第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案

合集下载

函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1．下面函数与y x=为同一函数的是（）2.A y=.B y=ln.xC y e=.ln xD y e=解：ln lnxy e x e x===，且定义域(),-∞+∞，∴选D2．已知ϕ是f的反函数，则()2f x的反函数是（）()1.2A y xϕ=().2B y xϕ=()1.22C y xϕ=().22D y xϕ=解:令()2,y f x=反解出x：()1,2x y=ϕ互换x，y位置得反函数()12y x=ϕ，选A3．设()f x在(),-∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（）()().A y f x f x=+-()().B y x f x f x=--⎡⎤⎣⎦()32.C y x f x=()().D y f x f x=-⋅解：()32y x f x=的定义域(),-∞+∞且()()()()()3232y x x f x x f x y x-=-=-=-∴选C4．下列函数在(),-∞+∞内无界的是（）21.1A yx=+.arctanB y x=.sin cosC y x x=+.sinD y x x=解: 排除法：A21122xxx x≤=+有界，B arctan2xπ<有界，C sin cosx x+≤故选D5．数列{}n x有界是lim nnx→∞存在的（）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解： {}n x收敛时，数列n x有界（即nx M≤），反之不成立，（如(){}11n--有界，但不收敛，选A6．当n→∞时，21sinn与1kn为等价无穷小，则k= （）A12B 1C 2D -2解：2211sinlim lim111n nk kn nn n→∞→∞==，2k=选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设()11f xx=+，则()f f x⎡⎤⎣⎦的定义域为解：∵()f f x⎡⎤⎣⎦()111111f xx==+++112x xx≠-+=+ ∴()f f x ⎡⎤⎣⎦定义域为(,2)(2,1)(1,)-∞-⋃--⋃-+∞8．设2(2)1,f x x +=+ 则(1)f x -=解：（1）令()22,45x t f t t t +==-+()245f x x x =-+（2）()221(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+9．函数44log log 2y =的反函数是解：（1）4log y =，反解出x ：214y x -=（2）互换,x y 位置，得反函数214x y -= 10．n =解：原式32n =有理化11．若105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k =解：左式=5lim ()510n kn k ne e e →∞---==故2k =12．2352limsin 53n n n n→∞++= 解：当n →∞时，2sinn ～2n∴原式=2532lim 53n n n n →∞+⋅+= 65三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数21arcsinx y -=解：{21113471110x x x x x --≤≤-≤≤><-->⎧⎪⎨⎪⎩⇔ 或∴函数的定义域为[](3,1)1,4--⋃ 14．设sin1cos 2x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求()f x 解：22sin 2cos21sin 222x x x f⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221f⎡⎤∴=-⎣⎦故()()221f x x =-15．设()f x ln x =，()g x 的反函数()()1211x g x x -+=-，求()()f g x 解: （1）求22():1x g x y x +=- ∴反解出x ：22xy y x -=+22x y y =+- 互换,x y 位置得()22g x x x =+- (2)()()ln ln 22f g x g x x x ==⎡⎤⎣⎦+-16．判别()fx (ln x =的奇偶性。

高等数学第1章函数与极限练习册解答(10月19修改)

时,就有
2. 极限 l i m f (x ) A的定义是 : 对于 0 , 存在 X 0 , 当 x
f x A .
时,就有
3. 对于任意的正数 , 存在正数 =
，当
时 5x 2 12 , 因此
lim (5x 2) 12.
x2
解答：
1、当 0 x x0 时； 2、 x X 时；
1.设
xn
n n
1 ,则当 1
n
大于正整数
N
时, | xn 1| 104 , 对于任意正数 ,
当 n 大于正整数 N
时,
|
xn
1|
,所以
lim
n
xn
1.
2. 对于任意正数 , 存在正整数 N
cos n
, 当 n N 时,
2 0 , 所以
n
cos n lim 2 0 . n n
3. 设 xn 为任一数列, 又设对于任意正数 , 存在正整数 N1, N2 , 当 n N1 时,
第 1 章函数与极限
V.同步练习
第 1 章函数、极限与连续
1.1 函数及其性质
一、填空题
1.已知 f x ax2 bx 5 且 f x 1 f x 8x 3 , 则 a
；b
；
2. y cos 2x 1 的周期为
；
3.
函数
f
(x)
sin
1 x
,
x
0;
的定义域为
；值域为
.
解. 设圆锥的半径与高分别为r, h , 则 2 r R 2 , 即 r R 2 , 从而
2
h
R2 r2

数列的极限知识点方法技巧例题附答案和作业题

数列的极限一、知识要点1数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限记作l i m n n a a →∞=．（注：a 不一定是｛a n ｝中的项）2几个重要极限：（1）01lim=∞→nn （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→1,11,110lim a a a a a nn 或不存在，（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>=++++++++----∞→)()()(0lim 011101110t s t s b a t s b n b n b n b a n a n a n a s s s s t t t t n 不存在3.数列极限的运算法则:如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(limB A b a n n n .).(lim =∞→0(lim≠=∞→B B Ab a nn n4．无穷等比数列的各项和⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做lim n n S S →∞=⑵1lim ,(0||1)1n n a S S q q→∞==<<- 二、方法与技巧⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形） ⑶求数列极限最后往往转化为()N m nm ∈1或()1<q q n型的极限.⑷求极限的常用方法： ①分子、分母同时除以m n 或n a .②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限. ③利用已知数列极限（如() 01lim,10lim =<=∞→∞→nq q n n n 等）. ④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.⑤∞－∞,∞∞,0－0,0等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限题型讲解例1 求下列式子的极限： ①nnn )1(lim-∞→； ②∞→n lim 112322+++n n n ； ③∞→n lim 1122++n n ； ④∞→n lim 757222+++n n n ; （2）∞→n lim （n n +2－n ）;（3）∞→n lim （22n +24n +…+22n n ）例2()B A b a B b A a n n n n n n n +=+==∞→∞→∞→lim lim ,lim 是的（）A 充分必要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且nn n b a ∞→lim =3,求n nn nb a a a 221lim +++∞→ 的值为例4 求nn nn n a a a a --∞→+-lim （a >0);例5 已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值;例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求a 1的取值范围例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim 1122+-+-n n n n a a 的值．数列极限课后检测1下列极限正确的个数是（）①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞→n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞→n lim C =C （C 为常数） A 2 B 3 C 4D 都不正确 3下列四个命题中正确的是（）A 若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝AB 若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C 若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2D 若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n5若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（） A 11 B 17 C 19 D 256数列{a n }中,n a 的极限存在，a 1=51,a n +a n +1=156+n ,n ∈N *,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（）A 52B 72C 41D 254 7．∞→n lim n n ++++ 212=__________∞→n lim 32222-+n nn =____________∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］= 8已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn c an ++=2,∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim acn c an ++22的值是（）9 {a n }中a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞→n lim2)1(+n a n =_____________10等比数列{a n }公比q =－21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=38,则a 1=_____________11已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *）（1）求{b n }的通项公式；（2）求∞→n lim （212-b +213-b +214-b +…+21-n b ）的值 12已知{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n limn n b a =21, 求极限∞→n lim （111b a +221b a +…+nn b a 1）的值例题解析答案例1n的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0；②112322+++n n n 的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项)系数之比； ③∞→n lim1122++n n 的分子次数小于于分母次数，极限为0解：①0nn =； ②2222213321lim lim 3111n n n n n n n n→∞→∞++++==++； ③∞→n lim 2222121lim lim 0111n n n n n n n→∞→∞++==++ 点评：分子次数高于分母次数，极限不存在；分析:（4）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（5）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（6）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限解:（1）∞→n lim 757222+++n n n =∞→n lim 2275712nn n +++52 （2）∞→n lim （n n +2－n ）=∞→n limnn n n ++2=∞→n lim1111++n21（3）原式=∞→n lim22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(n n n +=∞→n lim （1+n1）=1 点评：对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim )72(lim 22+++∞→∞→n n n n n =∞∞=1,②∵∞→n lim（2n 2+n +7）,∞→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限对于（2）要避免出现下面两种错误：①∞→n lim （n n +2－n ）=∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞=0;②原式=∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞不存在对于（3）要避免出现原式=∞→n lim 22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim22n n =0+0+…+0=0这样的错误例2 B例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且nn n b a ∞→lim =3,求n nn nb a a a 221lim +++∞→ 的值为解：由nnn b a ∞→lim=3⇒d 1=3d 2，∴n n n nb a a a 221lim +++∞→ =2121114])12([2)1(limd d d n b n d n n na n =-+-+∞→43 点评：化归思想例4 求nn nn n a a a a --∞→+-lim （a >0);解：nnnn n a a a a --∞→+-lim =⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<-=+-=>=+-∞→∞→).10(111lim ),1(0),1(11111lim 2222a a a a a a a n nn n n n 点评：注意分类讨论例5 已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 解：11)()1(lim 2++-+--∞→n b n b a n a n =1，∴⎩⎨⎧=+-=-1)(01b a a ⇒a=1,b=─1例6已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求a 1的取值范围解:∞→n lim （q a +11－q n ）=21, ∴∞→n lim q n 一定存在∴0＜|q |＜1或q =1当q =1时，21a －1=21,∴a 1=3 当0＜|q |＜1时，由∞→n lim （q a +11－q n ）=21得q a +11=21,∴2a 1－1=q ∴0＜|2a 1－1|＜1∴0＜a 1＜1且a 121 综上,得0＜a 1＜1且a 1≠21或a 1=3 例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim1122+-+-n n n n a a 的值．解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1∴S n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c cc c n n 且（2）∞→n lim1122+-+-n nn n a a ＝∞→n lim n n n n c 3211--- ①当c =2时，原式＝－41; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim c cc n n 3)2(23)2(11+⋅---＝－c 1;③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 11)2(32)2(31--⋅+-n n c c c 21点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用试卷解析 1 答案:B3解析:排除法，取a n ＝（－１）n ，排除A ；取a n ＝n1，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ．答案:C 5 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2)23(23为偶数为奇数n n nn nnn n n n 即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3),(2(为偶数为奇数n n n n∴a 1+a 2+…+a n =（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=411213132122221-=-+-----+91191-=.2419答案:C6 解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =51+[256+356+…+n 56]+a n ∴原式=21［51+511256-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ） ∵a n +a n +1=156+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n +1=0∴∞→n lim a n =0答案:C7解析:原式=∞→n lim2)1(2++n n n =∞→n lim 221212nnn ++=0∞→n lim 32222-+n n n =∞→n lim 23221nn -+21 解析:∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］=∞→n lim 22+n n=2 答案:C 8解析:答案:D 由∞→n lim cbn can ++=2,得a =2b由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b =3c ,∴c =31b ∴c a =6∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim 22na c n ca ++=ca =69析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）∴{n a }是公差为3的等差数列，1a∴n a =3+（n －1）·3=3n ∴a n =3n 2∴∞→n lim 2)1(+n a n=∞→n lim 12322++n n n =∞→n lim21213nn ++=3 10析:∵q =－21,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4111-a 38∴a 1=2 11 解:（1）n =1时，由（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）,得a 1=1n =2时，a 2=6代入得a 3=15同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n①当n =1时，a 1=2×12－1=1成立②假设当n =k 时，a k =2k 2－k 成立那么当n =k +1时，由（k －1）a k +1=（k +1）（a k －1）,得a k +1=11-+k k （a k －1） =11-+k k （2k 2－k －1）=11-+k k （2k +1）（k －1）=（k +1）（2k +1）=2（k +1）2－（k +1） ∴当n =k +1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2（2）∞→n lim （212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161+…+2212-n ）=21∞→n lim ［311⨯+421⨯+…+)1)(1(1+-n n ］ =41∞→n lim ［1－31+21－41+…+11-n －11+n ］=41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］8312 解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）,∴2d 2－3d 1=2又∞→n limn n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n +1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2∴n n b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）∴原式=∞→n lim 41（1－121+n ）=41。

数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析

数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分）3．若()0lim x x f x →=∞，()0lim x x g x →=∞，则下列正确的是（） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦ B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣⎦ C ． ()()01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0lim 0x x kf x k →=∞≠ 解：()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==⋅∞∞ ∴选D6．当n →∞时，1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（） A ．12B ．1C ．2D ．-2 解：2211sin lim lim 1,211n n k kn n k n n →∞→∞=== 选C 二、填空题（每小题4分，共24分）8．2112lim 11x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭ 解：原式()()()112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 10．n =解：原式n ≡有理化 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝⎭解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x xx →→== 故原式=112．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+= 且0sin lim 01cos n x x x→=-,则正整数n = 解：()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x→→+⋅= 20420,lim 02n x n x n x→<>2,4,n n ∴>< 故3n =三、计算题（每小题8分，共64分）14．求0x → 解：原式有理化16．求0ln cos 2lim ln cos3x x x→ 解：原式[][]0ln 1cos 21lim ln 1cos31x x x →--+-变形注:原式02sin 2cos3lim cos 23sin 3x x x x x→∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-⨯- 17．求02lim sin x x x e e x x x-→--- 解：原式0020lim 1cos x x x e e x-→+-- 19．求lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭解： (1) 拆项，111...1223(1)n n +++⋅⋅+ 1111111...122311n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭++⎝⎭⎝⎭(2) 原式=lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭20．求21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解：原式()201ln 11lim t t t x t t →=+⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、证明题（共18分）21．当x →∞时且()()lim 0,lim x x u x v x →∞→∞==∞, 证明()()()()lim lim 1x u x v x v x x u x e →∞→∞+=⎡⎤⎣⎦ 证：()()lim 1v x x u x →∞+⎡⎤⎣⎦ ()()lim x u x v x e →∞⋅=证毕22．当0x →时，证明以下四个差函数的等价无穷小。

函数与数列的极限的强化练习题答案28页word文档

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1．下面函数与y x=为同一函数的是（）2.A y=.B y=ln.xC y e=.ln xD y e=解：ln lnxy e x e x===Q，且定义域(),-∞+∞，∴选D2．已知ϕ是f的反函数，则()2f x的反函数是（）()1.2A y xϕ=().2B y xϕ=()1.22C y xϕ=().22D y xϕ=解:令()2,y f x=反解出x：()1,2x y=ϕ互换x，y位置得反函数()12y x=ϕ，选A3．设()f x在(),-∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（）()().A y f x f x=+-()().B y x f x f x=--⎡⎤⎣⎦()32.C y x f x=()().D y f x f x=-⋅解：()32y x f x=Q的定义域(),-∞+∞且()()()()()3232y x x f x x f x y x-=-=-=-∴选C4．下列函数在(),-∞+∞内无界的是（）21.1A yx=+.arctanB y x=.sin cosC y x x=+.sinD y x x=解: 排除法：A21122xxx x≤=+有界，B arctan2xπ<有界，Csin cosx x+≤故选D5．数列{}n x有界是lim nnx→∞存在的（）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解：Q {}n x 收敛时，数列n x 有界（即n x M ≤），反之不成立，（如(){}11n --有界，但不收敛，选A6．当n →∞时，21sin n 与1k n为等价无穷小，则k = （）A 12B 1C 2D -2解：Q 2211sin lim lim 111n n k kn n n n →∞→∞==，2k = 选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设()11f x x=+，则()f f x ⎡⎤⎣⎦的定义域为解： ∵()f f x ⎡⎤⎣⎦()111111f x x==+++ 112x xx≠-+=+ ∴()f f x ⎡⎤⎣⎦定义域为(,2)(2,1)(1,)-∞-⋃--⋃-+∞8．设2(2)1,f x x +=+ 则(1)f x -=解：（1）令()22,45x t f t t t +==-+()245f x x x =-+（2）()221(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+9．函数44log log 2y =的反函数是解：（1）4log y =，反解出x ：214y x -=（2）互换,x y 位置，得反函数214x y -= 10．n =解：原式32n =有理化11．若105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k =解：左式=5lim ()510n kn k ne e e →∞---== 故2k =12．2352limsin 53n n n n→∞++= 解：Q 当n →∞时，2sinn ～2n∴原式=2532lim 53n n n n →∞+⋅+= 65三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数21arcsinx y -=解：{21113471110x x x x x --≤≤-≤≤><-->⎧⎪⎨⎪⎩⇔Q 或 ∴函数的定义域为[](3,1)1,4--⋃ 14．设sin 1cos 2x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 求()f x解：22sin 2cos 21sin 222x x x f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ()()221f⎡⎤∴=-⎣⎦故()()221f x x =-15．设()f x ln x =，()g x 的反函数()()1211x g x x -+=-，求()()f g x 解: （1）求22():1x g x y x +=-Q ∴反解出x ：22xy y x -=+22x y y =+- 互换,x y 位置得()22g x x x =+-(2)()()ln ln 22f g x g x x x ==⎡⎤⎣⎦+- 16．判别()fx (ln x =的奇偶性。

洛必达法则例题

习题3−21. 用洛必达法则求下列极限:(1)xx x )1ln(lim 0+→; (2)xe e xx x sin lim 0−→−; (3)ax a x a x −−→sin sin lim ; (4)xx x 5tan 3sin lim π→; (5)22)2(sin ln lim x xx −→ππ; (6)n n mm a x ax a x −−→lim ;(7)x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→; (8)xx x 3tan tan lim2π→; (9)xarc x x cot )11ln(lim ++∞→; (10)xx x x cos sec )1ln(lim 20−+→; (11)x x x 2cot lim 0→; (12)2120lim x x e x →; (13)−−−→1112lim 21x x x ; (14)x x xa )1(lim +∞→; (15)x x x sin 0lim +→; (16)x x xtan 0)1(lim +→.解 (1)111lim 111lim )1ln(lim 000=+=+=+→→→xx x x x x x . (2)2cos lim sin lim 00=+=−−→−→xe e x e e xx x x x x . (3)a x ax a x a x a x cos 1cos lim sin sin lim ==−−→→. (4)535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim 2−==→→x x x x x x ππ. (5)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222−=−−−=−⋅−=−→→→x x x x x x x x πππππ. (6)n m n m n m a x n n mm a x a nm na mx nx mx a x a x −−−−−→→===−−1111lim lim . (7)177sec 22sec lim 277tan 2tan lim 2722sec 2tan 177sec 7tan 1lim 2tan ln 7tan ln lim 22002200=⋅⋅==⋅⋅⋅⋅=+→+→+→+→x x x x x xx x x x x x x x . (8))sin (cos 23)3sin (3cos 2lim 31cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x −⋅−==⋅=→→→→ππππ 3sin 3sin 3lim cos 3cos lim22=−−−=−=→→x x x x x x ππ. (9)122lim 212lim 1lim 11)1(111lim cot arc )11ln(lim 2222==+=++=+−⋅+=++∞→+∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x x x x x x x x x x x . (10)x x xx x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim −=−+=−+→→→(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2) 1sin lim )sin (cos 22lim 00==−−=→→xx x x x x x . (11)2122sec 1lim 2tan lim 2cot lim 2000=⋅==→→→x x x x x x x x . (12)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 21012022t t t t x x xx e t e x e e x (注: 当x →0时, +∞→=21xt ).(13)2121lim 11lim 1112lim 12121−=−=−−= −−−→→→x x x x x x x x . (14)因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x e x a +∞→∞→=+, 而 a a a x ax xx ax a x x a x a x x x x x x ==+=−−⋅+=+=+∞→∞→∞→∞→∞→1lim lim 1)(11lim 1)1ln(lim )1(ln(lim 22, 所以 a x a x x x x e e x a ==++∞→∞→)1ln(lim )1(lim . .(15)因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=, 而 0cos sin lim cot csc 1lim csc ln lim ln sin lim 20000=−=⋅−==+→+→+→+→xx x x x x x x x x x x x x , 所以 1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x . (16)因为x x x x e xln tan tan 0)1(lim −+→=, 而 0sin lim csc 1lim cot ln lim ln tan lim 202000=−=−==+→+→+→+→xx x x x x x x x x x x , 所以 1lim )1(lim 0ln tan 0tan 0===−+→+→e e x x x x x x . 2. 验证极限x x x x sin lim+∞→存在, 但不能用洛必达法则得出. 解 1)sin 1(lim sin lim =+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限xx x x sin lim +∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (lim x x x x x x x x +=+=′′+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则. 3. 验证极限xx x x sin 1sin lim 20→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 0011sin sin lim sin 1sinlim 020=⋅=⋅=→→x x x x x x x x x , 极限x x x x sin 1sin lim 20→是存在的. 但xx x x x x x x x cos 1cos 1sin 2lim )(sin )1sin (lim 020−=′′→→不存在, 不能用洛必达法则. 4. 讨论函数≤>+=−0 0 ])1([)(2111x e x ex x f x x 在点x =0处的连续性. 解 21)0(−=e f , )0(lim )(lim 212100f e e x f x x ===−−−→−→,因为 ]1)1ln(1[101100lim ])1([lim )(lim −+−→−→+→=+=x x x x x x x x e e x x f ,而 21)1(21lim 2111lim )1ln(lim ]1)1ln(1[1lim 00200−=+−=−+=−+=−++→+→+→+→x x x x x x x x x x x x x , 所以 )0(lim ])1([lim )(lim 21]1)1ln(1[101100f e e ex x f x x x x x x x x ===+=−−+−→−→+→. 因此f (x )在点x =0处连续.。

两个重要极限习题答案

一 1、3sin tan limx xx x -→; 解：“00”型。

若用“洛必达法则”，佑计分子求导会越求越复杂；若用“等价无穷小法”，分子会出现“0”；因此，先对式子进行恒等变形,)cos 1(sin lim sin cos sin lim sin tan lim 33030x x x x xx xx x x x x x -=-=-→→→至此，观察式子，重要极限公式和“等价无穷小法”综合运用，即2121121lim sin lim )cos 1(sin lim 220030=⋅=⋅=-→→→x xx x x x x x x x 故21sin tan lim 30=-→x x x x 。

2、x x xx sin cos 1lim-→; 解：“00”型。

方法一，“洛必达法则”。

xx x x sin cos 1lim0-→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x sin cos cos cos lim )cos (sin )(sin lim cos sin sin lim )sin ()cos 1(lim 0000-+='+'=+=''-=→→→→ 因为1sin ≤x ，为有界函数，故sin lim =→x x x ，所以21sin cos cos cos lim＝x x x x x x -+→，即21sin cos 1lim=-→x x x x 。

方法二，“等价无穷小方法”和“重要极限公式法”综合运用。

x x x x sin cos 1lim 0-→21sin lim 21sin 21lim 020==→→x x x x xx x 。

3、x xx x sin tan 2lim 0-→; 解：“00”型。

方法一，“洛必达法则”。

1cos sec 2lim )(sin )tan 2(lim sin tan 2lim 2000=-=''-=-→→→xx x x x x x x x x x ；方法二，“重要极限公式法”。

极限定理习题及答案

极限定理习题及答案极限定理习题及答案引言：极限定理是微积分中的重要概念，它描述了函数在某个点附近的行为。

通过研究极限，我们可以揭示函数的性质，解决各种数学问题。

本文将介绍一些常见的极限定理习题，并给出详细的答案。

一、极限的定义在开始解答具体习题之前，我们先来回顾一下极限的定义。

对于给定的函数f(x)，当自变量x无限接近某个常数a时，如果函数值f(x)也无限接近一个常数L，那么我们就说函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

二、习题及解答1. 求函数f(x)=2x^2-3x+1在x趋于2时的极限。

解答：根据极限定义，我们要求当x趋于2时，函数f(x)的极限。

将x代入函数f(x)，得到f(2)=2(2)^2-3(2)+1=7。

因此，当x趋于2时，函数f(x)的极限为7。

2. 求函数f(x)=sinx/x在x趋于0时的极限。

解答：根据极限定义，我们要求当x趋于0时，函数f(x)的极限。

首先，我们可以观察到当x等于0时，函数的值为0/0，这是一个未定义的情况。

但是，我们可以利用泰勒展开将函数转化为可求解的形式。

对于sinx，我们可以将其展开为x-x^3/3!+x^5/5!-...。

将展开后的形式代入函数f(x)，得到f(x)=(x-x^3/3!+x^5/5!-...)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...。

当x趋于0时，我们可以发现除了第一项1之外，其他各项都趋于0。

因此，当x趋于0时，函数f(x)的极限为1。

3. 求函数f(x)=ln(1+x)/x在x趋于0时的极限。

解答：根据极限定义，我们要求当x趋于0时，函数f(x)的极限。

将x代入函数f(x)，得到f(0)=ln(1+0)/0=ln(1)/0。

我们可以发现ln(1)=0，而0/0是一个未定义的情况。

为了解决这个问题，我们可以利用洛必达法则。

对函数f(x)求导，得到f'(x)=(1/(1+x)-ln(1+x))/x^2。

2023届高考数学专项练习洛必达法则含解析

洛必达法则思路引导“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现00型或∞∞型可以考虑使用洛必达法则。

法则1　若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limx→a f(x)=0及limx→ag(x)=0；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)limx→a f′xg′x=A，那么limx→af xg x=limx→af′xg′x=A.法则2　若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limx→a f(x)=∞及limx→ag(x)=∞；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)limx→a f′xg′x=A，那么limx→af xg x=limx→af′xg′x=A.例题讲解类型一：用洛必达法则处理00型函数【例1】已知函数f(x)=x(e x-1)-ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.【方法总结】用洛必达法则处理00型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“0”型式子；3.运用洛必达法则求值2023届高考数学专项练习【针对训练】若∀x∈[1,+∞)，不等式ln x≤m x-1 x恒成立，求实数m的取值范围.类型二：用洛必达法则处理∞∞型函数【例2】已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1)，若当x∈(1，+∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．【方法总结】用洛必达法则处理∞∞型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“∞∞”型式子；3.运用洛必达法则求值【针对训练】设函数f(x)=e x-1-x-ax2，若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围模拟训练1.已知函数f(x)=a ln x+bx(a,b∈R)在x=12处取得极值，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-y+1=0垂直.(1)求实数a,b的值；(2)若∀x∈[1,+∞)，不等式f(x)≤(m-2)x-m x恒成立，求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)=x(e x-1)-ax2.(1)若f(x)在x=-1时有极值，求函数f(x)的解析式；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.3.已知函数f(x)=a ln xx+1+bx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0。

专题05 洛必达法则(解析版)

备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇专题五洛必达法则一、问题指引“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现00型或∞∞型可以考虑使用洛必达法则。

二、方法详解法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x af x →= 及()lim 0x ag x →=；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)()()limx af x lg x →'='，那么 ()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='。

法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=；(2)0A∃，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g'(x)≠0；(3)()()limx f x l g x →∞'='，那么 ()()lim x f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='。

法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；(3)()()limx a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()limx a f x l g x →'='。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.将上面公式中的x→a ，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。

数列极限计算练习题

数列极限计算练习题数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列有序的数字组成。

而数列极限是指数列随着项数增加，逐渐趋向于某个确定的值。

在数学中，我们经常需要计算数列的极限，这是一个能够帮助我们深入理解数列性质的重要工具。

本文将为您提供一些数列极限计算的练习题，希望可以帮助您提升数列极限计算的能力。

练习一：求极限1. 设数列 $a_n = \frac{n+3}{n+1}$，求 $\lim_{n \to \infty} a_n$。

解析：为了求得该数列的极限，我们可以对数列进行简化，将其化简为一个更容易计算的形式。

通过观察数列，我们可以发现分子和分母的最高次数都为$n$，因此我们可以用$n$去除分子和分母，得到：$a_n = \frac{n+3}{n+1} = \frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}$当$n$趋近于无穷大时，分数$\frac{3}{n}$和$\frac{1}{n}$的值都趋近于0，因此我们可以将它们忽略不计。

最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1+0}{1+0} = 1$因此，数列 $a_n$ 的极限为1。

2. 设数列 $b_n = \frac{n^2 - 2n + 1}{n^2 + 1}$，求 $\lim_{n \to \infty} b_n$。

解析：我们可以将分子和分母进行因式分解，得到：$b_n = \frac{(n-1)^2}{n^2+1}$当$n$趋近于无穷大时，$(n-1)^2$和$n^2$的值都趋近于无穷大，因此我们可以将它们忽略不计。

最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} b_n = \frac{\infty}{\infty}$对于这种形式的极限计算，我们可以利用洛必达法则。

洛必达法则可以用于解决形式为$\frac{\infty}{\infty}$的不定型，即分子和分母都趋近于无穷大的情况。

2025年高考数学一轮复习-洛必达法则-专项训练【含答案】

2025年高考数学一轮复习-洛必达法则-专项训练一、基本技能练1．已知函数f(x)＝e x－1－x－ax2，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．2．已知函数f(x)＝x(e x－1)－ax2.当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．3．已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)．若对任意x>0都有f(x)>ax成立，求实数a的取值范围．二、创新拓展练4．已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R.若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与解析一、基本技能练1．解当x ＝0时，f (x )＝0，对任意实数a 都有f (x )≥0；当x >0时，由f (x )≥0得，a ≤e x －1－x x2，设g (x )＝e x －1－x x2(x >0)，则g ′(x )＝x e x －2e x ＋x ＋2x 3，令h (x )＝x e x －2e x ＋x ＋2(x >0)，则h ′(x )＝x e x －e x ＋1，记φ(x )＝h ′(x )，则φ′(x )＝x e x >0，∴h ′(x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x →0时，h ′(x )→0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x →0时，h (x )→0，∴h (x )>0，∴g ′(x )>0，g (x )在(0，＋∞)上为增函数．由洛必达法则知e x －x －1x 2＝e x －12x ＝e x 2＝12，故g (x )>12，故a ≤12.综上，实数a ∞，12.2．解当x ≥0时，f (x )≥0，即x (e x －1)－ax 2≥0.①当x ＝0时，a ∈R ；②当x >0时，x (e x －1)－ax 2≥0等价于e x－1≥ax ，也即a ≤e x －1x .记g (x )＝e x －1x，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝（x －1）e x ＋1x2.记h(x)＝(x－1)e x＋1，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝x e x>0，因此h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(x)>h(0)＝0，所以g′(x)＝h（x）x2>0，从而g(x)＝e x－1x在(0，＋∞)上单调递增．由洛必达法则有g(x)＝e x－1x＝e x1＝1，即当x→0时，g(x)→1，所以g(x)>1，即有a≤1.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1]．3．解法一令φ(x)＝f(x)－ax＝(x＋1)ln(x＋1)－ax(x>0)，则φ′(x)＝ln(x＋1)＋1－a，∵x>0，∴ln(x＋1)>0.(1)当1－a≥0，即a≤1时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x)>0恒成立，故a≤1满足题意．(2)当1－a<0，即a>1时，令φ′(x)＝0，得x＝e a－1－1，∴x∈(0，e a－1－1)时，φ′(x)<0；x∈(e a－1－1，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0，e a－1－1)上单调递减，在(e a－1－1，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(e a－1－1)<φ(0)＝0与φ(x)>0恒成立矛盾，故a>1不满足题意．综上，实数a的取值范围是(－∞，1]．法二x∈(0，＋∞)时，(x＋1)ln(x＋1)>ax恒成立，即a<（x＋1）ln（x＋1）x恒成立．令g(x)＝（x＋1）ln（x＋1）x(x>0)，∴g′(x)＝x－ln（x＋1）x2.令k(x)＝x－ln(x＋1)(x>0)，∴k′(x)＝1－1x＋1＝xx＋1>0，∴k(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴k(x)>k(0)＝0，∴当x>0时，x－ln(x＋1)>0恒成立，∴g′(x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由洛必达法则知g(x)＝（x＋1）ln（x＋1）x＝[ln(x＋1)＋1]＝1，∴g(x)>1，∴a≤1，故实数a的取值范围是(－∞，1]．二、创新拓展练4．解法一由f(x)＝x2ln x－a(x2－1)≥0，当x＝1时，不等式成立，当x>1时，a≤x2ln x x2－1，令g(x)＝x2ln xx2－1(x>1)，则g′(x)＝x（x2－1－2ln x）（x2－1）2，因为x>1，则(x2－1－2ln x)′＝2x－2x>0，故h (x )＝x 2－1－2ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则h (x )>h (1)＝0，故g ′(x )＝x （x 2－1－2ln x ）（x 2－1）2>0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，由洛必达法则知x 2ln x x 2－1＝2x ln x ＋x 2x＝12.所以由a ≤x 2ln x x 2－1恒成立，得a ≤12.综上，实数a ∞，12.法二f ′(x )＝2x ln x ＋x －2ax ＝x (2ln x ＋1－2a )，因为x ≥1，所以2ln x ＋1≥1，则当a ≤12时，f ′(x )＝x (2ln x ＋1－2a )≥0，此时f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (1)＝0，此时f (x )≥0恒成立，所以a ≤12；当a >12时，由f ′(x )＝x (2ln x ＋1－2a )＝0，得x ＝x 0，且2ln x 0＋1－2a ＝0，x 0＝e2a －12，则x ∈[1，e 2a －12)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减，x ∈(e 2a －12，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增，所以f (x )min ＝f (e 2a －12)<f (1)＝0，与f (x )≥0恒成立矛盾，故a >12不满足题意．综上，实数a ∞，12.。

洛必达法则高数经典例题

洛必达法则高数经典例题
洛必达法则是一种数学原理，它可以使用定义确定一些数学表达
式或函数的非常完整的解决方案。

洛必达法则高数经典例题体现出洛
必达法则的本质特征。

以下是一些典型的洛必达法则高数经典例题：
1. 已知函数f (x) = 1-cosx，求 f (120°) 的值。

解：洛必达法则指出，如果 f (x) 的定义域和值域都是实数的话，那么 f (x) 的值可以由f (x-2nπ)或f (x+2nπ)取代，其中n是整数。

因此，由f (120°)= f (120° - 2π)=f(120° - 4π)=-
cos120°=-1/2得出结论。

2.已知方程tan(2x + 30°)=3，求 x 的值。

解：洛必达法则指出，tan(x + kπ) = tanx，其中 k 是任意整数。

因此，可以将方程转化为tan(2x + 30° + kπ) = 3，当 k=1 时，方程可以化简为tan(2x + 120°)=3,即2x + 120° = arctan3，
所以 x = arctan3-120°/2 = 22.6°。

高等数学d教材答案

高等数学d教材答案第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 有界数列的性质与极限1.1.2 单调有界数列的性质与极限1.1.3 数列极限的唯一性和保号性1.2 数列极限的计算方法1.2.1 夹逼定理与夹逼准则1.2.2 无穷小量的性质与极限计算1.2.3 无穷大量的性质与极限计算1.3 函数极限的概念与性质1.3.1 函数极限的定义1.3.2 函数极限的性质1.3.3 函数极限的运算法则1.4 极限存在准则1.4.1 单调有界函数的极限存在准则1.4.2 保号函数的极限存在准则1.4.3 复合函数的极限存在准则第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义与几何意义2.1.2 导数的性质与运算法则2.1.3 反函数与导数的关系2.2 可导与连续的关系2.2.1 可导函数与连续函数的关系2.2.2 连续函数的导数性质2.3 微分的概念与性质2.3.1 微分的定义与性质2.3.2 微分中值定理与应用2.4 高阶导数与高阶微分2.4.1 高阶导数的定义与性质2.4.2 高阶微分的定义与性质第三章：一元函数的微分学3.1 高阶导数的计算3.1.1 多项式函数的高阶导数3.1.2 三角函数的高阶导数3.1.3 指数函数与对数函数的高阶导数3.2 函数的Taylor展开与应用3.2.1 函数的Taylor展开式3.2.2 Taylor展开在近似计算中的应用3.3 函数的单调性与凹凸性3.3.1 函数的单调性判定3.3.2 函数的凹凸性判定3.3.3 函数的拐点与极值点3.4 函数的最值与最值问题3.4.1 函数的最值存在性3.4.2 有限闭区间上函数最值的判定第四章：定积分4.1 定积分的概念与性质4.1.1 定积分的定义与性质4.1.2 定积分的几何意义与物理应用4.2 定积分的计算方法4.2.1 定积分的基本性质与性质4.2.2 定积分的换元法与分部积分法4.2.3 定积分的中值定理与均值定理4.3 反常积分的概念与性质4.3.1 反常积分的定义与性质4.3.2 反常积分的收敛性判别4.4 定积分在几何学和物理学中的应用4.4.1 平面曲线的长度与曲率4.4.2 平面图形的面积与旋转体的体积第五章：定积分的应用5.1 定积分计算在几何学中的应用5.1.1 平面曲线的面积5.1.2 曲线长度和曲率5.1.3 平面图形的质量与质心5.2 定积分计算在物理学中的应用5.2.1 动力学问题中的定积分计算5.2.2 静力学问题中的定积分计算5.2.3 热力学问题中的定积分计算5.3 定积分计算在经济学中的应用5.3.1 常见经济问题的定积分计算5.3.2 经济增长与收益的定积分计算第六章：多元函数的微分学6.1 偏导数的概念与性质6.1.1 偏导数的定义与性质6.1.2 隐函数与偏导数的关系6.2 多元函数的全微分与全导数6.2.1 多元函数的全微分6.2.2 多元函数的全导数6.3 多元函数的高阶偏导数6.3.1 多元函数的高阶偏导数的定义6.3.2 高阶偏导数的对称性与混合偏导数的次序6.4 多元复合函数的求导法则6.4.1 复合函数求导的链式法则6.4.2 隐函数求导的隐函数定理第七章：多元函数的积分学7.1 二重积分的概念与性质7.1.1 二重积分的定义与性质7.1.2 二重积分的计算方法与性质7.2 二重积分的应用7.2.1 平面图形的面积计算7.2.2 二重积分在物理学中的应用7.3 三重积分的概念与性质7.3.1 三重积分的定义与性质7.3.2 三重积分的计算方法与性质7.4 三重积分的应用7.4.1 空间图形的体积计算7.4.2 三重积分在物理学中的应用第八章：常微分方程8.1 常微分方程的基本概念8.1.1 常微分方程的定义与解的概念8.1.2 初值问题与解的存在唯一性8.1.3 隐式解与隐式解的导数8.2 一阶常微分方程8.2.1 一阶线性常微分方程8.2.2 可分离变量的一阶微分方程8.2.3 齐次方程的一阶微分方程8.2.4 Bernoulli方程与Riccati方程8.3 高阶常微分方程8.3.1 高阶线性常微分方程的基本理论8.3.2 齐次方程的解的性质与求法8.3.3 常系数线性常微分方程的解的性质与求法8.4 常微分方程的应用8.4.1 生物学问题中的常微分方程模型8.4.2 物理学问题中的常微分方程模型8.4.3 工程学问题中的常微分方程模型以上是《高等数学D教材》的答案内容总览，希望能对你学习高等数学D教材有所帮助。

高中数学数列与极限练习题及参考答案

高中数学数列与极限练习题及参考答案以下是针对高中数学数列与极限练习题的练习题及参考答案：一、选择题1. 以下哪个数列是等差数列?A. {1，2，4，8，16}B. {1，3，6，10，15}C. {1，4，9，16，25}D. {1，-2，4，-8，16}参考答案：B2. 若数列 {an} 为等差数列，常数为 d，差为 a1 - a0，以下哪个不等式成立？A. a100 > a50 + 50dB. a100 > (a0 + a100)/2C. a100 > a50 + (50/2 - 1)dD. a100 > a50 + (50/2)d参考答案：D3. 以下哪个数列是等比数列？A. {1，2，4，8，16}B. {1，3，6，10，15}C. {1，4，9，16，25}D. {1，-2，4，-8，16}参考答案：A4. 给定 {an} 为等比数列，公比为 q，首项为 a0，以下哪个等式成立？A. a0 + a3 = a1 + a2B. a2q = a4C. a1 - a0 = (1 - q)a0D. a5 + a2 = a4 + a3q参考答案：D二、计算题1. 已知数列 {an}，其中 a0 = 1，a1 = 2，a2 = 4，求 a3 和 a4。

参考答案：a3 = 8，a4 = 162. 给出等比数列 {an}，其中 a1 = 2，a2 = 8，求公比 q。

参考答案：q = 43. 如果知道 {an} 是等差数列，a3 = 13，a6 = 28，求 a17。

参考答案：a17 = 674. 若 {an} 是等比数列，a3 = 20，a6 = 320，求公比 q。

参考答案：q = 4三、证明题1. 证明等差数列 {an} 的通项公式为 an = a0 + nd。

参考答案：通过递推法可得出 an = an-1 + d，即 {an - d} 为等差数列，且 a0 = a0 + 0d，故得证。

(完整)数列的极限知识点方法技巧例题附答案和作业题,推荐文档

0
(s t)
（4） lim a0nt n b0 n s
a1nt1 at1n at b1n s1 bs1n bs
a0
b0
(s t)
不存在 (s t)
3. 数列极限的运算法则:
如果
lim
n
a
n
A,
lim
n
bn
B, 那么
lim(a
n
n
bn )
A
B
lim(a
n
n
bn
)
A
B
lim(a
n
n
.bn
)
A.B lim an b n
n
A 新疆 (B 0) 王新敞
奎屯
B
4．无穷等比数列的各项和 ⑴公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项的和，当 n 无限增大时的极限，叫做这
个无穷等比数列各项的和，记做 S
lim
n
Sn
头头头头头头头头
/wxc/
头头头头头头头 wxckt@
头头头头头头头头
/wxc/
头头头头头头头 wxckt@
⑵S
lim
n
Sn
a1 1 q
, (0
|
q
| 1)
头头头头头头头头
/wxc/ 头头头头
头头头 wxckt@
3n2 2n 1
2n 1
2n2 n 7
① lim
； ② lim
n n
n
n2 1
； ③ lim
； ④ lim
n n2 1
n
5n 2 7
;
（2） lim （ n
n 2 n －n）;（3） lim （ 2 n n 2

高等数学数列极限习题集及答案

高等数学数列极限习题集及答案1. 数列的定义数列是由按确定的顺序排列的一列数所构成的。

数列可以用一般的形式表示为a1,a2,a3,...,a a,...，其中a a表示数列中的第n个数。

2. 数列的极限数列的极限可以理解为数列中的数随着a的增大而趋近于某个值。

数列极限的概念在高等数学中非常重要。

2.1 数列的无穷极限当数列的某一项越来越接近无穷大或无穷小的时候，我们称其为数列的无穷极限。

无穷极限可以分为正无穷大极限和负无穷大极限。

正无穷大极限：当数列的每一项都大于某一个正数M时，我们说数列逼近正无穷大，记为$\\lim_{n\\to\\infty}a_n=∞$。

负无穷大极限：当数列的每一项都小于某一个负数-M时，我们说数列逼近负无穷大，记为$\\lim_{n\\to\\infty}a_n=-∞$。

2.2 数列的有界性和有界变差性数列的有界性和有界变差性是数列收敛性的重要条件。

有界性：如果数列的所有元素都在某个范围内，就说这个数列是有界的。

即存在正数M，使得对所有的n有|a a|≤a。

有界变差性：对于给定的正整数N，把[a1,a2],[a2,a3],...,[aa−1,aa]称为数列的N个相邻项。

如果存在一个常数M，对于所有的N都有相邻项和的绝对值|a2−a1|+|a3−a2|+...+|a a−a a−1≤a，则称数列有界变差。

2.3 数列的收敛和散度数列的收敛和散度是数列极限的两种基本性质。

数列的收敛：如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|a a−a|<a，则称数列收敛于L，记为$\\lim_{n\\to\\infty}a_n=L$。

数列的散度：如果数列不存在极限，就称该数列是发散的。

2.4 数列极限的性质数列极限具有以下性质：1.基本性质：数列极限若存在，则必唯一。

2.保号性质：如果数列的极限存在且为正数（或负数），则从某项开始，数列的各项都是正数（或负数）。

第一讲数列的极限典型例题

第一讲数列的极限一、内容提要 1.数列极限的定义N n N a x n n >∀N ∈∃>∀⇔=∞→,,0lim ε，有ε<-a x n .注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-⇔ε另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度.注2 若n n x ∞→lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是唯一的，若N 满足定义中的要求，则取 ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ．注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ．注4 N n N a x n n >∃N ∈∀>∃⇔≠∞→00,,0lim ε，有00ε≥-a x n .2. 子列的定义在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{}k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数．注1 对每一个k ，有k n k ≥．注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤．注3 K k K a x k n n >∀N ∈∃>∀⇔=∞→,,0lim ε，有ε<-a x k n .注4 ⇔=∞→a x n n lim {}n x 的任一子列{}k n x 收敛于a . 3.数列有界对数列{}n x ，若0>∃M ，使得对N n >∀，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量对数列{}n x ，如果0>∀G ，N n N >∀N ∈∃,，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记作∞=∞→n n x lim ．注1 ∞只是一个记号，不是确切的数．当{}n x 为无穷大量时，数列{}n x 是发散的，即nn x ∞→lim 不存在．注2 若∞=∞→n n x lim ，则{}n x 无界，反之不真．注3 设{}n x 与{}n y 为同号无穷大量，则{}n n y x +为无穷大量．注4 设{}n x 为无穷大量，{}n y 有界，则{}n n y x ±为无穷大量．注5 设{}n x 为无穷大量，对数列{}n y ，若0>∃δ，,N ∈∃N 使得对N n >∀，有δ≥n y ，则{}n n y x 为无穷大量．特别的，若0≠→a y n ，则{}n n y x 为无穷大量． 5.无穷小量若0lim =∞→n n x ，则称{}n x 为无穷小量．注1 若0lim =∞→n n x ，{}n y 有界，则0lim =∞→n n n y x ．注2 若∞=∞→n n x lim ，则01lim=∞→nn x ；若0l i m =∞→n n x ，且,N ∈∃N 使得对N n >∀，0≠n x ，则∞=∞→nn x 1lim．6.收敛数列的性质（1）若{}n x 收敛，则{}n x 必有界，反之不真．（2）若{}n x 收敛，则极限必唯一．（3）若a x n n =∞→lim ，b y n n =∞→lim ，且b a >，则N ∈∃N ，使得当N n >时，有n n y x >．注这条性质称为“保号性”，在理论分析论证中应用极普遍．（4）若a x n n =∞→lim ，b y n n =∞→lim ，且N ∈∃N ，使得当N n >时，有n n y x >，则b a ≥．注这条性质在一些参考书中称为“保不等号（式）性”．（5）若数列{}n x 、{}n y 皆收敛，则它们和、差、积、商所构成的数列{}n n y x +，{}n n y x -，{}n n y x ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n y x （0lim ≠∞→nn y ）也收敛，且有()=±∞→n n n y x lim ±∞→n n x lim n n y ∞→lim ，=⋅∞→n n n y x lim ⋅∞→n n x lim n n y ∞→lim ，=∞→nnn y x lim n n nn y x ∞→∞→lim lim （0lim ≠∞→n n y ）．7. 迫敛性（夹逼定理）若N ∈∃N ，使得当N n >时，有n n n z x y ≤≤，且n n y ∞→lim a z n n ==∞→lim ，则a x n n =∞→lim ．8. 单调有界定理单调递增有上界数列{}n x 必收敛，单调递减有下界数列{}n x 必收敛． 9. Cauchy 收敛准则数列{}n x 收敛的充要条件是：N m n N >∀N ∈∃>∀,,,0ε，有ε<-m n x x ．注 Cauchy 收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据．尽管没有提供计算极限的方法，但它的长处也在于此――在论证极限问题时不需要事先知道极限值． 10.Bolzano Weierstrass 定理有界数列必有收敛子列．11. 7182818284.211lim ==⎪⎭⎫⎝⎛+∞→e n nn12.几个重要不等式(1) ,222ab b a ≥+ .1 s i n ≤x . s i n x x ≤ (2) 算术－几何－调和平均不等式：对,,,,21+∈∀R n a a a 记,1)(121∑==+++=ni i n i a n n a a a a M (算术平均值) ,)(1121nni i n n i a a a a a G ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∏= (几何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=ni in i ini a n a n a a a na H (调和平均值)有均值不等式: ),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤等号当且仅当n a a a === 21时成立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对,0x ∀> 由二项展开式 23(1)(1)(2)(1)1,2!3!nn n n n n n x nx x x x ---+=+++++)1(,1)1(>+>+⇒n nx x n（４）Cauchy －Schwarz 不等式: k k b a ,∀(n k ,,2,1 =),有≤⎪⎭⎫⎝⎛∑=21n k k k b a ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=21n k k k b a ∑=n k k a 12∑=nk kb12（５）N n ∈∀，nn n 1)11ln(11<+<+ 13. O. Stolz 公式二、典型例题 1．用“N -ε”“N G -”证明数列的极限．（必须掌握）例１用定义证明下列各式：（１）163153lim22=+-++∞→n n n n n ；（２）设0>n x ，a x n n =∞→lim ，则a x n n =∞→lim；（97，北大，10分）（３）0ln lim=∞→αn nn )0(>α证明：（１）0>∀ε，欲使不等式ε<=<-<+--=-+-++nn n n n n n n n n n n n 6636635616315322222成立，只须ε6>n ，于是，0>∀ε，取1]6[+=εN ，当N n >时，有ε<<-+-++n n n n n 616315322 即 163153lim22=+-++∞→n n n n n ．（２）由a x n n =∞→lim ，0>n x ，知N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有εa a x n <-，则<+-=-ax a x a x n n n ε<-aa x n于是，N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有<-a x n ε<-aa x n ，即 a x n n =∞→lim ．（３）已知n n ln >，因为<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<=<αααααααn n n n n n 1ln 2ln 2ln 022≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡αααn n 122≤⋅αααnn ][2222244αααααn n n =⋅，所以，0>∀ε，欲使不等式=-0ln αn n ≤αnnln εαα<24n 成立，只须ααε24⎪⎭⎫ ⎝⎛>n ．于是，0>∀ε，取=N 142+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛ααε，当N n >时，有=-0ln αn n ≤αn nln εαα<24n ，即 0ln lim =∞→αn nn ．评注１本例中，我们均将a x n -做了适当的变形，使得ε<≤-)(n g a x n ，从而从解不等式ε<)(n g 中求出定义中的N ．将a x n -放大时要注意两点：①)(n g 应满足当∞→n 时，0)(→n g ．这是因为要使ε<)(n g ，)(n g 必须能够任意小；②不等式ε<)(n g 容易求解．评注２用定义证明a x n →)(∞→n ，对0>∀ε，只要找到一个自然数)(εN ，使得当)(εN n >时，有ε<-a x n 即可．关键证明N ∈)(εN 的存在性．评注３在第二小题中，用到了数列极限定义的等价命题，即：（１）N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有εM a x n <-（M 为任一正常数）. （２）N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有k n a x ε<-)(N k ∈.例２用定义证明下列各式：（１）1lim=∞→n n n ；（92，南开，10分）（２）0lim =∞→n kn an ),1(N k a ∈>证明：（１）（方法一）由于1>n n （1>n ），可令λ+=1n n （0>λ），则()>++-++=+==n n nnn n n n n λλλλ 22)1(1)1(22)1(λ-n n （2>n ）当2>n 时，21nn >-，有 >n >-22)1(λn n 2222)1(44-=nn n n λ即 nn n210<-<．0>∀ε，欲使不等式=-1n n ε<<-nn n 21成立，只须24ε>n ．于是，0>∀ε，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,14max 2εN ，当N n >时，有 1-nn ε<<n 2，即 1lim =∞→nn n ．（方法二）因为n n n n n n n n n n n n n212211)111(112+<-+=++++≤⋅⋅⋅⋅⋅=≤- 个，所以1-nn n2<，0>∀ε，欲使不等式=-1n n ε<<-nn n 21成立，只须24ε>n ．于是，0>∀ε，取142+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ，当N n >时，有1-nn ε<<n2，即 1lim=∞→nn n ．（２）当1=k 时，由于1>a ，可记λ+=1a （0>λ），则>++-++=+=n n n n n n a λλλλ 22)1(1)1(22)1(λ-n n （2>n ）当2>n 时，21nn >-，于是有 <<n an 02242)1(λλn n n n <-．0>∀ε，欲使不等式0-n a n <<n a n ελ<24n 成立，只须24ελ>n ．对0>∀ε，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,14max 2ελN ，当N n >时，有0-n a n <<n an ελ<24n ．当1>k 时，11>k a （1>a ），而=n ka n kn k a n ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(1．则由以上证明知N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有ε<<nka n )(01，即kn k a n ε<<0，故 0lim =∞→n kn an ．评注１在本例中，0>∀ε，要从不等式ε<-a x n 中解得N 非常困难．根据n x 的特征，利用二项式定理展开较容易．要注意，在这两个小题中，一个λ是变量，一个λ是定值．评注２从第一小题的方法二可看出算术－几何平均不等式的妙处．评注３第二小题的证明用了从特殊到一般的证法．例用定义证明：0!lim =∞→n a nn （0>a ）（山东大学）证明：当10≤<a 时，结论显然成立．当1>a 时，欲使[][][][]ε<⋅<⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=-n a a a n a a a a a a a n a a n !1210! 成立，只须>n [][]ε!1a a a +．于是0>∀ε，取=N [][]1!1+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+εa a a ，当N n >时，有[][]ε<⋅<-n aa a n a a n !0!即 0!lim =∞→n a nn ．例设1<α，用“N -ε”语言，证明：0])1[(lim =-+∞→ααn n n ．证明：当0≤α时，结论恒成立．当10<<α时，0>∀ε，欲使<-+=--+]1)11[(0)1(ααααn n n n εαα<=-+-11)111(nn n只须>n αε-111．于是0>∀ε，取=N 1111+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-αε，当N n >时，有 <--+0)1(ααn n εα<-11n即 0])1[(lim =-+∞→ααn n n ．2.迫敛性（夹逼定理）n 项和问题可用夹逼定理、定积分、级数来做，通项有递增或递减趋势时考虑夹逼定理．n n n z x y ≤≤，b y n →，c z n →}{n x ⇒有界，但不能说明n x 有极限．使用夹逼定理时，要求n n z y ,趋于同一个数．例求证：0!lim =∞→n a nn （a 为常数）．分析：na m a m a a a a n a n ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅= 1321!，因a 为固定常数，必存在正整数m ，使1+<≤m a m ，因此，自1+m a 开始，11<+m a ，12<+m a ，1,<n a，且∞→n 时，0→na．证明：对于固定的a ，必存在正整数m ，使1+<m a ，当1+≥m n 时，有≤⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=≤n a m a m a a a a n an1321!0n am am⋅!，由于∞→n lim0!=⋅na m am，由夹逼定理得0!lim=∞→n ann ，即 0!lim =∞→n a nn ．评注当极限不易直接求出时，可将求极限的变量作适当的放大或缩小，使放大、缩小所得的新变量易于求极限，且二者极限值相同，直接由夹逼定理得出结果．例若}{n a 是正数数列，且02lim21=+++∞→nna a a nn ，则0lim1=⋅⋅⋅∞→n n n a a n ．证明：由()()()n n na a a ⋅⋅⋅ 2121nna a a n+++≤212，知n n na a a n ⋅⋅⋅⋅ 21!nna a a n+++≤212即 n n a a a ⋅⋅⋅ 21n n n n na a a !1221⋅+++≤．于是，n n a a a n ⋅⋅⋅<210nnn nna a a !1221⋅+++≤，而由已知02lim21=+++∞→nna a a nn 及∞→n lim0!1=nn故 ∞→n lim0!1221=⋅+++nnn nna a a由夹逼定理得 0lim1=⋅⋅⋅∞→n n n a a n ．评注1 极限四则运算性质普遍被应用，值得注意的是这些性质成立的条件，即参加运算各变量的极限存在，且在商的运算中，分母极限不为0．评注2 对一些基本结果能够熟练和灵活应用．例如：（1）0lim =∞→nn q （1<q ）（2）01lim=∞→an n （0>a ）（3）1lim=∞→nn a （0>a ）（4）1lim =∞→n n n（5）0!lim =∞→n a n n （0>a ）（6）∞→n lim 0!1=n n 例证明：若a x n n =∞→lim （a 有限或∞±），则a nx x x nn =+++∞→ 21lim（a 有限或∞±）．证明：（１）设a 为有限，因为a x n n =∞→lim ，则11,,0N n N >∀N ∈∃>∀ε，有2ε<-a x n .于是=-+++a n x x x n21()()()na x a x a x n -++-+- 21 +-++-+-≤nax a x a x N 121 nax a x n N -++-+ 1121εε+<-+<n A n N n n A ．其中a x a x a x A N -++-+-=121 为非负数．因为0lim=∞→nAn ，故对上述的22,,0N n N >∀N ∈∃>ε，有2ε<n A ．取},m ax {21N N N =当N n >时，有εεε=+<-+++2221a n x x x n即 a nx x x nn =+++∞→ 21lim．（２）设+∞=a ，因为+∞=∞→n n x lim ，则11,,0N n N G >∀N ∈∃>∀，有G x n 2>，且0121>+++N x x x ．于是=+++nx x x n21 ++++n x x x N 121 n x x n N +++ 11G nN G n N n G nx x nN 11122)(21-=->++>+取12N N =，当N n >时，G G nN <12，于是 G G G nx x x n=->+++221 ．即 +∞=+++∞→nx x x nn 21lim（３）-∞=a 时证法与（２）类似．评注１这一结论也称Cauchy 第一定理，是一个有用的结果，应用它可计算一些极限，例如：（１）01211lim=+++∞→nn n （已知01lim =∞→n n ）；（２）1321lim 3=++++∞→nnn n （已知1lim =∞→n n n ）．评注２此结论是充分的，而非必要的，但若条件加强为“}{n x 为单调数列”，则由a nx x x nn =+++∞→ 21lim可推出a x n n =∞→lim ．评注３证明一个变量能够任意小，将它放大后，分成有限项，然后证明它的每一项都能任意小，这种“拆分方法”是证明某些极限问题的一个常用方法，例如：若10<<λ，a a n n =∞→lim （a 为有限数），证明：λλλλ-=++++--∞→1)(lim 0221aa a a a n n n n n ．分析：令0221a a a a x nn n n n λλλ++++=-- ，则01101221)()()()1(a a a a a a a a x n n n n n n n n +-----++-+-+=-λλλλλ ．只须证 0)()()(101221→-++-+----a a a a a a nn n n n λλλ （∞→n ）由于a a n n =∞→lim ，故N n N >∀N ∈∃,，有ε<--1n n a a ．于是)()()(101221a a a a a a n n n n n -++-+----λλλ101111221a a a a a a a a a a n N n N n N N n N n N n n n n -++-+-++-+-≤---+-+----λλλλλ 再利用0lim =∞→n n λ（10<<λ）即得．例求下列各式的极限：（１）)2211(lim 222nn n nn n n n n +++++++++∞→（２）n n n1211lim +++∞→ （３）nn nn 2642)12(531lim ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∞→解：（１）≤+++++++++≤+++++n n n n n n n n n n n n 2222221121 1212+++++n n n∵∞→n lim n n n n +++++221 ∞→=n lim 212)1(2=+++n n n n n ， ∞→n lim 1212+++++n n n ∞→=n lim 2112)1(2=+++n n n n ，由夹逼定理， ∴21)2211(lim 222=+++++++++∞→nn n n n n n n n （２）n n n n n=+++≤+++≤11112111 ∵1lim=∞→nn n ，由夹逼定理，∴11211lim =+++∞→n n n．（３）∵121243212642)12(531212212452321<-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅--⋅⋅⋅≤nn n n n n n n ， ∴12642)12(53121<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅≤⋅n n nn n n．∵∞→n lim121=⋅nnn，由夹逼定理，∴12642)12(531lim=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∞→nn nn ．评注nn 212-的极限是１，用此法体现了“１”的好处，可以放前，也可放后．若极限不是１，则不能用此法，例如：)12(53)1(32+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=n n x n ，求n n x ∞→lim ．解：∵0>n x ，{}n x 单调递减，{}n x 单调递减有下界，故其极限存在．令a x n n =∞→lim ，∵3221++⋅=+n n x x n n ∴=+∞→1lim n n x n n x ∞→lim ∞→n lim322++n n ， a a 21=， ∴0=a ，即 0lim =∞→n n x ．)2112111(lim nn +++++++∞→ （中科院）评注拆项：分母是两项的积，111)1(1+-=+n n n n插项：分子、分母相差一个常数时总可以插项．1111111+-=+-+=+n n n n n ３单调有界必有极限常用方法：①n n x x -+1；②nn x x 1+；③归纳法；④导数法． )(1n n x f x =+ 0)(>'x f )(x f 单调递增12x x > )()(12x f x f > 23x x > 12x x < )()(12x f x f < 23x x <0)(<'x f )(x f 单调递减 12x x > )()(12x f x f < 23x x <12x x < )()(12x f x f > 23x x >不解决决问题．命题：)(1n n x f x =+，若)(x f 单调递增，且12x x >（12x x <），则{}n x 单调递增（单调递减）．例求下列数列极限：（1）设0>A ，01>x ，)(211nn n x A x x +=+；（98，华中科大，10分）（2）设01>x ，nnn x x x ++=+3331；（04，武大）（3）设a x =0，b x =1，221--+=n n n x x x （ ,3,2=n ）．（2000,浙大）解：（1）首先注意A x Ax x A x x nn n n n =⋅⋅≥+=+221)(211，所以{}n x 为有下界数列．另一方面，因为0)(21)(211≤-=-+=-+n nn n n n n x x Ax x A x x x ．（或()121)1(21221=+≤+=+A Ax A x x nn n ）故{}n x 为单调递减数列．因而n n x ∞→lim 存在，且记为a ．由极限的四则运算，在)(211nn n x Ax x +=+两端同时取极限∞→n ，得)(21aAa a +=．并注意到0>≥A x n ，解得A a =．（2）注意到33)1(333301<++=++=<+nn n n n x x x x x ，于是{}n x 为有界数列．另一方面，由)24)(3()3(2333333333333311211121121-------+++-=++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=+-=-++=-n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x )2)(3(31121---++-=n n n x x x 知=---+11n n n n x x x x 02133)2)(3(311211121>+=+-++-------n n n n n n x x x x x x ．即n n x x -+1与1--n n x x 保持同号，因此{}n x 为单调数列，所以n n x ∞→lim 存在（记为a ）．由极限的四则运算，在n n n x x x ++=+3331两端同时取极限∞→n ，得aaa ++=333．并注意到30<<n x ，解得3=a ．（3）由于nn n n n n n n n n a b x x x x x x x x x x x )2()2()2(2201112111--=--=--==--=-+=----+ , 又=+-=∑-=+0101)(x x x x n m m m n a a b a a b x nn m mn +-----=+--=∑-=)21(1)21(1)()2(1)(10,所以 n n x ∞→lim 323)(2)21(1)21(1lim)(a b a a b a a b nn +=+-=+-----=∞→．评注１求递归数列的极限，主要利用单调有界必有极限的原理，用归纳法或已知的一些基本结果说明数列的单调、有界性．在说明递归数列单调性时，可用函数的单调性．下面给出一个重要的结论：设)(1n n x f x =+（ ,2,1=n ）I x n ∈，若)(x f 在区间I 上单调递增，且12x x >（或12x x <），则数列{}n x 单调递增（或单调递减）．评注2 第三小题的方法较为典型，根据所给的11,,-+n n n x x x 之间的关系，得到n n x x -+1与1--n n x x 的等式，再利用错位相减的思想，将数列通项n x 写成级数的表达式．例设11,b a 为任意正数，且11b a ≤，设11112----+=n n n n n b a b a a ，11--=n n n b a b （ ,3,2=n ），则{}n a ，{}n b 收敛，且极限相同．证明：由≤+=----11112n n n n n b a b a a 111122----n n n n b a b a n n n b b a ==--11，知≤=--11n n n b a b 111---=n n n b b b ．则10b b n ≤<，即{}n b 为单调有界数列．又10b b a n n ≤≤<，且=-+=-------1111112n n n n n n n a b a b a a a =+---------111121112n n n n n n n b a b a a b a 0)(11111≥+------n n n n n b a a b a ，所以{}n a 亦为单调有界数列．由单调有界必有极限定理，n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 存在，且分别记为a 与b ．在11112----+=n n n n n b a b a a 与11--=n n n b a b 两端同时取极限∞→n ，得ba ab a +=2与ab b =．考虑到11,b a 为任意正数且110b b a a n n ≤≤≤<．即得0≠=b a ．例（1）设21=x ，nn x x 121+=+，求n n x ∞→lim ；（2）设01=x ，22=x ，且02311=---+n n n x x x （ ,3,2=n ），求n n x ∞→lim ．解：（1）假设n n x ∞→lim 存在且等于a ，由极限的四则运算，在nn x x 121+=+两端同时取极限∞→n ，得aa 12+=，即21±=a ．又2>n x ，故21+=a ．下面只须验证数列{}a x n -趋于零（∞→n ）．由于<-<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-<+a x a x a x a x a x n n n n n 41121201a x n-⎪⎭⎫ ⎝⎛<141，而∞→n lim 0411=-⎪⎭⎫⎝⎛a x n，由夹逼定理得=∞→n n x lim 21+=a ．（2）由02311=---+n n n x x x ，知=++n n x x 231=+-123n n x x =+--2123n n x x 62312=+=x x ，则 2321+-=+n n x x ．假设n n x ∞→lim 存在且等于a ，由极限的四则运算，得56=a ．下面只须验证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-56n x 趋于零（∞→n ）．由于 =-+-=--56232561n n x x =⎪⎭⎫⎝⎛---56321n x 56325632111⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=--n n x ．显然∞→n lim 056321=⋅⎪⎭⎫⎝⎛-n ，由夹逼定理得56lim =∞→n n x ．评注１两例题中均采用了“先求出结果后验证”的方法，当我们不能直接用单调有界必有极限定理时，可以先假设a x n n =∞→lim ，由递归方程求出a ，然后设法证明数列{}a x n -趋于零．评注２对数列{}n x ，若满足a x k a x n n -≤--1（ ,3,2=n ），其中10<<k ，则必有a x n n =∞→lim ．这一结论在验证极限存在或求解递归数列的极限时非常有用．评注３本例的第二小题还可用Cauchy 收敛原理验证它们极限的存在性．设1a >0，1+n a ＝n a ＋n a 1，证明n 1（04，上海交大）证（1）要证n ＝1 ，只要证2lim 12nn a n →∞=，即只要证221lim 1(22)2n nn a a n n+→∞-=+-，即证221lim()2n n n a a +→∞-= （2）因1+n a ＝n a ＋n a 1，故110n n n a a a +-=>，1211n n na a a +=+ 2211112211()()112n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a +++++-=-+==++=+ 因此只要证21lim0n na →∞=，即只要证lim n n a →∞=∞（3）由110n n na a a +-=>知，{}n a 单调增加，假如{}n a 有上界，则{}n a 必有极限a ，由1+n a ＝n a ＋n a 1知，a ＝a ＋1a ，因此10a=，矛盾. 这表明{}n a 单调增加、没有上界，因此lim n n a →∞=∞. （证完）４利用序列的Cauchy 收敛准则例（1）设21xx =（10≤≤x ），2221--=n n x x x ，求n n x ∞→lim ；（2）设111==y x ，n n n y x x 21+=+，n n n y x y +=+1，求nnn y x ∞→lim ；解：（1）由21x x =（10≤≤x ），得211≤x ．假设21≤k x ，则412≤k x ．有=-=+2221k k x x x 21212≤-k x x由归纳法可得 21≤n x ．于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---++22222121n p n n pn x x x x x x111111212--+--+--+-≤-+=n p n n p n n p n x x x x x x 021211111→≤-≤≤-+-n p n x x （∞→n ）．由Cauchy 收敛准则知：n n x ∞→lim 存在并记为a ，由极限的四则运算，在2221--=nn x x x 两端同时取极限∞→n ，得022=-+x a a ．注意到21≤n x ，故x a x n n ++-==∞→11lim ．（2）设nnn y x a =，显然1>n a . 由于nn n n n n n n a y x y x y x a ++=++==+++1112111,则 111111+++-+=-n n n n a a a a ()()<++-=--1111n n n n a a a a <<-- 141n n a a 12141a a n --. 于是=-+n p n a a n n p n p n p n p n a a a a a a -++-+-+-+-+-++1211 n n p n p n p n p n a a a a a a -++-+-≤+-+-+-++121112124141a a n p n -⎪⎭⎫⎝⎛++<--- 12141141141a a p n ---⋅=- 03141121→-⋅<-a a n (∞→n ). 由Cauchy 收敛准则知：n n x ∞→lim 存在并记为a . 由极限的四则运算，在nn a a ++=+1111两端同时取极限∞→n ，得22=a ．注意到1>n a ，故=∞→n nn y x lim2lim =∞→n n a ．评注1 Cauchy 收敛准则之所以重要就在于它不需要借助数列以外的任何数,只须根据数列各项之间的相互关系就能判断该数列的敛散性. 本例两小题都运用了Cauchy 收敛准则,但细节上稍有不同.其实第一小题可用第二小题的方法,只是在第一小题中数列{}n x 有界,因此有11111≤+≤-++x x x x p p .保证了定义中的N 仅与ε有关.评注2 “对N p ∈∀有()0lim =-+∞→n p n n x x ”这种说法与Cauchy 收敛准则并不一致．这里要求对每个固定的p ，可找到既与ε又与p 的关的Ｎ，当N n >，有ε<-+n p n x x ．而Cauchy 收敛准则要求所找到的Ｎ只能与任意的ε有关．５利用Stolz 定理计算数列极限例求下列极限（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++∞→421lim 3333n n n n（2）假设1222...lim ,lim 2n n n n a a na aa a n →∞→∞+++==证明：（00，大连理工，10）（04，上海交大）证明：Stolz 公式121211222212...(2...(1))(2...)limlim(1)(1)lim 212n n n n n n n n a a na a a na n a a a na n n n n a a n +→∞→∞+→∞++++++++++++=+-+==+（3）nn n ln 1211lim +++∞→ （4）n n n n 1232lim++++∞→ （5）n n an 2lim ∞→（1>a ）６关于否定命题的证明（书上一些典型例题需背）a x n n ≠∞→lim{}n x 发散例证明：nx n 131211++++= 发散．例设0≠n a （ ,2,1=n ），且0lim =∞→n n a ，若存在极限l a a nn n =+∞→1lim，则1≤l ．（北大，20）７杂例 (1) )1(1321211lim +++⋅+⋅∞→n n n(2) （04，武大）2212lim(...),(1)11()1lim()11(1)1n n n n n n a a a an a a a a a a →∞→∞+++>-=-=--- (3) )1()1)(1(lim 22n n x x x +++∞→ (1<x);(4)设31=a ,n n n a a a +=+21（ ,2,1=n ），求：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=∞→n n a a a l 111111lim 21 ．。

数列极限和数学归纳法练习(有答案)

数列极限和数学归纳法一、知识点整理：数列极限：数列极限的概念、数列极限的四则运算法则、常见数列的极限公式和无穷等比数列各项的和要求：理解数列的概念，掌握数列极限的四则运算法则和常见数列的极限，掌握公比q 当01q <<时无穷等比数列前n 项和的极限公式及无穷等比数列各项和公式，并用于解决简单的问题。

1、理解数列极限的概念：21,(1),n nn-等数列的极限2、极限的四则运算法则：利用的条件和推行3、常见数列的极限：1lim0,lim 0(1),lim →+∞→+∞→+∞==<=n n n n q q C C n 4、无穷等比数列的各项和：1lim (01)1→+∞==<<-n n a S S q q数学归纳法：数学归纳法原理，会用数学归纳法证明恒等式和整除性问题，会利用“归纳、猜想和证明”处置数列问题（1）、证明恒等式和整除问题（充分运用归纳、假设，拆项的技能，如证明22389n n +--能被64整除，2438(1)9k k +-+-）229(389)64(1)k k k +=--++），证明的目标超级明确；（2）、“归纳－猜想－证明”，即归纳要准确、猜想要合理、证明要规范，这种题目也是高考考察数列的重点内容。

二、填空题1、计算：112323lim -+∞→+-n n n n n =_____3_____。

2、有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积别离记为，，，，n V V V 21 =+++∞→)(lim 21n n V V V87. 3、 20lim______313n n n →∞+=+134、数列的通项公式，前项和为，则=______32_______.5、设{}n a 是公比为21的等比数列，且4)(lim 12531=+⋅⋅⋅+++-∞→n n a a a a ，则=1a 3 ．6、在等比数列{}n a 中，已知123432,2a a a a ==，则()12lim n n a a a →∞+++=_16±______.7、数列{}n a 的通项公式是13(2)--+=+-n n n a ，则 )(lim 21n n a a a +++∞→ =___76____ .8、已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，则lim n n S →∞的值为163. 9、设数列{}n a 知足当2n a n >（*N n ∈）成立时，总可以推出21(1)n a n +>+成立．下列四个命题：（1）若93≤a ，则164≤a ．（2）若310a =，则525a >．（3）若255≤a ，则164≤a ．（4）若2(1)n a n ≥+，则21n a n +>．其中正确的命题是（2）（3）（4） .（填写你以为正确的所有命题序号）10、将直线1l ：01=-+y x ，2l ：0=-+n y nx ，3l ：0=-+n ny x （*N ∈n ，2≥n ）围成的三角形面积记为n S ，则=∞→n n S lim ___12________．11、在无穷等比数列{}n a 中，所有项和等于2，1则的取值范围是a ()()0,22,412、设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若245lim()→∞=+++n n a a a a ，则13、已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,11n A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+n B 22,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n C 23,12，其中n 为正整数，设n S 表示△ ABC 的面积，则=∞→n n S lim ．14、下列关于极限的计算，错误．．的序号___（2）___．（1）==（2）（++…+）=++…+=0+0+…+0=0 （3）（－n ）===；（4）已知=（15）已知()f x 是概念在实数集R 上的不恒为零的函数，且对于任意,a b ∈R ，知足()22f =，{}n a *1 , 1()1 , 2(1)n n a n N n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪+⎩n n S lim n n S →∞()()()f ab af b bf a =+，记()()22,22n n n n nf f a b n==，其中*N n ∈．考察下列结论：①()()01f f =；②()f x 是R 上的偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列.其中正确结论的序号有 ① ③ ④ ．二、选择题：16、已知,,若，则的值不可能．．．是… ………（（D ））（A ） . （B ）. （C ）. （D ）.17、若21lim 12n n r r +→∞⎛⎫⎪+⎝⎭存在，则r 的取值范围是（（A ））（A ）1r ≤-或13r ≥- ；（B ）1r <-或13r >-；（C ）1r ≤-或13r >- ；（D ）113r -≤≤- 观察下列式子：，可以猜想结论为((C) ) .(A) ；(B) (C) ；(D)19、已知12120121()20122n n n n a n -- , <⎧⎪=⎨- , ≥⎪⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和（ (A ））(A ）lim n n a →∞ 和lim n n S →∞都存在； (B) lim n n a →∞和lim n n S →∞都不存在。