不等式期末复习资料

推广2：a，b R， a2
b2 2
__________
__________
1
2
1
(当且仅当仅当a
b时取“ ”)
ab
即平方平均数 算术平均数 几何平均数
调和平均数．
注意关于ab的两种变形ab a2 b2 ，ab ( a b )2.
2
2
题型一 不等式性质的应用
例1.1(2011 黄山模拟)已知a，b，c，d均为实数，有
“a c b d”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C ．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3已知 8 x 2， 32 y 4，则 y 的取值范围
x 是 ____________．
分析：不等式性质就其逻辑关系而言，可分为推出 关系(充分条件)和等价关系(充要条件)，要深刻理解 不等式性质，把握其逻辑关系．
评析：利用不等式性质时，要注意性质中 条件是否为充要条件，不能用充分不必要条件 解不等式．
素材1：1已知非零实数a、b满足a b，则下
列不等式中成立的是
A. a2 b2 C. a2b ab2
B. 1 1 ab
D. a b b2 a2
2
①
a c
b d
a
c
b
d；②
a c
b d
2．不等式的性质
1定理1：(对称性或反身性)a b ⑦ __________； 2定理2：(传递性)a b，b c ⑧ _________； 3定理3：(可加性)a b a c ⑨ __________，
此法则又称为移项法则．
推论：(同向可相加)a b，c d a c ⑩ __________ .
ab
当且仅当b a，即a b 1时，等号成立．
ab
2
所以原不等式成立．
2因为a 0，b 0，且a b 1，
所以原不等式 ( a 1 b 1 )2 4
2
2
a b 1 2 a 1 b 1 4 22
2 2 a 1 b 1 4 22
a 1 b 1 1 22
a
c
b
d；
③
a c
d d
ac
bd；
④
a c
b
0
ac
bc；
⑤ac bc a b；
⑥a b ac2 bc2.
其中命题正确的是
(填入所有正确命题的序号)．
题型二 比较数(式)的大小
例2.若x y 0，试比较 x2 y2 x y与 x2 y2 x y的大小．
ab
2 a 1 b 1 2.
2
2
分析：条件不等式，关键要尽快恰当使用条件， 构造基本不等式，利用基本不等式证明．要注意 考察等号成立的条件．
证明 1因为a 0，b 0，且a b 1，
所以 1 + 1 a b(1 1) 2 b a 2 2 b a 4.
ab
ab
ab
下列命题：
①若ab 0，bc ad 0，则 c d 0； ab
②若ab 0，c d 0，则bc ad 0； ab
③若bc ad 0，c d 0，则ab 0. ab
其中正确命题的个数是( )
A. 0 B 1
C. 2
D. 3
2已知a，b，c，d为实数，且c d，则“a b”是
1. 比较两数的大小
1差值比较法：a b ① __________ 0；a b
② ______ 0；a b ③ _______ 0.
2商值比较法：若a 0，b 0，则a b a ④
b
___ ，a b a ⑤ _____，a b a ⑥ ____
b
b
____ .
4定理4：(可乘性)a b，c 0 ac ⑪__________；
a b，c 0 ac ⑫__________ . 推论1：(正数同向可相乘)a b 0，c d 0 ac⑬________ bd. 推论2：(乘方法则)a b 0(n N *) an⑭________ bn.
2 基本(均值)不等式：如果a，b
R，那么
a
2
b
⑲__________(当且仅当a b取“=”)．
注：基本(均值)不等式可以用来求最值(积定和小，
和定积大)，特别要注意条件需满足：
⑳_______________ .
推广1：a b __________ ab 0(当且仅当a b
ba 时取“”)；
(3)对于基本不等式，不仅要记住原始公式，而 且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的 逆运用等．如
2ab ab a b a2 b2 (a 0，b 0)．
ab
2
2百度文库
题型四 利用基本不等式证明不等式
例4.(2010 铜陵模拟)已知a 0，b 0，且a b 1，
求证：1 1 1 4；
分析：由差值比较法，a b 0 a b
评析：多项式、对数式比较大小，一般均 用作差法．幂指函数比较大小常用作商法比较 大小．
题型三 利用基本不等式求最值
例3.(2010 宿州月考)
1设0 x 2，求函数y 3x8 3x的最大值； 2求 3 a的取值范围；
a4
3已知x 0，y 0，且x y 1，求 8 2的最小值．
(a 1)(b 1) 1 22
ab 1 a b 1 1
2
4
ab ´1 1 1 1 ab 1 .
24
4
因为a 0，b 0，所以1 a b 2 ab
(当且仅当a b 1 时取等号)． 2
5定理5：(开方法则)a b 0(n N，n 2) n a⑮
________ n b. 推论：(倒数法则)a b，ab 0 1 ⑯__________ .
a
3．基本(均值)不等式
1如果a，b为实数，，那么a2 b2 ⑰__________，
注意也可写成a2 b2 ⑱__________ .
xy
评析：(1)合理拆分或配凑因式是常用的技 巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项 为正值，必要时需出现积为定值或和为定值． (2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次 是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条 件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本 不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅 是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有 误的一种方法．