6几个著名的不等式1doc

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八个著名的不等式

第八讲几个著名的不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们将成为我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。

下面择要介绍一些著名的不等式． 1.柯西（Cauchy ）不等式定理：设()n i R b a i i Λ2,1,=∈则()22211nn b a b a ba Λ++≤()()2222122221n n b b b a a aΛΛ++⋅++等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.。

[一般形式的证明] 作函数()()()()()())(222222122112222212222211≥+++++-+++=-++-+-=x b b b x b a b a b a x a a a b x a b x a b x a x f n n n n n n ΛΛΛΛ0≤∆∴ 此时044121221≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∴∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a 121221，得证。

[向量形式的证明]令(),2,1n a a a A Λρ= (),2,1n b b b B Λρ=()()()22221222212211cos nn n n b b b a a aB A B A b a b a b a B A ΛΛρρρρΛρρ++⋅+++=≤=++=⋅θ()1cos 1≤≤-θ两边同时平方得：()22211nn b a b a ba Λ++≤()()2222122221n n b b b a a aΛΛ++⋅++，得证。

[柯西不等式的应用]例1.1设()()22121111,1n a a a a a a n i R a n n i ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤≤∈+ΛΛ求证解：由柯西不等式可知，原不等式可化为()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++2222122221111n na a a a a a ΛΛ()22111n n =++≥43421Λ个当且仅当,1,1,12211n na k a a k a a k a ===Λ时等号成立即n a a a Λ==21，故原不等式得证。

27种不等式

27种不等式在北京这地界儿，咱们得讲究个严谨和精炼，不整那些花里胡哨的。

今天咱就聊聊数学里的不等式，具体来说就是27种不等式。

1. 算数平均与几何平均，那可是不等式里的基础，两者之间总有差距，算数平均总比几何平均要大。

2. 柯西-施瓦茨不等式，它可是在向量运算中起着大作用，告诉你两个向量的点积跟它们的模长的关系。

3. 均值不等式，那更是常见，平均值、几何平均值、调和平均值，它们之间的大小关系可是清清楚楚。

4. 伯努利不等式，告诉你一加一减的式子在啥情况下能取到等号。

5. 赫尔德不等式，那更是泛函分析里的利器，处理范数问题得靠它。

6. 琴生不等式，凸函数里的宝贝，能帮你估计函数的平均值。

7. 排序不等式，给你一组数，告诉你怎么排序能让式子取到最大或最小值。

8. 切比雪夫不等式，概率论里的好帮手，帮你估计随机变量的概率分布。

9. 闵可夫斯基不等式，范数空间里的重要不等式，揭示了不同范数之间的关系。

10. 柯西不等式，别跟柯西-施瓦茨搞混了，它可是在复数、向量、矩阵上都能用的。

11. 三角不等式，那更是在几何、三角函数中随处可见，告诉你三角形两边之和大于第三边。

12. 杨氏不等式，那也是在范数空间里用的，跟赫尔德不等式有点类似。

13. 幂平均不等式，告诉你不同幂次的平均值之间的大小关系。

14. 加权算数平均与加权几何平均不等式，那就是带权重的算数平均和几何平均之间的比较。

15. 霍尔德不等式，它可是积分形式的不等式，告诉你函数积分的性质。

16. 闵可夫斯基-霍尔德不等式，那就是把闵可夫斯基和霍尔德结合起来的版本。

17. 卡普兰不等式，在概率论里，它可是用来估计随机变量和的分布的。

18. 琴生-卡普兰不等式，那就是琴生不等式在概率论里的应用。

19. 范德蒙德不等式，告诉你行列式与它的子式之间的关系。

20. 斯特林不等式，它在数学分析里可是常用来估计阶乘和幂的关系的。

21. 赫尔-布拉施克不等式，复分析里的重要不等式，跟复数的模有关。

(完整版)各种Schwarz积分不等式的归纳及其应用举例

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)前言 (1)1. 预备知识 (1)2.Cauchy-Schwarz积分不等式及其推广 (2)2.1 Cauchy-Schwarz积分不等式 (2)2.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式上的推广 (4)2.3 Holder积分不等式 (5)2.4 Minkowski积分不等式 (9)3. 实例应用 (10)3.1 Cauchy-Schwarz积分不等式的实例 (10)3.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式推广的运用 (12)3.3 Holder积分不等式的应用 (12)3.4 运用Minkowski积分不得不等式证明范数 (13)4. 结束语 (13)参考文献 (14)各种Schwarz 积分不等式的归纳及其应用举例学生姓名：学号：数学与信息科学学院数学与应用数学指导老师：职称：摘要：本文归纳和总结给出不同形式的Schwarz 积分不等式，然后对其进行证明，并举例说明它在一些实际问题中的应用.关键词：Cauchy-Schwarz 积分不等式；行列式；Holder 积分不等式；Minkowski 积分不等式The examples of application and induction on some forms ofSchwarz integration inequalitiesAbstract ：This paper will enumerate and then prove some forms of Schwarz integration inequality, thereby illustrate its implementation in practical problems.Key words ：Cauchy-Schwarz integral inequality; D eterminant; Holder integral inequality; Minkowski integral inequality前言本文主要从三个方面归纳和总结了Schwarz 积分不等式，首先我们给出了Schwarz 积分不等式的一般形式、Schwarz 积分不等式的形式推广和Schwarz 积分不等式最出名的推广就是Holder 积分不等式以及Minkowski 积分不等式；其次运用理论来证明它的合理性；最后通过一些实例说明它在数学中，生活中的实际应用.1. 预备知识定理1.1 (Cauchy 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为实数，则222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. (1)等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =.这是最常见的Cauchy 不等式，其实当n=3可追朔至法国数学家grange . Cauc-hy 不等式可以推广至复数. 如何推广呢? 不等式只在实数时才有意义，对于复数自然的选择其长度. 对任意复数z x iy =+，其长度z =(1)而言我们只须将平方的意义，更改为复数的模数的平方即可.定理1.2 (Cauchy 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为复数, 则222111nn ni ii i i i i a ba b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (2) 等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =，λ为复数.定理1.3 (Cauchy 不等式)[3]已知i a ,i b ∈C ,则112222,111i j i j i j i j a b a b ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (3) 等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =，λ∈C .如果21i i a ∞=<∞∑、21i i b ∞=<∞∑，则1i ii a b∞=<∞∑.从Cauchy 不等式的角度而言，无穷数列{}1i i a ∞=的平方和收敛，21i i a ∞=<∞∑，是很自然而然出现的空间，在实变函数论或泛函分析中我们称之为2l 空间. 这是n 维实数空间n R 最自然的推广，它是一个Hilbert 空间，最重要的应用就是量子力学.在数学中尤其是分析学的思考过程通常是有限和⇔无穷级数⇔积分 (4)因此想当然Cauchy 不等式是可以推广至积分.2. Cauchy-Schwarz 积分不等式及其推广2.1 Cauchy-Schwarz 积分不等式定理2.1.1 (Cauchy-Schwarz 积分不等式)[1]已知()f x ,()g x 均在[],a b 上连续，则()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰. (5)证明（法一:定义法）在积分学中，积分几乎都是从无穷级数推得的，下面我们也从级数开始，设[],a b 上有1n -个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，它们把[],a b 分成n 个小区间[]1,i i i x x -∆=，i =1,2,…,n. i b an-∆=，记{}12,,,n T =∆∆∆. 这些分点构成对[],a b 的一个分割.在每个小区间i ∆上任取一点i ξ，作以()()i i f g ξξ为高，i ∆为底的小矩形.因为()f x ,()g x 均在[],a b 上连续，则()f x ,()g x 均在[],a b 上可积，有222111()()()()nn n i i i i i i i b a b a b a f g f g n n n ξξξξ===---⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，两边求极限，()2201lim ()()()()nbi i aT i b a f g f x g x dx n ξξ→=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰，2222011lim ()()()()n n b i i a T i i b a b a f g f x g x dx n n ξξ→==--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰，则()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰.(法二:判别式）开始这个不等式最常见的证明方法就是利用判别式.因为[]()2222()()()2()()()bb b ba a a a xf t g t dt f t dt x f t g t dt x g t dt ⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰，可视为x 的二次方程式，由于[]2()()0b axf t g t dt +≥⎰，而且2()0b a f t dt ≥⎰,所以上式表示的是开口向上而且在轴x 上方的抛物线，由于和x 轴不相交，所以没有实数，因此判别式小于或等于0.判别式()()()2224()()4()()0bbbaaaf tg t dtf t dtg t dt ∆=-≤⎰⎰⎰，整理得()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰.(法三:半正定)注意到关于1t ，2t 的二次型[]22222121122()()()2()()()bbbbaaaat f x t g x dx t f x dx t t f x g x dx t g x dx +=++⎰⎰⎰⎰为非负二次型，从而系数行列式()()()()()()()()bba a bbaaf x f x dx f xg x dx f x g x dxg x g x dx⎰⎰⎰⎰=2()baf x dx⎰2()bag x dx ⎰-()2()()0baf xg x dx≥⎰，即()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，从而定理2.2.1得证.从实变函数论的角度而言，我们仅需要求()f x 、()g x 是平方可积分函数([]2,L a b )则Cauchy-Schwarz 积分不等式仍然成立. 其空间关系可对照前一式(4):222R l L ⇔⇔. (6)2.2 Cauchy-Schwarz 积分不等式形式上的推广根据上面的Cauchy-Schwarz 积分不等式()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰的证明方法三中我们可以看出这个不等式可以改写为以下行列式形式:()()()()()()()()bba a bbaaf x f x dx f xg x dx f x g x dxg x g x dx⎰⎰⎰⎰0≥ .以这种形式给出的好处在于形式便于推广.定理2.2.1 (Schwarz 积分不等式形式推广)[2]设()f x ，()g x ，()h x 均在[],a b 上可积，则有()()()()()()()()()()()()0()()()()()()bbba a a bbba a a bbbaaaf x f x dx f xg x dx f xh x dxf xg x dx g x g x dxh x g x dx f x h x dxh x g x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (7) 证明注意到关于1t ，2t ，3t 的二次型[]2123()()()bat f x t g x t h x dx ++⎰222222123()()()b b baaat t f x dx t t g x dx t t h x dx=++⎰⎰⎰1213232()()2()()2()()b b baaat t f x g x dx t t f x h x dx t t g x h x dx +++⎰⎰⎰为非负二次型，从而其系数行列式()()()()()()()()()()()()0()()()()()()bbba a a bbba a a bbbaaaf x f x dx f xg x dx f xh x dx f x g x dx g x g x dx h x g x dx f x h x dxh x g x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而定理2.2.1得证. 2.3 Holder 积分不等式定理2.3.1 (Holder 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为任意复数，且p ，q 1≥，111p q+=，则 11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. (8) 证明令11ii n pp i i a a a ==⎛⎫⎪⎝⎭∑ ， 11ii n qq i i b b b ==⎛⎫⎪⎝⎭∑，利用几何平均不等式①，得到11p qi i i i a b a b p q≤+，或1111111111p q i ii i n nn n pqpqp q p q i i i i i i i i a b a b pqa b a b ====≤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑，取有限和，得11111111111111nnnpq i iii i i i n n n n pqpqp q p q i i i i i i i i a b a b pqa b a b =======≤+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑，因此可得11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 注 ①几何平均不等式2211()22a b ab a b ≤+⇔≤+.当2p q ==时就是Cauchy-Schwarz 不等式.Holder 不等式对n =∞也成立.另外最著名的就是积分不等式.定理2.3.2 ([],C a b 上的Holder 积分不等式)[3]已知()f x ，()g x [],C a b ∈，111p q+=，且p ，q 1≥则()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx≤⎰⎰⎰. (9)或更一般的形式定理2.3.3 ([],C a b 上的Holder 积分不等式)[3]已知1()f x ，2()f x ，…，()n f x [],C a b ∈，且1211p p ++ (1)p =1，1i p ≥ 则 ()()()12121111212()()()()()()nnbbbbpp p p p p n n aaaaf x f x f x dx f x dxf x dxf x dx≤⎰⎰⎰⎰. (10)证明 (定理2.3.2) 设()f x ，()g x [],C a b ∈，则当()0f x ≡或()0g x ≡时，上式(10)显然成立.令 i b ax a ia i x n-=+=+∆， (0,1,,i n =)则由Holder 不等式(9)可知11111()()()()n n npqp q i i i i i i i f x g x f x g x ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，上式两边同时乘以1n ，有1111111()()()()n nnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x nn ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，上式右端=11111()()nnpqp q i i i i n f x g x -==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑=111111()()nnpqp q p q i i i i nf xg x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ =1111()()nnpqp q i i i i f x g x n n ==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，于是11111()()()()nnnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑可转化为 11111()()()()nnnpqp q iii i i i i f x g x f x g x nn n ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ，而b a x n -∆=，故b an x-=∆，将n 代入11111()()()()nnnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x nn n ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，得 11111()()()()n nnpqp q i i i i i i i x x x f x g x f x g x b a b a b a ===∆∆∆⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑，即11111111()()()()n n npqp qi i i i i i i f x g x x f x x g x x b a b a b a ===⎛⎫⎛⎫∆≤∆∆ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ，对上式两端取极限，当n →∞时，0x ∆→，得()()1111()()()()bbbpqpqa aaf xg x dx f x dxg x dx b a b a≤--⎰⎰⎰，化简上式，即得()()11()()()()bbbpqpqa aaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，又由 ()()()()bb aaf xg x dx f x g x dx ≤⎰⎰，故()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx≤⎰⎰⎰，从而定理2.3.2得证.定理2.3.4 (pL 上的Holder 积分不等式)[5]设1p >，111p q+=,()[,]p f x L a b ∈，()[,]p g x L a b ∈，那么()()f x g x 在[,]a b 上L 可积，并且成立()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰. (11)证明首先证明当1p >，111p q +=时，对任何正数A 及B ，有11p q A BA B p q≤+.(12)事实上，作辅助函数 ()x x x αϕα=-(0)x <<∞，01α<<，则 '1()(1)x x αϕα-=-，所以在(0,1)上'()0x ϕ>，在(1,)∞上'()0x ϕ<，因而(1)ϕ是函数()x ϕ在(0,)∞上的最大值，即 ()(1)1x ϕϕα≤=-，(0,)x ∈∞. 由此可得(1)x x ααα≤+-，(0,)x ∈∞.令 Ax B =，代入上面不等式，那么 (1)A A B B αααα≤+-.两边乘以B ，得到 1(1)A A B Bαααα-≤+- .令1p α=，则 11q α-=，于是上式成为 11p q A B A B p q≤+.如果()1()0bppaf x dx=⎰或()1()0bqqag x dx=⎰，则()0f x =..a e 于[,]a b 或 ()0g x =..a e 于[,]ab ，这时不等式(11)自然成立，所以不妨设()1()0bppaf x dx>⎰，()1()0bqqag x dx>⎰.作函数 ()1()()()bppaf x x f x dxϕ=⎰， ()1()()()bqqag x x g x dxψ=⎰.令()pA x ϕ= ， ()qB x ψ=，代入不等式(12)，得到()()()()pqx x x x pqϕψϕψ≤+. (13)由(13)立即可知()()x x ϕψ在[,]a b 上L 可积，由此可知)(()f x g x 也L 可积，对(13)的两边积分，得到 ()()()()1pqbbba aax x x x dx dx dx pqϕψϕψ≤+=⎰⎰⎰.因此()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，证毕.2.4 Minkowski 积分不等式定理2.4.1 ([,]pL a b 上的Minkowski 积分不等式)[5]设1p ≥，()f x , ()g x ∈[,]p L a b ，那么()()[,]p f x g x L a b +∈，并且成立不等式111()()()()ppppppb b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. (14) 证明当1p =时，因()()()()f x g x f x g x ≤+，由积分性质可知不等式(14)自然成立.如果1p >，因为(),()[,]pf xg x L a b ∈，所以()()[,]p q qf xg x L a b ∈，由Holder 积分不等式，有()11()()()()()()pppbbbpqqaa af x f xg x dx f x dx f x g x dx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，类似对()g x 也有()11()()()()()()pqqbbbpqqaa ag x f x g x dx g x dx f x g x dx⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，因而 1()()()()()()pbbp aaf xg x dx f x g x f x g x dx -=⎰⎰()()()()()()p pbbqqaaf x f xg x dx g x f x g x dx ≤+⎰⎰()111()()()()p q p q b b bpqa a af x dxg x dx f x g x dx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰(15)若()()0bpa f x g x dx =⎰，则()1()()bppaf xg x dx⎰，(14)式显然成立，若()()0bpaf xg x dx ≠⎰，则在(15)式两边除以()1()()b pqaf xg x dx ⎰，得到()1111()()()()ppppbb b pqaa a f x g x f x dx g x dx -⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. 由111p q+=，得到 111()()()()ppppppb b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰，证毕.无论是Holder 积分不等式，还是Minkowski 积分不等式，当2p q ==时，就是Cauc- hy- Schwarz 积分不等式.上面我们从空间R 和p L 空间上说明Holder 积分不等式和Min- kowski 积分不等式，对于p l 空间也有类似的Holder 积分不等式和Minkowski 积分不等式，11111pqpqi i i i i i i ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑， (Holder 积分不等式)其中1p >，111p q+=，()123,,,p l ξξξ∈，()123,,,q l ηηη∈.pp p x yx y +≤+， (Minkowski 积分不等式)其中1p ≥，()123,,,x ξξξ=，()123,,,p y l ηηη=∈，11ppip i x ξ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，11qq i pi y η∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.由此可知p l 按范数p x 成赋范线性空间.3. 实例应用3.1 Cauchy-Schwarz 积分不等式的实例例1. 设()f x 在[],a b 上连续，且()0f x ≥，()1b a f x dx =⎰. 证明:k R ∀>，有()()22()cos ()sin 1bbaaf x kxdx f x kxdx+≤⎰⎰.证明因为()f x 在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可积，有()()22()cos baaf x kxdxkxdx =⎰⎰，()()22()()cos ()cos bb b aa af x dxf x kxdx f x kxdx =⎰⎰⎰，因为Cauchy-Schwarz 积分不等式，有()()()22()()cos bbaaakxdxf x dxf x kxdx ≤⎰⎰⎰，从而()22()cos ()cos bbaa f x kxdxf x kxdx ≤⎰⎰，同理()22()sin ()sin bbaaf x kxdxf x kxdx ≤⎰⎰，()()2222()cos ()sin ()(cos sin )1bb baaaf x kxdx f x kxdxf x kx kx dx +≤+=⎰⎰⎰.例2. 设()f x 在[]0,a 上连续可导，(0)0g =,证明:20()()()2a a a g x g x dx g x dx ≤⎰⎰′′. 等号成立()g x cx ⇔=(c 为常数).证明设0()()xf xg t dt =⎰′，()()f x g t =′′，(0)0f =，因为()()(0)()()()xxg x g x g g t dt g t dt f x =-=≤=⎰⎰′′，()2222()()1()()()()1()()2222aaaa af x f a ag x g x dx f x f x dx g x dxg x dx ≤===⋅≤⎰⎰⎰⎰′′′′，当()g x cx =时，左边=2222aa c c xdx =⎰，右边=222022a a a c c dx =⎰，则左边=右边.由Schwarz 积分不等式，()g x c =′，[]0,x a ∈()g x c =′或()g x c =-′，0()()x xg t dt cdt g x cx =⇒=⎰⎰′. 3.2 Cauchy-Schwarz 积分不等式形式推广的运用例3.[4]设()f x ，()g x 均在[],a b 上可积且满足: 1) ()0f x m ≥>， 2) ()0ba g x dx =⎰，则有:22222()()()()()()b b b b a aa a f x g x dx f x dx g x dx mb a g x dx ⎡⎤≤--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.证明利用(7)，取()1h x =，并注意到()0bag x dx =⎰，则()()()()()()()()()()0bbba a abbaabaf x f x dx f xg x dx f x dx f x g x dxg x g x dxo f x dxb a-⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222()()()()()()()()bbbbbaaa aa b a f x dx g x dx f x dx g x dx b a f x g x dx ⎡⎤⎡⎤=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰0≥，由此得到:222221()()()()()()b b b b b a a a a a f x g x dx f x dx g x dx f x dx g x dx b a ⎡⎤⎡⎤≤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰⎰，注意到定理中的条件1): ()0f x m ≥>,于是22()()baf x dx m b a ≥-⎰，从而22222()()()()()()b b b b a aa a f x g x dx f x dx g x dx mb a g x dx ⎡⎤≤--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰. 3.3 Holder 积分不等式的应用例4. 设()f x ，()g x 为区间[],a b 上的可积函数，m N ∈，则:()()11()()()()m b m ba mm ab af x dx f x dxg x g x dx ++≥⎰⎰⎰.证明把区间[],a b 分成n 等分，每个小区间长为x ∆，在每个小区间上取一点i ξ，则有11111()()()()nm m i ni i n m mi i ii f xf xg g xξξξξ++===∆∆≥∆∑∑∑因为()f x ，()g x 可积所以上式0x ∆→两端取极限，由极限保号性和黎曼积分定义有()()11()()()()m b m ba mmab af x dx f x dxg x g x dx ++≥⎰⎰⎰结论得证.3.4 运用Minkowski 积分不等式证明范数例5.[5]当1p ≥时，证明[,]p L a b 按1()()ppbpa f x f x dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰定义中的范数()p f x 成为赋范线性空间.证明由 1()()0ppb pa f x f x dx ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭⎰，且()0f x =等价于()0f x =， ()()pp f x f x αα=，其中α为任意实(复)数.又由 Minkowski 积分不等式，当1p ≥时，对任何(),()[,]p f x g x L a b ∈，有 1()()()()ppb pa f x g x f x g x dx ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰11()()ppppb b a a f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()p p f x g x =+，所以[,]p L a b 按()p f x 成为赋范线性空间.4. 结束语本文主要给出了各种类型的Schwarz积分不等式，首先我们给出了的最基本Schwarz积分不等式，也就是最常见的Schwarz积分不等式；其次将Schwarz积分不等式进行一般形式推广；然后给出Schwarz积分不等式最出名的推广Holder积分不等式；最后给出Minkowski积分不等式.每一种Schwarz积分不等式都给出了相应的新的证明方法并给出一些实例加以说明.参考文献:【1】华东师范大学数学系编，数学分析上册(第三版)[M].高等教育出版社，2001.6.【2】匡继昌，常用不等式[M].长沙：湖南教育出版社，1989.【3】林琦焜，Cauchy-Schwarz不等式之本质和意义[J].数学传播，1995，24(1)：p26-42.【4】张小平, 解析不等式[M].北京:科学出版社，1987.【5】程其襄魏国强等编，实变函数与泛函分析基础(第二版)[M].高等教育出版社，2003.7.。

53几个重要的不等式

5．3几个重要的不等式具备了不等式的基本知识和技能之后，就可以进一步欣赏一些优美而又魅力无限的重要结果。

正如音乐家能够将很少几组音符变化发展为动听美妙的旋律一样，数学家则往往能够通过不多几步逻辑推理揭示出简明优美的结果。

这里要介绍的一些有关不等式的结果就是数学家依靠并不复杂的逻辑推理得到的，然而在其来龙去脉被领悟以前，却常常象变戏法似的神秘莫测。

除了前面已经介绍的贝努利不等式之外，本节将讨论的一些重要不等式包括：柯西不等式，排序不等式，平均不等式等。

这些重要的不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是今后进一步学习高等数学的重要工具。

1．柯西（Cauchy ）不等式在上一节，我们已经粗略地了解了形如22222)())((bd ac d c b a +≥++的不等式，因其是由大数学家柯西（Canchy ）发现的，故而一般称之为柯西不等式。

柯西不等式有着丰富的几何背景。

可以通过几何解释加深对其本质特征的认识与理解。

请同学们回忆一下我们曾经学过的余弦定理的内容？我们将利用它来解释柯西不等式。

如图，在三角形OPQ 中，θ=∠QOP d c Q b a P ),,(),,(，则 ,,2222d c OQ b a OP +=+=.)()(22d b c a PQ -+-=将以上三式代入余弦定理2222⋅-+=OP OQ OP PQ2222cos dc b a bdac +⋅++=θ或.))(()(cos 222222d c b a bd ac +++=θ 因为1cos 02≤≤θ，所以，1))(()(22222≤+++d c b a bd ac ，于是22222)())((bd ac d c b a +≥++.讨论：借助图形分析，柯西不等式中等号成立的条件是什么?柯西不等式应用相当广泛，我们先通过一些简单的例子加以体会。

例1．已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax （1）证明：由柯西不等式，.1))(()(22222=++≤+y x b a by ax 所以（1）成立。

高中数学第二章几个重要的不等式1柯西不等式学案北师大版选修4-5(2021学年)

高中数学第二章几个重要的不等式１柯西不等式学案北师大版选修4-5 编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章几个重要的不等式 1 柯西不等式学案北师大版选修４-5)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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§１柯西不等式1.认识简单形式的柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义.２．会证明一般形式的柯西不等式，并能利用柯西不等式来解决有关问题.１．简单形式的柯西不等式(1）定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式)：对任意实数a,ｂ，c,d,有（a2＋ｂ2)(c2+ｄ２)≥＿_______＿＿________，当向量_____＿__＿＿＿＿＿_与向量__＿＿________＿_＿_共线时，等号成立.(2)简单形式的柯西不等式的向量形式：设α=(a,ｂ),β=(c,d)是平面上任意两个向量，则_＿＿_＿＿≥|α·β｜，当向量(a，b)与向量(c,d)共线时,等号成立．（1)二维形式的柯西不等式的推论:①(a＋b）（c+d)≥(＼ｒ(ac)＋错误!）2（a,b，c，d为非负实数);②ａ２＋ｂ2·c2+ｄ2≥|ac+bd｜(a,ｂ，c,d∈Ｒ)；③错误!·错误!≥|ac｜+|bｄ｜（a,b,c，ｄ∈R).(2）二维形式的三角不等式:①错误!+错误!≥错误!（x１,y１,x2,y2∈Ｒ);②推论:＼r(x1-x３2＋y1－y32)+错误!≥错误!(x１,ｘ2,ｘ3,ｙ1,y２，ｙ3∈R).【做一做１-1】已知不等式(x＋y)错误!≥9对任意的正实数x，y恒成立,则正实数a的最小值为( )．A.２ B．4 C.6 D．８【做一做1-2】已知x+２ｙ=１,则ｘ2+y2的最小值为＿_______.2.一般形式的柯西不等式（1）定理２：设a1,a2，…,aｎ与b1,ｂ2,…，ｂｎ是两组实数，则有(a错误!＋a错误!＋…＋a错误!）＿＿__＿＿__＿____＿_＿__≥(ａ1ｂ１+ａ2b２＋…＋ａｎb n)2,当向量___＿＿________＿与向量(b1,b2，…,ｂn)共线时,等号成立．（２)推论(三维形式的柯西不等式)：设a1,a２，a3,b１，b2，ｂ3是两组实数，则有（a错误!+ａ错误!＋a错误!)(b错误!＋b错误!＋ｂ错误!）≥________＿__＿＿_＿＿.当向量(ａ１,a2,a3)与向量(b1，b２，b3）共线时“=＂成立.【做一做2-1】设a＝(１，0,－2),ｂ＝(x,ｙ，z)，若ｘ２＋y2＋z2＝16,则a·b的最大值为________．【做一做2－２】已知x，y,z∈Ｒ＋,且ｘ＋y＋ｚ=1，则x2＋y2＋z2的最小值是( ).A.错误!Ｂ.错误! C.错误!D．错误!答案:1．（１)（ac＋ｂd）2(ａ，b) (c，d）（2)｜α||β|【做一做１－1】B 由柯西不等式可求出（x＋y）错误!≥错误!2＝（１＋错误!）２，当ｘ=1,y ＝错误!时,（x＋ｙ)错误!能取到最小值（错误!+1)2,故只需（1+错误!)2≥9，即a≥4即可.【做一做1－2】错误!解析:∵1=x+2y,∴1＝（ｘ＋２ｙ)２≤（１+22)(x2＋y２)．当且仅当x=错误!,ｙ＝错误!时，取等号，∴（x2+y2)mｉn=1５．2.(1）(b错误!＋b错误!＋…+ｂ错误!) （ａ1,a2，…，a n)(２)(a1b1+ａ２ｂ２+a3b３)2【做一做2－1】4＼r(5) 由题知，a·ｂ＝ｘ-２z，由柯西不等式知［１2＋02＋(-2)2]（x2+y２＋ｚ2)≥(x＋０-2ｚ)2，当且仅当向量a与b共线时“=”成立，∴５×16≥(x-2z)２,∴－4错误!≤ｘ-2ｚ≤4错误!，即-４错误!≤a·b≤4错误!.故a·ｂ的最大值为4错误!.【做一做２-2】B 根据柯西不等式，有x2+y2+z2=错误!（１2+12＋１２)·(x2＋y2+ｚ2)≥错误!（1×x+1×y＋1×ｚ）２＝错误!（ｘ＋y＋ｚ）2＝错误!.当且仅当1ｘ＝错误!=错误!,即x＝y＝z=错误!时等号成立．1.对柯西不等式的理解剖析:柯西不等式的几种形式,都涉及对不等式的理解与记忆，因此,二维形式的柯西不等式可以理解为由四个有顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的,但怎样构造要仔细体会．(ａ2+b2）(c2＋ｄ２)≥(aｃ＋ｂd）2，（a２＋b2)(ｄ2+c2）≥（ad+ｂc)2,谁与谁组合、联系，要有一定的认识.“二维”是根据向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量:横纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系．2．一般形式的柯西不等式的应用剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在数学式子中,数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致，然后应用解题．3．“１”的利用剖析：数字“１”的利用非常重要,为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往能达到某些用字母所代表的数或式子所不能达到的作用．这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契,即不因为“形式”的影响而不会用柯西不等式.题型一利用柯西不等式证明不等式【例1】已知3x2+2y2≤6,求证：2x＋y≤11．分析：将不等式2ｘ＋y≤错误!的左边凑成柯西不等式的形式,然后证明.反思:为了利用柯西不等式,将２ｘ+y平方，这一运算技巧是证明不等式的关键.【例2】已知正数a,b,c满足ａ＋b＋ｃ=1.证明a3＋b3＋c３≥＼ｆ（a2＋ｂ2+ｃ2,３）．分析：如何构造两组数，利用柯西不等式是关键．反思:在本题中,ａ,ｂ，ｃ的指数的变化是关键，要根据柯西不等式的需要进行适当的变形.题型二利用柯西不等式求最值【例3】设x ,ｙ，z ∈Ｒ,且错误!+错误!+错误!＝１.求ｘ+y +ｚ的最大值和最小值. 分析：根据柯西不等式的需要给式子进行变形,注意等价性.反思：当式子中有根号、平方等形式时,经常用柯西不等式来解决．答案：【例1】证明：由柯西不等式,得（２x ＋ｙ）2≤［(3ｘ)２+（＼ｒ(2)y ）2]错误!＋错误!＝（3ｘ２＋2y 2)错误!≤6×错误!＝１1．于是２ｘ＋y ≤11.当且仅当错误!＝错误!，即错误!=错误!时等号成立．【例2】证明：利用柯西不等式,有31313133322222222222222222()()[()()()]()a b c a a b b c c a b c a b c ≤++++＋＋＝＋＋3333332=()()=()()a b c a b c a b c a b c ++++++++，又∵a ２+b ２＋c 2≥ab ＋bc +ca ,在此不等式两边同乘以２，再加上a 2+ｂ２+c 2,得(a +b ＋ｃ)2≤3(a 2＋b 2＋c 2).∴(a ２+b 2+c 2)２≤(a 3+b 3＋c 3)·3(a 2+b 2+c ２)，∴ａ3＋b 3＋c 3≥＼f （a ２+b 2+c 2，３).当且仅当a ＝b ＝c ＝＼f(１,3）时等号成立．【例3】解：根据柯西不等式,知[42+（＼r(5)）2＋22］错误!≥错误!＋错误!·错误!+２·错误!2,当且仅当错误!=错误!=错误!，即x ＝错误!，y =-１,ｚ＝错误!或ｘ＝-错误!，y ＝-3,ｚ＝错误!时等号成立．∴25×1≥(x +y +z -2）2. ∴｜x +ｙ＋z －2｜≤5, ∴-3≤x +y +ｚ≤7，即ｘ＋y ＋z 的最大值为7,最小值为－3.１设x ,ｙ,m ，n >０，且错误!+错误!=1，则u =x +ｙ的最小值是（ ).A ．（错误!+错误!)２Ｂ．错误! C.错误! D ．(m ＋n )22若ａ,ｂ∈R ，且a 2+b 2=10,则ａ-ｂ的取值范围为( )． A.［-2错误!,2错误!] Ｂ．[-２错误!,2错误!] Ｃ．［-10,错误!］ D ．[－错误!,错误!] 3函数ｙ＝21－x +2ｘ+1的最大值为_＿＿__＿__.4设ｘ1,x 2，…,ｘｎ为正数，求证：(x 1+x 2＋…＋x n )·错误!≥n 2. 答案:1．A 根据柯西不等式,得ｘ+y =（ｘ+ｙ）错误!≥错误!2=(错误!+错误!）2,当且仅当＼f （x,m )＝错误!时，等号成立,这时u 取最小值为(错误!＋错误!)2．２.Ａ解析：由柯西不等式知（a 2+b ２）［12+(-1)2]≥(a －b ）2, 当且仅当ａ=错误!，b =-错误!或a =-错误!，b =错误!时等号成立，∴10×２≥(a －b )2,∴－2＼ｒ（5)≤ａ－b ≤２错误!．３．3 利用柯西不等式进行变形,得到[(错误!）２+12］[(错误!错误!)2＋(错误!)２]≥(2错误!＋＼r （2x +1)）２,即3×3≥(２1-x ＋错误!）２，当且仅当x =０时等号成立,∴2错误!＋错误!≤3．4．证明：由柯西不等式,得（ｘ1＋x2＋…＋ｘｎ)错误!≥(１+1＋…＋１错误!2,即(x1＋ｘ2+…+xｎ)错误!≥ｎ2.以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

大学中常用不等式

大学中常用不等式,放缩技巧一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1) ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ ai bi)2≤∑ai2∑bi24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)(a+b)p≥ap+ bp (p>1)6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-15：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。

数学竞赛中经常用到的不等式整理,不包含三角不等式

（1）阿贝尔求和公式Abel’s Summation Formula若a1，a2，…，a n，b1，b2，…，b n分别是两个实数数列或复数数列，且S i = a1 + a2 + …+ a i，i = 1，2，…，n则（2）均值不等式AM-GM ( Arithmetic Mean - Geometric Mean ) Inequality 若a1，a2，…，a n是非负实数，则…当且仅当a1 = a2 = … = a n时等号取到，此不等式为幂均值不等式的一个特殊情况（3）均值不等式AM-HM ( Arithmetic Mean - Harmonic Mean ) Inequality 若a1，a2，…，a n是正实数，则当且仅当a1 = a2 = … = a n时等号取到，此不等式为幂均值不等式的一个特殊情况（4）伯努利不等式Bernoulli’s Inequality对任意实数x＞1和a＞1，都有( 1 + x )n＞1 + ax（5）柯西-施瓦兹不等式Cauchy - Schwarz’s Inequality对任意实数a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n，有… … …当且仅当a i与b i都成比例时等号取到，其中i = 1，2，…，n（6）积分形式的柯西-施瓦兹不等式Cauchy - Schwarz’s Inequality for integrals 设a，b为实数且a＜b，且f，g为[a，b] →R的可积分函数，则（7）切比雪夫不等式Chebyshev’s Inequality设实数a1≤a2≤…≤a n，且b1，b2，…，b n为实数若b1≤b2≤…≤b n，则若b1≥b2≥…≥b n，则当且仅当a1 = a2 = … = a n，b1 = b2 = … = b n时等号取到（8）积分形式的切比雪夫不等式Chebyshev’s Inequality for integrals设实数a，b满足a＜b，函数f，g是[a，b] →R的可积分函数，且具有相同的单调性，则（9）琴生不等式Jensen’s Inequality若f ( x )是区间(a，b)上的上凸函数，则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，都有… …若f ( x )是区间(a，b)上的下凸函数（凹函数），则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，都有当且仅当x1 = x2 = … = x n时等号成立加权形式：若f ( x )是区间(a，b)上的上凸函数，则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，且a1 + a2 + … + a n = 1，有……（10）赫尔德不等式Holder’s Inequality设r，s为正实数，且满足1r+ 1s= 1则对任意正实数a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n，都有（11）惠更斯不等式Huygens Inequality若p1，p2，…，p n和a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n都是正实数，且p1 + p2 + … + p n = 1，则（12）麦克劳林不等式Mac Laurin’s Inequality对任意正实数x1，x2，…，x n，都有S1≥S2≥…≥S n其中…＜＜…＜αα + β（13）明考夫斯基不等式 Minkowski ’s Inequality 对任意实数a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ，以及任意实数r ≥1，有≤（14）幂均值不等式 Power Mean Inequality设正实数a 1 + a 2 + … + a n = 1，则对于正数x 1，x 2，…，x n ，定义M -∞ = min{x 1，x 2，…，x n }M ∞ = max{x 1，x 2，…，x n }……其中t 是非0实数，则有M -∞≤M s ≤M t ≤M ∞其中s ≤t（15）均方根不等式 Root Mean Square Inequality设a 1，a 2，… ，a n 为非负实数，有… … 当且仅当a 1 = a 2 = … = a n ，b 1 = b 2 = … = b n 时等号取到均方根又称为平方平均数（16）舒尔不等式 Schur ’s Inequality对任意正数x ，y ，z 以及r ＞0，若存在关系x r ( x y ) ( x z ) + y r ( y z ) ( y x ) + z r ( z x ) ( z y )≥0 通常情况下为r = 1，则有以下结论成立x 3 + y 3 + z 3 + 3xyz ≥xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + zx ( z + x ) xyz ≥ ( x + y z ) ( y + z x ) ( z + x y )若x + y + z = 1，则xy + yz + zx ≤1＋9xyz 4（17） Suranyi ’s Inequality对任意非负实数a 1，a 2，… ，a n ，都有（18） Turkevici ’s Inequality对任意正实数x ，y ，z ，t ，都有x 4+ y 4 + z 4 + 2xyzt ≥ x 2y 2 + y 2z 2 + z 2t 2 + t 2x 2 + x 2z 2 + y 2t 2（19）加权形式的均值不等式Weighted AM - GM Inequality 对任意非负实数a1，a2，…，a n，以及w1，w2，…，w n，且w1 + w2 + … + w n = 1 都有……当且仅当a1 = a2 = … = a n，b1 = b2 = … = b n时等号取到。

经典不等式23种不等式

经典不等式23种不等式经典不等式23种不等式1、大于等式：若x>y，则x≥y。

2、小于等式：若x<y，则x≤y。

3、不等式：若x≠y，则x≠y。

4、加法不等式：若a+b>c，则a+b≥c。

5、减法不等式：若a-b<c，则a-b≤c。

6、乘法不等式：若ab>c，则ab≥c。

7、除法不等式：若a/b<c，则a/b≤c。

8、比较不等式：若x>y，则x·z>y·z。

9、一次不等式：若ax+b>0，则x>-b/a。

10、二次不等式：若ax2+bx+c>0，则x>-b/2a-√(b2-4ac)/2a。

11、立方不等式：若ax3+bx2+cx+d>0，则x>-b/3a-∛(b3-3abc+2d)/3a。

12、指数不等式：若a·cn>0，则n>lg a。

13、对数不等式：若a>b，则ln a>ln b。

14、平方根不等式：若a2>b，则a>√b。

15、立方根不等式：若a3>b，则a>∛b。

16、反比例不等式：若1/x>y，则x<1/y。

17、正比例不等式：若x>y，则kx>ky。

18、极限不等式：若limx→∞f(x)>L，则f(x)>L，对任意的x均成立。

19、重组不等式：若a+b>c+d，则a>d或b>c。

20、多项式不等式：若p(x)>q(x)，则有关x的多项式p(x)-q(x)的系数均大于0。

21、三角不等式：若a>b，则sin a > sin b。

22、函数不等式：若f(x)>g(x)，则f(x+h)>g(x+h)，其中h为任意实数。

23、条件不等式：若A>B 且C>D，则AC>BD。

各种常用不等式汇总

各种常用不等式汇总文章目录•一、一般不等式•o1、一元二次不等式o2、正弦余弦不等式o3、均值不等式o4、绝对值不等式o5、排序不等式o6、权方和不等式•二、人名不等式•o1、柯西不等式o2、卡尔松不等式o3、琴声不等式o4、杨氏不等式o5、赫尔德不等式o6、闵可夫斯基不等式o7、伯努利不等式一、一般不等式经常会用到的不等式一般有前面三个是下面均值不等式的特殊情况。

一般情况下a=b时，才取到等号1、一元二次不等式首先回顾一下一元二次方程的求根公式一元二次不等式的解以及图像2、正弦余弦不等式3、均值不等式均值不等式中一般包含四个公式：调和平均数公式、算数平均数公式、平方平均数公式、几何平均数公式，下面一一介绍。

•调和平均数又称倒数平均数，是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。

调和平均数是平均数的一种。

但统计调和平均数，与数学调和平均数不同，它是变量倒数的算术平均数的倒数。

由于它是根据变量的倒数计算的，所以又称倒数平均数。

调和平均数也有简单调和平均数和加权调和平均数两种。

•算术平均数又称均值，是统计学中最基本、最常用的一种平均指标，分为简单算术平均数、加权算术平均数。

它主要适用于数值型数据，不适用于品质数据。

根据表现形式的不同，算术平均数有不同的计算形式和计算公式。

•一组数据的平方的平均数的算术平方根。

英文缩写为RMS。

它是2次方的广义平均数的表达式，也可称为2次幂平均数。

英文名一般缩写成RMS。

•几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根，分为简单几何平均数与加权几何平均数。

1）几何平均数受极端值的影响较算术平均数小；2）如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数；3）它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据；4）几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。

它们的公式如下：调和平均数≤ 几何平均数≤ 算术平均数≤ 平方平均数（方均根）4、绝对值不等式5、排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和6、权方和不等式权方和不等式是一个数学中重要的不等式。

28个著名不等式

28个著名不等式（原创实用版）目录1.引言：介绍 28 个著名不等式的背景和意义2.第一部分：几何平均数与算术平均数的关系3.第二部分：柯西 - 施瓦茨不等式4.第三部分：切比雪夫不等式5.第四部分：赫尔德不等式6.第五部分：闵可夫斯基不等式7.第六部分：排序不等式8.第七部分：三角函数不等式9.第八部分：对数函数与指数函数不等式10.结论：总结 28 个著名不等式的应用领域和价值正文在数学领域，不等式是一种重要的概念和工具，它们在解决各种问题中起着关键作用。

本文将介绍 28 个著名的不等式，这些不等式涵盖了几何、代数、微积分等多个数学领域，对于数学研究和实际应用都具有重要的意义。

首先，我们来看几何平均数与算术平均数的关系。

几何平均数是指一组数的乘积开 n 次方根，而算术平均数则是这组数的和除以 n。

在一般情况下，几何平均数总是小于等于算术平均数，这就是著名的几何 - 算术平均数不等式。

接下来，我们要介绍的是柯西 - 施瓦茨不等式。

这个不等式是关于向量的内积与向量的长度的平方之间的关系，它表明了向量的内积总是小于等于向量的长度的平方，当且仅当两个向量共线时，等号成立。

切比雪夫不等式是关于随机变量的离散型概率分布与数学期望之间的关系。

它表明，随机变量的某一时刻的取值与该随机变量的数学期望的绝对值之比，总是小于等于该随机变量的方差的平方根。

赫尔德不等式是关于 p-范数与 Lp 范数之间的关系。

它表明，对于任意的实数 p>1，p-范数总是小于等于 Lp 范数，当且仅当该函数为常数时，等号成立。

闵可夫斯基不等式是关于欧几里得空间中两点之间距离的著名不等式。

它表明，对于任意两点 A、B，其欧几里得距离总是小于等于它们之间的闵可夫斯基距离，当且仅当 A、B 共线时，等号成立。

排序不等式是关于一组数排序后与其反序排列的元素乘积的关系。

它表明，对于任意一组实数，它们的排序后与其反序排列的元素乘积总是小于等于它们的算术平均数的平方。

6、2均值不等式(1)

王爷府中学讲学稿
学科：数学姓名：年月曰课题6、1不等式的性质(1)
学习目标1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；
2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，会比较两个代数式的大小.
学习重点比较两实数大小
学习难点差值比较法：作差T变形T判断差值的符号•
自学内容
一、讲解新课：
1 •判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b,在a> b, a= b, a v b三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充要条件是：
二、讲解范例：
例 1 比较(a+ 3) (a—5 )与(a+ 2) (a —4)的大小"
例2已知XM 0,比较(x2+ 1) 2与x4 + x2 + 1的大小.
变式：在例2中，如果没有XM0这个条件，那么两式的大小关系如何
自学内容
得出结论：作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差一一变形一一判断符号 *
练习：1、已知a>b>0, m>0，试比较-一m与b的大小，
a + m a
x
2、已知x>y，且y z 0,比较与1的大小.
y
三、课堂练习：
1 一在以下各题的横线处适当的不等号:
(1) ( ,3 + 2 ) 2_____
(2) ( - 3 — 2 ) 2______ ( 6 —1) 2;
(3)
⑷当a> b > 0 时，log 1 a ________ l og 1b
2 2
3-比较大小：
2
(1)(x+5) (x+7 )与(x+6 ；
(2)如果x> 0,比较(、、X —1) 2与(、、x + 1) 2的大小.。

著名不等式荟萃

著名不等式荟萃在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数。

当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数。

当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数。

设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立。

平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一。

设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值。

最小值。

在中，当时，分别有时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；立；（3），当且仅当时等号成立；时等号成立。

（4），当且仅当时等号成立。

二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式），有对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立。

时成立。

柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位。

频频出现，这充分显示了它的独特地位。

三、闵可夫斯基不等式三、闵可夫斯基不等式，则设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）时等号成立。

当且仅当时等号成立。

闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解。

右图给出了对上式的一个直观理解。

，则上式为若记，，则上式为四、贝努利不等式四、贝努利不等式（1）设，且同号，则，则（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立。

高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。

希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。

不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故 3()a b c a b cab c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥ 利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++ 两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r snnnni j r sr s r s a b a b r sr s ====≥++∑∑∑∑. （1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1s nj rs b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ，且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111nn nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明：先证 ()()G n A n ≤.记c= i ia b c=，则原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...( (1)n n b b b a a a c == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤ ，即 14x y +≤。

八个著名的不等式

下面择要介绍一些著名的不等式． 1.柯西（Cauchy ）不等式定理：设()n i R b a i i 2,1,=∈则()22211nn b a b a ba ++≤()()2222122221n n b b b a a a++⋅++等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.。

[一般形式的证明] 作函数()()()()()())(222222122112222212222211≥+++++-+++=-++-+-=x b b b x b a b a b a x a a a b x a b x a b x a x f n n n n n n0≤∆∴ 此时044121221≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∴∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a 121221，得证。

[向量形式的证明]令(),2,1n a a a A = (),2,1n b b b B=()()()22221222212211cos nn n n b b b a a aB A B A b a b a b a B A ++⋅+++=≤=++=⋅θ()1cos 1≤≤-θ两边同时平方得：()22211nn b a b a ba ++≤()()2222122221n n b b b a a a++⋅++，得证。

[柯西不等式的应用]例1.1设()()22121111,1n a a a a a a n i R a n n i ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤≤∈+ 求证解：由柯西不等式可知，原不等式可化为()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++2222122221111n na a a a a a ()22111n n =++≥ 个当且仅当,1,1,12211n na k a a k a a k a ===时等号成立即n a a a ==21，故原不等式得证。

28个著名不等式

28个著名不等式摘要：一、前言二、勾股定理与毕达哥拉斯定理三、算术平均数与几何平均数四、调和平均数与算术平均数五、均值不等式六、柯西- 施瓦茨不等式七、切比雪夫不等式八、马尔可夫不等式九、辛普森不等式十、闵可夫斯基不等式十一、排序不等式十二、琴生不等式十三、Jensen 不等式十四、基本不等式十五、阿姆斯特朗不等式十六、赫尔德不等式十七、闵可夫斯基- 马氏不等式十八、拉格朗日乘数法与KKT 条件十九、排序不等式在组合优化中的应用二十、新闻不等式二十一、塔克尔不等式二十二、最大最小化原理二十三、波利亚- 斯图姆定理二十四、切比雪夫- 马尔可夫不等式二十五、加权排序不等式二十六、李特尔伍德- 费米不等式二十七、闵可夫斯基- 切比雪夫不等式二十八、总结正文：一、前言本文将介绍28 个著名的数学不等式，这些不等式广泛应用于数学、物理、工程等领域，展示了数学的美丽和力量。

二、勾股定理与毕达哥拉斯定理勾股定理是最著名的数学不等式之一，描述了直角三角形的三个边的关系。

毕达哥拉斯定理则说明，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

三、算术平均数与几何平均数算术平均数是一组数的总和除以数的个数，而几何平均数是一组数的乘积的开n 次方。

两者之间有一个不等式关系：对于正数，算术平均数大于等于几何平均数。

四、调和平均数与算术平均数调和平均数是一组数的倒数的算术平均数的倒数。

与算术平均数类似，也有一个不等式关系：对于正数，算术平均数大于等于调和平均数。

五、均值不等式均值不等式是最基本的平均数不等式，它说明对于任何正数，其算术平均数大于等于几何平均数，当且仅当所有数相等时取等号。

六、柯西- 施瓦茨不等式柯西- 施瓦茨不等式是复分析中的一个重要不等式，它联系了复数的模和内积，是许多其他不等式的基础。

七、切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等式，它描述了独立随机变量之和的分布。

八、马尔可夫不等式马尔可夫不等式是概率论中的一个重要不等式，它说明了在一定条件下，随机变量之和的概率分布的下界。

数学分析中几个重要不等式的矩阵形式

数学分析中几个重要不等式的矩阵形式在数学分析中，不等式的矩阵形式是一种在线性代数中应用的重要技术，它可以很容易地解决诸如最大化，最小化以及两个变量之间的不等式约束等问题。

本文将介绍不等式的矩阵形式，回顾六个重要的不等式，以及它们在数学分析中的应用。

不等式的矩阵形式是一种在线性代数中的重要方法，它可以用来表示和解决一系列有约束的数学问题。

具体来说，不等式的矩阵形式可以用来定义一组约束条件，从而可以很容易地最大化或最小化一组变量。

此外，这种方法还可以用来处理约束的不等式问题，使得每个约束条件都得到满足。

六个重要的不等式包括：最小元素大于0；最大一阶导数不小于0；最小二阶导数大于0；势能不能为负；可分解能量理论；最大距离不大于最小距离。

接下来会讲解这六个重要的不等式在数学分析中的应用，以及每个不等式的具体矩阵形式。

首先，最小元素大于0即矩阵A的所有元素都大于0，即A>0。

这个不等式可以用来从线性方程组中求出唯一的解。

在数学分析中，当矩阵A的全部元素都大于零时，它就可以用来证明最优解的唯一性，这是线性规划中重要的定理。

其次，最大一阶导数不小于0即矩阵A的所有元素乘以变量x的一阶导数不小于0，即A*x≥0。

在数学分析中，当矩阵A的全部元素乘以变量x的一阶导数不小于零时，它就可以推断出函数在该点的极值是极大值，从而可以有效地求出最大值。

第三，最小二阶导数大于0即矩阵A的所有元素乘以变量x的二阶导数大于0，即A*x>0。

它是求函数的极小值时的重要不等式，当矩阵A的全部元素乘以变量x的二阶导数大于零时，可以推断出函数在该点是极小值，从而可以有效地求出最小值。

第四，势能不能为负即矩阵A的所有元素加上变量x的值大于0，即A+x≥0。

在数学分析中，势能是一种能量守恒的能量概念，它有许多应用，包括热力学、动力学和流体力学等。

当矩阵A的全部元素加上变量x的值大于零时，可以推断出势能必须大于零，从而确保守恒原理得到满足。

世界数学史上十个著名不等式

数学史上的十个著名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立．平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一．设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值．在中，当时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；（3），当且仅当时等号成立；（4），当且仅当时等号成立．二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立．柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位．三、闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）当且仅当时等号成立．闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解．若记，，则上式为四、贝努利不等式（1）设，且同号，则（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立．不等式（1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）．于是有，也即七、排序不等式设有两组数，，…，；，，…，满足，则有，式中的，，…，是1，2，…，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时成立．以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解．八、含有绝对值的不等式为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得较多。

柯西不等式6个基本公式和例题

柯西不等式是一个重要的数学不等式，广泛应用于数学分析、概率论和其他领域。

它由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在1821年提出，是数学分析中的一项重要成果。

柯西不等式在实际问题中具有重要的应用价值，特别是在概率论和统计学中的应用，能够帮助人们更好地理解和解决实际问题。

一、柯西不等式的基本原理1. 柯西不等式是数学分析中的一个重要定理，它描述了内积空间中向量的长度和夹角之间的关系。

具体来说，对于内积空间中的任意两个向量a和b，柯西不等式可以表达为：|⟨a, b⟨| ≤ ||a|| ||b||2. 其中，⟨a, b⟨表示向量a和b的内积（或称点积），||a||和||b||分别表示向量a和b的长度。

柯西不等式告诉我们，两个向量的内积的绝对值不会大于它们长度的乘积。

二、柯西不等式的六个基本公式3. 柯西不等式有许多不同的形式和推广，但最基本的形式是针对实数向量空间的柯西不等式。

具体来说，对于实数向量空间中的任意两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，柯西不等式可以表达为：|a1b1 + a2b2 + ... + anbn| ≤ √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)√(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)4. 在复数向量空间中，柯西不等式的形式稍有不同。

对于复数向量空间中的任意两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，柯西不等式可以表达为：|a1b1* + a2b2* + ... + anbn*| ≤ √(|a1|^2 + |a2|^2 + ... + |an|^2) √(|b1|^2 + |b2|^2 + ... + |bn|^2)5. 在积分的应用中，柯西不等式的形式也有所不同。

对于连续函数f和g，柯西不等式可以表达为：|∫(f*g)dx| ≤ √(∫f^2 dx) √(∫g^2 dx)6. 这些是柯西不等式的基本形式，它们描述了向量的长度和夹角之间的关系，以及函数的积分之间的关系。

经典不等式

经典不等式不等式是数学中的一个重要概念，它用来描述两个或多个量之间的关系。

经典不等式是指一些在数学中经常出现的不等式，它们有些是基本的，有些则比较复杂。

以下是一些经典不等式的介绍：1.均值不等式（均值不等式，或者AM-GM不等式）：这个不等式表明，对于两个正数a和b，它们的算术平均数(a+b)/2总不小于它们的几何平均数(ab)^(1/2)。

这个不等式在很多场合都非常有用，比如在证明一些几何和物理的问题时。

2.柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：这个不等式是关于向量和向量的点积的一个重要结果。

它表明，对于任何两个向量x和y，它们的点积的模总是小于或等于它们的模的乘积。

这个不等式的用途广泛，特别是在物理和工程领域。

3.三角不等式（Triangle Inequality）：三角不等式是用来描述三角形的边长的关系的。

它表明，对于任何三角形ABC的边a、b和c，总是有a+b>c和a-b<c。

这个不等式在几何学和解析几何学中都有重要应用。

4.排序不等式（Sorting Inequality）：排序不等式也被称为荷兰国旗定理，它描述的是三个不同数值的排序问题。

具体来说，对于任何三个不同的实数a、b和c，总有a+b>c和a+c>b+c。

这个不等式在算法设计和优化问题中非常有用。

5.贝塞尔不等式（Bessel Inequality）：贝塞尔不等式是用来描述正交多项式的的一个重要结果。

它表明，对于任何正整数n和任何实数x，总有(x^2-1)^n>=0。

这个不等式在正交多项式和特殊函数的研究中非常重要。

6.切比雪夫不等式（Chebyshev Inequality）：切比雪夫不等式是概率论中的一个重要结果，它给出了一个随机变量的取值范围的概率不小于某个值的下界。

具体来说，对于任何实数x和正数k，一个随机变量X满足|X-E[X]|=p<=k的概率不小于1-1/k^2。