余弦函数的图象与性质

6


2
2k , k Z , 则x k

6
, k Z.
上节回顾
3）、求函数 sin 2 x sin x 1 y 的值域。
解：令sin x t , 则t [1,1], 所以 1 2 5 2 y t t 1 (t ) , t [1,1]. 2 4 1 5 则：当t 1时函数取最大值为，当t 时函数取最小值 . 1 2 4 5 所以所求函数的值域是 ,1]. [ 4
余弦函数图象与性质
课件制作：王国利
2012.4.12
上节回顾
1）、正弦函数的性质 定义域 值 域 R [-1,1]
周 期
奇偶性 单调性
单调递增区间： [
2
奇函数

2 2k ,

2
2k ] (k Z )
3 单调递减区间： 2k , [ 2k ] (k Z ) 2 2
变式练习、求 cos2 x 4 cos x 2的最值，并求取得 y 最值时的x的值。
例题讲解
变式练习、求 cos2 x 4 cos x 2的最值，并求取得 y 最值时的x的值。
解：令cos x t , 则t [1,1].所以 y t 2 4t 2 (t 2) 2 6, 其中t [1,1]. 因为此抛物线的对称轴 2, 且开口向上， t 所以函数y在[1,1]上是减函数，则： 当t 1时取最大值3，此时cos x 1, 所以x 2k , k Z ; 当t 1时最最小值- 5, 此时 cos x 1，所以x 2k , k Z .
2
(k Z ) (k Z )
检测与作业
1、当堂检测 （1）已知 y
a b cos x 的最大值1，最小值-2，求 a,b.
x （2）.求 y cos( ) 的单调区间和周期。 3 4
2、作业
P70
15（2）、18（1）
巩固练习
已知函数 f ( x) 3 cos( 2 x （1）、用五点法画出函数
合作探究：1、余弦函数的图象
余弦函数的图象
-
y
(0,1) (0,1) 1
3 ( 2 ,0) 2
2 ,1) ((2 ,1)
2 3 4
余弦曲 线
5 6
-4
-3
-2
( o ,0) 2 2 -1

(( ,-1) ,-1)
x
y=sin(x+ )=cosx, xR 2 y
例3、求下列函数的单调增区间
（ ）、 y 1 cos( x ) 1 3

（2）、 y 2 cos(

4
2 x)
例题讲解
变式训练
15 1)、比较 cos 8 14 与 cos 9
的大小。
2）、求 y 3 cos( 2 x )的递减区间。 3

课堂小结
1、知识要点：余弦函数的图象与性质
单调性 单调递增区间： k , 2k 2 ] [2
对称轴
对称中心
x k (k Z )
( k ,0) 2

(k Z )
例题讲解
例1、求下列函数的最大值和最小值：
(1) y 3 cos x 1
解
当cos x取最大值 时，y 3 cos x 1取最小值 2; 1
对称轴
对称中心
x

2 (k ,0)
k (k Z )
(k Z )
上节回顾
2）、写出函数 2 sin(2 x )的振幅、周期和初相， y 并说明如何由 6 正弦曲线得出它的图象 ，并指出它的最大值及 取得最大值时的 的值。 x
解：由题意，此函数的 振幅A 2, 周期T , 初相
y
-
1
-
6
4
2
o
-1
2
4
6
定义域 值 域 周 期 奇偶性
单调性 对称轴
对称中心
R [-1,1]
2
偶函数
单调递增区间：k , 2k ] [2 单调递减区间：k ,2k 2 ] [2
x k (k Z ) ( k ,0) (k Z )


6
.
此函数的图象是由 sin x的图象经过如下变换而 y 得到： （ ）、先将y sin x图象上所有点向左平移 个单位，得到函数 sin(x )的图象； 1 y 6 6 1 （2）、再把所得函数的图 象上所有点的横坐标缩 短到原来的 得到函数y sin(2 x )的图象; 2 6 (3)、最后把所得图象上所 有点的纵坐标伸长到原 来的2倍，得到函数 2 sin(2 x )的图象。 y 6 此函数的最大值是 ，此时令2 x 2
例题讲解Βιβλιοθήκη Baidu
例2、判断下列函数的奇偶性并求出函数周期：
（ ）、y 2 cos3x 4 1
（2）、 y cos( 2 x
小结：
一般地，函数 A cos(x )(x R)(其中A, , y 2 为常数，且A 0, 0)的周期为T .

2
)

例题讲解
当cos x取最小值1时，y 3 cos x 1取最大值4。
例题讲解
1 2 (2) y (cos x ) 3 2
解
1 1 2 （2）当 cos x 时，y=(cosx- ) -3取最小值-3 2 2
1 2 3 当 cos x 1时，y=(cosx- ) -3取最大值2 4
1 -4 -3 -2 -

形状完全一样 只是位置不同
o
-1

2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象
正弦曲 线
合作探究：2、余弦函数的性质 y
-
1
-
6
4
2
o
-1
2
4
6
定义域 值 域
R [-1,1]
周 期
奇偶性
2
偶函数
单调递减区间： k , 2k ] [2
(k Z ) (k Z )

4
), x R
f (x) 的一个周期上的简图；
（2）、求函数 f (x) 的最大值，并求出取得最大值时 自变量x的取值集合；
（3）、求函数
f (x) 的单调增区间。
健 康 成 长
努 力 学 习