材料力学扭转第4节 圆轴扭转时横截面上的应力
合集下载
材料力学-扭转
扭转角（ 扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线相对转动的角度。又称为角 位移。通常用ϕ表示。ϕB − A表示B截面相对A截面转过的角度。 剪应变（ 剪应变（γ）： 剪应变又叫角应变或切应变，它是两个相互垂直方 向上的微小线段在变形后夹角的改变量（以弧度表示， 角度减小时为正） O ϕ B m
A m
γ
第二节 杆受扭时的内力计算
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面： 实心圆截面：
2
I p = ∫ ρ d A = ∫ ρ (2 πρ d ρ )
2
ρ
d O
dρ
A
d 2 0
= 2 π(
ρ
4
d /2
4
)
0
πd = 32
4
d A = 2 πρ d ρ
πd 3 Wp = = d / 2 16 Ip
空心圆截面： 空心圆截面：
T T = ρ max = IP IP T = WP
ρ max
Ip—截面的极惯性矩， 截面的极惯性矩，单位： 单位：m 4 , mm 4 Ip 3 3 WP —抗扭截面模量， WP = 抗扭截面模量，单位：m , mm .
ρ max
整个圆轴上——等直杆： 等直杆： τ max
Tmax = WP
三、公式的使用条件： 公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。 弹性范围内工作。
Tmax Wp
πD 3 实心, 16 T max W = 2）设计截面尺寸: 设计截面尺寸:WP ≥ 3 P [τ ] πD (1 − α 4 ) 空心. 16 ≤ ⇒ m 3）确定外荷载: 确定外荷载: Tmax WP ⋅ [τ ]
≤
扭转刚度计算.
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ ] =1.0°/m，工作时最 内径d=85mm，许用切应力 [ ]=60MPa，
大力偶矩M =1500N· m，G =80GPa。
(1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。
max 180M n /(GI P ) [θ ]
下列标准。 精密机械的轴 一般传动轴
(6-13)
[ ]的数值，可从有关手册中查得。一般情况下，可参照 [ ] =（0.25~0.5）°/m [ ] =(0.5~1.0) °/m [ ] =(1.0~2.5) °/m
精度要求不高的轴
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
M n Wn [ ] (0.2 403 109 60106 )N m 768N m
M M n 768N m
(2) 确定最大功率
由式（6-1）得
P M nn / 9550 (768 200/ 9550 )kW 16kW
二、刚度计算 圆轴扭转时，还要求不产生过大的扭转变形。即
第四节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
，即
max M n/W n [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴，已知轴的直径d=40mm，转速n=200r/min， 材料的许用切应力 60MPa ，试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
0.8/m ＜ [ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强
扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)
1.5 10 6
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
建筑力学-3 扭转应力及强度
Oρ
切应力的计算公式
τ
T =
ρ
IP
τmax
(b)
山西建筑职业技术学院 建筑工程系 建筑力学教研室
建筑力学
τ
T =
ρ
IP
IP —— 截面对圆心的极惯性矩，与圆截面的尺寸有 关，单位为 mm4。
Tτ R
Oρ
τmax
τmax
对于一个指定截面，扭矩T与极惯性矩 IP 是定
值，ρmax = R 时，切应力 τ 取得最大值，即
(2) 两相邻横截面之间的距离也保持不变。
山西建筑职业技术学院 建筑工程系 建筑力学教研室
建筑力学
为进一步弄清圆轴横截面上应力的分布情况，用相邻两截面截取受扭
圆轴一微段dx，如图a所示。
由于横截面的间距保持不变，未发生轴向变形， 故横截面上没有正应力；
圆轴横截面上的半径Oa ，受扭后其位置转至Ob ，
τmax
TR =
IP
令
WP =
IP R
τmax
=
T WP
式中WP与圆截面的尺寸有关，称为抗扭截面系数，是反映圆轴抗扭 的几何量，单位为 mm3。
山西建筑职业技术学院 建筑工程系 建筑力学教研室
建筑力学
实心圆、空心圆的极惯性矩和抗扭截面系数
截面形状
有关尺寸
极惯性矩
抗扭截面系数
实心圆形 空心圆形
d
πD4
如果将这部分材料移至截面外围，使其成 为空心轴，如图所示，这样便提高了材料的利用 率。因此，空心轴较实心轴合理。
τmax
τmax τmax
山西建筑职业技术学院 建筑工程系 建筑力学教研室
建筑力学
山西建筑职业技术学院 建筑工程系 建筑力学教研室
材料力学-第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
B
I
C
A
II
D
III
I
II
III
M
x
0
确定各段圆轴内的扭 矩。
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
3 ． 建立 Mx － x 坐 标系，画出扭矩图 建 立 Mx － x 坐 标 系，其中x轴平行于 圆轴的轴线，Mx轴垂 直于圆轴的轴线。将 所求得的各段的扭矩 值，标在 Mx － x 坐标 系中，得到相应的点 ，过这些点作x轴的 平行线，即得到所需 要的扭矩图。
P M e 9549 [N m] n
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/ 分（r/min）。 如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 N•m/s），则
P[马力] M e 7024 [N m] n[r / min]
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 剪应力互等定理 剪切胡克定律
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件 结论与讨论
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
绘出扭矩图：
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
B C
I
外加扭力矩、扭矩与扭矩图 A III D II
I 扭矩Mn-图
II
III
159.2
（+）
（-）
63.7 159.2
M n,max 159.2( N m)
（在CA段和AD段）
I
C
A
II
D
III
I
II
III
M
x
0
确定各段圆轴内的扭 矩。
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
3 ． 建立 Mx － x 坐 标系，画出扭矩图 建 立 Mx － x 坐 标 系，其中x轴平行于 圆轴的轴线，Mx轴垂 直于圆轴的轴线。将 所求得的各段的扭矩 值，标在 Mx － x 坐标 系中，得到相应的点 ，过这些点作x轴的 平行线，即得到所需 要的扭矩图。
P M e 9549 [N m] n
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/ 分（r/min）。 如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 N•m/s），则
P[马力] M e 7024 [N m] n[r / min]
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 剪应力互等定理 剪切胡克定律
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件 结论与讨论
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
绘出扭矩图：
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
B C
I
外加扭力矩、扭矩与扭矩图 A III D II
I 扭矩Mn-图
II
III
159.2
（+）
（-）
63.7 159.2
M n,max 159.2( N m)
（在CA段和AD段）
材料力学(第五版)扭转切应力
(
)
d 2 = 0.8D2=43 mm π 2 d1 A1 452 4 = = =1.95 2 2 A2 π D2 1 α2 53.7 1 0.8 2 4
(
)
(
)
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。
理由？ 理由？
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因： 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：
(
)
五、圆轴扭转时的强度条件 圆轴扭转时的最大切应力不能超过 材料的许用切应力
τmax
T ax m = ≤ [τ] W p
例题 d2
A
B
C
d1 mA mB mC
已知： 已知：阶梯轴尺寸如图 mA = 22 kN m, mB = 36 kN m, mC =14 kN m
[τ]= 80 MPa
d1 =120 m , d2 =100m m m
对于钢材: 对于钢材:
200 G= = 80GPa 2(1+ 0.25)
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察： 变形观察：
圆周线不变（大小、 圆周线不变（大小、 间距都不变） 间距都不变） 纵向线倾斜， 纵向线倾斜， 倾斜角相同 表面矩形变成 平行四边形
薄壁圆筒由于壁很薄， 薄壁圆筒由于壁很薄，表 面变形即为内部变形。 面变形即为内部变形。
圆轴内部任意一点的切应力 圆轴内部任意一点的切应力 τ ρ 与该点到圆心的距离ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比
d τ ρ = Gρ dx
(c)
ρ =0
τρ = 0
ρ=R
τ ρ =τ max
d = GR dx
三、静力关系
《材料力学》第四章 扭转
第四章 扭转§4—1 工程实例、概念一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4、钻井中的钻杆工作时受扭。
二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
轴：主要发生扭转变形的杆。
§4—2 外力偶矩、扭矩一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。
外力偶矩：m)(N 9549⋅=nPm 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。
外力偶矩：m)(N 7024⋅=nPm 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）mT m T mx==-=∑002、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
）3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
作法：同轴力图：§4—3 薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚0101r t ≤,0r ：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
1、实验：2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。
4、定性分析横截面上的应力(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。
⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。
同济大学材料力学第四章 扭转 3学时
N马力 m 7.02 n
(kN m)
N KW m 9.55 n
(kN m)
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
2 求扭转内力的方法—截面法
Ⅰ
Ⅰ
3 受扭圆轴横截面上的内力—扭矩
I
Mn
I
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
4 扭矩的符号规定—右手螺旋法则
mI I
m
Mn
扭 矩 符 号 规 定 ：
m1
d1
m2
d2
m3
I P1 I P2
d1
A
0.8kN· m
0.8m
B
1.0m
C
32 d 2 4 236cm 4 32
25.1cm
4
AB
BC
M n1L1 0.0318rad GI P1
M n 2 L2 0.0079rad GI P 2
1.5kN· m
AC AB BC 0.0318rad 0.0079rad 0.0239rad
0
τ
τ
σmin
τ
45 0
0
σmax
第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算
3 圆轴扭转时的强度条件 为保证圆轴安全工作，要求轴内的最大工作切 应力不超过材料的许用切应力，即：
max
式中的许用扭转切应力 ,是根据扭转试验, 并考虑适当的工作安全系数确定的.
M n max WP
159.2
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
课堂练习 图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA＝4kN·m， mB＝10kN·m, mC＝6kN · m，试求1－1截面和2－2截面上的 轮 扭矩，并画扭矩图。
圆轴扭转时的强度和刚度计算
A1 / A2 = [π (D 2 − d 2 ) / 4] /(πD 2 2 / 4) = (90 2 − 852 ) / 612 = 0.235
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
I P = 0.1D 4 (1 − a 4 ) = {0.1 × 90 4 [1 − (85 / 90 ) 4 ]}mm 4 = 134 × 10 4 mm 4 θ max = 180 M n /(πGI P )
= (180 × 1500 × 10 3 / 80 × 10 3 × 134 × 10 4 π ) × 10 3 °/m
= 0.8°/m ＜ [θ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强 度相同，当材料相同时，它们的抗扭截面系数应相等，即
W n = πD 13 / 16 = πD 3 (1 Βιβλιοθήκη a 4 ) / 16由此得
D 1 = D3 1 − a 4 = [90 × 3 1 − (85 / 90) 4 ]mm = 53mm
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ 内径d=85mm，许用切应力 [τ ]=60MPa，θ ] =1.0°/m，工作时最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。 (1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
θ max = 180M n /(πGI P ) ≤ [θ ]
(6-13)
材料力学-第4章 扭转
18
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
变 形
O
dx
ρ
R A
d
O’
( ) G G
d
dx
应变特征
B B´
A
B B´
应力分布
C
C
D D´
D D´
应力公式
BB Rd G G G AB dx
19
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
材料力学
第四章 扭 转
1
材料力学－第4章 扭转
内容提纲：
• • • • • • • • 概述及示例 外力偶矩、扭矩和扭矩图 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件 扭转静不定问题 非圆截面轴扭转 薄壁杆扭转
2
材料力学－第4章 扭转
概述及示例
3
材料力学－第4章 扭转
9
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
• 在工程中，功率常用千瓦 Pkw (kW) 或马力 P 给出，角 速度用转速 n(r/min (转/分钟)) 给出，则外力偶矩的计算 公式为
PkW M e 9549 nr /min M e 7024 P 马力 nr /min
1 Pkw (千瓦) 1000 N m /s 1 P (马力) 735.5 N m /s
45o
32
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转破坏与强度条件
从破坏类型可见，对于脆性材料（如铸 铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉应力 因此，本质上讲，应对斜截面上的正应力 进行强度计算。然而，由于斜截面上的正应力和 横截面上的剪应力间有固定的关系，所以，习惯 上仍按最大剪应力进行强度计算
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
变 形
O
dx
ρ
R A
d
O’
( ) G G
d
dx
应变特征
B B´
A
B B´
应力分布
C
C
D D´
D D´
应力公式
BB Rd G G G AB dx
19
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
材料力学
第四章 扭 转
1
材料力学－第4章 扭转
内容提纲：
• • • • • • • • 概述及示例 外力偶矩、扭矩和扭矩图 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件 扭转静不定问题 非圆截面轴扭转 薄壁杆扭转
2
材料力学－第4章 扭转
概述及示例
3
材料力学－第4章 扭转
9
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
• 在工程中，功率常用千瓦 Pkw (kW) 或马力 P 给出，角 速度用转速 n(r/min (转/分钟)) 给出，则外力偶矩的计算 公式为
PkW M e 9549 nr /min M e 7024 P 马力 nr /min
1 Pkw (千瓦) 1000 N m /s 1 P (马力) 735.5 N m /s
45o
32
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转破坏与强度条件
从破坏类型可见，对于脆性材料（如铸 铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉应力 因此，本质上讲，应对斜截面上的正应力 进行强度计算。然而，由于斜截面上的正应力和 横截面上的剪应力间有固定的关系，所以，习惯 上仍按最大剪应力进行强度计算
材料力学课件第三章 扭转
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
3.4.2 最大扭转切应力和强度条件
第三章 扭转
1. 最大扭转切应力：
由
T
Ip
知：当
R , max
max
TR Ip
T Ip R
T Wp
(令 Wp I p R )
max
T Wp
Wp — 扭转截面系数，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
Wp
d3
16
Wp
(D4
16
d4)
D3(1 4 )
16
3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
2、强度条件
强度条件：
max
Tm a x Wp
[ ]
第三章 扭转
许用切应力 u
n
τ s---- 扭转屈服极限 ——塑性材料 τ b---- 扭转强度极限 ——脆性材料 τ u---- 扭转极限应力 ——τs和τb的统称
MB
MC
MA
MD
B
C
解：计算外力偶矩
A
D
MA
9549 PA n
1592N m
MB
MC
9549 PB n
477.5N m
MD
9549 PD n
637N m
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
第三章 扭转
3.2.2 扭矩和扭矩图
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2 截面法求扭矩
剪应力在互相垂直的面上同时存在，数值相等，其方向都垂直于这 两个面的交线，且都指向或者都背离该交线。
3–4 圆轴在扭转时的应力3-5 3-6 3-7
d1
l
(b)
d 2 D2
d13
16
3 D2 (1 4 )
l
16
D2 3 1 1.194 4 d1 1 0.8
§3–5 圆杆在扭转时的变形
一、扭转变形
1、圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 来度量的
d T dx GI p
其中 d 代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角。 长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算
2
D 2 d 2
32 4 D 4 (1 ) 32
(D d )
4 4
d ( ) D
④ 应力分布
（实心圆截面）
（空心圆截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
⑤ 确定最大剪应力： 由
T Ip
知：当
d R , max 2
精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）
max 4C 1 0.615 8DP K 8DP 4C 4 C d 3 d 3
D 其中： C 称为弹簧指数。 d 4C 1 0.615 K 称为曲度系数。 4C 4 C
弹簧丝的强度条件:
C
B
a
b
l
§3–6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形
一、应力的计算
螺旋弹簧簧丝的轴线是一条空间螺旋 线，当螺旋角很小时（如小于5°）， 即可忽略其影响，认为簧丝的横截面 与弹簧的轴线在同一平面内，该种弹 簧称为密圈螺旋弹簧。当簧丝横截面 直径远小于弹簧圈的直径时，可近似 的用直杆公式计算。
T Q
=
Q
+
园轴扭转横截面上剪应力计算
2 扭矩旳正负要求
§4-3 薄壁圆筒扭转时旳应力 剪切虎克定律 1 应力计算措施和公式 2 剪切虎克定律公式 3 E G μ之间旳关系
§4-4 圆轴扭转时旳应力和强度条件
一、圆轴扭转时旳应力
• 受扭圆轴横截面上有何应力？ • 其应力公式怎样分析与推导？
应力分析措施
试验观察 几何关系 应变分布 物理关系 应力分布 平衡 方 程 应力表达式
例：三个正方形微元体受力后变形如图， 求：三者剪应变
（）
（0）
（2）
2、横截面上剪应力旳计算
nm
Me
ab
cd
nm Me
Me
nm Me
nm
用一平面从mm截面处假想旳把杆件提成两部分，留左 边部分为研究对象，因为筒壁旳厚度很小——可以为沿壁厚 剪应力不变 。
因为圆周方向各点情况相同——圆周各点旳应力相等。
于是单元体abcd旳ab边相对于cd也发生了微小旳相对错 动，引起单元体abcd旳剪切变形。
如图所示：ab边对cd 边相对错动旳距离是：
m
n aa' Rd
d c
a
a
b
eR e
d
b
m
n
dx
e
e
d
m
n
d c
a
a
b
eR e
d
b
m
n
dx
aa' R d 直角abc旳角度变化量： ad dx
e
1
MB
MC
2 T2 x
B1
C2
M x 0 M B MC T2 0 T2 M B MC＝477.5 2 955N m
3 MD
x
材料力学 第五章扭转应力(4,5)
3.静力学关系
T
dA T
A
dA
d G dx dA T A d G 2 dA T dx A
I p 2 dA 极惯性矩
A
dA
o
d T dx G I p
由(b)式：
d T G G GIp dx
T Ip
2
T 4 X
D 4 (1 4 ) IP 32 5.8 10 6 m 4
-2
(3)算相对扭角
TABl AB TBClBC CA BA CB GI P GI P l 0.5(2 4) 103 (TAB TBC ) GI P 80109 5.8 106 0.216102 (rad ) 0.1240 TBC l BC CB GI P
[ ] 2( o / m) 一般机械
例题 3-5
图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 N· m， M2 = 955 N· m，M3 = 637 N· m，lAB = 300 mm，lAC = 500 mm，d = 70 mm ，钢的切变模量G = 80 GPa。试求横截面C 相对于B的扭转角BC 。
max
180 10 3 T 56.5 MPa 2 2 0.13 0.03 2 r 2 t
T
(2) 利用精确的扭转理论可求得
max (1 4 )D 3 / 16
18010 [1 (230/ 290) 4 ]0.293 / 16
3
max
T max Ip
Ip
T Wp
WP
max
(抗 扭 截 面 模 量 )
圆轴纯扭转时横截面上的正应力研究
0. 34
40. 0
130
1. 62
0. 85
乙烯塑料
0. 35
3. 5
30
0. 47
1. 56
混凝土
0. 17
18. 0
26
0. 05
0. 20
聚碳酸酯
0. 50
4. 0
50
1. 41
2. 81
·28 ·
集美大学学报 (自然科学版)
第6卷
2 结论
1) 圆轴扭转时 , 横截面上确实存在正应力 , 对于各向同性材料 , 横截面上的最大正应 力与同截面上的最大剪应力的平方成正比 , 而与材料的纵弹性模量 E 成反比.
集美大学学报 (自然科学版)
Journal of Jimei University(Natural Science)
[ 文章编号 ] 1007 - 7405 (2001) 01 - 0025 - 04
Vol. 6 No. 1 Mar. 2001
圆轴纯扭转时横截面上的正应力研究
张晓明
(集美大学机械工程学院 , 福建 厦门 361021)
文章编号1007740520010104圆轴纯扭转时横截面上的正应力研究集美大学机械工程学院福建厦门361021摘要以平面假设为基础分析圆轴扭转时横截面上的正应力分布以及最大正应力与最大剪应力的相对比值的影响因素并对强度计算时是否必须考虑扭转正应力提供了判断依据
第 6 卷 第 1 期
2001 年 3 月
规律如图 (3) 所示. 在圆轴周边上
各点拉应力最大 , 而在轴心压应力
最大.
(σ′) max = Eτ2max/ 4 G2 (σ′) mim = - Eτ2max/ 4 G2 (12)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1 4 )
例4-3 已知实心轴的直径 D 60 mm，轴的转速 n 150 r/min，传递的功率 P 35 kW，试求：距圆
心为 10 mm处的切应力，以及最大切应力。
解：1）计算外力偶矩
T
MA
9550
P n
742 N m
T
IP
74210103
一、扭转切应力的一般公式
1、变形的几何关系 • 试验观测：取一易变形的
圆形截面直杆，在此圆轴 的表面各画几条相平行的 圆周线和纵向线；在轴的 两端施加一对力偶矩 M 使 其产生扭转变形。
观测结果
1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线的间距 保持不变，仅绕轴线作相对转动。
2）纵向线均倾斜了一个角度 。
D4
Pa
5.84 MP
32
maxT WP源自TD3
742
0.060 3
Pa
17.5 MP
16
16
T WP
三、圆截面极惯性矩 及抗扭截面模数
实心圆截面
d
IP A 2dA 02 2 2 d
d 4
32
WP
D3
16
空心圆截面
O d
D
令内外径比为 =d/D，则有：
Ip
D/2
d/2
2 2
d
D4 (1 4 )
32
WP
D3
16
• 平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为 平面，且其形状大小不变，横截面上的半径仍保持 为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。
• 圆轴扭转时横截面上 的应力关系
tan
AA KA
R
d
dx
K
A A'
LB B'
tan
BB LB
d
dx
d/dx=/R，所以在同一横截面上d/dx是一个常数， 因此各点的切应变与该点到圆心的距离 成正比。
2、物理关系
剪切胡克定律 G
各点的切应力
G
G
d
dx
3、静力关系
dA
R
dA
取dA为距截面中心 处的微面积，则dA为作
用在微面积上的力dA对截面中心之距，整个横截面
上这些力矩的合成结果应等于扭矩T：
横截面积
T
A
dA
AG 2
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
T
G
d
dx
A
2dA
极惯性矩 IP A 2dA
则得： T
GIP
d
dx
物理关系式 比较
G
d
dx
T
IP
等直圆轴扭转时横截面上 任一点处切应力的计算公式
二、最大扭转切应力
max
TR IP
令 WP IP / R 称为抗扭截面模数
max