等腰三角形三线合一性质应用
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等腰三角形专题
基本知识总结:
1、基本概念:有两条边相等的三角形才是等腰三角形,所有的证明需证明至此(如:若知
道三角形的两个底角相当,则需要使用等角对等边,证明边相等才可)
2、性质:①等边对等角
②三线合一
3、判定:等角对等边
常见题型:
1、等腰三角形的构造型问题:
(1)①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角
(2)找点问题
例1:如图,有直线m,n ,m,n 之间的间距为2cm ,在n上取AB 3cm ,在m上取点p ,
使得PAB 为等腰三角形,则满足条件的点p 有几个?
m
n
A B
变式1:若取AB 2cm ,则点p 有几个?
变式2:如图,在Rt ABC 中,ABC 90 ,BAC 30 ,在直线BC或AC上取一点P ,使得PAB 为等腰三角形,则符合条件的点p 有几个?
2、三线合一的性质应用(知二即知三)
应用一:证明角度和线段的相等及倍数关系
例1:已知:如图,在ABC 中,AB AC ,BD AD 于D ,求证:BAC 2 DBC .
例2:△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,若 D 为BC的中点,过 D 作DM ⊥DN 分别交AB、AC于M、N,求证:DM=DN.
变式1:若DM⊥DN 分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM 和DN 有何数量关系。
变式2:如图,在ABC 中, A 90 ,AB AC ,D 是BC 的中点,P 为BC 上任一点,作PE AB ,PF AC ,垂足分别为E、F ,求证:(1)DE DF ;(2)DE DF
应用二:证垂直平分
例3:已知,如图,AD 是ABC 的角平分线,DE、DF 分别是ABD 和ACD 的高。求证:AD 垂直平分EF .
例4:已知四边形ABCD 中,ACB ADB 90 ,M、N 分别为AB、CD 的中点,求证:MN 垂直平分CD .
应用三:逆命题:知二即知等腰
①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形.(线段垂直平分线的性质)
②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.
③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.
例5:如图,D、E 分别是AB、AC的中点,CD⊥AB 于D,BE⊥AC于E,求证:AC=AB.
例6:已知,在△ABC中,AD 平分∠BAC,CD⊥AD,D 为垂足,AB>AC。求证:∠2=∠1+∠B
例7:已知,△ABC中,AD 是它的角平分线,且BD=CD,DE∥AC、DF∥AB 分别与AB、AC 相交于点E,F。求证:DE=DF