概率论与数理统计B 习题五答案

第六章 样本及抽样分布：
7. 从正态总体 N 4.2,25 中抽取容量为 n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2， 6.2）内的概率不小于 0.95，则样本容量 n 至少应该取多大？ 解：由于
所以：
即：
由分布函数的单调性有：
可见，样本容量至少取 25。 8. 设 总 体 X
N ( , 4) ， 有 样 本 X1 , X 2 ,
X np 15 np P X 15 P np1 p np 1 p 15 3 x3 p 3 0.999 1.73 1 6.93 0
2. 一保险公司有 1 万个投保人，每个投保人的索赔金额的数学期望为 250 元，标准差 为 500，求索赔金额不超过 260 万元的概率。 解： 设第 i 个投保人的索赔金额为随机变量 X i (i 1, 2, 独立同分布，且 E ( X i ) 250 ， D( X i ) 500
从而：
令 X 表示该地区居民的用电量，则
所以：
于是若设供电站每天至少应供应 n 度电，则
2
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6. 机器包装某种面包时，每袋面包的净重为随机变量，平均重量为 100 克，标准差为 10 克。一箱内装 200 袋面包，求一箱面包的净重大于 20500 克的概率。 解：设箱中第 i 袋面包的净重为 Xi，则 Xi 独立同分布，
X
即d
X1 X 2
2 3
2
2 2 X4 X5 3

~ t 3 ，即
6 2
X1 X 2
2 2 2 X3 X4 X5
~ t 3 ，
6 ，自由度为 3。 2
第七章 点估计：
10. 设 X 1 , X 2 , , X n 是取自总体 X 的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估 计与最大似然估计： （1） X ~ Bn, p ，其中 p 未知， 0 p 1 ； （2） X ~ E ，其中 未 知， 0 。
布，即 c 1 ；自由度为 2。
2 2 2 （ 2 ） 由 于 X1 X 2 ~ N 0, 2 ， 则 X 1 X 2 ~ N 0,1 ， 又 X 3 X4 X5 ~ 2 3 ， 2
X1 X 2 2
2 2 与 X 32 X 4 相互独立，则 X5
E ( X ) 60 ， D( X ) 60
由泊松分布的正态逼近可得：
t 1 m 60 60 m 60 60 2 P{0 X m} dt ( ) ( ) ( ) 0 60 e 2 60 60 60 60 m 60
2
根据题意源自文库(
2 N 0,1 。 （1）试给出常数 c ，使得 cX 12 X 2 （2）试给 服从 2 分布，并指出它的自由度；
出常数 d ，使得 d
X1 X 2
2 X3 2 2 X4 X5
服从 t 分布，并指出它的自由度。
2 解： （1） 易见，X 12 X 2 即为二个独立的服从 N 0,1 的随机变量平方和， 服从 2 2 分
2(0.05 n ) 1 0.95 ， (0.05 n ) 0.975 ，由 (1.96) 0.975 ，可得 0.05 n 1.96 ，
于是得 n 1536.6 ，即 n 1537 。 9. 设 X 1 , X 2 ,, X 5 是独立且服从相同分布的随机变量， 且每一个 X i i 1,2,,5 都服从
3. 某单位设置一电话总机，共有 200 个电话分机，若每个分机有 5%的时间要使用外线 通话， 假设每个分机是否使用外线通话是相互独立的， 问总机要有多少条外线才能保证每个 分机正常使用外线的概率不小于 90%？ 解：设 X 为 200 个电话分机中要使用外线通话的分机数，则 X 有外线 n 条，则 P{ X n} 0.9 ，由中心极限定理得：
B(200,0.05) ，如果
P{ X n } (
n2 0 0 0.05 n ) ( 200 0 . 05 0.95
1
10 ) 0， .90 9.5
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得 (1.28) 0.90 ，所以
ˆX 。 解： E X ，故 的矩估计量
由样本观测值可算得
X
另，X 的分布律为
0 17 1 20 2 10 3 2 4 1 1， 50
P X x e
x
x!
, x 0,1,2,
故似然函数为
L e n
d ln L n d
Xi
i 1
n

0
ˆ 解得 的最大似然估计量
Xi
i 1
n
n
ˆ 1。 X ，故 的最大似然估计值
12. 设 X 1 , X 2 , , X n 是取自总体 X 的一个样本，其中 X 服从区间 0, 的均匀分布，其 中 0 未知，求 的矩估计，且 的矩估计是否是 的无偏估计？ 解： E X
ˆX。 解： （1） E X p ，故 p 的矩估计量有 p
另，X 的分布律为 P X x p x 1 p
1 x
, x 0,1 ，故似然函数为
L p p
对数似然函数为：
i 1
Xi
n
1 p
4
n X i
i 1
n
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n 10 1.28 ，解得 n 13.945 ，从而得 n 14 。 9.5
4. 设某电话总机要为 2000 个用户服务，在最忙时，平均每户有 3% 的时间占线，假设 各户是否打电话是相互独立的，试求若想以 99% 的可能性满足用户的要求，最少需要设多 少条线路？ 解：设电话交换台每小时呼叫次数为 X ，在每小时每户用线的概率 P 0.03 ，由泊松 分布近似可取 np 2000 0.03 60 ，因此， X 服从参数 60 的泊松分布。 设要求的最小线路数为 m ： P{0 X m} 0.99
X i
i 1
X i 0, i 1,2, , n 其他
0
n
ln L n ln X i d ln L n n Xi 0 d i 1
i 1
ˆ 解得 的最大似然估计量
n
Xi
i 1
n

1 。 X
可以看出 的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 11. 设 X 1 , X 2 , , X n 是取自总体 X 的一个样本，其中 X 服从参数为 的泊松分布，其 中 未知， 0 ，求 的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值： X 0 1 2 3 4 17 频数 求 的矩估计值与最大似然估计值。 20 10 2 1
2
则 X1 , X 2 , ,10000) ，
, X10000
(i 1, 2,
10000
,10000) ，
索赔总金额不超过 2600000 元可表示为事件 {
10000 i 1
X
i 1
i
2600000} ，由中心极限定理有
P{ X i 2600000} (
2600000 10000 250 ) (2) 0.9772 。 10000 500
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概率论与数理统计 B 习题五答案 A
第五章 中心极限定理：
1. 在人寿保险公司里有 3000 个同龄的人参加人寿保险。 在 1 年内每人的死亡率为 0.1%， 参加保险的人在 1 年的第一天交付保险费 10 元，死亡时家属可以从保险公司领取 2000 元。 试用中心极限定理求保险公司亏本的概率。 解： 设死亡人数为 X , X ~ B3000,0.001 ， 保险公司亏本当且仅当 2000 X 10 3000 ， 即 X 15 。于是，由棣莫弗—拉普拉斯定理，公司亏本的概率为

2
，令

2
ˆ 2X 。 X ，故 的矩估计量
1 n 2 n 2 n ˆ E 2 X 2 E X 2 E E X i EX i ， n i 1 2 n i 1 n i 1
故 的矩估计量 2 X 是 的无偏估计。 13. 设 X 1 , X 2 , , X n 是取自总体 X 的一个样本，X 的密度函数为
f x
1x
0
0 x 1 其他
其中 0 未知，求 的矩估计和最大似然估计。 解： E X 0 x 1x dx
1
1 1 ˆ 1 2X ， ，令 X ，故 的矩估计量为 2 2 X 1
, Xn ， 求 当 样 本 容 量 n 为 多 大 时 ，
P{| X | 0.1} 0.95 。
3
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解：因为
X

N (0,1) ，所以
n
0.1 X 0.1 ， 得： P{| X | 0.1} P (0.05 n ) (0.05 n ) 2(0.05 n ) 1 2 2 2 n n n
m 60 ) 0.99 ，可得： 60 m 60 2.327 ，从而 m 60 2.237 7.746 78.023 60
所以最少需要 79 条线路。 5. 某供电站供应某地区 1000 户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电 量（单位：度）在[0，20]上均匀分布。问：供电站每天至少向该地区供应多少度电才能以 0.99 的概率保证该地区居民供应电量的需求？ 解：用 Xi 表示居民每户每日的用电量，则 Xi 的密度函数为：

f x
2x
2 0
0 x 其他
其中 0 未知，求 的矩估计。 2x 2 2 ˆ 3 X 。 解： E X 0 x 2 dx ，令 X ，故 的矩估计量为 3 3 2 14. 设 X 1 , X 2 , , X n 是取自总体 X 的一个样本，X 的密度函数为

n Xi
i 1
n
ˆ 0 ，解得 p 的最大似然估计量 p
1 n Xi X 。 n i 1
1

，令
ˆ 1 。 X ，故 的矩估计量 X
1
另，X 的密度函数为
f X x
故似然函数为
e x
0
n
x0 x0
L
对数似然函数为
e
n
n n ln L p X i ln p n X i ln1 p i 1 i 1
令
X d ln L p i 1 i

n
dp p 1 p 可以看出 p 的矩估计量与最大似然估计量是相同的。
（2） E X
X i
i 1
n
X 1! X n!
, X i 0,1,2, , i 1,2, , n
5
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对数似然函数为
n n ln L n X i ln ln X i ! i 1 i 1