高等代数3.4 矩阵的秩
高等代数§3.5矩阵的秩与初等变换
4 3 9 12
1 1 7 8
41
1121
1 6 4 1 4 r33r2 0 4 3 1 1
r44r2
0 0
0 0
0 0
4 4
8 8
r4r0
4 3 0 0
1 1 4 0
0841.
由阶梯形矩阵有三个非零行可知: R(A)=3.
以下求A的一个最高阶非零子式. 由于R(A)=3.
1 0
0 0
2 0 0 0
2 2 0 0
1 1 0 0
01 01
=B1
1 1 1 2
例6:设
A
3 5
3
1
62,已知R(A)=2, 求与的值.
解:
A
r2-3r1 r3–5r1
1 0 0
1
3
8
1 4
5
244
1 1 1 2
r3-r2
0 0
3 5
4
1
04,
由R(A)=2,
得
5 1
00,
即
B
1 2 2 3
2 4
4 6
2 8 2 0
1 0 3
6
21 43
r2–2r1 r3+2r1
r4–3r1
1 0
0 0
2 0 0 0
2 4 2 6
1 2 1
3
01 51
r22 1 2 2 1 1
r3–r2 r4+3r2
0
0 0
02 00 00
1 0 r35
0 0
51
r4–r3
所以, R(A)=2, R(B)=3.
即 A B, 则 R(A) = R(B).
矩阵的秩
第一章 矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。
定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R1.2 矩阵的秩的几个简单性质性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+性质5 ()()TA rank A rank =1.3矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．例设6117404112901316124223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求秩(A) 解 A →1290404161171316124223-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭→1290084010115570525108403-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12900151015711015150153-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→12900151000458800034000014-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R A =.第二章 矩阵的秩的相关问题1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念, 它既是线性代数的重点, 又是一个难点。
浅谈_高等代数_中的矩阵的秩
1
A
?1 1 2 3?
A ? ??2 3 5
7
? ?
??-1 0 -1 - 2−?
分析：由定义一，需要计算阶数从高到低的子式，从而求得 不为零的子式的最大阶数，即秩。
其次，从列向量组的极大无关组的秩考虑，可用行的初等 变换求得列向量组的极大无关组的秩 ，或用向量的线性相关 性的概念求得。两个定义的本质是行列式的计算与线性相关性 的证明。
ÁÂÃÁÁÂÃÄÁÃÂÅÂÃÁ 比如方程x+y=5可以由下面两个方程相减得出
3x+4y=7 2x+3y=2 因此由这三个方程组成的方程组与由下面两个方程组成 的方程组是同解的，x+y=5是多余的，可去掉。这样对于m个n元 一次方程组成的方程组就可想办法去掉那些可用其他的方程 表示的方程，剩下相互独立的方程。例如用高斯消元法来去掉， 而剩下的那些独立的方程的个数就是这个方程组的秩，矩阵的 秩是从方程组的秩中来的，理解了这个就理解了秩的概念，这 也是秩的几何意义。如果从向量的线性相关性的角度考虑，可 以这样认为：是矩阵的行（列）向量组的极大线性无关组的个 数，即这个向量组的行（列）秩。 秩的定义常见下列两种叙述，分别是：矩阵中不为零的子 式的最大阶数；矩阵中行（列）向量组的极大无关组的个数。这 里不妨把它们分别叫做定义一、定义二，这两个定义是等价的。 它的等价性可由向量的线性相关性来证，课本中已有证明。下 面举例以加深理解和比较这两个定义：
AB ? A − B - n
A= r
B =r
AB=r
PAQ
?
?E ??O
O? − ?
?B ?
Q B ? ??B−
? ? −?
PQ
P Q r= AB=
（4） PA （5） 若 A
矩阵的秩
D3
1 6 0 4 0 6
4
2 7
D6 7 4 42 Nhomakorabea高 等 代 数
●矩阵的秩的概念
定义2.5.2 矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数，称为 矩阵A的秩，记作 R(A) 或 r(A)。 如果 R(A)=r，则 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零，
高 等 代 数
定理2.5.2 n阶矩阵A可逆的充要条件是R(A)=n
定理2.5.3 n阶矩阵A可逆的充要条件是方阵A满秩序。
定理2.5.4 一个方阵满秩的充要条件是它能表示为初等矩阵的乘积
高 等 代 数
所有高于 r 阶的子式都为零。
例如
1 2 3 A 2 2 1 3 4 4
因为 所以
高 等 代 数
A 0
1 2 2 0 2 2
R( A) 2
1 3 2 2 0 2 1 3 的秩. 例 求矩阵A= 2 0 1 5 解: 因为 1 3 2 0, 计算A的3阶子式. 0 2 1 3 2 0 2 1 0, 2 0 1 1 2 2 0 1 3 0, 2 1 5 1 3 2 0 2 3 0, 2 0 5 3 2 2 2 1 3 0. 0 1 5 所以, R(A)=2.
高 等 代 数
●利用矩阵的初等变换求矩阵的秩
定理2.5.1 设矩阵A经过初等变换化为B，则A有不等于零的 K阶子式当且仅当B有不等于零的K阶子式 推论2.5.1 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
初等变换求矩阵秩的方法: 用初等行变换把矩阵变成 为行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是 矩阵的秩.
一、矩阵的秩概念 二、矩阵的秩求法
高等代数课件：第十三课矩阵的行秩、列秩、秩
②
设 A
aij
，则 R( A)
sn
min( s,n).
若 R( A) s , 则称A为行满秩的；
若 R( A) n , 则称A为列满秩的.
5
二、矩阵秩的有关结论定Biblioteka 5a11 a12对方阵
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
有
x1
ar
2
x2
arn xn 0
2
引理 如果齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a21 x1 a22 x2
as1
x1
as2
x2
a1n xn 0 a2n xn 0
0 asn xn 0
a11 a12
的系数矩阵
A
a21
a22
as1 as2
a1n
a2n
asn
那么该齐次方程组有非零解。
A
1 2
3 1
0 7
1 2
1
的秩是3
5
4 2 14 0 6
1 0 3 1 2
R(A)=3，第1,2,4行线性无关，A1
1
3
0
1
1
4 2 14 0 6
R( A1 ) 3 A1 的列秩是3，设前3列线性无关，则有
1 0 3
103
A2
1
3
0
R( A2 ) 3 | A2 | 1 3
0 0
a21
a22
as1 as2
则A的列向量组 1 ,2 ,
得 A的列向量组 1 ,2 ,
a1n
a2n
的列秩
矩阵秩的研究与应用毕业论文
百度文库-让每个人平等地提升自我3 矩阵秩的研究与应用[摘要]矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究的一个重要工具。
矩阵理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。
而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。
它反映矩阵固有特性的一个重要概念。
矩阵一旦确定秩也就确定了。
它是高等代数课程中的一个参考指标，其定义、性质、求法、应用等相关内容在高等代数中出现的极为频繁，作用较大。
本文首先介绍了矩阵秩的相关理论知识：即秩的几种不同定义，相关性质，以及矩阵秩的三种常见求法，并对三种求法做了一个简单的比较分析。
后面着重介绍了矩阵秩的应用部分，主要是其在线性代数中的应用和解析几何上的应用。
这里就不细说了，具体内容还得从文章中来了解。
[1][2][3][关键词]：矩阵的秩，定义，性质，求法，应用，高等代数。
百度文库-让每个人平等地提升自我4 矩阵秩的研究与应用1 前言矩阵在高等代数理论中极其重要并且应用广泛，它是线性代数的核心，而矩阵的秩作为研究矩阵的一个重要工具，其秩的理论研究非常重要。
更重要的是将它推广到实际应用中，那么我们目前在其应用方面的研究又达到了一个什么程度呢？本文主要是对矩阵秩的应用方面的一个总结，让学者对其有个更清晰的认识，使后面的学者对矩阵的学习更轻松，更全面。
矩阵方面的理论是非常重要的内容，历年来许多学者对它都有研究，而且其中的部分理论有了很广泛的应用，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用；不仅在本文中的线性代数和解析几何中的理论上的应用，而且在其他领域上也有更实际贴切的应用。
如在控制论中，矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的，或可观的；此外，矩阵的秩在教学中还有更广泛的应用，如在测量平差中的应用。
理论指导实践，所以我着重选择了矩阵秩在理论上的应用的部分来进行探讨，其意义更加广泛且深远。
《高等代数课后答案》(邱著)
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以下是阳光网编著的《高等代数》答案(邱著)阅读地址。
希望你喜欢！点击进入：高等代数课后答案地址(邱执笔)高等代数(秋微著)目录前言(一)第一章决定因素(1)1.1一些预备知识(1)1.2二阶和三阶行列式(3)1.3n n阶行列式(7)1.4行列式的计算(18)1.5克莱姆法则(28)1.6行列式的一些应用(31)练习1(A)(35)练习1(B)(38)第二章矩阵(41)2.1矩阵的概念(41)2.2矩阵运算(44)2.3初等变换和初等矩阵(54)2.4可逆矩阵(67)2.5矩阵的秩(76)2.6分块矩阵及其应用(79)练习2(A)(90)练习2(B)(93)第三章线性空间(95)3.1矢量(96)3.2向量的线性相关性(98)3.3向量组的秩(103)3.4矩阵的行秩和列秩(106)3.5线性空间(111)3.6基础、尺寸和坐标(114)3.7基变换和转移矩阵(118)3.8子空间(122)3.9同构(131)3.10线性方程(135)练习3(A)(147)练习3(B)(150)第四章线性变换(152)4.1线性变换及其运算(152)4.2线性变换矩阵(156)4.3线性变换的范围和核心(165)4.4不变子空间(169)练习4(A)(173)练习4(B)(175)第五章多项式(176)5.1一元多项式(176)5.2多项式可整除(178)5.3倍大公因数(181)5.4因式分解定理(186)5.5重因子(189)5.6多项式函数(191)5.7复系数和实系数多项式的因式分解(195) 5.8有理系数多项式(198)5.9多元多项式(202)5.10对称多项式(206)练习5(A)(211)练习5(B)(213)第六章特征值(216)6.1特征值和特征向量(216)6.2特征多项式(221)6.3对角化(225)练习6(A)(231)练习6(B)(232)第七章-矩阵(234)7.1-矩阵及其初等变换(234)7.2-矩阵的标准型(238)7.3不变因子(242)7.4矩阵相似性的确定(245)7.5基本因素(247)7.6乔丹范式(251)7.7x小多项式(256)练习7(A)(259)第八章二次型(261)8.1二次型及其矩阵表示(261)8.2将二次型转化为标准型(264)8.3惯性定理(271)8.4正定二次型(274)练习8(A)(279)练习8(B)(280)第九章欧几里得空间(282)9.1欧氏空间的定义和基本性质(282) 9.2标准正交基(285)9.3正交子空间(291)9.4正交变换和对称变换(293)9.5实对称方阵的正交相似性(297)练习9(A)(303)练习9(B)(306)练习答案(308)参考文献312。
3-4矩阵的秩
α1
α2
αj
αn
高等代数
类似地 , 矩阵A = (a ij )m×n 又有m 个n维行向量
a 11 a 21 M A= a i1 M a m1
a a a
12 22
M
i2
M
a
m2
L 2n M L a in M L a mn L
个线性无关的行向量， 是r个线性无关的行向量， 则该向量组的延伸组 个线性无关的行向量
(a11 , a21 ,L , ar 1 , ar +1,1 ,L , a s1 ),L ,(a1r , a2 r ,L , arr , ar +1,r ,L , a sr )
也线性无关． 于是矩阵A的列秩 也线性无关． 于是矩阵 的列秩 r1 ≥ r ． 同理可证 r1 ≤ r. 所以 r1 = r ．
高等代数
a11 0 A= L 0
a12 ′ a22 L ′ an 2
L L L L
a1n ′ a2 n = a11 L ′ ann
′ a22 L ′ an 2
L L L
′ a2 n L a′ nn
ai 1 ′ 其中 (0, ai′2 ,L , ain ) = α i − α1 , i = 2,L , n a11
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = 0 LLLLLLLLLL = 0 a x + a x +L + a x = 0 r2 2 rn n r1 1
高等代数中的重要知识触点——秩
高等代数中的重要知识触点——秩
高等代数中，秩是一个重要的概念。
它代表了某个矩阵，或者某个系统的解的性质。
可以把秩给定义为：“秩是一个矩阵或者线性系统的最大秩，它确定了此矩阵或者线性系统允许拥有多少自由变量。
”
在线性代数和数学建模中，秩是一个重要的概念。
它表示矩阵中非零元素的最大秩，这个最大秩决定系统解可以有多少变量。
当矩阵保持秩不变时，系统有一个唯一解；当总秩缩小时，系统有无穷多个解；这将要求求解系统中的自由变量的数量。
秩可以用来衡量矩阵的维度，它可以根据矩阵的非零元素的秩来计算，从而可以得出矩阵的高维度。
例如，一个4×4矩阵有4个行向量和4个列向量，那么它的秩可以是0，即矩阵中的每一个元素都是0，它的维度是0；也可能是1，即矩阵中存在1个非零元素，它的维度是1；因此可以根据向量的秩来测量矩阵的维度。
另外，秩同样可以用来求解线性方程组。
若线性方程组的系数矩阵的秩恰好等于方程组的未知数的个数，则此线性方程组有唯一解；若系数矩阵秩小于方程组未知数的个数，则此线性方程组无解。
得到这个解答之后，我们才能把线性方程组的未知数求出来。
此外，秩还可以被运用到特征值与特征向量的求解中。
一般来说，利用矩阵特征值计算矩阵的特征向量是一种很好的方式，矩阵特征值也可以通过矩阵的秩来求得，因此我们可以运用秩来得到矩阵的特征向量，从而得到特征值。
总而言之，秩在高等代数中占据着重要的地位。
通过分析秩，我们可以得到更好的理解，从而解决高等数学中各种线性系统和矩阵的求解问题。
高等代数 -矩阵
高等代数-矩阵矩阵（matrix）是一种代数对象，它是由元素排列成矩形形式的矩阵，通常用方括号括起来。
例如，一个3×3的矩阵A可以表示为：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]其中，a11, a12, ..., a33是矩阵A的元素。
一个m×n的矩阵可以表示成一个m 行n列的矩形矩阵，其中第i行第j列的元素记作aij。
这样，一个矩阵可以用一个二维数组表示。
矩阵加法运算：设A和B是两个m×n的矩阵，它们的和A+B定义为一个m×n的矩阵C，其中C中每个元素都等于对应的A和B矩阵中相应元素之和，即Cij = Aij + Bij矩阵数乘运算：设A是一个m×n的矩阵，k是一个实数或复数，则kA定义为一个m×n的矩阵B，其中B中每个元素都等于对应的A中相应元素乘以k，即Bij = kAij矩阵乘法运算：设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积AB定义为一个m×p的矩阵C，其中C中第i行第j列的元素为Cij = ∑AikBkj (k=1,2,...,n)其中，∑表示对k从1到n的求和。
矩阵的逆：设A是一个n×n的方阵，若存在另一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I，其中I是n×n的单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作B=A-1。
只有可逆矩阵才有逆矩阵，而且逆矩阵是唯一的。
矩阵的转置：设A是一个m×n的矩阵，它的转置AT是一个n×m的矩阵，其中AT中第i 行第j列的元素等于A中第j行第i列的元素，即ATij = Aji矩阵的秩：一个矩阵的秩指的是它的行向量组或列向量组张成的线性空间的维数。
即一个矩阵的秩指的是它的非零行向量或非零列向量的极大线性无关组数。
矩阵的秩
矩阵的秩摘要：矩阵是高等代数中主要的一个研究对象，它贯穿整个高等代数的内容，而矩阵的秩作为矩阵最主要的特征，研究它的性质和作用就变得尤其重要。
本文主要从秩的性质和秩的应用两方面介绍了矩阵的秩，并从向量组、二次型、线性方程组三方面着重讨论了其应用。
关键词：秩的性质、秩的应用Elementary Introduction to Turn the Quadratic Form Into Its Normal Form by the Junior TransformationYU Xia(Institute of Computer Science, Math)Abstract:Key Words:一、引言矩阵是高等数学中一个极其重要并广泛应用的概念，是高等代数的一个重要研究对象。
因此，矩阵作为高等代数的一个重要工具已经渗透到各章节内容之中，并成为行列式线性方程组二次型线性空间欧氏空间的纽带，它把高等代数的内容紧紧联系在一起，而矩阵的秩作为矩阵的一个重要的本质属性则贯穿矩阵理论的始终。
所以对于矩阵的秩的研究不仅能够帮助我们更好的学习矩阵，而且他是我们学习好高等代数各章节的有力保障。
矩阵A中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵A的秩，记为rank（A）或秩（A）。
从定义上看, 一个矩阵的秩, 就是一个数。
事实上，若将矩阵A的每一行看成一个向量，每一列看成一个向量，则行向量组和列向量组中极大无关组中向量的个数是相等的，数量上等与矩阵的秩。
若rank （A n m ⨯）=m （m ＜n ），则称A 为行满秩矩阵；若rank （A n m ⨯）=n （n ＜m ），则称A 为列满秩矩阵。
n 阶方阵的秩等于n 时称A 为满秩矩阵或可逆矩阵。
二 秩的性质性质1 秩是一个正整数。
秩等于或小于矩阵的行数或列数，即rank （A n m ⨯）≤min {}n m ,。
性质2 Ａ是一个数域P 上的n ×ｎ矩阵，则秩（Ａ）＝ｎ可逆。
矩阵的秩及其应用
矩阵的秩及其应用摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。
首先是在解线性方程组中的应用，当矩阵的秩为1时求特征值；其次是在多项式中的应用，最后是关于矩阵的秩在解析几何中的应用。
对于每一点应用，本文都给出了相应的具体的实例，通过例题来加深对这部分知识的理解。
关键词：矩阵的秩； 线性方程组； 特征值； 多项式引言：阵矩的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。
它是矩阵 的一个重要性质。
在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。
由于矩阵的秩的重要作用和地位，需要我们认真学习。
1．矩阵的秩及其求法1.1矩阵的秩的定义定义1.1.1[1] 矩阵A 的行（列）向量组的秩称为矩阵A 的行（列）秩。
定义1.1.2[2] 矩阵的列向量组（或行向量组）的任一极大线性无关组所含向量的个数称为矩阵的秩。
定义1.1.3[1] 设在矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式，且所有的1r +子式（如果存在的话）全等于零，则称矩阵A 的秩为r ，记为()r A r =或秩()A r =。
零矩阵的秩规定为零。
注：由定义可以看出(1)若A 为n m ⨯矩阵，则()r A m ≤，也()r A n ≤，即()min{,}r A m n =(2) ()()T r A r A = ,()()r kA r A = ,k 为非零数 1.2 矩阵的秩的求法定义法和初等变换法是我们常用的求矩阵的秩的两种方法，下面就来比较一 下这两种方法。
方法1 按定义例1.2.1 求矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--41311221222832的秩 解 按定义3解答，容易算出二阶子式12232-0≠，而矩阵的所有三阶子式1312122832--=0，43112122232-=0，41312212283--=0，4111222282-=0 所以()2r A =方法2 初等变换法引理1.2.1[1] 初等变换不改变矩阵的秩。
求矩阵的秩的步骤
求矩阵的秩的步骤矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念，它描述了矩阵的行空间或者列空间中的极大线性无关组的个数，是矩阵运算和解线性方程组的基础之一、在本文中，我们将逐步介绍求解矩阵秩的步骤和方法。
一、矩阵的秩定义矩阵的秩是指矩阵的行或列空间所能张成的子空间的维度，记作r(A)。
对于m×n的矩阵A，其秩满足以下条件：1. r(A) ≤ min(m, n)，即秩不会超过矩阵的行数和列数的较小值。
2.r(A)≤r(At)，其中At是A的转置矩阵，即矩阵的列秩不会超过行秩。
二、求解秩的方法求解矩阵的秩可以使用多种方法，包括初等变换、高斯消元法、奇异值分解等。
下面我们将逐一介绍这些方法。
1.初等变换法初等变换是指通过矩阵的行变换或列变换将矩阵转化为简化形式的操作。
通过连续的初等变换操作，可以将矩阵转化为行阶梯形或最简形的矩阵。
这时，矩阵的秩等于其非零行或列的个数。
具体步骤如下：Step 1: 对矩阵A进行行变换，使得矩阵的一些行变为零行或形成行阶梯形。
Step 2: 记录矩阵中非零行的个数，即为秩。
例如，对于一个3×3的矩阵A，通过初等变换操作后得到行阶梯形矩阵B：A=[123;014;001]B=[123;014;001]则秩r(A)=3，即矩阵A的秩为32.高斯消元法高斯消元法是一种基于初等变换的方法，通过逐步将矩阵转化为行阶梯形矩阵，然后计算矩阵中非零行或列的个数。
具体步骤如下：Step 1: 将矩阵A转化为行阶梯形矩阵B。
Step 2: 记录矩阵中非零行或列的个数，即为秩。
例如，对于一个3×3的矩阵A，通过高斯消元法操作后得到行阶梯形矩阵B：A=[123;014;001]B=[123;014;001]则秩r(A)=3，与使用初等变换法求得的秩相同。
3.奇异值分解法具体步骤如下：Step 1: 对矩阵A进行奇异值分解，得到A = UΣVT，其中U和V分别是正交矩阵，Σ是对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
矩阵的秩及其应用
35 赤子矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
成书于西汉末、东汉初的《九章算术》用分离系数法表示线性方程组，自然地得到了其增广矩阵。
在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。
但当时并没有现在理解的矩阵概念，虽然它与现在的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。
矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。
1801年，德国数学家高斯把一个线性变换的全部系数作为一个整体。
1844年，德国数学家艾森斯坦讨论了“变换”（矩阵）极其乘积。
1850年，英国数学家西尔维斯特首先使用了矩阵一词。
1858年，英国数学家凯莱发表了《关于矩阵理论的研究报告》。
.他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究。
并在这个主题上首先发表了一系列文章，因而被认为是矩阵论的创立者。
1879年，费罗贝尼乌斯引入了矩阵的秩的概念，在矩阵论的发展史上，他的贡献是不可磨灭的。
在东北师范大学贺昌亭和汪经武等人分别编写的《高等代数》中对矩阵的秩的概念及计算都有介绍。
因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。
矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和列数相等也可以不等。
作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。
1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨建立了行列式论。
1850年，加布里尔·西尔维斯特首先创出m at r i x 一词。
西尔维斯特开创了美国的纯数学研究，并创办了《美国数学杂志》。
矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。
利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。
在北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编写的《高等代数》第三版中，就利用矩阵的秩来解决线性方程组是否有解，及解的个数。
高等代数矩阵的秩重要不等式
高等代数矩阵的秩重要不等式
高等代数中，矩阵的秩是一个非常重要的概念，它在很多领域
都有着重要的作用。
矩阵的秩重要不等式包括以下几个方面：
1. 矩阵秩与零空间维数的关系，对于一个矩阵A，其秩r和零
空间的维数n-r之间有着重要的关系，其中n为矩阵的列数。
这个
不等式表明了矩阵秩和零空间维数之间的对偶关系，对于理解矩阵
的结构和性质有着重要的意义。
2. 矩阵秩与行列式的关系，对于一个n阶方阵A，其行列式不
等于零当且仅当矩阵A的秩等于n。
这个不等式揭示了矩阵的行列
式与秩之间的联系，对于矩阵可逆性和方程组解的唯一性有着重要
的意义。
3. 矩阵秩与线性方程组解的关系，对于一个m×n的矩阵A，
其秩r和线性方程组Ax=b的解的情况有着密切的联系。
当r=m时，
方程组有唯一解；当r<n时，方程组有无穷多解；当r=n且m=n时，方程组有唯一解。
这个不等式揭示了矩阵秩与线性方程组解的情况
之间的关系，对于理解线性方程组的解的情况有着重要的意义。
4. 矩阵秩与矩阵运算的关系，矩阵的秩与矩阵的加法、数乘、转置等运算有着重要的关系，例如矩阵的秩不超过其各个子矩阵的秩之和，矩阵的秩与其转置矩阵的秩相等等。
这些不等式对于矩阵运算的性质和特点有着重要的意义。
总之，矩阵的秩重要不等式涉及了矩阵的结构、性质、运算以及与线性方程组解的关系，对于理解和应用矩阵理论有着重要的意义。
希望以上回答能够满足你的要求。
关于矩阵秩的证明
关于矩阵秩的证明-----09数应鄢丽萍中文摘要在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。
它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。
关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。
所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。
向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。
关键词：初等变换向量组的秩极大线性无关组约定用E 表示单位向量，A T 表示矩阵A 的转置，r(A)表示矩阵A 的秩。
在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(A T ); （2）r(kA)=⎩⎨⎧=≠0 00)(k k A r（3） 设A,B 分别为n ×m 与m ×s 矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) r(A)=n,当且仅当A ≠0(5) r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛B O O A =r(A)+r(B)≤r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O C A (6) r(A-B)≤r(A)+r(B)矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。
定理1：设A,B 为n ×n 阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B) 证: 由初等变换可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+B B A O A即⎪⎪⎭⎫⎝⎛E E O E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E E O E =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+B B A O A 由性质5可得r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A =r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+B B A O A则有r(A)+r(B)≥r(A+B)定理2（sylverster 公式）设A 为s ×n 阶矩阵，B 为n ×m阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n ≤r(AB)证：由初等变换可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O A B E n →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O B E n →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O O E n 即⎪⎪⎭⎫⎝⎛-s n E A O E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O A B E n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-m n E O B E ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O O E n 则r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O A B E n =r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O O E n 即r(A)+r(B)-n ≤r(AB)推论(Frobenius 公式) 设A 为m ×n 阶矩阵，B 为n ×s 阶矩阵，C 为s ×t 阶矩阵，则r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)证：设r(B)=r,存在n 阶可逆矩阵P ，s 阶可逆矩阵Q ，使 B=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O O E r Q=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O E r ()O E r Q 令M=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O E r ，N=()O E r Q 则有B=MN根据定理2 r(AMNC)≥r(AM)+r(NC)-r(MN) ≥r(AMN)+r(MNC)-r(MN) 即r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)定理3 设A 为n ×n 矩阵，若A 2=E ，那么有r(A+E)+r(A-E)=n证：根据题意有（A+E ）（A-E ）=O 令A+E=A 1，A-E=A 2，有A 1A 2=O 由定理2可知 r(A 1)+r(A 2)≤n即r(A+E)+r(A-E)≤n 又根据性质6有r(A+E)+r(A-E)≥r[(A+E)-(A-E)]=r(2E)=n故r(A+E)+r(A-E)=n推论 设A 为n ×n 矩阵且A 2=A ，那么有 r(A)+r(A-E)=n 证：事实上，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A O O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A A O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A E O A→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--E A E A A O 2→ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-O E A A O 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛O E O O 则有r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-E A O OA =r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O E O O 故有r(A)+r(A-E)=r(E)=n定理4 设A 是s ×n 实矩阵，有r(E n -A T A)-r(E s -AA T )=n-s证:要证r(E n -A T A)-r(E s -AA T )=n-s即只要证r(E n -A T A)+s=r(E s -AA T )+n 由初等变换有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s T n E A A E →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T s T n AA E O A E →⎪⎪⎭⎫⎝⎛-T s n AA E O O E 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-s n E A O E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛s T n E A A E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-s n E O A E =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T s n AA E O OE 故有r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s T n E A A E =r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-T s n AA E O O E =n+r(E s -AA T ) 同理可证 r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛s T n E A A E =s+r(E n -A T A) 综上有 n+r(E s -AA T )=s+r(E n -A T A)定理5 设A,C 均为m ×n 矩阵，B,D 均为n ×s 矩阵，则有 r(AB-CD)≤r(A-C)+r(B-D)证：由分块矩阵的乘法得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m E O C E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--D B O O C A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O B E =⎪⎪⎭⎫⎝⎛---D B O CD AB C A 故r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--D B O O C A =r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---D B O CD AB C A 故r(A-C)+r(B-D)≥r(AB-CD)参考文献【1】 刘红星.高等代数选讲【M 】.北京：机械工业出版社，2009. 【2】 钱吉林.高等代数题解精粹【M 】.北京：中央民族大学出版社，2005.【3】 徐忡，等.高等代数考研教案【M 】.陕西;西北工业大学出版社，2009. 【4】。
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由引理，这个方程的系数矩阵
a11 a21 ar1
a12
a1n
a22 a2n
ar 2 arn
,
的行秩 r . 因此在它的行向量中可以找到 r 个是
线性无关的，不妨设为
(a11, a21,, arபைடு நூலகம்) , (a12 , a22 ,, ar2 ) ,
x11 + x22 + … xrr = 0
只有零解，这也就是说，齐次线性方程组
a11x1 a21x2 ar1xr 0 ,
a12
x1
a22 x2 ar2 xr
0
,
a1n x1 a2n x2 arn xr 0 ,
只有零解.
ain
)
i
ai1 a11
1
,
i 2,, n .
由 | A | = 0 可知 n - 1 级矩阵
a22 a2n
an 2 ann
的行列式为零. 根据归纳法假定，这个矩阵的行向
量组线性相关. 因而向量组
2
a21 a11
1
,
3
a31 a11
1
, ,n
an1 a11
1
线性相关，这就是说，有不全为零的数 k2 , … , kn
使
k2
( 2
a21 a11
1)
kn
( n
an1 a11
1)
0
.
改写一下，有
a21 a11
k2
an1 a11
kn
1
k 2 2
knn
0.
A
0 0 0
2 0 0
1 0 0
4
5 0
中，选第 1, 3 行和第 3, 4 列，它们交点上的元素
所成的 2 级行列式
31 15
05
就是一个 2 级子式. 又如选第 1, 2, 3 行和第1, 2, 4
列，相应的 3 级子式就是
111 0 2 4 10 . 005
设 A 的秩为 t . 由必要性，t 不能小于 r ，否
则 A 的 r 级子式就全为零了. 同样，t 也不能大于
r ，否则 A 就要有一个 t ( t r + 1 ) 级子式不为零,
而按照假定这是不可能的. 因而 t = r，这就是要证
明的结论.
证毕
定理 6 的证明过程分析
例 2 利用下列模型求矩阵的秩. 求秩模型
的行列式等于零
证明
.
2. 矩阵的秩与行列式的关系
为了建立一般矩阵的秩与行列式的关系，引入
定义 18 在一个 s n 矩阵 A 中任意选定 k
行和 k 列，位于这些选定的行和列的交点上的 k2 个 元素按原来的次序所组成的 k 级行列式，称为 A 的
一个 k 级子式.
例如，在矩阵
1 1 3 1
再证必要性. 对 n 作数学归纳法. 当 n = 1 时，由 | A | = 0 可知 A 的仅有的一个 元素就是零，因而 A 的秩为零. 假设结论对 n - 1 级矩阵已证，现在来看 n 级矩
阵的情形. 设矩阵 A 的行向量组为 1 , 2 , …, n .
检查 A 的第一列的元素 a11 , a21 , … , an1 , 如果这 n 个元素全为零，那么 A 的列向量组中含有零向量， 当然秩小于 n . 如果这 n 个元素中有一个不为零，
都线性相关，矩阵 A 的任意 r + 1 级子式的行向量
也线性相关. 由 定理 5 这种子式全为零. 现在
来证矩阵 A 中至少有一个 r 级子式不为零. 因为
a11 a12 a1n
A
a21 as1
a22 as2
a2n
asn
的秩为 r，所以在 A 中有 r 个行向量线性无关，不
证明 设矩阵 A 的行向量组为 1 , 2 , …, s
因为它的秩为 r ，所以极大线性无关组由 r 个向量
组成. 不妨设 1 , 2 , …, r 是一个极大线性无关组 因为1 , 2 , … , r , …, s 与 1 , 2 , … , r 等价，
所以方程组 ( 1 ) 与方程组
定理 5 n n 矩阵
a11 a12 a1n
A
a21 an1
a22 an2
a2n
ann
的行列式为零的充分必要条件是 A 的秩小于 n .
证明 先证充分性. 因为 A 的秩小于 n，所
以 A 的 n 个行向量组线性相关. 当 n = 1 时，A 只 有一个数，即只有一个一维向量，它又是线性相关 的向量组，就是零向量，从而 | A | = | 0 | = 0 . 当 n > 1 时，矩阵 A 中有一行是其余各行的线性组合. 从这行依次减去其余各行的相应倍数，这一行就全 变成零，由行列式的性质可知 | A | = 0 .
它们的线性无关性可知矩阵 A 的列秩 r1 至少是 r ,
也就是说 r1 r .
用同样的方法可证 r r1 . 这样就证明了行秩
与列秩相等.
证毕
3. 矩阵的秩 定义17 把矩阵的行秩和列秩统称为矩阵 的秩.
二、矩阵的秩与行列式的关系
1. 齐次线性方程组有非零解的充要条件 现在我们再来把矩阵的秩与行列式的概念联 系起来. 先看 n n 矩阵的情形.
三、矩阵秩的求法
1. 矩阵秩的计算方法
计算矩阵秩的一个较有效的方法是：用初等 行变换把它变成阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵中非 零行的个数就是原来矩阵的秩.
证明
2. 向量组秩的计算方法
向量组秩的计算方法是：把向量组中的每一 个向量作为矩阵的一行 (或列) 构成矩阵，则这个矩 阵的秩即为所给的向量组的秩.
3 = (0, 0, 0, 5), 4 = (0, 0, 0, 0).
下面来求向量组1 , 2 , 3 , 4 的极大线性无关 组. 显然， 1 , 2 线性无关，再来讨论1 , 2 , 3
的线性相关性. 设有数 k1, k2 , k3 , 使
k11 + k22 + k33 = 0 ，
a11 a1r
0.
ar1 arr
它就是矩阵 A 中一个 r 级子式. 这就证明了必要性.
再证充分性. 设在矩阵 A 中有一 r 级子式不为 零，而所有 r + 1 级子式全为零. 我们证明 A 的秩 为r.
首先我们指出，由行列式按一行展开的公式可 知，如果 A 的 r + 1 级子式全为零，那么 A 的 r + 2 级子式也一定为零，从而 A 的所有级数大于 r 的子 式全为零.
1. 矩阵行秩和列秩的定义 定义 16 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向 量组的秩； 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.
例 1 设有矩阵
1 1 3 1
A
0 0 0
2 0 0
1 0 0
4 05
,
求矩阵 A 的行秩和列秩.
解 矩阵 A 的行向量组是
1 = (1, 1, 3, 1), 2 = (0, 2, -1, 4),
3.1 消元法 3.2 n维向量空间 3.3 线性相关性 3.4 矩阵的秩 3.5 线性方程组有解判别定理 3.6 线性方程组解的结构
主要内容
一、矩阵的秩的定义 二、矩阵的秩与行列式的关系 三、矩阵的秩的求法
一、矩阵秩的定义
在上一节我们定义了向量组的秩. 如果我们把 矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为 是由这些行向量组成的. 同样，如果把每列看成一 个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的.
a21 a11
k2
an1 a11
kn
, k2 ,, kn
这组数当然也不
全为零，从而向量组1 , 2 , …, n 线性相关，它
的秩小于 n . 根据归纳法原理，必要性得证.
证毕
根据这个定理，可以得到有关齐次线性方程组的
重要结论.
推论 齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 ,
妨设就是前 r 个行向量. 把这 r 行取出来，作一新
的矩阵
a11 a12 a1n
A1
.
ar1 ar 2 arn
显然，矩阵 A1 的行秩为 r ，因而它的列秩也是 r， 这就是说，在 A1 中有 r 列线性无关. 不妨设前 r 列线性无关，因之，行列式
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 ,
a21x1
a22 x2 a2n xn
0
,
(2)
ar1x1 ar2 x2 arn xn 0
同解. 对于方程组 (2) 应用 定理 1 即得. 证毕
由此就可以证明：
定理 4 矩阵的行秩与列秩相等.
譬如说 a11 0，那么从第二行直到第 n 行减去第一
行的适当的倍数，把 a21 , … , an1 消成零，即得
a11 0 | A | 0
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
a22
an 2
a2 n
ann
其中
(0,
ai2 ,,
, (a1r , a2r ,, arr )