6几个著名的不等式1doc
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6几个著名的不等式
在不等式的证明中,掌握一些常用的不等式是必要的,下面我们对几个常用的著名不等式作一介绍。 1 基本原理
先介绍排序不等式,设n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 是两组实数,且
n a a a 21,n b b b 21,
我们将n n b a b a b a 2211称为这两组实数的顺序积和,将1121b a b a b a n n n 称为这两组实数的倒序积和,设n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列,则称
n i n i i b a b a b a 2121为这两组实数的乱序积和。
对于这3类积和我们有如下结论:
定理1(排序不等式)设n a a a 21,n b b b 21,
n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个全排列,则有
1121b a b a b a n n n n i n i i b a b a b a 2121 n n b a b a b a 2211,
等号全成立的充要条件是n a a a 21或n b b b 21.
证 我们先用数学归纳法证明.
n i n i i b a b a b a 2121n n b a b a b a 2211 (1)
当2 n 时,因为
)(12212211b a b a b a b a
0))((1212 b b a a ,
所以 2 n 时,(1)式成立。
假设对于k n 时(1)式成立,即
k i k i i b a b a b a 2121k k b a b a b a 2211,
其中k i i i ,,,21 是1,2,k , 的一个排列,那么对于1 k n ,设121,,, k i i i 是1,2,
1, k 的一个全排列,则当11 k i k 时,由归纳假设知,
121121 k k i k i k i i b a b a b a b a
=112121 k k i k i i b a b a b a b a k
112211 k k k k b a b a b a b a , 所以(1)式成立
当11 k i k 时,必存在j i ,1j k ,使得1j i k ,则 11111111 k j j j i k i j i j i j i b a b a b a b a b a
)()(11111111 k j k j j i k i j i k i j i j i b a b a b a b a b a b a 1111
11111()()j j k k i j i j i k i j k k i a b a b a b a b a b a b L L
)()(111111111 k k i j i k i j i j i b a b a b a b a b a b a k k j j
11111)(1111 k k i k i j i j i j i b a b a b a b a b a b a k j k j 112211)( k k k k b a b a b a b a 1111 k k k k b a b a b a , 即1 k n 时(1)式成立。
由归纳法原理知对于2 n ,(1)式成立.
再证 1121b a b a b a n n n n i n i i b a b a b a 2121.
事实上,因为11b b b n n ,由(1)知,对于1,2,n , 的一个排列
n i i i ,,,21 ,有
)()()(2121n i n i i b a b a b a )()()(1121b a b a b a n n n ,
∴ n i n i i b a b a b a 21211121b a b a b a n n n .
再证等号成立的条件,充分性是显然的.我们用反证法证明必要性.若结论不成立,即在
n n b a b a b a 2211 =1121b a b a b a n n n (2)
的条件下,n a a a ,,,21 不全相等,n b b b ,,,21 也不全相等,则存在i ,}1,,2,1{ n k ,使得
1 i i a a , 1 k k b b . 不妨设k i ,则有
11 k i i a a a , 1 k k i b b b , 从而有 i k k i k k i i b a b a b a b a 1111 , 所以 n n k k i i b a b a b a b a 1111 >n n i k k i b a b a b a b a 1111 1121b a b a b a n n n (3)
(3)与(2)矛盾.
排序不等式表明对于两组实数,其顺序积和最大,倒序积和最小,乱序积和居中,顺序积和与倒序积和相等的充要条件是这两组实数中有一组全相等。
推论1 若对于n i ,,2,1 ,有0 i x ,则n x x x x x x n 1
32
21 , 等号成立的条件是n x x x 21 .
证 由对称性,不妨设n x x x 21 ,则
n
x x x 11121 .有排序不等式,有
1
32
21x x x x x x n 11
112211
n
n x x x x x x . 等号成立的条件是n x x x 21或
n
x x x 1
1121 ,即n x x x 21 . 推论2 若对于n i ,,2,1 ,0 i a ,且121 n a a a ,则n a a a n 21 .等号成立的充要条件是121 n a a a . 证 令,,,,11322211n n n x x a x x
a x x a 则1
x x a n n ,这里n x x x ,,,21 均为正实数,由推论1知,
n a a a 21
n x x x x x x n 1
3221 . 等号成立的充要条件是n x x x 21,即121 n a a a .