2017年上海春考数学试卷

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2017年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学

2017年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学一、填空题(本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)1.已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A ∩B= . 解析：利用交集定义直接求解.∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}， ∴A ∩B={3，4}. 答案：{3，4}.2.若排列数6654m P=⨯⨯，则m= .解析：利用排列数公式直接求解. ∵排列数6654m P=⨯⨯，∴由排列数公式得36654P=⨯⨯，∴m=3. 答案：3. 3.不等式11x x-＞的解集为 . 解析：根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可. 由11x x -＞得： 111100x x x-⇒⇒＞＜＜，故不等式的解集为：(-∞，0). 答案：(-∞，0).4.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 . 解析：球的体积为36π，设球的半径为R ，可得43πR 3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR 2=9π. 答案：9π.5.已知复数z 满足30z z+=，则|z|= . 解析：由30z z+=，得z 2=-3，设z=a+bi(a ，b ∈R)，由z 2=-3，得(a+bi)2=a 2-b 2+2abi=-3，即22320a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得：0a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.∴z=则6.设双曲线22219x y b -=(b ＞0)的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= .解析：根据题意，双曲线的方程为：22219x y b-=，其中，则有||PF 1|-|PF 2||=6，又由|PF 1|=5，解可得|PF 2|=11或-1(舍)，故|PF 2|=11. 答案：11.7.如图，以长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu r 的坐标为(4，3，2)，则1AC uuu r的坐标是 .解析：如图，以长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵1DB uuu r的坐标为(4，3，2)，∴A(4，0，0)，C 1(0，3，2)，∴1AC uuu r=(-4，3，2).答案：(-4，3，2).8.定义在(0，+∞)上的函数y=f(x)的反函数为y=f -1(x)，()()310x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨⎪⎩，若，＞为奇函数，则f -1(x)=2的解为 .解析：若()()310xx g x f x x ⎧-≤⎪=⎨⎪⎩，若，＞为奇函数，可得当x ＞0时，-x ＜0，即有g(-x)=3-x-1，由g(x)为奇函数，可得g(-x)=-g(x)，则g(x)=f(x)=1-3-x，x ＞0，由定义在(0，+∞)上的函数y=f(x)的反函数为y=f -1(x)，且f-1(x)=2，可由f(2)=1-3-2=89，可得f -1(x)=2的解为x=89. 答案：89.9.已知四个函数：①y=-x ，②1y x=-，③y=x 3，④12y x =，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 .解析：给出四个函数：①y=-x ，②1y x=-，③y=x 3，④12y x =，从四个函数中任选2个，基本事件总数246n C ==，事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①④，③④，共2个，∴事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P(A)1263==. 答案：13.10.已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N*，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则()()149161234lg b b b b lg b b b b = .解析：∵a n =n2，n ∈N*，若对于一切n ∈N*，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项， ∴()2n n a b n b a b ==.∴b 1=a 1=1，(b 2)2=b 4，(b 3)2=b 9，(b 4)2=b 16.∴b 1b 4b 9b 16=(b 1b 2b 3b 4)2. ∴()()1491612342lg b b b b lg b b b b =.答案：2.11.设a 1、a 2∈R ，且()121122sin 2sin 2αα+=++，则|10π-α1-α2|的最小值等于 .解析：根据三角函数的性质，可知sin α1，sin2α2的范围在[-1，1]， ∵()121122sin 2sin 2αα+=++，∴sin α1=-1，sin2α2=-1. 则：α1=2π-+2k 1π，k 1∈Z.2α2=2π-+2k 2π，即α2=4π-+k 2π，k 2∈Z.那么：α1+α2=(2k 1+k 2)π-34π，k 1、k 2∈Z.∴|10π-α1-α2|=|10π+34π-(2k 1+k 2)π|的最小值为4π. 答案：4π.12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线lP ，使得不在lP 上的“▲”的点分布在lP 的两侧.用D 1(lP)和D2(lP)分别表示lP 一侧和另一侧的“▲”的点到lP 的距离之和.若过P 的直线lP 中有且只有一条满足D 1(lP)=D 2(lP)，则Ω中所有这样的P 为 .解析：设记为“▲”的四个点为A ，B ，C ，D ，线段AB ，BC ，CD ，DA 的中点分别为E ，F ，G ，H ，易知EFGH 为平行四边形，如图所示：四边形ABCD两组对边中点的连线交于点P2，即符合条件的直线lP一定经过点P2，因此：经过点P2的直线有无数条；同时经过点P1和P2的直线仅有1条，同时经过点P3和P2的直线仅有1条，同时经过点P4和P2的直线仅有1条，所以符合条件的点为P1、P3、P4.答案：P1、P3、P4.二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13.关于x、y的二元一次方程组50234x yx y+=⎧⎨+=⎩的系数行列式D为( )A.05 43B.10 24C.15 23D.60 54解析：利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解.关于x、y的二元一次方程组50234x yx y+=⎧⎨+=⎩的系数行列式：D=1523.答案：C.14.在数列{a n}中，a n=(12-)n，n∈N*，则limnna→∞( )A.等于1 2 -C.等于12D.不存在解析：数列{a n }中，a n =(12-)n，n ∈N*，则根据极限的定义，lim lim 012nn n n a →∞→∞⎛⎫⎪⎝⎭=-=.答案：B.15.已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn+c ，n ∈N*，则“存在k ∈N*，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是( ) A.a ≥0 B.b ≤0 C.c=0D.a-2b+c=0解析：存在k ∈N*，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列，可得：2[a(200+k)2+b(200+k)+c]=a(100+k)2+b(100+k)+c+a(300+k)2+b(300+k)+c ，化为：a=0. ∴使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列的必要条件是a ≥0. 答案：A.16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：221364x y +=和C 2：2219y x +=.P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是Q OP O uuu r g uu u r 的最大值.记Ω={(P ，Q)|P 在C 1上，Q 在C 2上，且QOP O uuu rg uu u r =w}，则Ω中元素个数为( ) A.2个 B.4个 C.8个 D.无穷个解析：设出P(6cos α，2sin α)，Q(cos β，3sin β)，0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数.椭圆C 1：221364x y +=和C 2：2219y x +=，P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P(6cos α，2sin α)，Q(cos β，3sin β)，0≤α\β＜2π，则Q OP O uuu rg uu u r =6cos αcos β+6sin αsin β=6cos(α-β)，当α-β=2k π，k ∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={(P ，Q)|P 在C 1上，Q 在C 2上，且Q OP O uuu rg uu u r =w}中的元素有无穷多对.三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)17.如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5.(1)求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积.解析：(1)三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ×AA 1=12×AB ×AC ×AA 1，由此能求出结果. 答案：(1)∵直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5. ∴三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积： V=S △ABC ×AA 1=12×AB×AC×AA 1 =12×4×2×5=20.(2)设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小.解析：(2)连结AM ，∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，由此能求出直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小.答案：(2)连结AM ，∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5，M 是BC 中点，∴AA 1⊥底面ABC ，12AM BC === ∴∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，11tan AA A MA AM ∠===∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan18.已知函数f(x)=cos 2x-sin 2x+12，x ∈(0，π).(1)求f(x)的单调递增区间.解析：(1)由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间.答案：(1)函数f(x)=cos 2x-sin 2x+12=cos2x+12，x ∈(0，π)，由2k π-π≤2x ≤2k π，解得k π-12π≤x ≤k π，k ∈Z ，k=1时，12π≤x ≤π，可得f(x)的增区间为[2π，π).(2)设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边B 所对边b=5，若f(A)=0，求△ABC 的面积.解析：(2)由f(A)=0，解得A ，再由余弦定理解方程可得c ，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值.答案：(2)设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边B 所对边b=5，若f(A)=0，即有cos2A+12=0，解得2A=23π，即A=13π，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bccosA ，化为c 2-5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cos 0B =，即有B 为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为1122sin 5342S bc A ==⨯⨯⨯=.19.根据预测，某地第n(n ∈N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n (单位：辆)，其中451513104704n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，，，b n =n+5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量.解析：(1)计算出{a n }和{b n }的前4项和的差即可得出答案.答案：(1)前4个月共投放单车为a 1+a 2+a 3+a 4=20+95+420+430=975，前4个月共损失单车为b 1+b 2+b 3+b 4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为975-30=945.(2)已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =-4(n-46)2+8800(单位：辆).设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？解析：(2)令a n ≥b n 得出n ≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论. 答案：(2)令a n ≥b n ，显然n ≤3时恒成立，当n ≥4时，有-10n+470≥n+5，解得n ≤46511， ∴第42个月底，保有量达到最大.当n ≥4，{a n }为公差为-10等差数列，而{b n }为等差为1的等比数列， ∴到第42个月底，单车保有量为442142430506473953542395354287822222a ab b ++++⨯+-⨯=⨯+-⨯=. S 42=-4×16+8800=8736. ∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：2214x y +=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.(1)若P 在第一象限，且P 的坐标.解析：(1)设P(x ，y)(x ＞0，y ＞0)，联立2222142x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，能求出P 点坐标.答案：(1)设P(x ，y)(x ＞0，y ＞0)，∵椭圆Γ：2214x y +=，A 为Γ的上顶点， P 为Γ上异于上、下顶点的动点， P 在第一象限，且∴联立2222142x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得P(3，3).(2)设P(85，35)，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标. 解析：(2)设M(x 0，0)，A(0，1)，P(85，35)，由∠P=90°，求出x 0=2920；由∠M=90°，求出x 0=1或x 0=35；由∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意.由此能求出点M 的横坐标.答案：(2)设M(x 0，0)，A(0，1)， P(85，35)，若∠P=90°，则PA PM uu r uuu r g ，即0838205555x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭g ，，，∴08646052525x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，解得x 0=2920. 如图，若∠M=90°，则0MA MP =uuu r uuu r g ，即()00831055x x -⎛⎫ =⎝-⎪⎭g ，，，∴20083055x x -+=，解得x 0=1或x 0=35，若∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意. ∴点M 的横坐标为2920，或1，或35.(3)若|MA|=|MP|，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =uuu r uu u r ，4PQ PM =uu u r uuu r，求直线AQ 的方程. 解析：(3)设C(2cos α，sin α)，推导出Q(4cos α，2sin α-1)，设P(2cos β，sin β)，M(x 0，0)推导出x 0=34cos β，从而4cos α-2cos β=-5cos β，且2sin α-sin β-1=-4sin β，cos β=43-cos α，且sin α=13(1-2sin α)，由此能求出直线AQ. 答案：(3)设C(2cos α，sin α)，∵2AQ AC =uuu r uuu r ，A(0，1)，∴Q(4cos α，2sin α-1)，又设P(2cos β，sin β)，M(x 0，0)，∵|MA|=|MP|，∴x 02+1=(2cos β-x 0)2+(sin β)2，整理得：x 0=34cos β， ∵PQ uu u r =(4cos α-2cos β，2sin α-sin β-1)，PM uuu r =(54-cos β，-sin β)，4PQ PM =uu u r uuu r ， ∴4cos α-2cos β=-5cos β，且2sin α-sin β-1=-4sin β，∴cos β=43-cos α，且sin α=13(1-2sin α)，以上两式平方相加，整理得3(sin α)2+sin α-2=0，∴sin α=23，或sin α=-1(舍去)，此时，直线AC 的斜率1sin 2cos AC k αα-=-=负值已舍去)，如图.∴直线AQ 为101y x =+.21.设定义在R 上的函数f(x)满足：对于任意的x 1、x 2∈R ，当x 1＜x 2时，都有f(x 1)≤f(x 2).(1)若f(x)=ax 3+1，求a 的取值范围.解析：(1)直接由f(x 1)-f(x 2)≤0求得a 的取值范围.答案：由f(x 1)≤f(x 2)，得f(x 1)-f(x 2)=a(x 13-x 23)≤0，∵x1＜x2，∴x13-x23＜0，得a≥0.故a的范围是[0，+∞).(2)若f(x)是周期函数，证明：f(x)是常值函数.解析：(2)若f(x)是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f(x0)=f(x0+T k)，证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f(x0)≤f(x)≤f(x0+T k)，可得f(x0)=f(x0+nT k)，n∈Z，再由…∪[x0-3T k，x0-2T k]∪[x0-2T k，x0-T k]∪[x0-T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x ∈R，f(x)=f(x0)=C，为常数.答案：(2)若f(x)是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f(x0)=f(x0+T k)，由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f(x0)≤f(x)≤f(x0+T k)，∴f(x0)=f(x)=f(x0+T k).又∵f(x0)=f(x0+nT k)，n∈Z，并且…∪[x0-3T k，x0-2T k]∪[x0-2T k，x0-T k]∪[x0-T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f(x)=f(x0)=C，为常数.(3)设f(x)恒大于零，g(x)是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g(x)的最大值.函数h(x)=f(x)g(x).证明：“h(x)是周期函数”的充要条件是“f(x)是常值函数”.解析：(3)分充分性及必要性证明.类似(2)证明充分性；必要性先证明f(x)符号不变，然后分类证明.答案：(3)充分性：若f(x)是常值函数，记f(x)=c1，设g(x)的一个周期为T g，则h(x)=c1·g(x)，则对任意x0∈R，h(x0+T g)=c1·g(x0+T g)=c1·g(x0)=h(x0)，故h(x)是周期函数.必要性：若h(x)是周期函数，记其一个周期为T h，首先证明f(x)符号不变.①设集合A={x|g(x)=m}，若存在x0∈R，使得f(x0)=0，则h(x0)=0，且对任意k∈Z，有h(x0+kT h)=0，∵g(x)＞0，∴f(x0+kT h)=0，即对任意x∈[x0+kT h，x0+(k+1)T h]，k∈Z，f(x)=0恒成立，∴f(x)=0是常值函数；②若存在x1，x2，使得f(x1)＞0，且f(x2)＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f(x2+N1T k)＞f(x1)＞0，且h(x2+N1T k)=h(x2).又h(x2)=g(x2)f(x2)＜0，而h(x2+N1T k)=g(x2+N1T k)f(x2+N1T k)＞0≠h(x2)，矛盾.综上，f(x)=0或f(x)＞0或f(x)＜0恒成立.1°、若f(x)＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0-N2T h≤x0-T g，即[x0-T g，x0] [x0-N2T h，x0]，∵…∪[x0-3T k，x0-2T k]∪[x0-2T k，x0-T k]∪[x0-T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0-2N2T h，x0-N2T h]∪[x0-N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R.h(x0)=g(x0)·f(x0)=h(x0-N2T h)=g(x0-N2T h)·f(x0-N2T h)，∵g(x0)=M≥g(x0-N2T h)＞0，f(x0)≥f(x0-N2T h)＞0.因此若h(x0)=h(x0-N2T h)，必有g(x0)=M=g(x0-N2T h)，且f(x0)=f(x0-N2T h)=c.而由(2)证明可知，对任意x∈R，f(x)=f(x0)=C，为常数.2°、若f(x)＜0恒成立，任取x0∈A，则必存在N3∈N，使得x0+N3T h≥x0+T g.即[x0，x0+T g] [x0，x0+N3T g]，∵…∪[x0-3T k，x0-2T k]∪[x0-2T k，x0-T k]∪[x0-T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0-2N3T h，x0-N3T h]∪[x0-N3T h，x0]∪[x0，x0+N3T h]∪[x0+N3T h，x0+2N3T h]∪…=R.h(x0)=g(x0)·f(x0)=h(x0+N3T h)=g(x0+N3T h)·f(x0+N3T h).∵g(x0)=M≥g(x0+N3T h)＞0，f(x0)≤f(x0+N3T h)＜0.因此若h(x0)=h(x0+N3T h)，必有g(x0)=M=g(x0+N3T h)，且f(x0)=f(x0+N3T h)=c，而由(2)证明可知，对任意x∈R，f(x)=f(x0)=C，为常数.综上，必要性得证.。

2017年上海春季高考数学试卷(附简析)

；
x
10.
设椭圆
x2 2
y2
1的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 在该椭圆上，则使得△ F1F2P 是
等腰三角形的点 P 的个数是
；
11. 设 a1 、 a2 、…、 a6 为 1、2、3、4、5、6 的一个排列，则满足 | a1 a2 | | a3 a4 |
| a5 a6 | 3 的不同排列的个数为
17. 如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 2 ， AA1 3 ；（1）求四棱锥 A1 ABCD 的体积；（2）求异面直线 A1C 与 DD1 所成角的大小；18.设 a 来自R ，函数f (x)
2x a 2x 1
；
（1）求 a 的值，使得 f (x) 为奇函数；（2）若 f (x) a 2 对任意 x R 成立，求 a 的取值范围；
16. 如图所示，正八边形 A1A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 的边长为 2，若 P 为该正八边形边上的动点，
则 A1A3 A1P 的取值范围为（）
A. [0,8 6 2]
B. [2 2,8 6 2]
C. [8 6 2, 2 2]
D. [8 6 2,8 6 2]
三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）
C. (, 0]
D. (,1]
14. 设 a R ，“ a 0 ”是“ 1 0 ”的（ a
A. 充分非必要
B. 必要非充分
）条件 C. 充要
D. 既非充分也非必要
15. 过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）
A. 三角形
B. 长方形

【精品作文】2017年上海高考数学(理科)试卷【A3大小】

4．（2016?上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）
的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△
，则
= ．
的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值
F1F2P是等腰三角形的点P的个数是．
11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为． 12．设a、b∈R，若函数f（1）的取值范围为．
条件中，使得2Sn＜S（n∈N）恒成立的是（）
A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6
C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】由已知推导出
，则
=
．
无解，则实数a= 6 ．
5．若关于x、y的方程组
6．若等差数列{an}的前5项的和为25，则a1+a5= 10 ．
7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 2 ． 8．已知数列{an}的通项公式为9．若160 ． 10．设椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△

2017年上海市春季高考数学试卷(解析版)

2017年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）I •设集合A=｛1, 2, 3｝，集合B=｛3, 4｝，则A U B= .2•不等式|x- 1| V 3的解集为______ .3. 若复数z满足2 --仁3+6i （i是虚数单位），则z= _____ .4. 若cos ____________ ，则或口（収一^）= .5. 若关于x、y的方程组无解，则实数a=—.6. __________________________________________ 若等差数列｛an｝的前5项的和为25,则a计a5= _____________________________________ .7 .若P、Q是圆x2+y2- 2x+4y+4=0上的动点，则| PQ的最大值为_____ .8 .已知数列｛an｝的通项公式为，贝U9.若•的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为 _ .2 G10 .设椭圆乡+脊二1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在该椭圆上，则使得厶F1F2P是等腰三角形的点P的个数是_______ .II .设a1、a2、…、a s为1、2、3、4、5、6 的一个排列，则满足| a1 - a z|+| a3 - a4|+| a5- a6| =3的不同排列的个数为____ .12 .设a、b € R,若函数fG'p+g+b在区间（1, 2）上有两个不同的零点，贝U f （1）的取值范围为 .二•选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13 .函数f （x）= （x- 1）2的单调递增区间是（）A . [0, +x）B . [ 1, +x）C. （-X, 0] D . （-X, 1]14 .设a€ R, “A0”是的（）条件.A.充分非必要B .必要非充分C.充要D.既非充分也非必要15 .过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（A.三角形B.长方形C.对角线不相等的菱形 D .六边形16•如图所示，正八边形 A 1A 2A 3A 4A 5A 5A 7A 8的边长为2,若P 为该正八边形边上的动点，则三•解答题（本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76分）17. （ 12 分）如图，长方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1 中，AB=BC=2 AA 1=3; （1 ）求四棱锥A 1 - ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1C 与DD 1所成角的大小.18. （ 12 分）设 a € R,函数 f ^ = 2s fl ；（1 ）求a 的值，使得f （x ）为奇函数；（2）若卫罚对任意x € R 成立，求a 的取值范围.19. （ 12分）某景区欲建造两条圆形观景步道 M 1、M 2 （宽度忽略不计），如图所示，已知 AB 丄AC, AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆 M 1与AB 、AD 分别相切于点 B 、D ,圆M 2与 AC AD 分别相切于点C 、D ;（1）若/ BAD=60，求圆M 1、M 2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M 1与M 2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M 1、M 2 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）A . 仁B . 一［「1. CD [■卜6近，2+6血]20. r 2 y i（12分）已知双曲线：工辛 (b >0)，直线 I ： y=kx+m (km 工0), l 与 r 交于 P 、Q 两点，P 为P 关于y 轴的对称点，直线 P'Q 与y 轴交于点N （0，n ）；（1）若点（2, 0）是『的一个焦点，求『的渐近线方程；（2）若b=1,点P 的坐标为（-1, 0），且尸二亠匚\求k 的值; (3) 21. 若m=2，求n 关于b 的表达式. （12分）已知函数f （x ） (1) 解方程 f (x ) =1; (2) 设 x € (- 1，1)，a €1=-f (D ；(3) 设数列｛X n ｝中，X 1 € (- （1，+x ），证明: € (- 1, 1)，且 f ( ax-1 -f (x ) % 71, 1), X n +1= (- 1) n +1■:. , n € N *，求为的取值范围，使得x 3> x n 对任意n € N *成立.2017年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5 分）1. 设集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4}，则A U B= {1, 2, 3, 4}.【考点】并集及其运算.【分析】根据集合的并集的定义求出A、B的并集即可.【解答】解：集合A={1, 2, 3},集合B={3, 4},则A U B={1, 2, 3, 4},故答案为：{1 , 2, 3, 4}.【点评】本题考查了集合的并集的定义以及运算，是一道基础题.2. 不等式|x- 1| V 3的解集为（-2, 4）.【考点】绝对值不等式的解法.【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值，求出不等式的解集即可.【解答】解：I |x- 1| V3,3 V x - 1 V 3,•••- 2 V x v 4,故不等式的解集是（-2, 4）,故答案为：（-2, 4）.【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，是一道基础题.3. 若复数z满足2之-仁3+6i （i是虚数单位），则z= 2 - 3i .【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：：2 -仁3+6i,•［二］贝则血一詔:打• z=2 - 3i.故答案为：2 - 3i.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.1 z K v 14. 若cos =—，则盟口（口一^）=_一_.【考点】运用诱导公式化简求值.【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值.【解答】解：T ss口#,. H . 1轧口工一）=—cOS a=匚.故答案为：-£【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题.f x+2y=45 .若关于x、y的方程组_「无解，贝U实数a=6 .【考点】根的存在性及根的个数判断.f z+2y=4【分析】把方程组”「一工无解转化为两条直线无交点，然后结合两直线平行与系数的关系列式求得a值.f s+2y=4【解答】解：若关于x、y的方程组I計穷丸无解，说明两直线x+2y - 4=0与3x+ay - 6=0无交点.乂已一3X2=0叫M〔-6〕-3X （T）/，解得：a=6故答案为：6.【点评】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法，是中档题.6.若等差数列｛&｝的前5项的和为25,则a什a5= 10 .【考点】等差数列的前n项和.5【分析】由等差数列前n项和公式得比已小=25,由此能求出a i+a5.【解答】解：•••等差数列｛a n｝的前5项的和为25，5九=25，2_--a什a5=25x - =10.故答案为：10.【点评】本题考查等差数列中两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.7 •若P 、Q 是圆x 2+y 2- 2x+4y+4=0上的动点，则| PQ 的最大值为 2 .【考点】直线与圆的位置关系.【分析】圆x 2+y 2-2x+4y+4=0，可化为(x- 1) 2+ (y+2) 2=1，|PQ|的最大值为直径长. 【解答】解：圆 x 2+y 2 - 2x+4y+4=0，可化为(x - 1) 2+ (y+2) 2=1， ■/ P 、Q 是圆 x 2+y 2 - 2x+4y+4=0 上的动点， •••| PQ 的最大值为2，故答案为2.【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础.【考点】等比数列的前n 项和；极限及其运算.故答案为：二.【点评】本题考查等比数列的求和公式，考查极限方法，属于中档题.9.若"二•的二项展开式的各项系数之和为 729,则该展开式中常数项的值为 160【考点】二项式系数的性质.【分析】令x=1，由题意可得：3n =729,解得n .再利用二项式定理的通项公式即可得出. 【解答】解：令x=1，由题意可得：3n =729，解得n=6. •••展开式的通项公式为：T r +i =2r C 6r x 6-2r ，令 6 -2r=0,解得 r=3， •其展开式中常数项=8X 20=160, 故答案为：160.【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.8 .已知数列｛&｝的通项公式为【分析】利用等比数列的求和公式，结合极限，即可得出结论.解:11ID ---------------------------------10•设椭圆乡的左、右焦点分别为F l、F2,点P在该椭圆上，则使得厶F1F2P是等腰三角形的点P 的个数是 6 .【考点】椭圆的简单性质.【分析】如图所示，①当点P与短轴的顶点重合时，△ RF2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此时有2个.②当△ F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，共有4个.【解答】解：如图所示，①当点P与短轴的顶点重合时，△ F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△ F1F2P;②当△ F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，共有4个.以F2P作为等腰三角形的底边为例，t F1F2=RP,•••点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△ F1F2P.同理可得：当以F2为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P.综上可得：满足条件的使得△ F1F2P是等腰三角形的点P的个数为6.【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、等腰三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11.设a1、a2、…、a s为1、2、3、4、5、6 的一个排列，则满足| a1 -宠|+| a3 - a4|+| a5- a6| =3的不同排列的个数为48【考点】排列、组合的实际应用.【分析】根据题意，分析可得需要将1、2、3、4、5、6分成3组，其中1和2, 3和4, 5和6必须在一组，进而分2步进行分析：首先分析每种2个数之间的顺序，再将分好的三组对应三个绝对值，最后由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，若| a i - a2|+| a3 - a4|+| a5 - a6| =3，则| a i —ct?| =| a3_a4| =| a5 - a6| =1，需要将1、2、3、4、5、6分成3组，其中1和2, 3和4, 5和6必须在一组，每组2个数，考虑其顺序，有A22种情况，三组共有A22X A e2X A22=8种顺序，将三组全排列，对应三个绝对值，有A33=6种情况，则不同排列的个数为8X 6=48;故答案为：48.【点评】本题考查排列、组合的应用，注意分析1、2、3、4、5、6如何排列时，能满足—a2|+| a3 - a4|+| a5 - a s| =3.12•设a、b € R,若函数f 3刃十+十b在区间（1, 2）上有两个不同的零点，贝U f （1）的取值范围为（0， 1）.【考点】函数零点的判定定理.【分析】函数二「亍^在区间（1, 2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1,2）上两个不相等的实根，2b2-4a>0?l+a+b>01+五眾＞04+2b+a>04f2b+a>0I画出数对（a, b）所表示的区域，求出目标函数z=f （1）一a+b+1的范围即可.I【解答】解：函数在区间（1, 2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1, 2）上两个不相等的实根，2< b2-4a>0?l+a+b>0L+址E>Q4+2b+a>04f2b+a>0I如图画出数对(a, b)所表示的区域，目标函数z=f (1) 一a+b+1••• z的最小值为z=a+b+1过点(1, - 2)时，z的最大值为z=a+b+1过点(4,- 4)时••• f (1)的取值范围为(0, 1)【点评】本题是函数零点的考查，涉及到规划问题的结合，属于难题.二•选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13•函数f (x) = (x- 1) 2的单调递增区间是( )A. [0，+x)B. [1，+x)C.(-x，0]D.(-x，1]【考点】函数的单调性及单调区间.【分析】根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可.【解答】解：函数f (x)的对称轴是x=1，开口向上，故f (X)在[1，+X)递增，故选：B.【点评】本题考查了二次函数的性质，是一道基础题.14. 设a€ R，“A0”是的( )条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.【解答】解：由解得：a>0,故a>0”是丄的充要条件，故选：C.【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题.15. 过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A.三角形B.长方形C.对角线不相等的菱形D.六边形【考点】平行投影及平行投影作图法.【分析】根据截面经过几个面得到的截面就是几边形判断即可.【解答】解：过正方体中心的平面截正方体所得的截面，至少与正方体的四个面相交，所以不可能是三角形，故选：A.【点评】解决本题的关键是理解截面经过几个面得到的截面就是几边形.16. 如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A5A7A8的边长为2,若P为该正八边形边上的动点，则■ ■ ■坷心的取值范围为（）A [0，眈应]B卜2血* 2+E"] C近，A/2] D〔■卜6近，区+6血]【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由题意求出以A i为起点，以其它顶点为向量的模，再由正弦函数的单调性及值域可--------- * ---------A A * ft 卩得当P与A8重合时，•厂取最小值，求出最小值，结合选项得答案.【解答】解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°I 石爲=1 石£ 1=2^2+72 |A[A；| 二二2+逅再由正弦函数的单调性及值域可得,当 P 与 A 重合时，弘利“P 最小为 "癥 =护閉耳X （结合选项可得即的取值范围为卜2换时必］. 故选：B.【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查数形结合的解题思想方法，属中档题.三•解答题（本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76分）17. （ 12 分）（2017?上海模拟）如图，长方体 ABC — A 1B 1C 1D 1 中，AB=BC=2 AA 1=3; （1 ）求四棱锥A 1 - ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1C 与DD 1所成角的大小.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角.【分析】（1）四棱锥A 1 - ABCD 的体积%厂區口吉喝沁x 人打，由此能求出结果.（2 ）由DDi // CC ,知/ AQC 是异面直线A 1C 与DD 1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A 1C 与DD 1所成角的大小.【解答】解：（1 长方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1 中，AB=BC=2 AA 1=3， •••四棱锥A 1 - ABCD 的体积：寺x 皿 XADXA 応［書X2X 2X 3=4.（2）：DD 1//CC ,.・./A 1CC 是异面直线A 1C 与DD 1所成角（或所成角的补角），•••异面直线A 1C 与DD 1所成角的大小为；宀-宁< 1,【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注空间思维能力的培养.18. ( 12分)(2017?上海模拟)设a € R,函数代工"亦孑; (1 )求a 的值，使得f (x )为奇函数；(2)若■对任意x € R 成立，求a 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质.【分析】(1 )由f (x )在R 上为奇函数，可得f (0) =0,解方程可得a 的值，检验即可;「，即有 2 (a - 1 )< a (2x +1)，讨论a=0, a >0, a < 0,由参数分离，求得右边的范围，运用恒成立思想即可得到 a 的范围.【解答】解：(1 )由f (x )的定义域为R , 且f (x )为奇函数，可得f (0) =0, 即有丁 =0,解得a=- 1 .严~L尹T 1-0则 f (x ) —| , f (- x )=八］=丨「=-f (x ), 则a= - 1满足题意；(2)丄对任意x € R 成立,严十己-即为莎;< 2恒成立，2H +a a+2厂十1 <2 (2 )由题意可得即为恒成立，等价为2x fl即有 2 (a- 1)< a (2x+1), 当a=0时，-1<0恒成立；< 1,当 a >0 时，…；v 2x +1, 综上可得，a 的取值范围是[0, 2].【点评】本题考查函数的奇偶性的运用：求参数的值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和参数分离的思想方法，考查运算能力，属于中档题.19. （12分）（2017?上海模拟）某景区欲建造两条圆形观景步道 M I 、M 2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB 丄AC, AB=AC=AD=6（单位：米），要求圆M 1与AB 、AD 分别相切于点B 、 D ,圆M 2与AC AD 分别相切于点 C D ;（1）若/ BAD=60,求圆M 1、M 2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M 1与M 2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M 1、M 2 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）【考点】直线与圆的位置关系.【分析】（1）直接利用三角函数，可得结论；（2）设/ BAD=a ，则总造价 y=0.8?2 n ?60tar+0）.9?2 n ?60ta （45°- a ），换元，利用基本不等式，可得结论.【解答】解：（1） M 1 半径=60tan30 *34.6, M 2半径=60tan15 ° 16.1; （2）设/ BAD=a ，则总造价 y=0.8?2 n ?60tan+0.9?2 n ?60ta （45°- a ）,18 gl 111设 1+tan a =,则 y=12n?（8x+盘-17）>84n,当且仅当 x=< , tan 口=时，取等号， ••• M 1半径30, M 2半径20,造价42.0千元.【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题.由2x+1 > 1,可得2Ca-l)解得O v a w 2； a当a v 0时,> 2x +1不恒成立.2 p 2 y __ 120. ( 12分)(2017?上海模拟)已知双曲线’ *匚頁(b>0),直线I：y=kx+m ( km工0), I与r交于P、Q两点，P为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N (0, n);(1)若点(2, 0)是r的一个焦点，求r的渐近线方程；(2)若b=1,点P的坐标为(-1, 0),且▽二二匸求k的值；(3 )若m=2，求n关于b的表达式.【考点】双曲线的简单性质.厂;y2_【分析】(1)由双曲线：X 它二1 (b>0),点(2, 0)是r的一个焦点，求出c=2, a=1,由此能求出r的标准方程，从而能求出r的渐近线方程.(2)双曲线r为：x2-y2=1，由定比分点坐标公式，结合已知条件能求出k的值.P C -X ! 1叶)・1冋利科+口产滋检(3)设P (X1,屮)，Q (X2, y2), k pQ=k0,则，由"/丿二二［,Il b2Vk o x+n b2-k02得(b2- k2) x2-4kx- 4-b2=0，由丿2 /，得( )x2-2k°nx-n2-呼=0，由此利X 丐丄用韦达定理，结合已知条件能求出n关于b的表达式.2【解答】解：(1 )•••双曲线'玄(b>0),点(2, 0)是r的一个焦点，/. c=2, a=1,A b2=c?- a2=4- 1=3,•••r的标准方程为:豪飞=1,r的渐近线方程为厂二''.(2 )V b=1,A 双曲线r为：x2- y2=1, P (- 1, 0), P( 1, 0),丁|3「*，b ■,设Q (x2, y2),则有定比分点坐标公式，得:叼「-匕2二1 七二土寻，解得(3 )设 P (x i , y i ) , Q (x 2, y 2), k pc =k o ,P C -_K 11 〔pg 二/三二 1，得(b 2- k 2) x 2- 4kx - 4-b 2=0, b 2"1^2业 b 2v ,i U K +D2，得2k o n -4-b"b2_k o 2 )x 2- 2k o nx - n 2 - b 2=0, -xi+x2已 T 匚-X1X2= - --r.； b 2-l a1 ■- 1 ■= =-4-b2 h y 宀 X 2 + y 2 2 , 2 2k b _k o 2k _n 2+b 2ko PF k o n ' b 2-k 2 kpix -4-b 2 化简，得 2n 2+n (4+b 2) +2b 2=0,拐， 2 2 bf /+哄 b 2-fc 2= -4-b ，1+丄 =: 2 -4-b 2 2 , 2 即，即 •-X 1X 2=「「= •计 n 2 + b 2当n= - 2,由 ,得 2b 2=k 2+k o 2, 二 n=- 2 或 n4『宀门T 〕丁！二丄|「〔，解得b 2=4或b 2=kk 0,当b 2=4时，满足n=1 ,当 b 2=kk o 时，由 2b 2=k 2+k o 2，得 k=k o (舍去)，1 2综上，得门丄頁.-2【点评】本题考查双曲线的渐近线的求法，考查直线的斜率的求法，考查 n 关于b 的表达式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线、直线、韦达定理的合理运用.21. ( 12分)(2017?上海模拟)已知函数f (x ) =log=，;(1) 解方程 f (x ) =1；ajc —L —]_ (2) 设 x € (— 1, 1)，a €( 1, +x),证明： € ( — 1, 1)，且 f 「 )— f (x )1,=-f O ；(3) 设数列｛x n ｝中，X 1 € (— 1, 1), X n +1= ( — 1) n +1 --匚,n € N *，求冷的取值范围，使得x 3> x n 对任意n € N *成立.【考点】函数与方程的综合运用.|l+x|【分析】(1)根据对数运算性质得 =2,从而解出x 的值；(2)令g (x ) =_，判断g (x )的单调性得出g (x )的值域，根据对数的运算性质化简aK-11 即可证明f ( )- f (x ) = — f 厂)；(3)利用(2)中的结论得出f ( x n +1)与f (X n )的关系，判断f (X n )的周期，分别用f ( X 1) V(勺)Af( it ])表示出f ( X 2), f (X 3), f (X 4),根据f (X )的单调性得出丿巩勺)>f&J ，从而求出f ( X 1) f (式总) 的范围，继而解出X 1的范围.，得 2kH-2 kg42k+2k 0 即 Q (「i ,——) ,代入X 2 —2 話=1，化简，得:【解答】解：(1 f (x ) =log 2-T7=1,=2, 解得厂丄; (2)令 g (x )= (xT),则 g ' (x ) = :- ■.••• g' (x)> 0,••• g (x )在(—1, 1) 上是增函数, -a _l 又g (-1)=Tn" =,g (1) = j=1,•••- 1 v g (x )v 1,即 •- f (x )- f () a-i 1+K 1-"K € (- 1,i-4- a 1).1+K1-*K=log 2 - log 2 7 a=log2 MI a-l. log 2 L+x _ a-1 ax+a-x-1l-*x a+1 )_log2a-k-az+l=log 2 ( a~3ax-1 a-x+ IK -L=log2 _d_] a"K=log 2a^-1a-y )=f (x )- f (| a^-1a-s )-f (x ) =-f ••• f ( • -f ( 13)l-x 1+xf (- x ) =log^K , ..=- Iog 2 _； =- f • f (x ) 是奇函数.X n +1= (-1) n+1 ：，.,(3f (x )的定义域为(-1,1),(x ),1厂)•3v -1导一r 为奇数二 X n +1 =P JE —1伪偶数3-% ①当 n 为奇数时，f (x n +1) =f (A ：； ) =f (x n )1 -f (E) =f (x n ) - 1,f ( x n +1) =f (X n ) —1 ；②当 n 为偶数时，f (X n +1) =f (—--f ( x n +1) =1 — f ( X n ).f ( X 2)=f (X 1)— 1 , f ( X 3) =1 — f (X 2) =2 — f (X 1),f (X 5) =1 — f (X 4) =f (X 1), f (X 6) =f ( X 5) — 1=f (X 1)• . f ( X n ) =f (X n +4), n € N .• h (x )在(-1, 1)上是增函数,• f ( X ) =log 2二Z^=log 2h ( X )在(-1, 1)上是增函数. T X 3> X n 对任意n € N *成立,f ( X 3)> f ( X n ) 恒成立，(巾)二玖巧) 2 亠f ( “)a#(丈 J』f (3 ，即 2-f ( (x J T! ^2-f( (K P14 s i解得：f (X 1)w 1,即 Iog 21 — K[ w 1,1+ x I• 0 v w 2,解得：-1 v X 1 w 丄.【点评】本题考查了对数的运算性质，复合函数的单调性，不等式的解法，属于难)=—f ( 3-咛 )=1 - f (X n ),0,设 h (x )三二，则 h' (x ) f (X 4) =f (X 3)— 1=1 — f ( X 1),题.。

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2017年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 设集合 A 1,2,3 ,集合 B 3,4,则A B .2. 不等式 x 1 3 的解集为。

3. 若复数 z 满足 2z 1 3 6i （ i 是虚数单位），则z 。

4. 若 cos 1，则 sin 。

3 25. 若关于 x 、y的方程组x 2 y 43x ay 无解，则实数 a 。

66. 若等差数列a n的前5项的和为25 ，则a1 a5= 。

7. 若 P 、Q是圆x2 y2 2x 4 y 4 0 上的动点，则PQ 的最大值为。

8. 已知数列a n的通项公式 a n 3n，则 lima1a2 a3 a n 。

n a n2 n9. 的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为。

若 xx10. 设椭圆 x 2 y2 1 的左、右焦点分别为 F1、 F2，点P在该椭圆上，则使得F1F2P 是2等腰三角形的点P 的个数是。

11. 设 a1, a2 , , a6为 1,2,3,4,5,6 的一个排列，则满足a1 a2 a3 a4 a5 a6 3 的不同排列的个数为。

12. 设 a ，b R ，函数 f ( x) x a1,2 上有两个不同的零点，则 f 1 的取值b 在区间x范围为。

二、选择题(A) 0, (B) 1, (C) ,0 (D) ,114. 设a R ，“ a 0 ”是“1”的（）。

a(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 既非充分又非必要条件15.过正方体中心（即到正方体的八个顶点距离相等的点）的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）。

(A) 三角形(B) 长方形(C) 对角线不相等的菱形(D) 六边形16. 如图所示，正八边形A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8的边长为2 .若P为该正八边形上的动点，则A1 A3 A1 P 的取值范围为（）A6 A5 P(A) 0, 8 6 2 (B) 2 2, 8 6 2A7(C) 8 6 2,2 2 (D) 8 6 2, 8 6 2 A8三、解答题A1 A2 17. 如图，长方体ABCD A1B1C1 D1中，AB BC 2, AA1 3 .（1）求四棱锥A1ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小 .A4 A318. 设 a 函数2x aR , f (x) .2x 1（ 1）求a的值，使得 f ( x) 为奇函数；a 2对任意 x R 成立，求a的取值范围. （ 2）若f x219.某景区欲建造两条圆形观景步道M 1、M 2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ，AB AC AD 60（单位：米），要求圆M1与 AB 、 AD 分别相切于点B 、 D ，圆M2与 AC 、 AD分别相切于点C、 D.（ 1）若BAD 60 ，圆 M 1和圆 M 2的半径（结果精确到0.1 米）；（ 2）若观景步道M 1与 M 2的造价分别为每米0.8 千元与每米 0.9 千元。

【精品作文】2017年上海春季高考数学试卷

?????????则A1A3?A1P的取值范围为（）
A. [0,8?
B. [??
C. [?8?
D. [?8??
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
AB?BC?2，AA1?3； 17. 如图，长方体ABCD?A1BC11D1中，
（1）求四棱锥A1?ABCD的体积；
（1）若?BAD?60，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）
（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、 ?M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）
y2
20. 已知双曲线?:x?2?1(b?0)，直线l:y?kx?m(km?0)，l与?交于P、 b
12. 设a、b?R，若函数f(x)?x?
值范围为；
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 函数f(x)?(x?1)2的单调递增区间是（）
A. [0,??) B. [1,??) C. (??,0] D. (??,1]
14. 设a?R，“a?0”是“a?b在区间(1,2)上有两个不同的零点，则f(1)的取 x1?0”的（）条件 a
8. 已知数列{an}的通项公式为an?3n，则lima1?a2?a3?????an?； n??an
2n
x
x2
?y2?1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是 10. 设椭圆2
等腰三角形的点P的个数是；
11. 设a1、a2、?、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1?a2|?|a3?a4|? 9. 若(x?)的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为； |a5?a6|?3的不同排列的个数为；

2017-2018学年上海市春季高考数学模拟试卷一Word版含答案

2017-2018学年上海市春季高考数学模拟试卷一Word版含答案2017-2018学年上海市春季高考模拟试卷一一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1、函数的定义域是．2、已知全集，集合，则= ．3、已知函数是函数的反函数，则(要求写明自变量的取值范围)．4、双曲线的渐近线方程是．5、若函数与函数的最小正周期相同，则实数a= ．6、已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，是数列的前n项和，则= ．7、直线，，则直线与的夹角为= ．8、已知，是方程的根，则= ．9、的二项展开式中的常数项是(用数值作答) ．10、已知是平面上两个不共线的向量，向量，．若，则实数m= ．11、已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M 与球O的表面积相等，则它们的体积之比= (用数值作答)．12、已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则= ．二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）13、已知，．若是的必要非充分条件，则实数a的取值范围是( )A．B．C．D．．14、已知直线，点在圆C：外，则直线与圆C的位置关系是( )A .相交 B.相切 C.相离 D.不能确定15、现给出如下：①若直线与平面内无穷多条直线都垂直，则直线；②空间三点确定一个平面；③先后抛两枚硬币，用事件A表示“第一次抛出现正面向上”，用事件B表示“第二次抛出现反面向上”，则事件A和B相互独立且=；④样本数据的标准差是1．则其中正确的序号是( )A．①④B．①③C．②③④D．③④16、在关于的方程，，中，已知至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围为（）A. B. 或 C. 或 D.17、不等式的解集是（）A．B．C．D．18、已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件19、已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的任意一点，则的最大值是（）A.、9B.16C.D.20、函数与在同一坐标系的图像有公共点的充要条件是（）A. B. C. D.21、设函数，则的值为（）A．0 B．1 C．10 D．不存在22、已知，则（）A．B．C．D．23、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A、B、C分别是三边的中点）得到的几何体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为（）24、已知方程的根大于，则实数满足（）A．B．C．D．三、解答题25、（本题满分7分）在中，记(角的单位是弧度制)，的面积为S，且，．求函数的最大值、最小值．26、（本题满分7分）已知正方体的棱长为a．求点到平面的距离.27、（本题满分8分）用行列式讨论关于的二元一次方程组的解的情况，并说明各自的几何意义.28、（本题满分13分）已知函数是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数x 的集合)．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数，试判断函数在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当(，a是底数)时，函数值组成的集合为，求实数的值．。

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13.函数f （x ） = x -1 2的单调递增区间是（）。

2017年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设集合A =込2,3：,集合8^3,4:,则A B = .2.不等式X-1 c3的解集为 _____________3.若复数z 满足2z-1 = 3・6i （ i 是虚数单位），则 ________________x + 2y = 45. 若关于x 、y 的方程组丿无解，则实数a= _______、3x +ay = 66. 若等差数列'a n 』的前5项的和为25，则a 1 ■ a 5= ________ 。

2 27•若P 、Q 是圆x +y —2x+4y+4=0上的动点，贝U PQ 的最大值为 _________________t yna p +a 2 +a 3 十…+a n8.已知数列：a n 』的通项公式a n =3，则lim 1 23n2x210. 设椭圆 y =1的左、右焦点分别为 F 1、F 2，点P 在该椭圆上，则使得F 1F 2P 是2等腰三角形的点 P 的个数是 ____________ 。

11. 设 a<i ,a 2,…，a 6 为 1,2,3,4,5,6 的一个排列，贝 U 满足 a j — a 2 + a 3 —印 + a 5 — a 6 = 3 的不同排列的个数为 _________ 。

a12.设a , b R ，函数f （x ）二xb 在区间1,2上有两个不同的零点，则 f 1的取值x范围为 ___________ 。

4. 若 cos ：二则 sin H< 2丿n—a n（2 丫9•若x+— i的二项展开式的各项系数之和为729,则该展开式中常数项的值为。

I X丿二、选择题13.函数f （x） = x -1 2的单调递增区间是（）。

(A) 0,：：(B) 1, 2（C ）—二,0〕（D ） — .1】114.设 a • R ，“ a 0 ”是 “ 一.0”的（）a（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件15.过正方体中心（即到正方体的八个顶点距离相等的点）的平面截正方体所得的截面中, 不可能的图形是（）。

（A ）三角形（B ）长方形（C ）对角线不相等的菱形（D ）六边形16•如图所示，正八边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8的边长为2.若P 为该正八边形上的动点，则AA 3 'AP 的取值范围为()(A) 0,8 6 •. 2 丨 (C) 1-8一6.. 2,2 2】三、解答题17•如图，长方体 ABCD -AQGD 中，AB 二BC =2,AA =3. （1 ）求四棱锥A , -ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1C 与DD 1所成角的大小. （1 ）求a 的值，使得f （x ）为奇函数；. a +2（2）若f X对任意X ，R 成立，求a 的取值范围(B) 1-2・..2,8 6. 2 1(D) 1_8 _6.2, 8 6.2 】18.设 a R 屈数f （x ）二2x a 2x 119•某景区欲建造两条圆形观景步道M!、M2 （宽度忽略不计），如图所示，已知AB_ AC , AB二AC二AD =60 （单位：米），要求圆M i与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2 与AC、AD分别相切于点C、D.（1）若.BAD =60 •，圆M1和圆M2的半径（结果精确到0.1米）；（2）若观景步道M1与M 2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元。

如何设计圆M1、M 2 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）。

2 y220.已知双曲线r : x 一飞=1 （b >0），直线I : y = kx +m b2（km^O），I与「交于P、Q两点，p'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N 0, n .（1）若点2,0是】的一个焦点，求丨的渐近线方程；3 ---（2）若b=1，点P的坐标为-1,0，且NP' P'Q，求k的值;2（3 ）若m=2，求n关于b的表达式。

1 + x21.已知函数f x =log2-1 -x(1)解方程f x i；=1 ；(2 )设x^(—1,1), a€(1,+°o )，证明：ax 1w(_1,1 )且f ■ax_ f (x )= 一f 1 丄j；a — x ia — x 丿l a丿（3）设数列.丿中，冷€（—1,1）, X n出=（-1F3xn 1，n e N* ,求X1的取值范围，使得19•某景区欲建造两条圆形观景步道M!、M2 （宽度忽略不计），如图所示，已知AB_ AC ,3一x nx3 _ x n对任意n • N成立.2017年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设集合 A 二「1,2,31 集合 8 = ；3,41 则 A B = .【知识点】集合的运算【解】A B /1,23；〕」3,4 .；小1,2,3,4?,故 A B/,2,3,4二 2.不等式x-1 v3的解集为 ______________ 。

【知识点】绝对值不等式的解法【解】x —1|c3二_3cx_1v3二—2vxc4，故原不等式的解集为（ — 2,4 ）。

3.若复数z 满足2z-^3 6i （ i 是虚数单位），则z 二 ________________ 【知识点】复数的基本概念、运算【解】2^4 6i ，z = 2 3i ，故 z = 2 -3i 。

14.若 cosa = —，贝U sin a3 <【知识点】诱导公式x + 2v = 45.若关于x 、y 的方程组」无解，则实数 a= _________Qx +ay = 6【知识点】线性方程组解的判定x +2y =4【解】方程组丿无解二直线11: x+2y=4与直线12 : 3x + ay = 6互相平行,、3x+ay=6 7 73 a 6所以，解得a = 6。

1 2 46.若等差数列 a 讣勺前5项的和为25，则a 1 a 5= __________ 。

1挤（兀、1sin ot —— =_cos^ =— -，故 sin G1 =二——< 2丿 3 1 2丿3【解】【知识点】等差数列的前n项和，等差中项【解】由 S 5= 5a^ = 25 得 a 3= 5 ,所以 a i a s= 2 a^ = 10，故 a i a s=10.2 27•若P 、Q 是圆x +y —2x+4y+4=0上的动点，贝U PQ 的最大值为 ________________ 【知识点】圆的一般方程，圆的性质【解】由 x 3 +y 2 _2x +4y +4 =0得(x -1 f +(y + 2 f = 1，所以半径 r =1，故 PQ 的最大值为2.8.已知数列Ia n ，的通项公式a n =3n ，则lim 印去％*n _【知识点】等比数列的前 n 项和，数列极限【解】由a . =3n 得首项a^3，公比q = 3 = 1，所以 a 1 a 2 a 3a n = 4-—— = - 3n-1 ，1-32故讪①去玄a*m 毎1=讪3 1二黒n 匸a n ni 3nn厂 2 . 3n 2(2屮9•若x +三I 的二项展开式的各项系数之和为729,则该展开式中常数项的值为< X 丿【知识点】二项式定理(2 丫【解】令x=1，贝y x+— =3n =729，解得n = 6 ；I x 丿f 2 f (2所以 x+— |展开式的通项T“=C 6x 6_r ■ — I =C ；2r l X 丿 IX 丿3 3令r - 3，则T 4 - C 62 160,故所求的常数项为160.3 x210.设椭圆y 2 =1的左、右焦点分别为 F 1、F 2，点P 在该椭圆上，则使得 T1F 2P 是2等腰三角形的点 P 的个数是 ____________ 。

【知识点】椭圆的标准方程及其性质，分类讨论思想2【解】由 ^ + y 2=1 得 a 2=2,b 2=1 ,所以 c = Ua 2—b 2=1 ,故 F |F 2=2c=2 且2a nF i JOE 1,0 .(1)若点P位于椭圆的短轴的端点处，\F1F2P是等腰三角形，此时点P有两个;(2)若点P在椭圆上，则PF2=y/2+1；PF2.=72—1.,2max 卑? 2min 耳?所以J2 _1 £F1F2 d2 +1，故以PF1 , F1F2为两腰、PF2为底边构成等腰三角形，此时点P有两个；同理以PF2, F1F2为两腰、PF1为底边构成等腰三角形，此时点P 有两个；综上(1)( 2)满足条件的点P的个数为6个。

11.设印总,…，a6为1,2,3,4,5,6的一个排列，则满足a1 — a?]+爲—匈+辰—a j = 3的不同排列的个数为_________________ 。

【知识点】排列、组合【解】根据题意可知，若I =1,2,3,4,5,6 ；j =1,2,3,4,5,6，且i 式j，则a^a^ ^1,2,3,4,51即a — aj 的最小值为1，当a — a? + a3 — 84 + — a§— 3 时,只有印—a? =a3—a4 =a5 —a6 =1，所以在(1,2与(2,1冲选出一个，在(3,4 )与(4,3 )中选出一个，在5,6与6,5中选出一个，然后将选出的三个元素全排列，故不同排列的总数2 P33=48.为C；C；Ca12.设a，b R，函数f (x)二x b在区间1,2上有两个不同的零点，则 f 1的取值x范围为___________ 。

【知识点】函数性质的综合，不等式的基本性质a【解】方法1令函数f(x)二x b在区间1,2上有两个不同的零点分别为X1、X2,x且为=x2，所以1 ：：： x1：：： 2、1 ：：： x2：：： 2，故0 ：：：为T ：：： 1、0 ：：： x2— 1 ：：：1 ……(*)a 2令f (x) =0，贝U x b =0，即x bx a =0 ( x = 0)……(**)x故x1、x2是(**)的解，所以x • bx • a = (x - xj x - x2 =02 era , x bx a x - 捲x - x?f (x) = x b =x x x于是f(1) =(1 — xj(1 — x2) =(x, —1)(x2—1)由( *)可知0 :：: (x i —1)(X2 -1) :：: 1，即0 <f(1) :：: 1。