2020届河北省衡水中学高三第六次调研考试数学(理)试题

A.A B x|x<0B.A B RC.A B x|x 1D.A B2. 若函数 f (x )＝为奇函数， 2x 1 2x a为奇函数，则 a 等于 (A.23 . 若 x ∈ （0， 1） a ＝ lnx ， b ＝ 1 lnx ，2c ＝e lnx,则 a ， b ， c 的大小关系为 A ．b >c >a B ． c > b > a C ．a > b > c D ． b >a >c2ax 3在区间( - ，-3] 上单调递减时a 的取值集合为 A ，不等式4.记函数 f (x)1x 1 a(x 2)恒成立时实数a 的取值集合为 B ，则 "x A" 是"x B"的( )x22020届河北省衡水中学高三第六次调研考试高三数学 ( 理科)★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用 2B 铅笔将答题卡上试卷 类型 A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答 案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)1. 已知集合 A ＝｛x | x <1｝，B ＝｛ x | 3x <1｝，则A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 正三角形 ABC 中, D 是线段 BC 上的点 ,AB=6, BD=2, 则 AB AD ( )A.12B. 18C. 24D. 306. 在下列给出的四个结论中 , 正确的结论是 ( )A. 已知函数 f(x)在区间 (a,b)内有零点,则 f(a) f(b) 0B. 若 a b 1,则 3是 3a 和3b 的等比中项C. 若e 1, e 2是不共线的向量，且 m e 1 2e 2,n 3e 1 6e 2,则m/ /n10.已知函数 f(x) 3 2sin xcos x 2 3cos 2x( 0)在区间( 0， 极值点，则 的取值范围为(最小值为(．8 ．12D. 已知角 终边经过点 (3,-4),则cos7. 等比数列 a n 的各项均为正数， log 2a 1 log 2a 2 ... log 2 a 10 (已知向量a (a 4,a 5),b ( a 7 , a 6 ),且 a b 4,A. 12B. 10C. 5D.2 log 2 58.在 ABC 中，内角 A, B,C 所对边分别是3bc, 则角 B 的大小(b 2c 2 a 2a 、 b、c, 若 csinC=acosB+bcosA, 且 A. 6 B. 39.已知函数 f(x) aln x 1(x 2)2在[1,+C.2D.3) 上是减函数，则实数 a 的取值范围是(A. [ 1, )B. ( 1, )C. ( , 1)D. ( , 1])内有且只有一个A.(0, 5 ]12B.(0, 11]12C.(152,1121 ]D.[ 5 ,11]12 1211.已知函数 f (x)log 2( x 2 1 x)，若对任意的正数 a 、 b, 满足 f(a)+f(3b-1)=031 则 3 1 的 ab．2 412. 定义在R上的可导函数 f (x)满足f (1) 1,且2f '(x) 1,当x [ ,3]时，不等式 f (2cos x) 2sin2 x 3 2 2 2 2 的解集为( )A.（3，B.（3，3）C.（0，3）D.（3，3）第II 卷二、填空题(本题共4道小题，每题5分,共20分,其中第16题第一空2分,第二空3分,请将正确的答案填在横线上)13. 已知sin( ) _________ 3,则cos( ) ___ .6 3 314. ____________ 设函数f (x) x3 (a 2)x2 2x,若f(x)为奇函数，则曲线y=f (x)在点(1,3)处的切线方程为_________ .15. 已知a，b的夹角为, 且a 1,2a b 10,则b _______ .16. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有1 12,2 6,3 4三种，其中3×4 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解.当p q(p q且p,q N )是正整数n 的最佳分解时我们定义函数 f (n) q p,例如 f (12) 4 3 1.则f (88)的值为_________________ ，数列 f (5n)(n N )的前2020 项和为 ______ .三、解答题(第17题10分，第18题至22题每题12分，共计70分)17. 已知数列 a n n 1 是以 2为首项，2为公比的等比数列，1)求数列 a n 的通项公式；2)若b n log 2 a n (n N ),求数列 1的前n 项和T n .b n b n 118. 在 ABC 中， A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos2A 3cos(B C) 1 (1)求A 的值；(2)若 ABC 的面积为 3 3，b 3，求 sinB sin C 的值.19.已知向量 a ( 2, 2cos2( x )),b ( 2, 2),其中 0,0 ,函数f(x) a b2 2 2 的图像过点 B(1，2),点B 与其相邻的最高点的距 离为 4.(1)求函数 f (x)的单调递减区间； (2)计算f (1) f(2) ... f (2019)的值.20. 如图，有一块边长为 1(百米 )的正方形区域 ABCD .在点 A 处有一个可 转动的探照灯，其照射角∠ PAQ 始终为 45°( 其中点 P ，Q 分别在边 BC ，CD 上) ，设 BP ＝t (百米)．(1) 用 t 表示出 PQ 的长度，并探求△ CPQ 的周长 L 是否为定值； ABCD 内部区域的面积为 S (平方百米 ) ，求 S 的最大值 .(1)求证：数列 b n 1 为等比数列，并求 a n 的通项公式 (2) 设c n 1 ,数列 c n 的前 n 项和为 S n ,求证： S n n 2. b n 22.已知函数 f (x) a x +b x (a 0,b 0,a 1,b 1)1(1)当a 2,b 21 时,①求方程 f (x) 2的根；②若对 x R,不等式f (2 x) mf (x) 6恒成立，求实数 m 的最大值；2)若 0 a 1,b 1,函数 g(x) f (x) 2有且只有 1个零点，求 ab 的值 .(2) 设探照灯照射在正方形21.已知数列 a n 满足 a 1 2,a nan 1nan 1n2(n 1)a n ,设b n.高三数学（理科）答案、选择题1. A【解析】：∵集合A={x| x<1} ，B={x|3x<1}={ x| x<0}，∴A∩B={x|x<0}，所以A正确，D错误，A∪B={x|x<1}，所以B和C都错误。

2. B【解析】：由题意得f（－x）＝－f（x），则＝＝－，则－4x2＋（2－2a）x＋a＝－4x2－（2－2a）x＋a，所以2－2a＝－（2－2a），所以a＝1.3. A解析】：利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．11 ∵x∈（0，1），∴ a＝lnx <0，b＝（）lnx>（）0＝1，220< c＝e lnx<e0＝1，∴a，b，c 的大小关系为b>c>a．故选：A．4. B【解析】函数在区间上单调递减,,即, 不等式恒成立等价于,又当时, ,当且仅当时即时等号成立,符合条件,，,即, ,“ ”是“ ”是的充分不必要条件,故选B．5. D解析】：先用表示出，再计算数量积．因为 ， ，则 , ,6. C【解析】： 已知函数 在区间 内有零点 ,没有强调 是否单调 ,所以 的值可能是正数 ,可以是负数 ,也可能是 0,故 A 错误；B.若 3 是 与 的等比中项 ,则 ,,故 B 错误；C.m e 1 2e 2,n 3e 1 6e 2 ,则,所以,故 C 正确；D. 已知角 终边经过点 ,则 ,故 D 错误．故选 C ．7. 【答案】 C【解析】解：向量 ,,且 ,,由等比数列的性质可得： , 则． 故选： C ．8. B解析】：由正弦定理得 得 , 所以 ．又, 得 ．所以 ．故选 B ．, ,,故选： D ．9.D【解析】：在在恒成立 ,上是减函数 ,所以10. C【解析】：函数,由于,所以,根据函数的图象得知：在区间内有且只有一个极值点, 根据函数的单调性,所以且, 所以,故选：C．．11. C【解析】：先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得，最后根据基本不等式求最值.因为所以定义域为，因为，所以为减函数因为，, 所以为奇函数，因为，所以，即，所以所以（当且仅当，时，等号成立）12. D在定义域R 上是增函数,且, 又, 且,故选 D ．令, 则, 即、填空题14. 5x-y-2=0【解析】：函数 ，若 为奇函数，可得 ，所以函数 ， 可得 ， ；曲线 在点 处的切线的斜率为 5, 则曲线 在点 处的切线方程为： ．即 5x-y-2=0 15.3 2【解析】： ∵ ， ∴ ， ∴，∴，解得： = ，16. 3； 51010-1解析】： 88=11×8=2×44=1×88=4×22，可得 f (88)=11-8=3 ；当 n 为奇数时，10100 1 1009 1 5 1010S 2020 4(5 5 ... 5 ) 4 5 1 20201 5三、解答题17. 【答案】 (1) a n 22n1；(2) T n 2n n 1详解】（ 1）由等比数列通项公式得：a n n 1 n 2n n12 2n 1 2n 解析】： ∵ ＋ α ＋ － α＝ ，cos＝sin ＝ .810a n 2n 122n 1 (4)2)由( 1)可得： b n log 2 2 2n 1 (6)1 1 1 1b n b n 1 2n 1 2n 1 2 2n 12n 111 111 1 T n 1n 233 52n 11 1 11 n 2n 12 2n 1 2n 1918. 【答案】（ 1） （ 2）3 13【详解】 1) A B C ， cos B C cosA ， ............... 1 分 所以原式整理为2cos 2 A 3cosA 2 0 , 1 解得： cosA 2 (舍)或 cosA ............................................... 3 2 0 A , A ; ......................................................................... 5 3 2)S 1bc sinA 1 3c 3 3 3，解得 c 4，2 2 2...................... 7 2 2 2 1 根据余弦定理 a 2 b 2 c 22bc cosA 9 16 2 3 4 13 a 13 .............................................. 9 2 a b c 3 39 2 39 ，代入解得： sin B ,sin C , ............................................ 11 sin A sinB sinC 26 13 sin B sin C 9 13 ....................................................... 12 19. 【答案】 （1）［4k 1,4k 3］， k Z ；（2）2019； 详解】 1）a ( 2, 2cos( x ),b (2f (x) a1 cos2( x ) (1)∴f （x ）max ＝2，则点 B （1，2）为函数 f （x ）的图象的一个最高点． (2)分分分分分分分 分∵点 B 与其相邻的最高点的距离为 4，∴22 4，得 4 的图象过点 B （1，2）， 1-cos （ +2 ）=2即sin 2 1＝1.3f (x) 1 cos2( x ) 1 sin x ，由 2k x 2k ， 4 4 2 2 2 2 得4k 1 x 4k 3， k Z ．∴f （x ）的单调递减区间是 [4k 1,4k 3]，k Z ．2）由（ 1）知， f （x ）＝1+sin 2 x ，∴f （x ）是周期为 4 的周期函数，且 f （1）＝2，f （2） 1，f （3）＝0，f （4）＝1∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4 10 而 2019＝ 4×504+3， 11 ∴f (1)+f (2)+...+f ( 2019)＝ 4×504+2+1+0＝2019 12 1 t 2 20【. 答案】(1)PQ 1 t ，l =2为定值 .(2)S max 2 2.1t 详解】 （1）由 BP ＝t ，得 CP ＝1－t,0≤t ≤1，设∠PAB ＝θ，则∠ DAQ ＝45°－θ，1-t 1-t 2t DQ tan(45 ) 11-t t ,CQ 1 11-t t 2t 1t 分. PQ CP 2 CQ 2 (1 t)2 (12t t )2 1 t 2 1t 2 2t 1 t 2 l CP CQ PQ 1 t 2,是定值 . 1 t 1 t 1 1 1 t (2)S S 正方形ABCD S ABP S ADQ 1 1 2 1 t 2 1 1 t t 1 2 1 t 1 1 ( 1 ) 2 ( ) ...................................................................... 2 2 1 t 2 1 t 由于 1+t>0 ， 10 则S 2 (12t 11t ) 2 2 12t 11t 2 2∵函数 f （x ）∵ 0< < ， 2 ∴φ4当且仅当 ＝ ，即 t ＝ － 1时等号成立， .................... 11 分 故探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大为 2 2 平方百米． ........ 12 分n21【. 答案】()1 a n n n 22n 1详解】证明：()1 由已知易得 a n 0,由 a n a n 1 na n 1 2(n 1)a n 得1+n 2(n 1) 2分a n a n 1 11即2b n 1 b n 1,又b 1 1 1n 1 n 1a 1 2b n 1 是以 1 为首项，以 1为公比的等比数列， ...... 4 分n2 2 1 n 2 n 1 ......................................................................... ..11分2n 1n 2 ................................................................................ 12 分 22【答案】( 1)① x=0 ②m 的最大值为 4 (2)ab=1(1)①由已知可得 2x (1)x 2 【详解】： 1 2即2x ( 1x ) 2 (2x )2 2 2x 1 0,解得 2x =1， x 0 ................................... 2分 2x1②f(x)=2 x (1)x 2x2 x ,令t 2x 2 x ,则t 2 .................................... 3分 11 b n 1 ( 12) (21) n1 (2) ,即a n 1 (2) , 整理得 a n n 2n2n 1 6分(2) b n 1 (12)n , c n1 (12)n 1 2n 1 ...................... 7分11 S n n 2 2 1 22 n 1 1 1 . n 20 21 22 . 1 1 23 1 .. 1 ..............2n 1n 1 n 2n 1 .8分10 分又f (2x) 22x2 2x t22故f (2x) mf (x) 6可化为t22 mt 6 ................................ 4分即m t 4，t 2, t 4 2 t 4 4(当且仅当t 2时等号成立) ................ 5 分m (t 4)min4,即m的最大值为 4 .......................................................................... 分.6(2) 0 a 1,b 1lna 0,lnb 0 g(x) f (x) 2 a x b x2,g'(x) a x lna b x lnba x ln a单调递增，b x ln b单调递增, g'(x)为单调递增函数...... 7 分又x 时，g'(x) - ，x + 时，g'(x) +g'(x)是值域为R的函数..................... 8 分g'(x) 一定存在唯一的变号零点, g(x) 为先减后增函数且有唯一极值x0 .......... 9 分由题意g( x)有且仅有一个零点,则g(x)的极值一定为0,即g(x0) 0而g(0) a0b02 0,故极值点x00, g'(0) 0即lna lnb 0, ab 1 ................................................................ 1分2。