3.1函数的单调性与极值

f (2) 24, f (1) 3, f (3) 13, f (4) 132
比较可知， f (x)在 3,4上最大值为 f (4) 132 ，最小值 为 f (1) 3 例9 将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截去一 各大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖 的方盒。问截去的小正方形边长为多大时，所得方盒的 容积最大？ 解 如图设小正方形的边长为x，则盒底的边长为
2
由已知 V r h 故
2
V 得 h 2 r
所以
2V S 2r , r (0,) r 2V 2(2r 3 V ) S 4r 2 r r2
h r
令 S 0 ， 得驻点 r 3
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V 2
S有唯一驻点，而实际容器存在最小表面积，因 此求得的驻点为最小值点，此时
是 f (x ) 的极小值点。
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x( x x) ，都有
f ( x) f ( x0 ) ，则称 f ( x0 )是 f (x ) 的极小值，称 x0
函数的极大值和极小值统称为极值，极大值点和 极小致点统称为极值点。
注意：极值是局部性的。因而，函数可以有许多个 极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。
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解 设 MC x, 则
BM b x, AM a (b x)
2
2
设铁路、公路上 5k a (b x) 3kx (0 x b) 5k (b x) y 3k a 2 (b x) 2
y
o
a
b
x
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2
极值存在的必要条件和充分条件
) 定理2（极值的必要条件） 如果函数 f (x在点 x0 处可导，且在点 x0取得极值，则 f ( x0 ) 0 。 使 f ( x0 ) 0的点 x0称为函数 f (x ) 得驻点。
定理2指出：可导函数的极值点必定是驻点。
（1）将定理中的闭区间 a, b 换成其他各种区
间定理的结论仍成立。
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注意：
) （2）在 ( a , b )内， f ( x) 0只是 f (x在
a, b上
单调增加的充分条件，而不是必要条件。
f ( x) x3 考察函数
（或 f ( x) 0） （3）如果在区间 a, b内 f ( x) 0
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例6 解
2 求函数 f ( x) x2 ln x的极值。
f (x ) 的定义域是 (,0) (0,),
2 f ( x ) 2 x x
令 f ( x) 0，得到两个驻点 x1 1, x2 1。 又
2 f ( x) 2 2 x f (1) 4 0; f (1) 4 0
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y

o
a
b
x
同样，当 tan f ( x) 0时，曲线在 ( a, b)内是下降。
可见，函数的单调性可以用导数的符号来判定。
我们有如下定理：
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定理1 设函数 y f ( x )在
a, b 上连续，在区间
(a, b) 内可导， （1）如果在 ( a , b ) f ( x) 0，则 f (x) a, b 内 在 上单调增加； （2）如果在 ( a , b ) f ( x) 0，则 f (x) a, b 内 在 上单调减少。
函数的单调性与极值
一、函数的单调性
二、函数的极值 三、函数的最值
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一、函数的单调性
从几何图形上来分析 y

o
a
b
x
如果曲线 y f ( x )在 (a, b) 内所有切线的倾斜角 都是锐角，即斜率 tan f ( x) 0 时，那么曲线在
(a, b) 是上升的 。
V h 2 2r r
所以，所做容器的高和底直径相等时，所用材料最省。
例11 一工厂A与铁路的垂直距离为 akm ，垂足
) B到火车站C的铁路长为 bkm(b a，要在BC段上选
一点M向工厂修一条公路，已知铁路与公路每公里运 费之比为3：5，问M 选在离C多少公里处，才能使从 A到C的运费最少？
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当 1 x 3时，f ( x) 0
当 x 3 时，f ( x) 0。 由定理3知， f (x ) x1 1处取得极大值 f (1) 15。 在
f (x ) 在 x 3 处取得极小值 f (3) 17 2 3 3 例5 求函数 f ( x) x 2 x 1 的极值。 f (x ) 的定义域是 ( , ) 解
) 所以 f (x) 的单调增加区间是 ( ,1) (1,；单 和
调递减区间是 (1,1)
3 3 确定函数 f ( x) x x 的单调区间。 5 2
f (x )的定义域是
5 3 3 2
例3
解
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( , )
f ( x) x x
2 3

1 3
令 f ( x) 0，得 x 1 ，又
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二、函数的极值
1 定义 设函数 f (x)在点 x0 的某邻域内有定义，
（1）如果对该领域内的任意点 x( x x)，都有 f ( x) f ( x0 )，则称 f ( x0 ) 是 f (x ) 的极大值，称 x0是
f (x ) 的极大值点。
（2）如果对该领域内的任意点
，但等号只在个别处成立， 则函数 f (x) 在 a, b 上
仍是单调增加（或单调减少）的。
f ( x) x3 考察函数
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例1 解
判定函数 f ( x) arctan x x 的单调性。
f (x ) 的定义域是
( , ) 。
1 x2 f ( x) 1 0 2 2 1 x 1 x
) 定理4（极值的第二充分条件） 设函数 f (x在点 x0 处有二阶导数，且 f ( x0 ) 0 f ( x0 ) 0 ， ，则 （1）如果 f ( x0 ) 0，则 f (x) x0 取得极大值； 在
（2）如果 f ( x0 ) 0，则 f (x) 在 x0取得极小值。
反过来，驻点不一定是极值点。 f ( x) x3 考察函数
另一方面，函数不可导的点也可能是极值点。 考察函数 f ( x ) x ,
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x0
定理3（极值的第一充分条件） 设函数 在点 x0 连续，且在点 x0 的某一空心邻域 ( x0 , x0 ) ( x0 , x0 )( 0) 内可导。
2
方盒的容积为：
x
6
最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方
形铁皮边长的
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1 时，所做的方盒容积最大。 6
例10 制作一个容积为 V 的圆柱形密闭容器， 怎样设计才能使所用材料最省？ 解 如图，设容器的底面半径为 r ，高为 h ，
则表面积为
S 2r 2 2rh
(a 2 x)
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a v x(a 2 x) , x (0, ) 2 a v (a 2 x )(a 6 x ), a a 令 v 0 ，得 x1 , x2 （舍去）。又 6 2 a v( ) 4a 0 6 a 所以函数 v 在 x 处取得唯一极大值，此极大值就是
) 内 f ( x) 0 ，则函数 f (x )在点 x处取极小值 f ( x0 ； 0 ) （3）如果 f (x)在 ( x0 , x0 和 ( x0 , x0 ) 内不变
号，则 f (x )在 x0处无极值。
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定理3即：设 f (x )在点 x0的某一空心邻域内可导， 当 x 有小增大经过 x0时，如果 f (x) 由正变负， ) 则 x0是极大值点；如果 f (x由负变正， 则 x0 是 极小值点；如果 f (x) 不变号，则 x0不是极值点。
3 2 例4 求函数 f ( x) x 3x 9x 10 的极值。
解
f (x )的定义域是 ( , )
f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3)
3 令 f ( x) 0，得驻点 x1 1, x2 。
当 x1 1时， f ( x) 0
) 数值相比较，其中最大的就是函数 f (x在
a, b上的
上的最小值。 最大值，最小的就是函数 f (x)在 a, b
注意下述三种情况：
（1）如果 f (x)在 a, b上是单调函数；
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（2）如果连续函数 f (x)在某区间内只有一个极大 （小）值，而无极小（大）值； （3）在实际问题中，由问题的实际意义可知，确 实存在最大值或最小值，又若函数在所讨论的区间内
x 由定理4 可知， 1 1, x2 1 都是 f (x) 的极小值点，
f (1) f (1) 1 为函数 f (x ) 的极小值。
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三、函数的最值
函数的极值是局部性概念，而最值是一个全局性 概念。
1
闭区间[a，b]上的连续函数 f (x)
可以由驻点及导数不存在的点与区间端点的函
令 f ( x) 0 ，得 x 1, x 1 它们将定义域 ( , ) ， 分成三个区间 ( ,1) ( 1, 1) (1, )
当 x (1,1) 时， f ( x) 0
当 x (1, ) ( ,1)时， f ( x) 0。
x 1 ， 0 这两点将 x
x 1 3 x x 0 处导数不存在，