时间序列的平稳性及其检验
时间序列的平稳性和单位根检验解读
0.05 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -3.00 -2.93 -2.89 -2.88 -2.87 -2.86 2.61 2.56 2.54 2.53 2.52 2.52
0.10 -1.60 -1.61 -1.61 -1.61 -1.61 -1.61 -2.62 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -2.57 2.20 2.18 2.17 2.16 2.16 2.16
只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就可 以认为时间序列是平稳的；
当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认为 时间序列是非平稳的。
20
整理课件
3、例：检验1978-2000年间中国支出法 GDP时间序列的平稳性
例8.1.6检验1978~2006年间中国实际支出法国 内生产总值GDPC时间序列的平稳性。
ADF检验在Eviews中的实现—检验 GDPP
29
整理课件
ADF检验在Eviews中的实现—检验 GDPP
30
整理课件
•从GDPP(-1) 的参数值看， 其t统计量的值 大于临界值， 不能拒绝存在 单位根的零假 设。同时，由 于常数项的t统 计量也小于 ADF分布表中 的临界值，因 此不能拒绝不 存在趋势项的 零假设。需进 一步检验模型 1。
均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； 方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数；
协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关，与时 间t 无关的常数；
则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而
该随机过程是一平稳随机过程（stationary
stochastic process）。
时间序列平稳性检验
时间序列平稳性检验分析姓名xxx学院xx学院专业xxxx学号xxxxxxxxxx时间序列平稳性分析检验时间序列是一个计量经济学中的概念，时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列数据的平稳性问题。
一、时间序列平稳性的定义假定某个时间序列是由某一随机过程(stochasticprocess)生成的，即假定时间序列{Xt}(t=1,2,•)•的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：1)均值E(Xt)=u是与时间t无关的常数；2)方差Var(Xt)=o2是与时间t无关的常数；3)协方差Cov(Xt,Xt+k尸条是只与时期间隔k有关，与时间t无关的常数。
则称该随机时间序列是平稳的(stationary),而该随机过程是一平稳随机过程(stationary stochasticprocess)。
eg:一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：Xt=Mt,Mt~N(0,o2)该序列常被称为是一个白噪声。
由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零，由定义，一个白噪声序列是平稳的。
eg:另一个简单的随机时间列序被称为随机游走，该序列由如下随机过程生成：Xt=Xt-1+」t这里，出是一个白噪声。
容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的初值为X0,则易知X1=X0+」1X2=X1+」2=X0+J1+J2xt=X0+出+也++M由于X0为常数，%是一个白噪声，因此Var(Xt)=to2即Xt的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序列二、时间序列平稳性检验的方法对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。
但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关(autocorrelation),导致DF检验无效。
时间序列的平稳性及其检验63页PPT
一个时间序列的样本自相关函数定义为：
nk Xt X Xtk X
Xt
Xt
t
t
(a)
(b)
图 9.1 平 稳 时 间 序 列 与 非 平 稳 时 间 序 列 图
• 进一步的判断: 检验样本自相关函数及其图形
定义随机时间序列的自相关函数（autocorrelation function, ACF）如下：
k=k/0 分子是时间序列之后K期的协方差，分母是方差， 因此自相关函数是关于滞后期k的递减函数(Why）
时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内
容，并广泛应用于经济分析与预测当中。
二、时间序列数据的平稳性
时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列 数据的平稳性问题。
假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1, 2, …） 的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果 满足下列条件：
例9.1.1．一个最简单的随机时间序列是一具有零 均值同方差的独立分布序列：
Xt=t ， t~N(0,2)
该序列常被称为是一个白噪声（white noise）。 由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由
定义,一个白噪声序列是平稳的。
例9.1.2．另一个简单的随机时间列序被称为随机 游走（random walk），该序列由如下随机过程生成：
Xt= 1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k +t 该随机过程平稳性条件将在第二节中介绍。
三、平稳性检验的图示判断
时间序列的平稳性及其检验
19
伪回归spurious regression
如果时间序列是有趋势的，那么一定是非平稳 的，从而采用OLS估计的t检验和F检验就是无 效的。
两个具有相同趋势的时间序列即便毫无关系， 在回归时也可能得到很高的显著性和复判定系 数 出现伪回归时，一种处理办法是加入趋势变量， 另一种办法是把非平稳的序列平稳化
时间序列分析模型：解释时间序列自身的变化 规律和相互联系的数学表达式
确定性的时间序列模型 随机时间序列模型
3
随机过程与随机序列
设T 为某个时间集，对t T，取xt为随机变量， 对于该随机变量的全体 xt , t T 当取T 为连续集，如T (, )或T [0, )
1000.0 900.0 800.0
GDP指数(1978=100)
700.0 600.0 500.0 400.0 300.0 200.0 100.0 0.0
年份
79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03
8
说 明
自然科学领域中的许多时间序列常常是 平稳的。如工业生产中对液面、压力、 温度的控制过程，某地的气温变化过程， 某地100年的水文资料，单位时间内路口 通过的车辆数过程等。 但经济领域中多数宏观经济时间序列却 都是非平稳的。如一个国家的年GDP序 列，年投资序列，年进出口序列等。
9
时间序列模型的例子
22
时间序列模型不同于经典计量模 型的两个特点
⑴ 这种建模方法不以经济理论为依据， 而是依据变量自身的变化规律，利用外 推机制描述时间序列的变化。 ⑵ 明确考虑时间序列的非平稳性。如果 时间序列非平稳，建立模型之前应先通 过差分把它变换成平稳的时间序列，再 考虑建模问题。
时间序列的预处理(平稳性检验和纯随机性检验)
1、时序图的绘制
在SAS系统中，使用GPLOT程序可以绘 制多种精美的时序图。
可以设置坐标轴、图形颜色、观察值点 的形状及点之间的连线方式等
例2-1
data example2_1;
input price1 price2;
time=intnx('month','01jul2004'd,_n_-1);
format time date.;
cards;
12.85 15.21
13.29 14.23
12.41 14.69
15.21 13.27
14.23 16.75
13.56 15.33
;
proc gplot data= example2_1; \\绘图过程开始
plot price1*time=1 price2*time=2/overlay; //确定纵横轴，按两种
时间序列分析之
试验二
时间序列的预处理 （平稳性检验和纯随机性检验）
一、平稳性检验
时序图检验
根据平稳时间序列的均值、方差
及周期特征。
自相关图检验
根据平稳时间序列的短期相关性， 其自相关图中随着延迟期数 的增加，自相关系数会很快 地衰减向零。
cards;
97 154 137.7 149 164 157 188 204 179 210 202 218 209
204 211 206 214 217 210 217 219 211 233 316 221 239
215 228 219 239 224 234 227 298 332 245 357 301 389
平稳时间序列的时序图与自相关图
第六讲时间序列的平稳性及其检验 ppt课件
1.000 0.480 0.018 -0.069 0.028 -0.016 -0.219 -0.063 0.126 0.024 -0.249 -0.404 -0.284 -0.088 -0.066 0.037 0.105 0.093
5.116 5.123 5.241 5.261 5.269 6.745 6.876 7.454 7.477 10.229 18.389 22.994 23.514 23.866 24.004 25.483 27.198
1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关， 与时间t 无关的常数；
则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随 机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
nk Xt X Xtk X
rk t1
n
Xt X 2
t1
k1,2,3,
随着k的增加，样本自相关函数下降且趋 于零。但从下降速度来看，平稳序列要比非 平稳序列快得多。
2020/12/15
15
rk
rk
1
1
0
k
0
k
(a)
(b)
图9.1.2 平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图
2020/12/15
下表给出了三个模型所使用的adf分布临352202182172162162162612562542532522522972892862842832833413283223193183182550100250500500262260258257257257300293289288287286333322317314313312375358351346344343255010025050050016016116116116116119519519519519519522622522422322322326626226025825825825501002505005000100050025001样本容统计量模型丌同模型使用的adf分布临界值表362392382382382382382852812792792782783253183143123113113743603533493483462550100250500500277275273273272272320314311309308308359342342339338338405387378374372371255010025050050032431831531331331236035034534334234139538037336936836643841540439939839625501002505005000100050025001样本容统计量模型丌同模型使用的adf分布临界值表37同时估计出上述三个模型的适当形式然后通过adf临界值表检验零假设h1只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设就可以认为时间序列是平稳的
时间序列分析的基本概念是什么如何进行时间序列的平稳性检验
时间序列分析的基本概念是什么如何进行时间序列的平稳性检验时间序列分析是一种应用广泛的统计分析方法，用于研究随时间变化的数据序列的规律性和特征。
时间序列数据是按照时间顺序排列的观测值序列，常见的包括股票价格、气温、销售额等。
时间序列分析的基本概念是对时间序列数据进行模型拟合和预测。
它的主要目的是揭示数据的内在规律和特征，为未来的预测和决策提供依据。
下面将介绍时间序列分析的基本概念和时间序列的平稳性检验。
一、时间序列分析的基本概念1. 趋势分析：指时间序列数据在长期内的增长或下降趋势。
趋势分析可以采用移动平均法和指数平滑法等方法进行预测和拟合。
2. 季节性分析：指时间序列数据在短期内的重复周期。
季节性分析可以使用季节指数法和季节自回归移动平均法等方法来对季节性进行分析和预测。
3. 循环分析：指时间序列数据在长期内的周期性波动。
循环分析可以利用时间序列的滞后项构建循环指标，并对周期性进行拟合和预测。
4. 不规则分量分析：指不能被趋势、季节性和循环等因素解释的随机变动。
不规则分量包含各种无法归类的随机因素，可以通过随机过程模型进行分析和预测。
二、时间序列的平稳性检验时间序列的平稳性是进行时间序列分析的基本要求，平稳性包括严平稳和弱平稳两个概念。
严平稳要求时间序列的联合概率分布不随时间的变化而改变，即均值和方差等参数在时间序列的不同阶段保持不变。
严平稳序列可以使用统计工具进行参数估计和假设检验。
弱平稳是指时间序列的均值和自相关性不随时间的变化而改变，但方差可能会随时间的变化而改变。
弱平稳序列可以通过差分进行处理，将非平稳序列转化为平稳序列。
进行时间序列的平稳性检验可以使用统计学方法，常用的方法包括ADF检验、单位根检验和KPSS检验等。
这些方法通过检验序列的单位根特征或自回归模型的稳定性来判断序列的平稳性。
ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）是一种常用的平稳性检验方法，其原理是对序列进行单位根检验，并根据检验统计量与临界值的比较来判断序列的平稳性。
什么是平稳性假设如何进行平稳性的检验
什么是平稳性假设如何进行平稳性的检验平稳性假设及其检验方法平稳性假设是时间序列分析中的一个重要假设，它要求时间序列的均值和方差在不同时间段之间保持不变。
平稳性的检验可以帮助我们确定时间序列是否适合应用特定的统计模型，从而更好地进行预测和分析。
一、平稳性假设的含义和重要性平稳性假设是指时间序列在不同时间段内的统计特性保持不变，即其均值和方差不随时间变化而改变。
如果时间序列不满足平稳性假设，那么我们在建立模型和进行预测时可能会产生误差，导致不准确的结果。
平稳性在时间序列分析中具有重要意义，它是许多经典模型的前提条件，如ARMA（自回归滑动平均模型）、ARIMA（差分自回归滑动平均模型）等。
只有当时间序列满足平稳性假设时，才能应用这些模型进行预测和分析。
二、平稳性的检验方法为了判断时间序列是否满足平稳性假设，我们可以采用多种检验方法，下面介绍两种常见的方法：单位根检验和ADF检验。
1. 单位根检验（Unit Root Test）单位根检验是平稳性检验的一种方法，其中最常用的检验统计量是DF检验（Dickey-Fuller test），通过检验序列存在是否单位根来判断平稳性。
如果序列存在单位根，则说明序列不满足平稳性假设。
DF检验的原假设是序列存在单位根，即不满足平稳性。
通过计算检验统计量的p值，如果p值小于设定的显著水平（通常为0.05），则可以拒绝原假设，认为序列具有平稳性。
2. ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）ADF检验是对单位根检验的改进，它通过引入更多滞后项来减小检验的误差。
ADF检验将序列进行差分，然后对差分后的序列进行单位根检验，判断序列是否平稳。
ADF检验也是通过计算检验统计量的p值来进行判断，如果p值小于设定的显著水平，则可以拒绝原假设，认为序列平稳。
三、平稳性检验的实例应用为了更好地理解平稳性检验的应用，我们以股票价格为例进行说明。
假设我们想要分析某只股票的价格是否满足平稳性假设。
81时间序列的平稳性和单位根检验
从△GDPP(-1)的参数值看，其统计量的值大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。至此，可断定△GDPP时间序列是非平稳的。
例8.1.6检验1978~2006年间中国实际支出法国内生产总值GDPC时间序列的平稳性。下面演示的是检验1978~2000年间中国支出法国内生产总值GDPC时间序列的平稳性。方法原理和过程是一样的，例8.1.6可以作为同学的练习。
首先检验模型3，经过偿试，模型3取2阶滞后：
需进一步检验模型2 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ宽平稳、广义平稳
白噪声（white noise）过程是平稳的： Xt=t ， t~N(0,2)随机游走（random walk）过程是非平稳的： Xt=Xt-1+t ， t~N(0,2) Var(Xt)=t2随机游走的一阶差分（first difference）是平稳的： Xt=Xt-Xt-1=t ，t~N(0,2)如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。
常数项的t统计量小于AFD分布表中的临界值，不能拒绝不存常数项的零假设。
LM检验表明模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。
GDPt-1参数值的t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。
需进一步检验模型1。
检验模型1，经试验，模型1中滞后项取2阶：
GDPt-1参数值的t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。
LM检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。
可断定中国支出法GDP时间序列是非平稳的。
时序预测中的时间序列平稳性检验方法详解(七)
时序预测中的时间序列平稳性检验方法详解时间序列分析是指对一定时间间隔内的数据进行观察、分析和建模的一种统计分析方法。
其中，时序预测是时间序列分析的一个重要应用方向，通过对历史数据的分析和模型构建，来预测未来一段时间内的数据走势。
而时间序列的平稳性是时序预测中的重要前提条件，下面将详细讨论时间序列平稳性的检验方法。
一、平稳性概念及其重要性所谓平稳性，是指时间序列在不同时间点上的统计特性不发生显著的变化。
具体来说，时间序列的均值、方差和自相关性不随时间变化而发生显著变化。
平稳性对于时序预测至关重要，因为只有在时间序列平稳的情况下，我们才能够基于历史数据进行有效的预测。
二、时间序列平稳性的检验方法1. 直观法直观法是一种最简单直接的方法，即通过观察时间序列图来初步判断序列是否平稳。
如果时间序列的均值和方差在不同时间段内基本保持不变，那么可以初步认定序列具有平稳性。
然而，直观法并不够严谨，往往需要结合其他方法进行验证。
2. 统计检验法统计检验法是通过一些统计指标来检验时间序列的平稳性。
常用的方法包括ADF检验、单位根检验、KPSS检验等。
ADF检验是一种通过单位根检验来判断时间序列是否平稳的方法，其基本原理是对原始时间序列进行单位根检验，若序列平稳则对应的p值应当小于显著性水平。
而KPSS检验则是一种基于单位根检验的方法，其原理是对原始序列进行单位根检验，若序列显著偏离平稳则对应的p值应当大于显著性水平。
通过这些统计检验方法，我们可以更加客观准确地判断时间序列的平稳性。
3. 时间序列差分法时间序列差分法是一种通过对时间序列进行差分运算来消除非平稳性的方法。
具体来说，我们可以对原始时间序列进行一阶差分或二阶差分运算，然后对差分后的序列进行平稳性检验。
若差分后的序列满足平稳性条件，则可以认定原始序列具有平稳性。
4. 线性回归法线性回归法是一种利用线性回归模型来检验时间序列平稳性的方法。
具体来说，我们可以建立一个线性回归模型，将时间序列的观测值作为因变量，时间作为自变量，然后对回归系数进行显著性检验。
3.1时间序列平稳性和单位根检验
• 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致 性”要求——被破怀。
• 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” （Spurious Regression）问题。
–表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的 相关性。
–例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势 （非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进 行回归也可表现出较高的可决系数。
2、平稳性的定义
• 假定某个时间序列是由某一随机过程 （stochastic process）生成的，即假定时间 序列{Xt}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一 个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：
–均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； –方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； –协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关，与
• 随机游走的一阶差分（first difference）是平 稳的： Xt=Xt-Xt-1=t ，t~N(0,2)
• 如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过 取差分的方法而形成平稳序列。
二、单整序列 Integrated Series
• 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的， 就称原序列是一阶单整（integrated of 1）序 列，记为I(1)。
m
X t t X t1 i X ti t i 1
模型1 模型2 模型3
零假设 H0：=0 备择假设 H1：<0
• 检验过程
–实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。 –何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为
平稳序列，何时停止检验。 –否则，就要继续检验，直到检验完模型1为止。
• ADF检验在Eviews中的实现
时间序列分析中的平稳性检验
时间序列分析中的平稳性检验时间序列分析是统计学中重要的研究领域，它用于研究随时间变化的数据，并预测未来的趋势。
平稳性检验是时间序列分析的关键步骤之一，它用于确定时间序列数据是否具有平稳性。
本文将介绍时间序列分析中的平稳性检验的基本概念、方法和应用。
一、平稳性的概念在时间序列分析中，平稳性是指时间序列数据的统计特性在不同时间段内保持不变。
具体而言，平稳性要求时间序列的均值、方差和自相关函数在时间上不发生显著的变化。
如果时间序列数据具有平稳性，那么我们可以利用历史数据对未来进行可靠的预测。
二、平稳性检验的方法为了检验时间序列数据的平稳性，常用的方法包括观察法、单位根检验和ADF检验。
1. 观察法观察法是最简单的平稳性检验方法，它通过观察时间序列数据的图表和统计指标来判断数据是否具有平稳性。
如果时间序列数据的均值和方差在不同时间段内保持相对稳定，且自相关函数衰减较快，那么可以初步认为数据具有平稳性。
2. 单位根检验单位根检验是一种常用的平稳性检验方法，它基于时间序列数据是否具有单位根来判断数据的平稳性。
常用的单位根检验方法包括ADF检验、PP检验和KPSS 检验。
其中，ADF检验是最常用的单位根检验方法之一。
3. ADF检验ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）是一种常用的单位根检验方法，它基于Dickey-Fuller回归模型来判断时间序列数据是否具有单位根。
ADF检验的原假设是时间序列数据具有单位根，即非平稳性；备择假设是时间序列数据不具有单位根，即平稳性。
ADF检验的关键统计量是ADF统计量，它的值与临界值进行比较来判断数据的平稳性。
如果ADF统计量的值小于临界值，那么可以拒绝原假设，认为数据具有平稳性；如果ADF统计量的值大于临界值，那么接受原假设，认为数据不具有平稳性。
三、平稳性检验的应用平稳性检验在时间序列分析中具有广泛的应用。
首先，平稳性检验是进行时间序列建模的前提条件，只有具有平稳性的数据才能进行可靠的建模和预测。
时间序列平稳性和单位根检验
结合其他统计和经济模型，深入 研究时间序列数据的特征和趋势， 以更好地理解和预测经济运行情
况。
针对时间序列数据的非平稳性， 探索更为有效的分析和预测方法， 以提高经济预测的准确性和可靠
性。
THANKS
感谢观看
• 帕克-帕朗检验（PP检验）：PP检验与ADF检验类似，也是基于回归模型进行 单位根检验。它通过比较原始序列与一阶差分序列的方差来构建统计量，以判 断是否存在单位根。
• 扩展迪基-富勒检验（ADF-GLS检验）：ADF-GLS检验是ADF检验的一种扩展， 考虑了异方差性问题，提高了检验的准确性。它通过对模型残差进行广义最小 二乘法（GLS）处理来纠正异方差性。
时间序列平稳性和单位根 检验
• 引言 • 时间序列平稳性 • 单位根检验 • 时间序列模型 • 时间序列平稳性和单位根检验的应用 • 结论
01
引言
主题简介
时间序列平稳性
时间序列数据随时间变化而呈现出一定的趋势和周期性。平稳性是指时间序列 数据的统计特性不随时间而变化，即数据的均值、方差和自相关函数等特征保 持恒定。
要点二
意义
在金融、经济、社会和自然等领域中，许多时间序列数据 都具有非平稳性，如股票价格、经济增长、气候变化等。 通过进行平稳性和单位根检验，可以揭示这些数据背后的 动态机制和长期趋势，有助于制定更加科学合理的经济政 策、投资策略和社会发展计划。同时，这些检验方法在统 计学、计量经济学和时间序列分析等领域也具有重要的理 论价值。
模型稳定性
平稳性有助于建立稳定和 可靠的统计模型，因为模 型参数不会随时间而变化。
数据分析基础
平稳性是许多统计分析方 法的前提条件，如回归分 析、时间序列分析和经济 计量分析等。
5.2 时间序列的平稳性及其检验
模型2的估计
结论： 中国实际居民消费 总量增长率序列 GY是平稳的。
检验对数序列lnY
• 首先对lnY的水平序列进行检验，三个模型中参数估计值的统计量的值 均大于各自的临界值，因此不能拒绝存在单位根的零假设，即中国实 际居民消费总量的对数序列是非平稳的。
• 再对lnY的1阶差分序列进行检验，自动选择检验模型滞后项，确定滞 后阶数为0，得到模型3的估计结果：
零假设 H0：=0 备择假设 H1：<0
模型1 模型2 模型3
ADF检验模型
• 检验过程
• 实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。 • 何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为平稳序列，何时停止检
验。 • 否则，就要继续检验，直到检验完模型1为止。
• 检验原理与DF检验相同，只是对模型1、2、3进行检验时，有各自相 应的临界值表。
• 现实经济生活中只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，如利率等;
• 大多数指标的时间序列是非平稳的，例如，以当年价表示的消费额、收 入等常是2阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为1阶 单整。
• 大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式变为平稳的。
• 但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平稳的。这种 序列被称为非单整的（non-integrated）。
四、平稳性的单位根检验
1、DF检验（Dicky-Fuller Test）
X t X t1 t X t X t1 t
随机游走，非平稳
对该式回归，如果确实发现ρ=1，则 称随机变量Xt有一个单位根。
X t ( 1) X t1 t X t1 t
等价于通过该式判断是否存在 δ=0。
• 通过上式判断Xt是否有单位根,就是时间序列平稳性的单位根检验。
时间序列---平稳性检验
时间序列---平稳性检验试验一平稳性检验1.图示判断给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。
一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程；而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。
进一步的判断:检验样本自相关函数及其图形，随着k的增加，样本自相关函数下降且趋于零。
但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快得多。
例题：选择数据1986.01---0995.12的月数据进行分析：时序图：相关系数及图形：初步判断序列为非平稳序列。
2.平稳性的单位根检验原理：对时间序列的平稳性除了通过图形直观判断外，运用统计量进行统计检验则是更为准确与重要的。
单位根检验（unit root test）是统计检验中普遍应用的一种检验方法。
检验一个时间序列Xt的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型Xt=α+ρXt-1+μt （*）中的参数ρ是否小于1。
或者：检验其等价变形式Xt=α+δXt-1+μt （**）中的参数δ是否小于0 。
因此，针对式?Xt=α+δXt-1+μt 我们关心的检验为：零假设H0：δ=0。
备择假设 H1：δ<0然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t 统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t 检验无法使用。
Dicky 和Fuller 于1976年提出了这一情形下t 统计量服从的分布（这时的t 统计量称为τ统计量），即DF 分布（见表9.1.3）。
由于t 统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值的偏态分布。
如果：t<临界值，则拒绝零假设H0：δ =0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。
为了保证DF 检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky 和Fuller 对DF 检验进行了扩充，形成了ADF （Augment Dickey-Fuller ）检验。
实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为平稳序列，何时检模型1： t mi it it t XX X εβδ+?+=?∑=--11 （*模型2： t mi it it t XX X εβδα+?++=?∑=--11 （*模型3： t m i i t it t X X t X εβδβα+?+++=?∑=--11 （*验停止。
计量经济学-第6章⑴时间序列的平稳性及其检验精品文档
0.059 3.679 4.216 6.300 7.297 11.332 12.058 15.646 17.153 18.010 22.414 22.481 24.288 25.162 26.036 26.240 26.381
-0.031 0.157 0.264 -0.191 -0.616 -0.229 -0.385 -0.181 -0.521 -0.364 -0.136 -0.451 -0.828 -0.884 -0.406 -0.162 -0.377 -0.236 0.000
（b）
图形表示出：该序列具有相同的均值， 但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速 下降到0，但随着时间的推移，则在0附近波 动且呈发散趋势。
样本自相关系数显示：r1=0.48，落在 了区间[-0.4497, 0.4497]之外，因此在5% 的显著性水平上拒绝1的真值为0的假设。
该随机游走序列是非平稳的。
• 注意:
确定样本自相关函数rk某一数值是否足够接近 于0是非常有用的，因为它可检验对应的自相关 函数k的真值是否为0的假设。
Bartlett曾证明:如果时间序列由白噪声过程生成， 则对所有的k>0，样本自相关系数近似地服从以0 为均值，1/n 为方差的正态分布，其中n为样本数。
也可检验对所有k>0，自相关系数都为0的联合 假设，这可通过如下QLB统计量进行：
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变 化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的 关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而 且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为 一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关 系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
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X
X
t
t
t
t
(a)
(b)
图 4.1 平稳时间序列与非平稳时间序列图
• 进一步的判断: 检验样本自相关函数及其图形
定义随机时间序列的自相关函数（autocorrelation function, ACF）如下：
k=k/0 自相关函数是关于滞后期k的递减函数(Why?)。
实际上,对一个随机过程只有一个实现（样本）， 因此，可以计算样本自相关函数（Sample autocorrelation function）来判断该随机过程是 否平稳。
一个时间序列的样本自相关函数定义为：
nk X t X X tk X
rk t1
n
Xt X 2
t 1
k 1,2,3,
易知，随着k的增加，样本自相关函数下降且趋
于零。但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳
序列快得多。
rk
rk
1
1
0
k
0
k
(a)
(b)
图 4.2 平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图
(1)X与随机扰动项 不相关∶Cov(X,)=0
(2)
(Xi X)2 / n
依概率收敛： Plim((X i X )2 / n) Q n
第（1）条是OLS估计的需要
第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致
性”特性P：lim(ˆ) n
注意：在双变量模型中：
ˆ xiui xiui / n
例4.1．一个最简单的随机时间序列是一具有零均 值同方差的独立分布序列：
Xt=t ， t~N(0,2)
该序列常被称为是一个白噪声（white noise）。 由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由
定义,一个白噪声序列是平稳的。
例4.2．另一个简单的随机时间列序被称为随机游 走（random walk），该序列由如下随机过程生成：
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变 化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的 关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而 且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为 一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关 系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
Xt=Xt-1+t
这里， t是一个白噪声。
容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)
为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的 初值为X0，则易知
X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2
……
Xt=X0+1+2+…+t 由于X0为常数，t是一个白噪声，因此Var(Xt)=t2 即Xt的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序 列。
时间序列分析模型方法就是在这样的情况下， 以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发 展起来的全新的计量经济学方法论。
时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内
容，并广泛应用于经济分析与预测当中。
二、时间序列数据的平稳性
Hale Waihona Puke 时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列 数据的平稳性问题。
假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1, 2, …） 的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果 满足下列条件：
xi2
xi2 / n
因此：
P lim
ˆ
P lim xiui
/n
0
n
P lim xi2 / n
Q
▲如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势）， 则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基 于大样本的统计推断也就遇到麻烦。
⒊ 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” 问题
表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却 有很高的相关性（有较高的R2)：
不难验证:1)||>1时，该随机过程生成的时间序列是 发散的，表现为持续上升(>1)或持续下降(<-1)， 因此是非平稳的；
2)=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。
第二节中将证明:只有当-1<<1时，该随机过程 才是平稳的。
• 1阶自回归过程AR(1)又是如下k阶自回归AR(K)过 程的特例：
1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数；
3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关， 与时间t 无关的常数；
则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该 随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
• 然而，对X取一阶差分（first difference）: Xt=Xt-Xt-1=t
由于t是一个白噪声，则序列{Xt}是平稳的。
后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的， 它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。
• 事实上，随机游走过程是下面我们称之为1阶自回 归AR(1)过程的特例
Xt=Xt-1+t
Xt= 1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k 该随机过程平稳性条件将在第二节中介绍。
三、平稳性检验的图示判断
• 给出一个随机时间序列，首先可通过该 序列的时间路径图来粗略地判断它是否 是平稳的。
• 一个平稳的时间序列在图形上往往表现 出一种围绕其均值不断波动的过程；
• 而非平稳序列则往往表现出在不同的时 间段具有不同的均值（如持续上升或持 续下降）。
data) ★时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。
⒉经典回归模型与数据的平稳性
• 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。 • 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致
性”要求——被破怀。 • 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变
量 • 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求：
第四章时间序列模型平稳性检验
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的图示判断 四、平稳性的单位根检验 五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
一、问题的引出：非平稳变量与经典 回归模型
⒈常见的数据类型
到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有： • 时间序列数据（time-series data)； • 截面数据(cross-sectional data) • 平行/面板数据（panel data/time-series cross-section