平面向量的概念学案

必修4第二章 平面向量 2．1．1 向量的概念与几何表示

【内容分析】

向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，它也是解决一些数学问题的工具.向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。向量与代数、三角、几何均有密切的联系与交汇，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在数学和物理学科中具有广泛的应用和极其重要的地位，也是高考的必考点.

【学习目标】

1.通过物理学中力的分析等实例，知道向量的实际背景，能能举例说明向量的概念；

2.会用几何法表示向量，掌握向量的模，能举例说出零向量、单位向量、平行向量概念的含义；

3.通过对向量的学习，使同学们初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，掌握对向量与数量的识别能力，培养同学们认识客观事物与数学本质的能力.

【学习重点】理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、平行向量的概念，会用几何法表示向量.

【难点提示】平面向量概念的理解以及平行向量、相等向量的区别和联系.

【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材7479P 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；

2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.

【学习过程】 一、学习准备

1.请同学们回顾一下，从小学到现在你们学过或知道哪些度量单位、度量方法？

2.我们见过的线段的长度、物体的重量、水的温度、任意角的弧度等有哪些特点？

3.思考：如图2.1.1-1，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东

追去，请问猫能否追到老鼠吗？为什么？

4.生活中还存在着与长度、温度不同特征的“量”吗？ 图2.1.1-2中的AB 属于什么“两”呢？这就是本节课要研 究的问题！ 二、学习探究

1.向量的物理背景与概念

阅读探究 请同学们结合“学习准备”的问题，仔细阅读课

本P72-74页，可知在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一

些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.

还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、弹力、速度以及上面

图2.1.1-2的AB 等量，它们有怎样的特点呢？ A B C

D 图2.1.1-1

B 南

西东北A 图2.1.1-2

归纳概括 向量的概念，既有 又有 ，这种量我们称为 ；（链接1） 挖掘拓展（1）你还能生活中一些“向量”的实例？

（2）图2.1.1-3是教材P74页中的四个图，图

中出了标出的力的方向外，还有其它的力存在吗？

若有，请你标出来；

（3）生活中还有“年龄、身高、面积、体积、

热量”等这些量与向量的区别在哪里？它们又叫什

么量呢？

（4）你怎样理解向量的大小与方向？它的大小

怎样度量？用什么来度量？有单位吗？方向又如何

考察？方向又何作用？能不能不管方向？请举例说明！

2.向量的表示

我们知道向量是既有大小又有方向的量，怎样表示它呢？请同学们阅读教材75页，并对教材进行分析感悟完成下列填空

（1）向量的表示法有 、 、 ；

字母表示法：用字母a 、b 、c 等表示，你能举例吗？ 几何表示法：用有向线段表示，其三要素为 、 、 ；

有向线段法：用有向线段的起点与终点字母表示，如图2.1.1-4中AB ．

（2）向量的模：向量AB 的 称为向量的模，记作|AB |，AB 的模就是线段AB 的 ， 向量a 的模记为 .

（3）重要结论：①长度为 的向量叫零向量，记作0,0的方向是任意的 ②长度为 个单位长度的向量，叫单位向量．

挖掘拓展 （1）向量b 的表示法有什么含义？0与0有区别吗？区别在哪里？

（2）零向量和单位向量的意义分别是什么？零向量、单位向量的定义都只限制了大小，定方向呢？怎么理解，请举例说明？

（3）向量与有向线段的有区别吗？区别在哪里？（链接2）

3.平行向量 观察图2.1.1-5中三个向量之间有怎样的位置关系？

平行向量的概念：方向 的非零向量叫平行向量.，

向量a 、b 平行记作a b . 挖掘拓展 ①我们规定 与任一向量平行，对于任意向量a 都有0a .

②平行向量记法拓展：若向量a 、b 、c 平行，可记作a ∥b ∥c .

③零向量与任一向量平行，是否单位向量也与任一向量平行呢？

●快乐体验 判断下列结论是否正确，并说明理由

（1）所有的单位向量都是相同的（ ）；

（2）物理学中的作用力与反作用力是一对平行向量（ ）；

（3）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是平行向量（ ）；

（4）直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量（ ）.（链接3）

三、典例赏析

图2.1.1-3

图2.1.1-4 图2.1.1-5

例1（ 课本75页例1）请同学们先独立做一做，在看解答.

解：

●解后反思 该题的题型如何？怎样求解的？|AB |也表示A 、B 两点的距离吗?

●变式练习 某人从A 点出发向西走了250m 到达B 点，然后改变方向向西偏北

60走了450m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了250m 到达D 点．

（1） 作出向量AB ,BC ,CD ；（2）求向量DA 的模.

例2.判断下列命题真假或给出问题的答案：

(1)平行向量的方向一定相同.

(2)长度不相等的向量一定不平行．

(3)两个单位向量一定平行.

(4)与任何向量都平行的向量一定是零向量.

(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是 向量.

●解后反思 求解该题用到哪些知识？前面容易混淆的概念是哪些？

●变式练习 下面各组向量的终点构成什么图形？

(1)把所有单位向量移到同一个起点；

(2)把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；

(3)把平行于某一直线的一切向量移到同一起点. 四、学习反思

1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：向量的概念、表示法及其重要性质都理解与掌握了吗？

2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？

3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学与课堂美在哪里吗？

五、学习评价

1.下列不是向量的是（ ）

（A ）浮力 （B ）风速 （C ）位移（D ）密度

2.下列命题正确的是 ( )

（A ）共线向量都相等

（B ）单位向量都相等

（C ）平行向量不一定是共线向量

（D ）零向量与任一向量平行

3.下列说法正确的是 ( )

（A ）方向相同或相反的非零向量是平行向量； （B ）零向量是0 ．

（C ）长度相等的向量叫做相等向量； （D ）共线向量是在一条直线上的向量．

4.已知a 、b 是任意两个向量,下列条件: ①a =b ; ②b a =; ③a 与b 的方向相反; ④0 =a 或0 =b ;

⑤a 与b 都是单位向量．其中是向量a 与b 平行的有_____．