面 ABC，所以 AA1⊥BC. 又由已知，AC⊥BC，AA1，AC 为平面 ACC1A1 内两条相交的直线，所以 BC⊥平面 ACC1A1.
【解析】(1)证明：因为 F，G 分别为 PB，BE 的 中点， 所以 FG∥PE. 又因为 FG⊄平面 PED，PE⊂平面 PED， 所以 FG∥平面 PED.
(2)因为 EA⊥平面 ABCD， 所以 EA⊥CB. 又因为 CB⊥AB，AB∩AE＝A，所以 CB⊥平面 ABE. 由已知 F，H 分别为线段 PB，PC 的中点， 所以 FH∥BC. 则 FH⊥平面 ABE. 而 FH⊂平面 FGH，所以平面 FGH⊥平面 ABE. (3)在线段 PC 上存在一点 M， 使 PB⊥平面 EFM. 证明如下： 在直角三角形 AEB 中，因为 AE＝1，AB＝2， 所以 BE＝ 5.
【解析】(1)证明：因为 BC∥平面 GEFH，BC⊂ 平面 PBC，且平面 PBC∩平面 GEFH＝GH，所以 GH∥BC.同理可证 EF∥BC，因此 GH∥EF. (2)如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于 点 K，连接 OP，GK.
因为 PA＝PC，O 是 AC 的中点，所以 PO⊥AC， 同理可得 PO⊥BD. 又 BD∩AC＝O，且 AC，BD 都在底面内， 所以 PO⊥底面 ABCD. 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD， 且 PO⊄平面 GEFH，所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH＝GK， 所以 PO∥GK，且 GK⊥底面 ABCD， 从而 GK⊥EF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高． 由 AB＝8，EB＝2 得 EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4， 1 1 从而 KB＝ DB＝ OB，即 K 为 OB 的中点． 4 2 1 再由 PO∥GK 得 GK＝ PO， 2
(2)取线段 AB 的中点 M，连接 A1M， MC， A1C， AC1，设 O 为 A1C， AC1 的交点． 由已知， O 为 AC1 的中点． 连接 MD， OE， 则 MD， OE 分别为△ ABC， △ ACC1 的中位线， 1 1 所以 MD AC， OE AC，因此 MD OE. 2 2 连接 OM，从而四边形 MDEO 为平行四边形，则 DE∥ MO. 因为直线 DE⊄平面 A1MC， MO⊂平面 A1MC， 所以直线 DE∥平面 A1MC. 即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点)， 使直 线 DE∥平面 A1MC.
(1)求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面 ABE； (3)求三棱锥 E－ABC 的体积．
【解析】(1)在三棱柱 ABC－A1B1C1 中， BB1⊥底面 ABC， 所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC， 所以 AB⊥平面 B1BCC1， 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)取 AB 的中点 G，连接 EG，FG. 因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点， 1 所以 FG∥AC，且 FG＝ AC. 2
例3 如图，△BCD 是等边三角形， AB ＝ AD ， ∠BAD＝90°，M，N，G 分别是 BD，BC，AB 的中 点，将△BCD 沿 BD 折叠到△BC′D 的位置，使得 AD⊥C′B. (1)求证：平面 GNM∥平面 ADC′； (2)求证：C′A⊥平面 ABD.
【解析】(1)因为 M，N 分别是 BD，BC′的中点， 所以 MN∥DC′. 因为 MN⊄平面 ADC′， DC′⊂平面 ADC′， 所以 MN∥平面 ADC′. 同理 NG∥平面 ADC′. 又因为 MN∩NG＝N， 所以平面 GNM∥平面 ADC′.
【解析】选 D 根据线面垂直的性质可知①正确．②中两个平面 α，β 不一定平行，所以错误．③平行于同一个平面的直线 可能会相交或异面，所以错误．④正确．
【点评】利用实物模型，或作图想象．
2. 平行、垂直关系的判定与性质 例2如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAD⊥平 面 ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F 分别是 AP，AD 的中点． 求证：(1)直线 EF∥平面 PCD； (2)平面 BEF⊥平面 PAD.
【备选题】 例5如图，已知四边形 ABCD 是正方 形，EA⊥平面 ABCD，PD∥EA，AD＝PD＝2EA＝2， F，G，H 分别为 BP，BE，PC 的中点． (1)求证：FG∥平面 PDE； (2)求证：平面 FGH⊥平面 AEB； (3)在线段 PC 上是否存在一点 M，使 PB⊥平面 EFM？若存在，求出线段 PM 的长；若不存在，请说 明理由．