《宏观经济学原理与模型》第05章总需求曲线与总供给曲线第02节宏观总生产函数

《宏观经济学：原理与模型》
第五章总需求曲线与总供给曲线
（重点章！）
第二节宏观总生产函数
一、类比得到：总生产函数
与微观经济中的某具体产品的生产函数类似，我们有宏观经济（体）中的总生产函数。

（一）形式
N
Y （5.5）
f
K
(TS
,
)
,
（二）变量说明及解释
1、式（5.5）中，Y为整个经济中生产的产品总值的实际量（比如，实际GNP）。

在微观生产函数Y中，可用小写的y表示的是产品的个数。

在宏观经济系统中由于各产品品质不同，显然不能把它们的个数相加，故而，代之以各产品产值相加之和作为Y；
2、式（5.5）中的N为劳动力水平（即整个系统中投入的劳动总量，以一般性的“工时”计量之）；
3、K为资本存量；（请注意：由不断地投资积累而得。

）
4、TS为其他可能影响生产的各种因素（如技术水平等）。

在短期，可以假设K,TS均不变（或与N按固定比例变化）。

据此假设，我们可以进一步地把生产函数简单地写成：
Y （5.6）
f
(N
)
二、总生产函数的性质
式（5.6）中的宏观总生产函数的性质与微观中的产品生产函数一样。

具有如下性质：
（一）边际实物报酬的递减法则
通常，在投入N刚开始增加时，Y增加得比较快，以后Y的增加速度会越来越慢，慢到后来可能为零，甚至为负（即下降）。

图5-9中给出的生产函数是典型的（即满足“边际实物报酬递减法则”）。

图5-9（重点！）
（二）“边际实物报酬递减法则”的图解
1、OA 阶段
当总生产函数处于OA 阶段时，劳动的边际产值)(
N
f
MP ∂∂∆大于劳动的平均产值)(N
Y
AP ∆
，亦即AP 处于递增阶段，每增加一个单位的劳动都能提高平均产值；且MP 在递增，Y 上升速度递增。

显然，经济不会停留在这个阶段，它需要更多的N ，不断提高产值。

2、AC 阶段
当总生产函数处在AC 阶段时，MP 虽开始递减（从而Y 上升速度
1N
2N
3N
N
MP
O
AP MP
AP
递减），但MP 仍大于零（从而Y 仍在上升）。

显然，经济最可能处于该阶段中的某一点处。

3、C 以后的阶段
当宏观总生产函数处在点C 以后的阶段时，0<MP ，Y 随N 的增加反而减少。

显然，经济不愿处在这一阶段。

4、结论——边际实物报酬递减
注意到A 点为曲线)(N f Y =的拐点，在OA 段，我们有022>∂∂N f
；A
点以后，022<∂∂N f。

既然系统不会停留在OA 段，我们就有理由假设
022<∂∂N f （或写成02
2<∂∂N
Y
），即：边际实物报酬递减。

====================== ====================== 附：
生产函数的一些性质
在宏观经济学中经常涉及到要用一个函数来描述厂商的生产过程，我们把这个函数叫做生产函数。

它的性质在经济学中经常用到，这里给出一个简单介绍。

假设厂商的产出Y 由厂商投入资本存量)(t K 和劳动力)(t L 来生产，这个过程由函数))(),(()(t L t K F t Y =给出。

假设函数R R R F →⨯⋅⋅:),(是二阶连续可微的，并且满足：
A1．0)0),((,0)(,0(==t K F t L F ，即没有资本投入或者没有劳动力投入都不可能生产出产品。

这也是人们通常讲的“没有免费的午餐!”
A2．函数),(⋅⋅F 对于变量是非降的，即投入品越多，产出越多。

由生产函数的可微性，假设A2可以表示为
0)
,(,0),(≥∂∂≥∂∂L
L K F K L K F
A3．生产函数是常数规模回报的，即对任意的0>λ，有
))(),(())(),((t L t K F t L t K F λλλ=
假设A3告诉我们，如果把所有的投入同时提高λ倍，总的产出也会相应地提高λ倍。

在生产函数的连续可微性假设下，由假设A3可以得到下面的Euler 方程：
L L
L K F K K L K F t L t K F ∂∂+∂∂=
)
,(),())(),(( Euler 方程告诉：在完全竞争的假设下，具有常数规模回报的厂商的所有收益被资本回报和工资所瓜分，因此它的极大化利润为零。

A4．生产函数对变量是拟凹的，即对任意的生产可行性计划
),(),,(2211L K L K 和任意的]1,0[∈λ有
)}
,(),,(min{))
()1()(),()1()((22112121L K F L K F t L t L t K t K F ≥-+-+λλλλ
条件A4等价于厂商的要素需求集是凸集合，但它在应用中较难，因此通常用更强的条件来代替：
A4．生产函数对变量是严格凹的，即对任意的不同的生产可行性计划
),(),,(2211L K L K 和任意的)1,0(∈λ，有
)
,()1(),())
()1()(),()1()((22112121L K F L K F t L t L t K t K F λλλλλλ-+≥-+-+
在生产函数的可微性下，严格凹性等价于生产函数的Hessian 矩阵是负定的。

同时也可以得到
0)
,(,
0)
,(2
222<∂∂<∂∂L L K F K L K F 因此，在生产函数的严格凹性下，资本存量和劳动力的边际生产率都是递减的。

A5．生产函数满足Inada 条件，即
∞
=∞===→→∞
→∞
→),(lim ,),(lim 0
),(lim ,0),(lim 0
L K F L K F L K F L K F L L K K L L K K
假设A5表明当资本存量水平或者劳动力水平充分大时，它们的边际生产率充分小；反之，当它们的水平充分小时，它们的边际生产率充分大。

例如：对任意的0>γ，0<ρ，考虑生产函数：
ρ
ρργ1
)
)1((),(----+=L a aK L K F
可以验证上面函数满足条件A1~A3，4'A 和A5。

我们通常所讲的Cobb-Douglas 生产函数
βα)()()()(t L t K t A t Y =
就满足上述所有的假设。

其中βα,为非负常数，满足1,0<<βα。

======================
======================附录结束。