大学物理课件4刚体

刚体平动 质点运动
2018/3/22
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刚体
四、刚体的定轴转动
定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不 动的直线（转轴）上。各质元的线量一般不同（因为半径 不同）但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。
如果转轴上只有一点固定不动，而转轴的方向在不断的改 变，这种运动称为定点转动。
刚体的定轴转动的描述
三、刚体的平动
几何学特征：刚体中任意直线在运动过程中始终
保持平行。
运动学特征：刚体中的各质点具有完全相同的运
动状况（任意时刻相同 v 和 a )。
刚体 → 质点
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刚体
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
a = rαet + rω 2en
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刚体
§4.2 刚体定轴转动的转动定律
一. 力矩(torque)
F 对O 点的力矩：M=
Z
M
MZ
转
动
平O
r
A
面
r
×
F，
M
=
rF
பைடு நூலகம்
sinα
F
M
F
α
r
M 沿Z 轴分量为 F 对Z
轴的力矩 M Z , 如何求？
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刚体
一般而言，力不处在转动平面内
定轴转动的特点：各点绕轴作圆周运动，平行轴的各点具有相 同的运动状态。 转动平面：与转轴垂直的平面。
转动平面上各质点的运动 → 刚体的定轴转动
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刚体
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
刚体的平面运动 .
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+ 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
M = r×F
F1 F
= r × (F1 + F2 )
= r × F1 + r × F2
转动
平面
r
F2
问: r × F1 作用是什么?
答:
r × F1 只能引起轴的
变形, 对转动无贡献。
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因此:
= （1） M Z r= F2 sin α F2d
d = r sinα 是转轴到力作
刚体是大量质点的集合或大量质点组成的系统。
研究的方法：将刚体看成由许多小质点-----质元组 成，利用已知的质点规律的叠加来研究刚体的整体 规律
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刚体
二、刚体的运动分类
整体平动 ⇒ 质点的运动 刚体的运动 → 绕某轴转动 ⇒ 定轴转动
一般运动：质心的平动加绕质心的转动
平动和转动，可以描述所有质元（质点）的运动。
刚体
本课时教学基本要求
1、掌握刚体平动、定点转动和定轴转动等概 念，理解刚体的基本运动为定轴转动和平动；
2、理解力矩和转动惯量的物理意义； 3、掌握刚体转动惯量的计算、定轴转动定律 及其应用；
4、掌握刚体角动量定理和角动量守恒。
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§4.1 刚体运动的描述 一、刚体
比质点更接近自然界中的物体的理想模型，即 考虑了物体的形状和大小，但其形状和大小不会因 受外力而改变。
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刚体
五、刚体运动的描述：（共同特征------角量描述）
1. 角速度、角加速度： 定轴转动：刚体上每一质点
z θ (t)
均在作绕轴的圆周运动
x
角坐标 θ = θ (t)
rr约 沿沿定逆顺时时针 针方 方向 向转 转动 动
θ θ
> <
0 0
参考平面
参考轴
角位移
角速度
∆θ = θ (t + ∆t) −θ (t) ω = lim ∆θ = dθ
Fej
∆m j
Fij
2
J = ∫ r dm
转动定律
M = Jα
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成
正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
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M = Jα = J dω
讨论：
dt
（1） M 一定，J
α
转动惯量是转动惯性大小的量度；
（2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速
用线的距离，称为力臂。
（2） F1 对转轴的力矩垂直 转轴，在定轴转动中不予考虑。
转动 平面
d
F1 F
r
α F2
（3）在转轴方向确定后，力对 转轴的力矩方向可用+、-号表示。
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（4） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
的力矩为正；负方向加速的力矩为负。
（3）问:J 的大小与哪些因素有关?
∑ J = ∆miri2
转轴位置，质量分布
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三、转动惯量
刚体
质量离散分布刚体的转动惯量
∑ J = ∆m jrj2 = m1r12 + m2r22 + j
M ij = −M ji
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二 转动定律推导
1）单个质点m 与转
轴刚性连接
Ft = mat = mrα M = rF sinθ
M = rFt = mr 2α M = mr 2α
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
M ej + M ij = ∆m jrj2α
外力矩
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∆t→0 ∆t dt
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角加速度：平均角加速度
α = ω2 − ω1 = Δω
t2 − t1 Δt
瞬时角加速度
α
=
lim
Δt →0
Δω
Δt
=
dω
dt
=
d2θ
dt 2
α 与ω 方向一致，转动速度越 来越快；
α 与ω 方向相反，转动速度越 来越慢；
ω
角速ω度方作为向矢: 量右：手*螺ω旋方向
θ
=θ0
+ ω0t
+
1 2
αt
2
v2
=
v
2 0
+ 2a(x −
x0 )
ω2
=
ω2 0
+
2α (θ
−θ0)
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3. 角量与线量的关系
ω = dθ
dt
α = dω = d2θ
dt d2t
v = rωet
ω a
an r
et
at v
at = rα
an = rω 2
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内力矩
z
M
Ft
F
O r m θ
Fn
z
O rj
Fej
∆m
j
Fij
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∑ ∑ ∑ M ej + M ij = ∆m jrj2α
j
j
∑ M ij = −M ji ∴ M ij = 0 j
∑ ∑ M ej = ( ∆m j rj2 )α j
∑ 定义转动惯量 J = ∆m jrj2 j
z
O rj
ω
所以角加速度也是矢量
α = dω
dt
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2. 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v = v0 + at
ω = ω0 + αt
x
=
x0
+
v0t
+
1 2
at 2