不定积分解法总结

不定积分解题方法总结

摘要：在微分学中，已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题。而在实际应用中，很多情况需要使用微分法的逆运算——积分。不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法

不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作用，为读者在学习不定积分时提供思路。文中如有错误之处，望读者批评指正。 1 换元积分法

换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是如何换元，一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。

1.当出现22x a ±，2

2a x -形式时，一般使用t a x sin ⋅=

，t a x sec ⋅=，

t a x tan ⋅=三种代换形式。

C x a x x a dx C

t t t t a x x a dx

+++=+++==+⎰⎰⎰2

22

222ln tan sec ln sec tan

2.当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。

C

x x x C t t t tdt t t tdt t x t dx x ++-=++-=--==⎰⎰⎰sin 2cos 2sin 2cos 2)

cos cos (2sin 2sin

但当根号内出现高次幂时可能保留根号，

c x dt t dt

t

t dt t t t

dt t t t t

x x x

dx +-

=--=--=--=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⋅-⋅

=

--⎰

⎰⎰⎰⎰66

12

12

5

12

6

212

12arcsin 6

1

11

6

1

111

11

1

11

1

3.当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。 使用万能代换2

tan

x

t =，

()()

()

c

x

dt t

dt t

t

dt t

t t dx x

++=

++=

++=

+++=

+⎰⎰⎰⎰

31

2tan

2arctan

3

22/14/311112

1221

sin 21

2

2

2

2

对于万能代换法有些同学可能觉得形式和计算麻烦而排斥使用，但是万能代换可以把三角函数直接转变为有理函数形式，其后可以直接参照有理函数的积分法。这不失为解题的一种好方法。

2 不定积分中三角函数的处理

不定积分的计算中三角函数出现的次数较多，然而有些形式类似的题目的解法却大相径庭。在这里我们有必要对含有三角函数的不定积分的解法进行总结。除了之前提到的万能代换的方法，我们可以对被积函数进行适当的变形和转换。因此，我们对被积函数中的三角函数的变形和转换与三角函数的降次进行归纳和总结。 1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。 被积函数

⎰

+dx x

x 2

2cos sin 1

上下同乘x sin 变形为

()()

()⎰

⎰+--=+x

x x xd dx x x cos 1cos 1cos cos cos sin 12

令x u cos =，则为

()

()()()()()c

x x c x x

x du

u u u u u udu +-=+-+-+-=--+-+=+--

⎰⎰2

sec 412tan ln 21cos 1cos 1ln 41cos 121)141

141121(112222

2.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意1cos sin 2

2=+x x 的使用。

()()c x x x x dx

x x dx x

x x x dx x x x x +⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+--=

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+--=+-+=+⎰⎰⎰82

tan ln 221cos sin 21)4/sin(2cos sin 21cos sin 1

cos sin 21cos sin cos sin 2

ππ 三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用

三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。 3. 函数的降次 ①形如的cos sin ⎰

xdx x n m

积分（m ，n 为非负整数）

当m 为奇数时，可令x u cos =，于是

(

)

⎰⎰⎰----=-=du u u

x xd x dx x x n m n

m n m

2

1

2

1

1cos cos sin cos sin ，

转化为多项式的积分

当n 为奇数时，可令x u sin =，于是

()

⎰⎰⎰---=

=

du u u x xd x xdx x u m

n m

n

m

2

1

2

1

1sin cos

sin

cos sin

，

同样转化为多项式的积分。

当m ，n 均为偶数时，可反复利用下列三角公式：

,

22cos 1cos ,22cos 1sin ,2sin 21

cos sin 22x

x x

x x x x +=-==

不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。

② 形如⎰xdx n

tan 和⎰xdx n cot 的积分（n 为正整数）

令xdx u tan =，则u x arctan =，2

1u

du

dx +=

，从而

⎰⎰

+=

,1tan

2

du u u xdx n

n

已转化成有理函数的积分。 类似地，⎰

xdx n

cot 可通过代换x u cot =转为成有理函数的积分。

③形如⎰xdx n

sec 和⎰xdx m csc 的积分（n 为正整数）

当n 为偶数时，若令x u tan =，则2

1,arctan u

du

dx u x +=

=，于是

()()

()

⎰⎰⎰⎰-+=++=

+=

du u du u

u dx

x xdx n

n

n

n

1

222

2

22

2

111

1tan 1sec

已转化成多项式的积分。 类似地，⎰

xdx n

csc

可通过代换x u cot =转化成有理函数的积分。