离散数学_习题课一：第1章 命题逻辑
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主析取范式法等） 牢记 P 系统中各条推理规则（内容与名称） 会用附加前提证明法及归谬法
补充知识一： 对偶式与对偶原理
一、 对偶式和对偶原理
1. 定义 1.5.1：在仅含有联结词 , ∧,∨的命题公式 A 中，将∨换成∧, ∧
换成∨，若 A 中含有 0 或 1，就将 0 换成 1，1 换成 0，所得命题公式称为
5.内容三 推理的形式结构的不同形式 判断推理是否正确的不同方法 ①真值表法 ②等值演算法 ③主析取范式法 ④构造证明法 …
在自然推理系统 P 中构造证明
6.内容三学习要求 理解并记住推理形式结构的如下形式： ① (A1A2…Ak)B ② 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 熟练掌握判断推理是否正确的不同方法（如真值表法、等值演算法、
3.内容二 等值式与等值演算 基本的等值式（16 组，24 个公式） 联结词全功能集（完备集） 主析取范式与主合取范式
4.内容二学习要求 深刻理解等值式的概念； 牢记基本等值式的名称及它们的内容； 了解简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范式的概念； 深刻理解极小项、极大项的概念、名称及下角标与成真、成假赋值 的关系，并理解简单析取式与极小项的关系； 熟练掌握求主范式的方法（等值演算、真值表等）； 会用公式的主范式求公式的成真、成假赋值及判断公式的类型、简 单应用； 会将任何公式化成任何联结词全功能集（完备集）中的公式。
的主析取范式中必含有 2n-k 个极小项（注意，这 2n-k 个极小项实际
上是含有 n 个命题变项构成的所有极小项中除去 A 的主析取范式中
含 有 的 k 个 极 小 项 mi1 mi2 , mik 后 剩 余 的 其 他 极 小 项 ）， 记 为
m j1
, m mj2
j2n k
，即
A mj1
m j2
2. 定理 1.5.1： 设 A 和 A*互为对偶式，p1,p2,…,pn 是出现在 A 和 A*中的 全部命题变项，将 A 和 A*写成 n 元函数形式，则，
(1) A(p1,p2,…,pn) A* ( p1, p2,…, pn) (2) A( p1, p2,…, pn) A* (p1,p2,…,pn) 例如：A 为 p∨q，则 A*为 p∧q，于是由（1）可得：(p∨q) p∧q， 类似地，由（2）可得：p∨q (p∧q)，这就是 De Morgan 律。 3. 定理 1.5.2（对偶原理）： 设 A，B 为两个命题公式，若 A B，则 A* B*. [注]：如果证明了一个等值公式，则其对偶式的等值式同时也成立。这样， 通过对偶原理，可以由有限个等值公式推出更多个其它的等值公式，起到 事半功倍的效果。
式中含有 4 个极小项m0 ， m1 ， m5 ，m7 ，即，
A m0 m1 m5 m7 (0,1,5,7) ， 则 A 的主析取范式中含有的极小项个数为 23-4=4，且分别为m2 ，
m3 ， m4 ， m6 ，即，
A m2 m3 m4 m6 (2,3,4,6) ，
于是，A 的主合取范式为：
A 的对偶式，记为 A*.
[注]：从定义不难看出，(A*)* 还原成 A，即对偶是相互的。
例 1.5.1：试写出下列命题公式的对偶式
1）A：(p∧q)∨r，
A*： (p∨q)∧r
2）A：(p∧q)∨(p∧ (q∨s))， A*： (p∨q) ∧(p∨ (q∧s))
3）A：((p∨q)∧0)∧(1∧ (r∨p))，A*： ((p∧q)∨1)∨(0∨ (r∧p))
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1ห้องสมุดไป่ตู้
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由表 1-7 可知，001、011、101、110、111 是原公式的成真赋值， 因而，对应的原公式的主析取范式中所含的全部极小项为：m1 、m3 、m5 、
m6 、 m7 ，则 pqr m1 m3 m5 m6 m7 (1,3,5,6,7)
例如：由已知的等值公式： (p∧q)∨(p∨(p∨q)) p∨q, 我们可以得到一个新的等值公式：(p∨q)∧(p∧(p∧q)) p∧q.
补6.充最知后识说二明两：点由： 主析取范式求解主合取范式
要掌握由公式 A 的主析取范式确定它的主合取范式，反之亦然.
设命题公式 A 中含有 n 个命题变项，且设 A 的主析取范式中含 有 k 个极小项，记为 mi1 mi2 , mik ，即 A mi1 mi2 mik ，则 A
习题课一
——第1章 命题逻辑
1
习题课一：命题逻辑
一、 内容与要求 1． 内容一 命题、真值、命题的分类、命题符号化 联结词, , , , 及复合命题符号化 命题公式及层次 公式的类型 真值表及应用 2． 内容一学习要求 深刻理解各联结词的逻辑关系 会求复合命题的真值 熟练地将复合命题符号化 准确地求公式的真值表，并用它求公式成真与成假赋 值及判断公式类型
A M2 M3 M4 M6 (2,3,4,6) 由此可见，只要我们熟练地掌握了求命题公式 A 的主析取范式 的方法，就可以很快写出 A 的主合取范式，反之亦然。另外，主合
取范式的用途与主析取范式的用途相同（见前面分析）。
要掌握用公式 A 的真值表求 A 的主范式 若已知公式 A 的真值表，则可从中找出所有使公式 A 成真（成
m j2nk
。于是，利用极小项
mi 与极大项 Mi 之间的关系：mi Mi, Mi mi，可得：
A A ( mj1 mj2 mj2nk ) mj1 mj2 mj2nk M j1 M j2 M j2nk
这就是 A 的主合取范式。
例如，若命题公式 A 中含有 3 个命题变项，且 A 的主析取范
假）的赋值及其对应的公式 A 的主析取范式（主合取范式）中所含 有的全部极小项（极大项），从而可立即写出公式 A 的主析取范式
（主合取范式）。
例 1.5.7 试由 pqr 的真值表求它的主析取范式（主合取范式）
解：写出 pqr 的真值表如下表 1-7：
表 1-7：pqr 的真值表
p
q
r
pq
pqr
0
补充知识一： 对偶式与对偶原理
一、 对偶式和对偶原理
1. 定义 1.5.1：在仅含有联结词 , ∧,∨的命题公式 A 中，将∨换成∧, ∧
换成∨，若 A 中含有 0 或 1，就将 0 换成 1，1 换成 0，所得命题公式称为
5.内容三 推理的形式结构的不同形式 判断推理是否正确的不同方法 ①真值表法 ②等值演算法 ③主析取范式法 ④构造证明法 …
在自然推理系统 P 中构造证明
6.内容三学习要求 理解并记住推理形式结构的如下形式： ① (A1A2…Ak)B ② 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 熟练掌握判断推理是否正确的不同方法（如真值表法、等值演算法、
3.内容二 等值式与等值演算 基本的等值式（16 组，24 个公式） 联结词全功能集（完备集） 主析取范式与主合取范式
4.内容二学习要求 深刻理解等值式的概念； 牢记基本等值式的名称及它们的内容； 了解简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范式的概念； 深刻理解极小项、极大项的概念、名称及下角标与成真、成假赋值 的关系，并理解简单析取式与极小项的关系； 熟练掌握求主范式的方法（等值演算、真值表等）； 会用公式的主范式求公式的成真、成假赋值及判断公式的类型、简 单应用； 会将任何公式化成任何联结词全功能集（完备集）中的公式。
的主析取范式中必含有 2n-k 个极小项（注意，这 2n-k 个极小项实际
上是含有 n 个命题变项构成的所有极小项中除去 A 的主析取范式中
含 有 的 k 个 极 小 项 mi1 mi2 , mik 后 剩 余 的 其 他 极 小 项 ）， 记 为
m j1
, m mj2
j2n k
，即
A mj1
m j2
2. 定理 1.5.1： 设 A 和 A*互为对偶式，p1,p2,…,pn 是出现在 A 和 A*中的 全部命题变项，将 A 和 A*写成 n 元函数形式，则，
(1) A(p1,p2,…,pn) A* ( p1, p2,…, pn) (2) A( p1, p2,…, pn) A* (p1,p2,…,pn) 例如：A 为 p∨q，则 A*为 p∧q，于是由（1）可得：(p∨q) p∧q， 类似地，由（2）可得：p∨q (p∧q)，这就是 De Morgan 律。 3. 定理 1.5.2（对偶原理）： 设 A，B 为两个命题公式，若 A B，则 A* B*. [注]：如果证明了一个等值公式，则其对偶式的等值式同时也成立。这样， 通过对偶原理，可以由有限个等值公式推出更多个其它的等值公式，起到 事半功倍的效果。
式中含有 4 个极小项m0 ， m1 ， m5 ，m7 ，即，
A m0 m1 m5 m7 (0,1,5,7) ， 则 A 的主析取范式中含有的极小项个数为 23-4=4，且分别为m2 ，
m3 ， m4 ， m6 ，即，
A m2 m3 m4 m6 (2,3,4,6) ，
于是，A 的主合取范式为：
A 的对偶式，记为 A*.
[注]：从定义不难看出，(A*)* 还原成 A，即对偶是相互的。
例 1.5.1：试写出下列命题公式的对偶式
1）A：(p∧q)∨r，
A*： (p∨q)∧r
2）A：(p∧q)∨(p∧ (q∨s))， A*： (p∨q) ∧(p∨ (q∧s))
3）A：((p∨q)∧0)∧(1∧ (r∨p))，A*： ((p∧q)∨1)∨(0∨ (r∧p))
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由表 1-7 可知，001、011、101、110、111 是原公式的成真赋值， 因而，对应的原公式的主析取范式中所含的全部极小项为：m1 、m3 、m5 、
m6 、 m7 ，则 pqr m1 m3 m5 m6 m7 (1,3,5,6,7)
例如：由已知的等值公式： (p∧q)∨(p∨(p∨q)) p∨q, 我们可以得到一个新的等值公式：(p∨q)∧(p∧(p∧q)) p∧q.
补6.充最知后识说二明两：点由： 主析取范式求解主合取范式
要掌握由公式 A 的主析取范式确定它的主合取范式，反之亦然.
设命题公式 A 中含有 n 个命题变项，且设 A 的主析取范式中含 有 k 个极小项，记为 mi1 mi2 , mik ，即 A mi1 mi2 mik ，则 A
习题课一
——第1章 命题逻辑
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习题课一：命题逻辑
一、 内容与要求 1． 内容一 命题、真值、命题的分类、命题符号化 联结词, , , , 及复合命题符号化 命题公式及层次 公式的类型 真值表及应用 2． 内容一学习要求 深刻理解各联结词的逻辑关系 会求复合命题的真值 熟练地将复合命题符号化 准确地求公式的真值表，并用它求公式成真与成假赋 值及判断公式类型
A M2 M3 M4 M6 (2,3,4,6) 由此可见，只要我们熟练地掌握了求命题公式 A 的主析取范式 的方法，就可以很快写出 A 的主合取范式，反之亦然。另外，主合
取范式的用途与主析取范式的用途相同（见前面分析）。
要掌握用公式 A 的真值表求 A 的主范式 若已知公式 A 的真值表，则可从中找出所有使公式 A 成真（成
m j2nk
。于是，利用极小项
mi 与极大项 Mi 之间的关系：mi Mi, Mi mi，可得：
A A ( mj1 mj2 mj2nk ) mj1 mj2 mj2nk M j1 M j2 M j2nk
这就是 A 的主合取范式。
例如，若命题公式 A 中含有 3 个命题变项，且 A 的主析取范
假）的赋值及其对应的公式 A 的主析取范式（主合取范式）中所含 有的全部极小项（极大项），从而可立即写出公式 A 的主析取范式
（主合取范式）。
例 1.5.7 试由 pqr 的真值表求它的主析取范式（主合取范式）
解：写出 pqr 的真值表如下表 1-7：
表 1-7：pqr 的真值表
p
q
r
pq
pqr
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