高数习题答案 总习题一

总习题一

1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:

(1)数列{x n }有界是数列{x n }收敛的________条件. 数列{x n }收敛是数列{x n }有界的________的条件.

(2)f (x )在x 0的某一去心邻域内有界是)(lim 0

x f x x →存在的________条件.

)(lim 0

x f x x →存在是f (x )在x 0的某一去心邻域内有界的________条件.

(3) f (x )在x 0的某一去心邻域内无界是∞=→)(lim 0

x f x x 的________条件.

∞=→)(lim 0

x f x x 是f (x )在x 0的某一去心邻域内无界的________条件.

(4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等是)(lim 0

x f x x →存在的________条件.

解 (1) 必要, 充分. (2) 必要, 充分. (3) 必要, 充分. (4) 充分必要.

2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ).

(A )f (x )与x 是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )是比x 低阶的无穷小.

解 因为x x x

x x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim )(lim

0000-+-=-+=→→→→ 3

ln 2ln )

1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) .

所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B .

3. 设f (x )的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x ).

解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ].

(3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]. (4) 由0≤ cos x ≤1得2

222ππππ+≤≤-n x n (n =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅),

即函数f (cos x )的定义域为[2

,22ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).

4. 设

⎩⎨⎧>≤=0 0 0)(x x x x f , ⎩⎨⎧>-≤=0

0)(2x x x x g , 求f [f (x )], g [g (x )], f [g (x )], g [f (x )].

解 因为f (x )≥0, 所以f [f (x )]=f (x )⎩

⎨⎧>≤=0 0 0x x x ;

因为g (x )≤0, 所以g [g (x )]=0; 因为g (x )≤0, 所以f [g (x )]=0;

因为f (x )≥0, 所以g [f (x )]=-f 2(x )⎩

⎨⎧>-≤=0 0

02x x x .

5. 利用y =sin x 的图形作出下列函数的图形:

(1)y =|sin x |; (2)y =sin|x |; (3)2

sin 2x y =.

6. 把半径为R 的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为α的一扇形后围成一无底圆锥. 试将这圆锥的体积表为α的函数.

解 设围成的圆锥的底半径为r , 高为h , 依题意有

R (2π-α)=2πr , π

απ2)

2(-=R r ,

παπαπαπ244)2(22

222

2

2

-=--=-=R R R r R h . 圆锥的体积为

παπαπαππ244)2(3122

22-⋅-⋅

=R R V 22234)2(24a R -⋅-=πααππ

(0<α<2π). 7. 根据函数极限的定义证明5

3

6lim 23=---→x x x x .

证明 对于任意给定的ε>0, 要使ε<----|53

6|2x x x , 只需|x -3|<ε, 取δ=ε, 当

0<|x -3|<δ时, 就有|x -3|<ε, 即ε<----|536|2x x x , 所以5

3

6lim 23=---→x x x x .

8. 求下列极限:

(1)2

2

1)1(1lim -+

-→x x x x ; (2))1(lim 2x x x x -++∞

→;

(3)1)1

232(lim +∞→++x x x x ;

(4)3

0sin tan lim x x x x -

→; (5)x x x x x c b a 10)3

(lim ++→(a >0, b >0, c >0); (6)x x x tan 2

)(sin lim π

→.

解 (1)因为01)1(lim 2

21=+--→x x x x , 所以∞=-+-→2

21)1(1lim x x x x . (2))

1()

1)(1(lim )1(lim 2222

x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→

2

11111lim 1lim

2

2=++=++=+∞→+∞

→x x x x x x .

(3)21

2121

1)1

221(lim )1221(lim )1232(

lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x 21212)1

221()1221(l i m

++++=+∞→x x x x e x x x x x =++⋅++

=∞→+∞→21212)1

221(lim )1221(lim . (4)x x x x x x x x x x x x x cos )cos 1(sin lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→ 21)2(2lim cos 2sin 2sin lim

3

2

0320=⋅=⋅=→→x x x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换).