完整word版,四年级-数学笔记-下

一、四则运算【加法的意义】把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。

相加的两个数叫做加数；加得的数叫做和。

【减法的意义】已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。

在减法中，已知的和叫做被减数。

【加法各部分间的关系】和 = 加数 + 加数加数 = 和–另一个加数【减法各部分间的关系】差 = 被减数–减数减数 = 被减数–差被减数 = 减数 + 差【加减法间的关系】减法是加法的逆运算。

【乘法的意义】求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。

相乘的两个数叫做因数；乘得的数叫做积。

※如果给数字赋予意义，加法中的连个加数之间的意义相同；而乘法中的两个因数之间意义不同。

例如：3只羊和5只羊合起来一共8只羊，算式是3 + 5 = 8，这里的加数3和5，它们指的都是羊的个数，二者意义相同。

有3个小队，每个小队有5只羊，总共的羊的数量是 3 x 5 = 15，这里的因数3和5，3指的是3个队伍，5指的是每个队伍有5只羊，二者意义不同。

【除法的意义】已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因素的运算，叫做除法。

在除法中，已知的积叫做被除数。

【乘法各部分间的关系】积 = 因数 x 因数因数 = 积÷另一个因数【除法各部分间的关系】商 = 被除数÷除数除数 = 被除数÷商被除数 = 商 x 除数【乘除法间的关系】除法是乘法的逆运算。

【0在四则运算中的特性】1.加法中，一个数加上0，还得原数。

如5 + 0 = 52.减法中，一个数减去0，还得原数。

如9 – 0 = 93.乘法中，一个数和0相乘，均得0。

如182 x 0 = 04.除法中，0除以一个非0的数，还得0（注：0不能做除数）。

如0 ÷ 92 = 0【四则运算】加、减、乘、除四种运算统称为四则运算。

【运算顺序】1.没有括号的四则混合运算的算式中，先算乘、除法，后算加、减法。

2.含有小括号的混合运算顺序是：先算小括号里面的，再算小括号外面的。

括号里面的算式运算顺序遵守上述第1条。

3.既有小括号，又有中括号（也叫方括号）的算式中，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。

例： 96 ÷ [ ( 32 + 16 ) x 2 ] 推理出图示方式。

最先计算 (32 + 16)，故32和16应该在图的最顶部计算结果看成整体这是运算的第二步，故计算结果和2放在图的第二层除以x2 运算后的结果，这是整体运算的第三步放在图的第三层根据图示反推算式，就是上述分析的逆过程。

图示表达式中，从上到下分为不同的层，每一层代表一步计算顺序，从上到下依次进行，这与先乘除后加减，先算括号内再算括号外的规则一一对应。

【租船策略问题】一共32人，大船限乘6人，每船租金30元；小船限乘4人，每船租金24元。

问如何租船最省钱。

两条原则：1.优先选择单价最便宜的方式2.尽可能保证没有空位寻找租船方案时，每一步都要按同时满足上述2条原则的方法进行，当出现同时满足2条原则时，该方案即为最优方案。

大船租金30元，限乘6人，相当于平均每人5元（30 ÷ 6 = 5）；小船租金24元，限乘4人，相当于平均每人6元（24 ÷ 4 = 6）；大船人均单价比小船人均单价便宜。

按照原则1，需要优先选择大船。

【门票策略问题】一共32人，其中成人4人，儿童28人。

按下列门票规则，如何买最划算？公园门票：成人票20元/人，儿童票10元/人，团体票15元/人（满5人以上）一条原则：尽可能选择便宜的票价。

与租船问题差异：租船以船（可坐若干人）为单位整体付租金，可能产生空位。

而门票问题直接按人付费，不可能产生空位。

①各自买对应的票价：总票价 = 4 x 20 + 28 x 10 = 80 + 280 = 360元②团体票更便宜，全选团体票：总票价 = 32 x 15 = 480元③方案②中成人选择了便宜的团体票价，但儿童却选择了更贵的团体票，所以总票款更贵了。

如果儿童选择儿童票，成人选择团体票，那就可以让不同的人都选择更便宜的票价。

总票价 = （4+1）x15 + （28-1）x10 = 75 + 270 = 345元二、观察物体（二）一句话：多观察，同时在脑海中建立起立体的空间想象图形。

立体图三、运算定律【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，和不变。

【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

【乘法交换律】两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。

【乘法结合律】三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。

【乘法分配律】两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。

【减法的运算性质】1.一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。

2.在连减运算中，任意交换两个减数的位置，差不变。

【除法的运算性质】1.一个数连续除以两个数，可以用这个数除以两个除数的积。

2.在连除运算中，任意交换除数的位置，商不变。

【学习运算定律的意义】即使没有运算定律，一样可以对算式进行加减乘除运算。

但是掌握了运算定律，可以简化运算，降低计算错误的可能性，提高运算效率。

【加减法巧算法】1.凑整法：观察算式中哪几个数可以凑成整十整百，利用加法交换律、加法结合律以及减法的运算性质，进行巧算。

例：115 + 132 + 118 + 85 – 66 – 34= (115 + 85) + (132 + 118) – (66 + 34) = 200 + 250 - 100 = 3502.分解法：观察算式中数字的特点，如果不能用凑整法，但是个别数字接近整十、整百，该数字可以分解为整十整百和另一个数的差（或和），从而简化计算。

例：198 + 1997 + 204 = (200 -2) + (2000 – 3) + (200 + 4)= 200 + 2000 + 200 – 2 - 3 + 4 = 2400 – 5 + 4 = 2400 – 1 = 2399【乘除法巧算法】1.提取公因数：观察算式中所有数字的特点，如果发现有公因数，可以利用乘法分配律来提取公因数，简化计算。

例1：36 x 29 + 36 = 36 x 29 + 36 x 1 = 36 x (29 + 1) = 36 x 30 = 1080 例2: 666 x 444 + 333 x 112 = 333 x 2 x 444 + 333 x 112= 333 x ( 2 x 444 + 112) = 333 x (888 + 112) = 333 x 1000 = 333000 2.凑整法：观察算式中数字的特征，如果发现不同数字间有整数倍的关系，或者凑整的情况，可以利用乘法交换律等方法，简化计算。

例：146 x 21 ÷ 73 x 25 x 4 = (146 ÷ 73) x 21 x (25 x 4) = 42 x 100 = 4200 3.分解法：观察算式中数字的特点，如果存在特殊运算情况，可以分解数字，使算式出现特殊运算情况，从而简化计算。

例1：12 x 25 = 3 x 4 x 25 = 3 x (4 x 25) = 3 x 100 = 300例2：(12 x 25) = (10 + 2) x 25 = 10 x 25 + 2 x 25 = 250 + 50 = 300四、小数的意义和性质【小数的组成】由整数部分、小数点和小数部分三部分组成。

【小数的必要性】现实生活中的很多数字都不是整数，比如课桌的高度是1米多，这就需要用小数来表达。

【小数和分数】小数是分数的另一种表示形式。

分母是10的分数改写为小数时，小数点后有1位小数。

如：7 / 10 = 0.7分母是100的分数改写为小数时，小数点后有2位小数。

如：34 / 100 = 0.347 / 10，或者0.7。

【小数的意义】分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示。

【小数的计数单位】计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……。

每相邻两个计数单位之间的进率是10。

【小数的读法和写法】有关“0”的读法：整数部分每级末尾的“0”不读，中间无论有几个“0”都只读一个零；小数部分有几个“0”都要依次读出来。

小数部分最大的数位是十分位；小数部分没有最小的数位。

【小数的性质】小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变，但意义发生改变。

【小数的大小比较】先比较整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同，就比较十分位，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同，就比较百分位，百分位上的数大的那个数就大……。

【小数与单位换算中的进率问题】小数的不同数位中，相邻数位间的进率是10。

带有单位的小数在进行单位换算时，要注意不同单位间的进率是不是10。

如果不同单位间的进率也是10，那么它们可以和小数的不同数位进行一一对应；例如：元角分相邻单位间进率是10，9.28元 = 9元2角8分如果不同单位间的进率不是10，就不能和小数数位一一对应，而要按单位间的进率进行换算；例如：吨和公斤间的进率是1000，9.28吨 = 9吨 + 0.28吨 = 9吨280公斤【小数与单位换算中的换算方向】举例说明：1元和10角是等价的，1元就像是零散的10角的一个大包装。

大小单位间的换算，就像把东西组成大包装或者从大包装里拆出零散的小包装一样。

对1元和10角进行等价换算，“元”的大包装换成“角”的小包装时，包装（单位）变小，数量（数字）就会变大；反过来，包装（单位）变大，数量（数字）就会变小。

大单位变为小单位，数字会变大，需要乘以进率；小单位变为大单位，数字会变小，需要除以进率；例如：“米”和“厘米”间的进率是100。

6米换为_____厘米时，单位变小，数字需要变大，6需要乘以进率100，所以6米 = 600厘米。

“吨”和“公斤”间的进率是1000。

3000公斤换为_____吨时，单位变大，数字需要变小，3000需要除以进率1000，所以3000公斤 = 3吨。

【带有单位的小数的组成】带有单位的小数，如果由若干个不同单位的数字部分组成，它们之间是“+”的关系。

在这个理解基础上，就方便进行单位换算了。

例如：1米45厘米 = 1米 + 45厘米 = 1米 + 0.45米 = 1.45米【小数的精确度】一个小数的最后一位是哪一位（指数位），就说明这个小数精确到了哪一位。

如：0.984的最后一位是千分位，说明0.984精确到千分位。

【求近似数】求近似数的方法是四舍五入。

求近似数时要求把小数精确到哪一位，就要对这一位的下一位进行四舍五入处理。

是否是近似数，关键看是否有四舍五入动作产生。

例如：0.984要求保留2位小数，就要对第3位小数“4”进行四舍五入处理，= 0.98 789230000 = 7.8923亿，这个换算不是近似数，因为没有四舍五入动作产生。