导数的几何意义教学导案后附教学反思

导数的几何意义教案(后附教学反思)

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导数的几何意义教案（后附教学反思）

永嘉中学 数学组 周瑛 08.4.13 【教学目标】

知识与技能目标：

（1）使学生掌握函数)(x f 在0x x =处的导数()0/

x f 的几何意义就是函数)(x f 的

图像在

0x x =处的切线的斜率。（数形结合），即：

()()x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)

(lim

000

0/＝切线的斜率

(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。

过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。培养学生学数学，用数学的意识。

【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。 【课型】探究课

【教学重点与难点】

重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。 难点：发现、理解及应用导数的几何意义 【教学过程】

（一） 课题引入，类比探讨： 让学生回忆导数的概念及其本质。（承上启下，自然过渡）。

师：导数的本质是什么？写出它的表达式。（一位学生板书），其他学生在“学案”中写：

导数)(0/x f 的本质是函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率．．．．．，即：

()()x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)

(lim

000

0/

（注记：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意

义奠定基础）

师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义（板书课题），应从哪儿入手呢？ （教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要结合“数”） 生1：研究导数的代数表达式。

师：那必然就要回忆求导数)(0/x f 的步骤了。 生（齐）：分三步： 第一步：求y ∆ 第二步：求平均变化率

y

x

∆∆； 第三步：当x ∆趋近于0时，平均变化率x

x f x x f ∆-∆+)

()(00无限趋近于的常

数就是)(0/x f 。（回归本质，数形结合）

教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分三个步骤：

师：第一步：y ∆的几何意义。（并在学案的图（二次函数）中画出） 生：当0x x +∆与0x 所对应的函数值的差量。 师：很好，那么第二步：平均变化率

x

x f x x f ∆-∆+)

()(00的几何意义是什么？

（同样请在函数图像中画出来）；由于上节探究中做过，所以还是比较简单。

生2：平均变化率

x

x f x x f ∆-∆+)

()(00的几何意义是割线AB 的斜率。其中

)),(,(00x f x A ))(,(00x x f x x B ∆+∆+。（提醒学生A 、B 两点的坐标必须写清楚。）

师：第二步：0→∆x 时，割线AB 有什么变化？请用你的笔描绘出来。

（有静态到动态的过渡，比较考察学生的观察能力，动手能力与独立思考能力）很快，有几个学生又画了三条直线（其中横坐标在0x x +∆与0x 之间。）

教师让生3用投影仪展示自己的作品，并向其它学生介绍自己作图的意图，由此引导同伴观察到：0→∆x ，→∆+∆+))(,(00x x f x x B )),(,(00x f x A 师（趁胜追击）：很好，那么当0→∆x ，于是A ，B 之间的差距越来越小，B 一直，一直这样靠近A ，最后会---------

生(齐):重合。

师：那么直线AB ？

生（齐）：变成一条切线了。

师：大家真不错，确实，当0→∆x ，割线AB 有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在0x x =处的切线，下面请把它画出来。

等学生化出切线AD 后，教师用Flash 展示动态过程，引导学生回顾过程。

结论：（形）0→∆x ，割线→AB 切线AD ，

则割线AB 的斜率→切线AD 的斜率。（口述）

由数形结合，得 ()()x

x f x x f x f

x ∆-∆+=→∆)

(lim

000

0/

＝切线AD 的斜率。（板书）

所以，函数)(x f 在0x x =处的导数()0/

x f

的几何意义就是函数

)(x f 的图像在

0x x =处的切线AD 的斜率。（数形结合）。

（说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解 “导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。） （二）深入研究，知识拓展

师：好，我们现在清楚导数的几何意义就是在该点处切线的斜率。其中切线很关键，但是它与以前学过的切线定义有什么不同呢？见P77的探究问题。

生4：初中平面几何中，如圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。 师：讲得非常好，确实如此，但从刚才那刻开始，将会有变数。 （展示如下动画，A 点----直线l 1----B----直线l 2）。 学生们发现生4讲的初中切线的定义已不适合这里了。