数学必修5解三角形,正弦,余弦知识点和练习题

解三角形

1．正弦定理:

2sin sin sin a b c

R A B C

===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C

⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪

+-⎪=⎨⎪⎪+-=

⎪⎩

.

3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.

2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot

A B C A B C A B C

+++===.、

1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ）

A ．60°

B ．60°或120°

C ．30°或150°

D ．120°

2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）

A ．a=1,b=2 ,c=3

B ．a=1,b=2 ,∠A=30°

C ．a=1,b=2,∠A=100°

C ．b=c=1, ∠B=45°

3、在锐角三角形ABC 中，有 （ ）

A ．cosA>sin

B 且cosB>sinA B ．cosA

C ．cosA>sinB 且cosB

D ．cosAsinA

4、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）

A ．直角三角形

B ．等边三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰直角三角形

5、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2

+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角

B

（ ）

A ．B>60°

B ．B ≥60°

C ．B<60°

D ．B ≤60°

6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m

的值为

（ ）

A ．4

B ．2

C ．1

D ．不定

7、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β,α(α<β),则A 点离地面

的高度AB 等于

（ ）

A ．)

sin(sin sin αββ

α-a

B ．)

cos(sin sin βαβα-⋅a

C ．)sin(cos sin αββα-a

D ．)

cos(sin cos βαβ

α-a

8、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=12

7

, 则ΔABC 是______三角形.

9、在ΔABC 中，若S ΔABC =4

1 (a 2+b 2－c 2

),那么角∠C=______.

10、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=32

31

,则cosC=_______.

A B

D C

α

β

11、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状：

①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2

tanB ； ③sinC=B

A B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2

)sin(A －B).

12． 在ABC △中，已知内角A π

=

3

，边BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．

13． 在ABC V 中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，若1

sin ,2

A =sin 2

B =，求::a b c

14． 在ABC V 中,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，若2sin (cos cos )3(sin sin )A B C B C +=+，

（1）求A 的大小；（2）若9a b c =+=，求b 和c 的值。

15． 如图，2AO =，B 是半个单位圆上的动点，ABC V 是等边三角形，求当AOB ∠等于多少时，四边形OACB 的面积最大，并求四边形面积的最大值．

16． 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2

,

0(),1,(sin ),cos ,1(π

θθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，

=θ( )

A ．

6π B ．4π C ．3

π

D ．

2

π

17． 在ABC ∆中，已知C B

A sin 2

tan =+，给出以下四个论断，其中正确的是 ①1cot tan =⋅B A

②2sin sin 0≤

+

③1cos sin 22=+B A

④C B A 222sin cos cos =+

18． ．已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量((),cos ,sin m n A A =-=u r r

，且1m n ⋅=u r r .

（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若221sin 23cos sin B

B B

+=--，求C tan .