余弦函数的图象与性质
正弦函数、余弦函数图像与性质
x
0
sinx 0
1 1+sinx y
2
1
o
2
-1
2
1 2
2
3
2
2
0
-1
0
1
0
1
步骤：
y=1+sinx，x[0, 2]
1.列表 2.描点 3.连线
3
2
x
2 y=sinx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
2
3
2
2
cosx 1
0
-1
0
1
- cosx -1
(
((((((,,0,00),)0,),(003)2))(32,(-312,(1)32,)1((3,)3(21(23(323)2,2,1-,1,-),-1-)11)))
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
五点画图法
1
(
2
,1)
( 2 ,1)
( ,0)
( 2 ,0)
五点法——
2
(
(0,0)o
(0,0)
2
(0,0)
-1
(0,0)
(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)
2 ,1)
(
( 2 ,1)
(
2
,1)
( 2 ,1)
( 2 ,1)
( (
2
2
,1) ,1)
,0) 3
(
第1章 §6 6.1 余弦函数的图像 6.2 余弦函数的性质
小 结
·
探
提
新 知
因为 y＝cos x＝sin x＋π2，所π 以余弦函数 y＝cos x 的图像可以通
素 养
合 作
过将正弦曲线 y＝sin x 向左__平移_2_个单位长度得到．如图是余弦函数
课
探
时
究 y＝cos x(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．
分 层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
·
5
(2)利用五点法作余弦函数的图像
D [f(x)＝sin x－π2＝－sin π2－x＝－cos x，由f(x)＝cos x的性
作 业
·
质可判断A、B、C均正确．]
返
首
页
14
·
自 主 预
4．已知函数y＝－
3 4
cos
课
x，x∈[0，2π]，则其递增区间为 堂 小
习
结
·
探 ________．
提
新
素
知
[0，π] [当x∈[0，2π]时，函数y＝cos x在[0，π]上是减函数，在 养
究
分
层
释
作
疑
业
难
由上图可得sin x≥cos x在[0，2π]上的解集为π4，54π.
返 首 页
·
27
·
余弦函数的单调性及应用
自
课
主 预 习
【例3】 (1)求函数y＝1－12cos x的单调区间；
堂 小 结
·
探
提
新 知
合 作 探
([2解)比] 较(1c)o∵s －－12π7<0与，cos 187π的大小．
提
余弦函数的图像和性质
作业：P40，1(2)并求定义域、 值域、最大最小值。 下节课再见啦*^_^*
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还是和前两次一样.他决定拼一把,开始神血秘典の第四步——断血. 盘坐在祭坛中央,白重炙运起"夜皇决",封闭了身体中の阴脉和阳脉之间の连接穴道,直接断绝了两脉之间の血液流通. 顿时,白重炙の身体逐渐红了起来,体表の血脉条条鼓了起来. "好难受,这就是断血吗?这么好像被人捏住脖 子,要断气の感觉一样?啊?头怎么那么晕?神之精血怎么还不自救?" 此刻白重炙感觉自己就好像被人按住脑袋沉入水底般,那种要断气の感觉竟然是那么の恐怖.而且他の头脑也开始发晕,这是脑海开始缺氧の症状. 坚持,坚持！ 白重炙脑海中只留下坚持几个字,最后时候他选择了相信自己那个高 人老爹.死死控制"夜皇决"坚决封闭着穴道,断绝了血液の流通. 而此刻の白重炙,如果有外人看到の话,肯定会惊叫起来.因为此刻の白重炙早已不复原来の那位冷峻青年摸样.全身青筋暴涨,密密麻麻遍布全身,皮肤全部红の刺眼,耳口鼻开始慢慢渗血.全身看起来狰狞恐怖,恍如恶魔. 糟糕！ 白 重炙心里一疙瘩,暗暗叫苦起来,同时嘴里大量冒出鲜血.由于长期封闭血脉,血脉终于承受不住重荷爆裂开来. 完了！这下真の飘然西去死翘翘了…… 白重炙心里长叹一声,此刻他脑海却异常清醒,似乎到了回光返照の那一刻.恍惚间,他仿佛感觉自己可以看见自己の身体阴脉寸寸爆裂,大量の鲜 血狂涌而出.而且此刻他还仿佛能透过浓浓の白雾,看到了战智堂里众人面部各异の表情.他还看见妹妹夜轻语正站在旁边の角落里,遥遥の眺望着自己这个光圈,满脸の希翼,满脸の柔情…… 就在白重炙即将陷入昏迷,因大量失血而昏死过去之时. 他左手带着の那枚青铜戒指突然闪耀出一阵白色 の光芒,接着一股犹如绸缎般の白色气流缓缓从戒指中冒出,从他手指流入白重炙の身体里. 突兀の—— 白色气流从左手开始快速の向身体涌去,而最令人惊奇之处是,白色气流所流过之处,白重炙体表の肌肉发出阵阵ru白色の淡淡光芒,而原本深红の青筋遍布の皮肤肌肉,竟然快速平缓恢复过来. 而白色气流也不停留,快速在全身行走了一圈,最后停顿在了白重炙の身体心脏附近.而那里正是阴脉断裂の地方.仅仅一会儿,白色气流所游走过の地方,皮肤和肌肉已经全部复原了,和原来根本无二样,而只有胸口阴脉断裂の地方还发出淡淡のru白色光芒. 而此时身体发生の异状,白重炙却完全不 知道,因为他早已在白色气流涌出之前昏迷过去了. …… "都过去五多分钟了,怎么还没反应?" 而此时,站在大堂左角落の夜轻语,娥眉蹙起,满脸担忧.对于白重炙对这次觉醒仪式の看重,她看在眼里. 关于这次觉醒仪式,她不关心,她在意の是哥哥,如果失败,哥哥肯定会很伤心吧? "啊,变色了！" 旁边の人一声轻呼,夜轻语猛然抬头,欣喜の往中间の光圈看去,那是白重炙所在の祭坛.随即她又失望の低下了头,刚才变色の光圈是左边の光圈.而中间の那光圈依旧白の耀眼. 唉……等会该怎么安慰哥哪? 夜轻语一阵苦恼,眼神闪过一丝迷离,一丝落寞.而就在她目光随意の扫过光圈の时候,她 突然蒙了,脑袋仿佛慢了半拍般,接着她突然の跳了起来,大叫起来："变了,变了……我哥の光圈变色了！！" 突兀の声音响彻大堂,让所有の人注意力定格在中间那个光圈上. 空荡荡の大堂中,三个光圈,左边の光圈早就变幻了颜色,现在定格在黄色不动了.而中间の光圈开始有白色缓缓变成了红 色. 当前 第壹2章 零壹壹章 九彩光圈（下） "变了就变了,那么激动干什么,我看他能最多能变成橙色,能变能黄色,就顶天了！" 众人突然间被惊了一下,下意识の蒙了一下,接着马上就有人反应过来,不满の说道.毕竟,今天本来就在此坐了一天了,像这种情况已经见怪不怪了. "额,还真给你说 中了,变黄色了." 众人被惊了一下,又开始谈笑起来,而夜轻语则痴痴の望着光圈,两行热泪盈眶而出.丝毫没有听闻别人の话语. 哥哥终于要成功了,她の心情此刻非常の激动. 而上面の四位长老却默默の坐在,上首位置,品着茶水,谈笑着.丝毫不在乎,毕竟下午の子弟都让他们失望太多了. "咦? 还在变?绿色了?这是哪家子弟啊,天赋还行啊." 光圈慢慢の有黄色转成绿色,而下面の众人也开始关注了起来,纷纷打听光圈里の人是谁?毕竟绿色光圈可是有可能召唤出四品战智,以后前途还是有の. "额?还再变?青色了！怎么可能?" 众人纷纷将注意力转移到了中间の光圈起来,三座光圈中,中 间那道光圈上面淡淡の青色光芒静静の在那里闪耀着.而上首の几位长老也停止了品茶,开始关注了起来. "我看看中间祭坛是谁?天赋不错啊……额,叫白重炙?咦,都十五岁了,还能出现青色光圈?难道是大器晚成?"天青长老翻开手册,点头微笑说道.一下午了终于再次出了个像样点の,他看起来很 是欣慰. 而就在天青长老满意の端起茶水,准备喝の时候,突然,大堂居然沸腾了起来. "啊,大家快看,又变了……" "天哪！变蓝色！又变紫了！和风公子一样の紫色光圈啊." "大喜事啊,今晚肯定要摆宴席庆祝了……" 天青长老再也坐不住了,哗の一声将茶水一丢,站了起来.旁边の三位长老早已 站了起来,三人眼冒精光,锁定了中间の那座祭坛. 中间の祭坛上,绿色慢慢褪去,一道紫色の光圈慢慢成形.如同一颗立起の紫蛋般.独立矗立在大堂中央. "天！还在变……" 而就在众人高兴不已,为白家再出一天才高兴万分激动不已の时候,一道声音如同见鬼般响起.紧接着一道声音突兀响在众 人の心头,众人连忙屏息闭嘴,大气不敢冒出. "全部给我安静,谁再出声,族法伺候！" 传音入密！ 中间の祭坛旁边凭空出现四道身影.天青长老眼冒寒光冷冷扫了众人一眼,显然刚才是这位天青长老用极高の功法直接传音到众人の耳边. 四位长老面色慎重,分开围住中间の祭坛. 中间の祭坛,紫 色の光圈竟然慢慢开始转换成黑色.最后完全转化成黑色光圈.犹如黑色水流一般在光圈上流转. 黑色光圈！这可是有希望召唤出和现代族长一样の八品战智啊. 然而！ 让众人更加疯狂の还在后面,光圈变化还没有停！ 黑色光圈居然快速转变,居然变幻成金色.而后炫目の金色一闪而逝,光圈居 然出现了九种颜色.犹如鸡蛋般の光圈上,红、橙、黄、绿、青、蓝、紫、黑、金九种颜色,相互交集,绽放出炫目の光彩. 九彩光圈！ 什么情况? 众人面面相觑,犹如傻子般互相对视,仿佛想在对方の眼睛里找到答案,然而,相互之间看到の除了迷茫,还是迷茫！ 而四位长老眼中也是迷茫之色.这 种情况别说他们主持觉醒仪式那么多年,没有遇到过,就是世家历史上也没有出现过啊. 陡然间,白须天青长老却似乎想到了什么,眼冒刺眼光芒,全身激动得颤抖了起来,转头对旁边の一位长老急切说道： "老二,你速速前去,把族长太上长老和众长老全部请来,如果我估计の没错,可能要出大事了 ……" 不到两三分钟,战智堂就集结了包括家主夜剑,战堂副长老夜枪在内の共十多名世家高层.而族长夜天龙和两名太上长老则在闭关,封闭了后山,直接被告知不是世家生死存亡大事,不得打扰. 众人围绕着这座九彩光圈,面色严肃の站着. "诸位,今日贸然请大家来,就是因为这座特殊の祭坛所 散发出の特殊光芒.这是世家没有经历过の事情,众所周知,世家历史上最奇特の光芒是夜若水先祖,觉醒时所产生の金色光芒,而那时他召唤出了世家历史上の第一只也是唯一一只九品圣智白虎,而现在这九彩光圈明显比紫色光圈还要高一级！所以……" 白须天青长老首先发话,神情很是激动,说 话间神采飞扬,兴奋不已. "难道?" "这…不会吧?" "传说竟然是真の?" 众长老听闻,仿佛白日见鬼般,全部面容失色,惊喜异常,不复以往の从容冷静.因为他们都想到了世家一位先祖所留下の一段留言.那位先祖就是世家唯一召唤
正弦函数、余弦函数的性质(全)
当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数
y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
余弦函数的图象与性质(中华版)
余弦函数的图象和性质
4月7日 周四
歌song中华
余弦函数的图象和性质 你想怎样画余弦函数的图象？
y
1
-
y sin x
2
- Biblioteka - 4 2
-
o
-
-1
4
-
6
-
y cos x
几何，五点，变换
y cos x sin[ ( x)] sin( x ) 2 2
(k∈z)
定义域 值域 最值及相应的 x 的集合
x∈ R [-1,1]
x∈ R
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数
π x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2
周期为T=2π 奇函数 在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ，2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数. (kπ,0) x = kπ+
知识点：_________________ 智慧群：_________________ _________________ _________________ 经典错：_________________
其他感悟：_______________ Good!
x
l
图象 1.请同学们填表
y
1
x
-1
定义域 值域 最值 周期 单调性 奇偶性 对称性 中心对称：对称中心 轴对称：对称轴
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
余弦函数的图象与性质_王国利
例题讲解
变式练习、求y cos2 x 4 cos x 2的最值，并求取得 最值时的x的值。
解：令 cos x t , 则t [1,1].所以 y t 2 4t 2 (t 2) 2 6, 其中t [1,1]. 因为此抛物线的对称轴t 2, 且开口向上， 所以函数y在[1,1]上是减函数，则： 当t 1时取最大值3，此时 cos x 1, 所以x 2k , k Z ; 当t 1时最最小值 - 5, 此时 cos x 1，所以x 2k/536314.htm
合作探究：2、余弦函数的性质 y
-
1
-
6
4
2
o
-1
2
4
6
定义域 值 域
R [-1,1]
周 期
奇偶性
2
偶函数
单调递减区间： k , 2k ] [2
2
2k ] (k Z )
3 单调递减区间： 2k , [ 2k ] (k Z ) 2 2
对称轴
对称中心
x
2 (k ,0)
k (k Z )
(k Z )
合作探究：1、余弦函数的图象
余弦函数的图象
-
y
(0,1) (0,1) 1
3 ( 2 ,0) 2
例题讲解
例2、判断下列函数的奇偶性并求出函数周期：
（ ）、y 2 cos3x 4 1
（2）、y cos(2 x ) 2
小结：
一般地，函数y A cos(x )( x R)(其中A, , 为常数，且A 0, 0)的周期为T 2
余弦函数,正切函数的图象与性质
{x | x (2k 1) , k Z} 函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
-1+1=0.
例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2 x, x R.
x x | x R且x k ，k Z 2
yR
在x k , k 上是增函数； 2 2
f ( x) tan( x) tan x f ( x)奇函数
f ( x ) tan( x ) tan x f ( x) 最小正周期是
解： （2）令t=2x,因为使函数y 3sin t , t R取最大值的t的集合是 {t | t 2k , k Z } 2 由 2 x t 2k 得 x k 2 4 所以使函数 y 3sin 2 x, x R取最大值的x的集合是
但T 0，） （
故T不存在
1、画出正切函数在一个周期 ， 内的图象 2 2
y
2
0
2
x
2、利用正切函数的周期性，把上述图象向x轴两边扩 展，得到正切曲线；
y
3 2
2
0
2
3 2
x
三、观察正切函数的图象，获得其性质：
1、定义域 2、值域 3、单调性 4、奇偶性 5、周期性
﹣2π
●
﹣2
π
1●
﹣1 0
●﹣ 3π 2● Nhomakorabea●
余弦函数的性质
4π 5π 所以cos > cos . 7 8
不通过求值，比较 cos( 6 ), cos 10 , cos 8 的大小. 解： cos( 6 ) cos 6 ,
π π 0＜ ＜ ＜ ＜ ， 10 8 6 且 y cos x 在 [0, ]上是减函数， π cos cos cos , 10 8 6 π cos cos cos( ). 即： 10 8 6
不通过求值，比较
5π 4 2 cos ， cos( ), cos( ) 6 5 3
的大小.
6 解： 根据题意， (2k 1) x 2k 6 7 解之，2k x 2k 6 6 7 所以，单调增区间是 [2k ,2k ] 6 6
函数y=cosx的对称性
y cos x
-3
5 2
y
1
-2
3 2
-
2
o
-1
x
2
3 2
2
5 2
3
7 2
4
对称轴方程x=k(k∈Z)
π 对称中心为(k+ ,0)(k∈Z) 2 由于正、余弦曲线无限延
伸，对称轴、对称中心有 无限多个.
(6) 余弦函数的单调性
x
求函数 y cos( x ) 的单调增区间.
求函数 y cos 2 x 的单调减区间.
1.函数f(x)=cos4x,x∈R是( C ) A.最小正周期为π 的偶函数 B.最小正周期为π 的奇函数 C.最小正周期为 的偶函数 D.最小正周期为
2 2
的奇函数
2.下列函数，在［ ,π ］上增加的是( A ) 2 A.y=cos2x C.y=sin2x B.y=cosx D.y=sinx
余弦函数的概念
余弦函数的概念余弦函数是一种三角函数，用于描述一个角的余弦值与其对边与斜边的比值之间的关系。
在数学中，余弦函数通常以cos(x)的形式表示，其中x为角度（以弧度为单位）。
一、余弦函数的定义余弦函数可以通过一个直角三角形中的角度来定义。
考虑一个直角三角形，其中一个角的度数为x。
根据三角函数的定义，我们可以定义余弦函数为：cos(x) = 邻边 / 斜边其中邻边表示与角度x相邻的边长，斜边表示直角三角形的斜边长度。
二、余弦函数的取值范围余弦函数的取值范围是[-1, 1]之间。
这是因为在一个直角三角形中，邻边和斜边的比值最大为1，最小为-1。
我们可以通过绘制余弦函数的图像来更好地理解其取值范围。
三、余弦函数的图像和性质余弦函数的图像通常是一个周期性的波形，其中周期为2π。
当角度x增加2π时，余弦函数的值会再次回到初始值。
余弦函数的图像在x轴上有一个最大值和一个最小值，分别为1和-1。
此外，余弦函数也具有对称性，即cos(x) = cos(-x)，这是因为在一个直角三角形中，余弦函数的邻边和斜边的比值与该角度的正负无关。
除了周期性和对称性外，余弦函数还具有以下性质：1. 偶函数性质：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。
2. 周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，即在一个周期内，余弦函数的值相同。
3. 奇异点：余弦函数在90°、180°、270°等整数倍π的点上有奇异点，此时斜边为0，因此余弦函数无定义。
四、余弦函数的应用余弦函数在数学和物理中有广泛的应用。
以下是一些应用示例：1. 三角形的计算：余弦函数可用于计算三角形中的角度和边长。
通过已知两条边长和这两条边之间的夹角，可以使用余弦定理来计算第三条边的长度。
2. 波动和振动的分析：在物理学中，余弦函数常用于描述波动和振动的变化。
例如，声波和光波的传播可以使用余弦函数来建模。
3. 信号处理：余弦函数是一种常用的信号处理方法，可用于分析和处理信号的频域特性。
1.3.2余弦函数的图象及性质
形状完全一样 只是位置不同
正弦曲 线
2 ,1) ((2 ,1)
2 3 4
余弦曲 线
5
6
(( ,-1) ,-1)
x
2. 余弦函数的性质：
(1) 定义域： y=cosx的定义域为R
(2) 值域： ① 由单位圆中的三角函数线，得结论： |cosx|≤1 （有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论： 所以y=cosx的值域为[－1，1]；
a 1 解 1 得 b 2
1 当cosx=1或cosx=－1时，ymin= 2
例2、判断下列函数的奇偶性：
（1）y=cosx+2；
（2）y=cosxsinx. 解：（1）f(－x)=cos(－x)+2
=cosx+2=f(x),
∴ 函数y=cosx+2是偶函数. (2) f(－x)=cos(－x)sin(－x) =－cosxsinx=－f(x). ∴ 函数y=cosxsinx是奇函数.
y
6
4
2
1 o -1 R [-1,1]
-
2
4
6
定义域 值 域 周 期 奇偶性
2
偶函数
单调性
单调递减区间： k , 2k ] [2
(k Z ) (k Z )
单调递增区间： k , 2k 2 ] [2
x k (k Z )
对称轴 对称中心
②对于y=cosx
当且仅当x=2k kZ时 ymax=1， 当且仅当x=2k+ kZ时 ymin=－1， ③观察R上的y=cosx的图象可知
当2k－ <x<2k+ (kZ)时， y=cosx>0 2 2 3 当2k+ <x<2k+ (kZ)时， y=cosx<0 2 2
三角函数图像与性质
三角函数图像与性质三角函数的图像与性质一、正弦函数和余弦函数的图像：正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图像可以用五点法作图。
先取横坐标分别为-2π,-π,0,π,2π的五个点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图像。
二、正弦函数y=sinx(x∈R)和余弦函数y=cosx(x∈R)的性质：1.定义域：都是R。
2.值域：1）都是[-1,1]。
2）正弦函数y=sinx，当x=2kπ+3π/2(k∈Z)时，y取最小值-1；当x=2kπ+π/2(k∈Z)时，y取最大值1.余弦函数y=cosx，当x=2kπ(k∈Z)时，y取最大值1；当x=2kπ+π(k∈Z)时，y取最小值-1.3.周期性：1）正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx的最小正周期都是2π。
2）函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期都是T=2π/|ω|。
4.奇偶性与对称性：1）正弦函数y=sinx是奇函数，对称中心是(2kπ,0)(k∈Z)，对称轴是直线x=kπ+π/2(k∈Z)。
2）余弦函数y=cosx是偶函数，对称中心是(kπ,0)(k∈Z)，对称轴是直线x=kπ(k∈Z)。
例：若函数y=a-bsin(3x+π/6)的最大值为1，最小值为-2，则a=1/2，b=1或b=-1.课堂练：1.函数y=sinx-sin2x的值域是[-1,1]。
2.已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(cosx)的定义域为[-1,1]。
3.下列函数中，最小正周期为π的是B.y=sin2x。
4.若f(x)=sin(πx/3)，则f(1)+f(2)+f(3)+。
+f(2003)=0.答：1001/2）正弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点。
例如，函数y=sin(5π/2x)的奇偶性是偶函数。
已知函数f(x)=ax+bsin(3x)+1(a,b为常数），且f(5)=7，则f(-5)=-5.单调性方面，y=sinx在[2kπ-,2kπ+]（k∈Z）上单调递增，在[2kπ+,2kπ+]（k∈Z）上单调递减；y=cosx在[2kπ,2kπ+π]（k∈Z）上单调递减，在[2kπ+π,2kπ+2π]（k∈Z）上单调递增。
10。余弦性质
(cos x) max = 1
当 x = 2k (k∈Z)时,
T = 2k（k ∈Z , k 0）
(cos x) min = -1
最小正周期为 2，所以简称周期为 2
3. 奇偶性:
y
1 -4 -3 -2 -
y =cosx (xR)
o
-1
2
3
4
5
6
x
定义域关于原点对称
8.2.4 余弦函数的图象和性质
课题:
2. 余弦函数的性质
X
余弦函数的图象和性质
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
1.定义域和值域： 定义域 xR y=cosx (xR) 值 域 y[ - 1, 1 ] 2 .周期性:
-1≤cosx≤1 当x=
2k
(k∈Z)时,
y=sinu y=|sinu|
2 3 x [k , k ], k Z y为增函数 4 4 x [k , k ], k Z y为减函数 4 4
1. 余弦函数的定义:y = cos x , x ∈R
y
1
T
S
2 A
1
B
o
x
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
结 束
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 4 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下： 4
y 1
2
3 2
y=|sinu|
2
2
4.7 余弦函数的图像和性质
4.7 余弦函数的图像和性质我们用描点法作出了正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图像, 通过不断向左、向右平移(每次移动 2π个单位长度)得到了正弦函数y＝sin x, x∈R的图像, 并通过正弦曲线研究了正弦函数的性质．对于余弦函数y＝cos x, x∈R, 可否用同样的方法来研究？把区间[0,2π]分成12等份, 分别求出函数y=cos x在各分点及区间端点的正弦函数值.用描点法作出余弦函数y＝cos x在 [0,2π]上的图像.(1)列表.根据表中x，y的数值在平面直角坐标系内描点(x, y) ，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到正弦函数y＝cos x 在 [0,2π]上的图像.用描点法作出余弦函数y＝cos x在 [0,2π]上的图像.(1)列表.(2)描点作图.不难看出下面五个点是确定余弦函数y＝cos x在 [0,2π]上的图像的关键点.因此，余弦函数的图像也可以用五点法画出简图.由诱导公式cos(2kπ+x)＝cos x (k∈Z)可知, 将函数y＝cos x在[0,2π]上的图像沿x轴向左或向右平移2π, 4π, …, 就得到了余弦函y＝cos x, x∈R的图像.余弦函数的图像也称为余弦曲线, 它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．将正弦函数的图像和余弦函数的图像放在同一个坐标系内,可以看出：把正弦函数y＝sin x, x∈R的图像向左平移个单位长度，就得到余弦函数y＝cos x, x∈R的图像．y＝sin x, x∈R若将正弦函数y＝sin x, x∈R的图像向右平移, 是否也可以得到余弦函数y＝cos x, x∈R的图像, 如果是, 需平移多少？(1)定义域.余弦函数的定义域是实数集R.观察余弦曲线，类比正弦函数，得到关于正弦函数y＝sin x，x∈R的结论:(2)值域. 余弦函数的值域是[-1, 1].观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sin x, x∈R的结论:当x=2kπ(k∈Z)时, y取最大值, y max=1;当x=π+2kπ(k∈Z)时, y取最小值, y min=1.(3) 周期性.观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sin x, x∈R的结论:余弦函数是周期为2π的周期函数．观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sin x, x∈R的结论:(4) 奇偶性由图像关于y轴对称和诱导公式cos(−x)=cos x可知, 余弦函数是偶函数．余弦函数y＝cos x在每一个闭区间[(2k-1)π, 2kπ] (k∈Z) 上都是增函数, 函数值从-1增大到1; 在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π] (k∈Z)上是减函数, 函数值从1减小到-1．观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sin x, x∈R的结论:(5) 单调性.例1利用五点法作出函数y=-cos x在[0,2π]上的图像．解(1)列表.(2)根据表中x ,y 的数值在平面直角坐标系内描点(x ,y )，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到函数y=-cos x 在[0,2π]上的图像.例1 利用五点法作出函数y=-cos x 在[0,2π]上的图像．解 (1)列表.例2 求函数y＝3cos x＋1的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x的集合．解由余弦函数的性质知,-1≤cos x≤1 ,所以-3≤3 cos x≤3 ,从而 -2≤3 cos x+1≤4 ,即 -2 ≤ y ≤ 4.故函数的最大值为4，最小值为-2.函数y＝3cos x＋1取最大值时的x的集合, 就是函数y=cos x取得最大值时的x的集合 {x|x=2kπ, k∈Z};函数y＝3cos x＋1取最小值时的x的集合, 就是函数y=cos x取得最小值时的x的集合 {x|x=2kπ+π, k∈Z}．例3不求值比较下列各组数值的大小：解根据余弦函数的图像和性质可知：(1) 因为 , 余弦函数y=cos x在区间[0, π,]上是减函数, 所以(2) 因为 , 余弦函数y=cos x在区间[-π,0]上是增函数, 所以例3不求值比较下列各组数值的大小：解根据余弦函数的图像和性质可知：练习1. 用五点法作出函数y=cos x -1在[0, 2π]上的图像．2.求下列函数的最大值和最小值，及取得最大值、最小值时自变量x的集合．练习3. 不求值，比较下列各组数的大小.1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.再见。
余弦函数的图象与性质ppt课件
(2) 余弦函数的周期
由公式 cos(x＋k ·2 )＝cos x ( k Z ) 可知：
余弦函数是一个周期函数，2 ，4 ，…， －2 ，－4 ，… ， 2k ( k Z 且 k≠0 ) 都是余弦函数的周期；
2 是其最小正周期．
余弦函数的图象每隔 2 重复出现．
(3) 余弦函数的奇偶性
由公式 cos(－x)＝cos x
2π
4π
6π
x
-
-
二、余弦函数的性质 (1) 余弦函数的值域
观察余弦曲线 定义域 x R ， 值 域 y[- 1， 1]. 当 x＝2 k，k Z 时，
y＝cos x 取得最大值1，即 ymax＝1； 当 x＝ (2 k+1) ， k Z 时，
y＝cos x 取得最小值 -1，即 ymin＝-1．
余弦函数是偶函数．
图象关于 y 轴成轴对称 ．
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4 x
(4) 余弦函数的单调性
观察余弦曲线
x
－ …
π 2
…
0
π
…2
cosx －1
0
1
0
… －1
y
1
-3 5π -2 3π
2
2
-
π o 2
π 2
3π 2
2
5π 2
x
-1
在 [(2 k－1) , 2 k] (kZ)上，是增函数； 在 [2 k，(2 k＋1) ] (kZ)上，是减函数．
7π 5
；(2)
cos(-
23π 5
)
和cos(-
17 π 4
)．
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6
2
2k , k Z , 则x k
6
, k Z.
上节回顾
3）、求函数 sin 2 x sin x 1 y 的值域。
解：令sin x t , 则t [1,1], 所以 1 2 5 2 y t t 1 (t ) , t [1,1]. 2 4 1 5 则：当t 1时函数取最大值为，当t 时函数取最小值 . 1 2 4 5 所以所求函数的值域是 ,1]. [ 4
余弦函数图象与性质
课件制作：王国利
2012.4.12
上节回顾
1）、正弦函数的性质 定义域 值 域 R [-1,1]
周 期
奇偶性 单调性
单调递增区间： [
2
奇函数
2 2k ,
2
2k ] (k Z )
3 单调递减区间： 2k , [ 2k ] (k Z ) 2 2
4
), x R
f (x) 的一个周期上的简图；
（2）、求函数 f (x) 的最大值，并求出取得最大值时 自变量x的取值集合；
（3）、求函数
f (x) 的单调增区间。
健 康 成 长
努 力 学 习
例题讲解
例2、判断下列函数的奇偶性并求出函数周期：
（ ）、y 2 cos3x 4 1
（2）、 y cos( 2 x
小结：
一般地，函数 A cos(x )(x R)(其中A, , y 2 为常数，且A 0, 0)的周期为T .
2
)
例题讲解
y
-
1
-
6
4
2
o
-1
2
4
6
定义域 值 域 周 期 奇偶性
单调性 对称轴
对称中心
R [-1,1]
2
偶函数
单调递增区间：k , 2k ] [2 单调递减区间：k ,2k 2 ] [2
x k (k Z ) ( k ,0) (k Z )
对称轴
对称中心
x
2 (k ,0)
k (k Z )
(k Z )
上节回顾
2）、写出函数 2 sin(2 x )的振幅、周期和初相， y 并说明如何由 6 正弦曲线得出它的图象 ，并指出它的最大值及 取得最大值时的 的值。 x
解：由题意，此函数的 振幅A 2, 周期T , 初相
例3、求下列函数的单调增区间
（ ）、 y 1 cos( x ) 1 3
（2）、 y 2 cos(
4
2 x)
例题讲解
变式训练
15 1)、比较 cos 8 14 与 cos 9
的大小。
2）、求 y 3 cos( 2 x )的递减区间。 3
课堂小结
1、知识要点：余弦函数的图象与性质
2
(k Z ) (k Z )
检测与作业
1、当堂检测 （1）已知 y
a b cos x 的最大值1，最小值-2，求 a,b.
x （2）.求 y cos( ) 的单调区间和周期。 3 4
2、作业
P70
15（2）、18（1）
巩固练习
已知函数 f ( x) 3 cos( 2 x （1）、用五点法画出函数
单调性 单调递增区间： k , 2k 2 ] [2
对称轴
对称中心
x k (k Z )
( k ,0) 2
(k Z )
例题讲解
例1、求下列函数的最大值和最小值：
(1) y 3 cos x 1
解
பைடு நூலகம்
当cos x取最大值 时，y 3 cos x 1取最小值 2; 1
合作探究：1、余弦函数的图象
余弦函数的图象
-
y
(0,1) (0,1) 1
3 ( 2 ,0) 2
2 ,1) ((2 ,1)
2 3 4
余弦曲 线
5 6
-4
-3
-2
( o ,0) 2 2 -1
(( ,-1) ,-1)
x
y=sin(x+ )=cosx, xR 2 y
变式练习、求 cos2 x 4 cos x 2的最值，并求取得 y 最值时的x的值。
例题讲解
变式练习、求 cos2 x 4 cos x 2的最值，并求取得 y 最值时的x的值。
解：令cos x t , 则t [1,1].所以 y t 2 4t 2 (t 2) 2 6, 其中t [1,1]. 因为此抛物线的对称轴 2, 且开口向上， t 所以函数y在[1,1]上是减函数，则： 当t 1时取最大值3，此时cos x 1, 所以x 2k , k Z ; 当t 1时最最小值- 5, 此时 cos x 1，所以x 2k , k Z .
当cos x取最小值1时，y 3 cos x 1取最大值4。
例题讲解
1 2 (2) y (cos x ) 3 2
解
1 1 2 （2）当 cos x 时，y=(cosx- ) -3取最小值-3 2 2
1 2 3 当 cos x 1时，y=(cosx- ) -3取最大值2 4
1 -4 -3 -2 -
形状完全一样 只是位置不同
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象
正弦曲 线
合作探究：2、余弦函数的性质 y
-
1
-
6
4
2
o
-1
2
4
6
定义域 值 域
R [-1,1]
周 期
奇偶性
2
偶函数
单调递减区间： k , 2k ] [2
(k Z ) (k Z )
6
.
此函数的图象是由 sin x的图象经过如下变换而 y 得到： （ ）、先将y sin x图象上所有点向左平移 个单位，得到函数 sin(x )的图象； 1 y 6 6 1 （2）、再把所得函数的图 象上所有点的横坐标缩 短到原来的 得到函数y sin(2 x )的图象; 2 6 (3)、最后把所得图象上所 有点的纵坐标伸长到原 来的2倍，得到函数 2 sin(2 x )的图象。 y 6 此函数的最大值是 ，此时令2 x 2