第二章-对偶问题PPT优秀课件
运筹学课件 第2章：线性规划的对偶理论
min w 16y1 36y2 65y3
90 y1 3 y 2 y1 2 y 2 5 y 3 70 y , y , y 0 1 2 3
原问题 A b C 约束系数矩阵
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
约束条件的右端项向量 目标函数中的价格系数向量 目标函数中的价格系数向量 约束条件的右端项向量 Max z=CX Min w=Y’b 目标函数 AX≤b A’Y≥C’ 约束条件 X≥0 Y≥0 决策变量
若原问题为求极小形式的对称形式线性规划问题， 对偶问题应该具有什么形式？
Min w Y 'b A'Y C Y 0
max w Y 'b A'Y C Y 0
min z CX
Max z CX
AX b X 0
AX b X 0
min w 5 y1 4 y2 6 y3 4 y1 3 y2 2 y3 2 y1 2 y2 3 y3 3 3 y1 4 y3 5 2 y 7 y y 1 2 3 1 y1 0, y2 0, y3无约束
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
目标函数中的价格系数向量
目标函数 约束条件
变量
Max z=CX m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束
约束条件的右端项向量 目标函数 Min w=Y’b m个 ≥0 变量 ≤0 无约束 n个 ≥ 约束条件 ≤ =
【例2-3】写出下列线性规划问题的对偶问题
min 2x1 3x2 5x3 x4
1.初始表中单位阵在迭代后单纯形表中对应的位臵就是B-1 2.对于原问题的最优解，各松弛变量检验数的相反数恰好 是其对偶问题的一个可行解，且两者具有相同的目标函数 值。根据下面介绍的对偶问题的基本性质还将看到，若原 问题取得最优解，则对偶问题的解也为最优解。
运筹学课件 第二章-对偶问题
2.4 运输问题
2.1 线性规划的模型与图解法
2.1.1 问题的引入 （１）生产安排问题 如何合理使用有限的人力、物力和资金， 使得收到最好的经济效益。
例1：某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、 电、油三种资源。现将有关数据列表如下：
资源单耗 资源 产品
甲 9 4 3 7
乙 4 5 10 12
•约束条件的类型与非负条件对偶 •非标准的约束条件类型对应非正常的非负规划：
min z 5 x x 3 x
1 2
3
2x 2x x 1
1 2 3
x 3 x 4 x 10
1 2 3
2x 2x x 5
2.3.2 灵敏度分析
一、定义：
灵敏度分析讨论建模时的系数及有关变量变化时对 解的影响。 反映在两个方面
最优性： j C j C B B 1 Pj 1 可行性：X B B b
二、目的：
（1）参数在何范围内变化最优解（基）不变。 （2）参数变化，最优解有何变化。 1.资源向量b的变化分析
4.最优性
设X，分别是( P )与( D )问题的可行解， Y 且C X Y b，则 X， Y皆为最优解。
图示为：
CX Yb
z w CX Yb
* *
5.强对偶性 设 如果(P)问题有最优解，则(D)问题也有最 优解，且最优值相等。 证：对(P)增加松弛变量XS，化为标准型：
min w 2 y1 y2 y1 2 y2 1 y1 y 2 1 y1 y2 0 y , y 0 1 2
s.t.
s.t.
若原问题xj≤0，则对偶问题第j个约束
反号（与规定形式比）。同理，若原问题 第i个约束反号（与规定形式比），则对偶 问题yi≤0。
《运筹学对偶问题》课件 (2)
欢迎来到《运筹学对偶问题》PPT课件，本课程将探讨偶问题与对偶问题的定 义、线性、非线性和整数规划的对偶问题，以及对偶理论的应用与经济解释。
对偶问题与对偶问题的定义
什么是对偶问题？
探索如何将原始问题转化为对偶问题，实现问题的 优化与平衡。
对偶问题的定义
详细解释对偶问题的概念和特点，以及与原始问题 之间的关系。
非凸规划的对偶问题
探讨非凸规划问题的对偶性质和求解策略，分析其优缺点。
应用案例
介绍非线性规划对偶问题在实际问题中的应用案例和成果。
整数规划的对偶问题
整数规划的对偶问题
讨论整数规划问题的对偶性质和对偶问题的求解方 法。
二进制分解方法
介绍二进制分解方法在整数规划问题中的应用和优 化策略。
对偶理论的应用
1
交通运输规划
2
研究对偶理论在交通运输规划中的应用，
并分析其对交通流的优化作用。
3
供应链管理
探讨对偶理论在供应链管理中的应用， 优化供应链的效率和降低成本。
金融风险管理
应用对偶理论来管理金融风险，提高资 产配置和风险控制的效果。
对偶问题的经济解释
经济效益
分析对偶问题在经济领域的 应用，帮助优化资源的配置 和提高企业效益。
线性规划的对偶问题
1
松弛变量法
学习如何使用松弛变量法来求解线性规划问题的对偶问题，并了解其优缺点。
பைடு நூலகம்
2
对偶单纯形法
探索对偶单纯形法在求解线性规划问题中的应用，以及如何进行优化。
3
对偶理论的应用
研究对偶理论在实际问题中的实用性，并举例说明其应用。
非线性规划的对偶问题
对偶理论PPT课件
x3
0
0
0
1
1/3
x2＋(1/2)x4 ＝6
x2
0
0
1
0
1/2
3x12－0对16(1/3/应/32)3x对4＋偶(1/3问)x5 题＝2的一x个1 基本0.运解筹学y》1Ⅰ＝1 史慧0萍,y2＝0 5/2,y03＝0 -1/3
右边
x5
1
36
-1/3 2
0
6
1/3
2
最终表 20
对偶变量的经济意义和影子价格
第二章 对偶理论
2.1对偶问题 2.2灵敏度分析 2.3对偶单纯形法
.运筹学》Ⅰ 史慧萍
1
2.1对偶理论
一、对偶问题的提出 二、原问题和对偶问题的变换规则 三、对偶问题的性质
2016/3/23
.运筹学》Ⅰ 史慧萍
2
一、对偶问题的提出
解：Ⅱ设的x数1为量每。周线生性产规产划品模Ⅰ型的为数量；x2为每周生产产品
3)无界性 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问 题)无可行解(逆命题不成立)。
4) 可行解是最优解的性质（最优性） 设X是原问题的可行解， Y是对偶问题的可行解。当CTX＝bTY时，则X、Y皆为最优 解。
2016/3/23
.运筹学》Ⅰ 史慧萍
12
5)强对偶性 （对偶定理） 原规划有最优解，则对偶规划 也有最优解，且它们的最优解的最优值相同。 可以证明，(P)和(D)的解一般说来共有下述三种情况：
x1
0
1
0
对偶问题是寻找最优价格使总成本最低从数学模型的形式上看它们也是关联的其一般形式是原问题p对偶问题dmax2016323原问题与对偶问题的标准形式比较2016323原问题与对偶问题的标准形式的比较原关系min2016323二线性规划的原问题和对偶问题的变换规则原问题或对偶问题对偶问题或原问题目标函数max无约束约束条件右端项目标函数变量的系数目标函数变量的系数约束条件右端项
第二章 对偶问题ppt课件
有 CXˆ Yˆb，则 Xˆ , Yˆ 分别是(1)和(2)的最优解.
精选
7
原问题
max Z CX
AX b
s.t.
X
0
（3）
对偶问题
min Yb
YA C s.t.Y自由变量
（4）
四、强对偶定理
对于一对对偶问题，其中一个有有限最优
解，则另一个也有最优解，且两个目标函数值 相等。
五、无界性定理
（不一定为最优解），它所对应的基矩阵为 B ,
决策变量 X T 和松弛变量
X
T S
，
所对应的检验数分别为：
CCBB1A 和 CBB（1 不一定满足“≤0”条件）。
令
YCBB1
这时两组检验数分别为：
CY*A 和 Y
精选
20
再根据问题（2），这两组检验数可分别记为 YS ,Y
上述对应关系如表
精选
21
重要结论： 1.原始问题的单纯形表中，原始问题的松弛变量
s.t.XAX0b 非对称式对偶s.t.YA自TY由T 变C量T
max
min
限定向量b 价值向量C m个约束，n个变量 约束条件“=”
价值向量 限定向量 n个约束，m个变量 变量自由变量
精选
4
原问题（对偶问题） 对偶问题（原问题）
目标函数max
n个
变量
x
j
0
x
j
0
x
j
无约束
目标函数中变量的系数
（LP1） maxZ=2X1+ X2
5 X2<=15 6 X1+2 X2<=24
st.
X1+ X2<=5
第二章对偶问题
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这样得到一个新的线性规划问题
minw 15y1 24y2 5y3
5y1
6y2 2y2
y3 y3
2 1
y1, y2, y3 0
称这一问题是原来的LP问题的对偶线性规 划问题或对偶问题，原来的LP问题也称为原问 题。
内容总结
第二章对偶问题。变量：所有变量均具有非负约束。A’Y ≥C’。若迭代后的 单纯形表为最终表则该表也同时给出对偶问题的最优解。反之若一个约束条 件中松弛变量非零,则其对应的对偶变量为零。式中bi是线性规划原问题约束 条件的右端项，它代表第i种资源的拥有量。影子价格是资源的边际价格。最 优目标函数值：w*=-8.5（z*=8.5）。问题的最优解或最优基不变。例：在第 一章美佳公司的例1中。由弱对偶性，原问题目标函数无界
• 利用影子价格可以说明：单纯形法中的检验数可以看 成生产某种产品的产值与隐含成本的差
• 可以利用影子价格确定企业内部的核算价格，以便 控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏。
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例1
6x1+2x2 =24
资源的变化 ：设备B的可 用时间从增 加一小时
可行域
x2=3
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第四节 对偶单纯形法
按对偶问题与原问题之间的关系，对最大 化问题，在用单纯形法求解原问题时，最 终表不但给出了原问题的最优解，而且其 检验数的相反数就是对偶问题的最优解。
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单纯形法求解的基本思路
基可行解
保持解的可行性
检验数非正
设 x*j(j1,,n) 和 yi*(i1,,n) 分别是原问题和 对偶问题的最优解，则由对偶性质，有
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
对偶问题.ppt.Convertor
第2 章线性规划的对偶理论Duality 对偶Dual Problem 对偶问题Dual Linear Programming对偶线性规划Dual Theory 对偶理论2.1 问题的提出例：某企业计划生产甲、乙两种产品，该两种产品均需要A、B、C、D 四种不同的材料，按工艺资料规定，生产一单位甲乙产品需要各种材料数量及单位产品利润如表中所示。
问:如何安排产品的生产计划,才能使企业获利最大?1.最大生产利润模型设企业生产甲产品为X1件，乙产品为X2件，则max z= 2 X1 +3 X2s.t 2 X1 +2 X2 12X1 +2 X2 84 X1 164 X2 12X1 0 , X2 02.资源最低售价模型(原问题) <========> ( 对偶问题)设第i种资源价格为yi,（i=1, 2, 3, 4,）则有min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4s.t 2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 22y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3yi 0, (i=1, 2, 3, 4 )y1y2y3y42.2 原问题与对偶问题的关系一般表示式：原问题：max z = c1 X1 + c2 X2 + ┈+ cn Xns.t a11 X1 + a12 X2 + ┈+ a1n Xn b1a21 X1 + a22 X2 + ┈+ a2n Xn b2·······················am1 X1 + am2 X2 + ┈+ amn Xn bmxj 0，j=1,2,┈,n对偶问题：min w = b1 y1 + b2 y2 + ┈+ bm yms.t a11 y1 + a21 y2 + ┈+ am1 ym c1a12 y1 + a22 y2 + ┈+ am2 ym c2·························a1n y1 + a2n y2 + ┈+ amn ym cnyi 0，(i=1,2,···,m )典式模型对应对偶结构矩阵表示（1）max z = C Xs.t AX bX 0min w = Y bs.t YA CY 0对偶问题原问题对偶模型其他结构关系（2）若模型为max z = C Xs.t AX b X 0max z = C Xs.t - AX -bX 0变形min w = Y bs.t YA CY 0Min w=Y ´(-b)st. Y ´(-A) C Y ´ 0令Y=- Y ´对偶问题对偶变量Y（3）max z = C Xs.t AX b X 0变形设X= -X´max = -CX ´st. -AX´ b X´ 0min w = Y bs.t YA CY 0则有min w = Y bs.t -YA - CY 0对偶问题典式：用矩阵形式表示：（1）max z = C X min w = Y bs.t AX b <========> s.t YA CX 0 Y 0（2）max z = C X min w = Y bs.t AX b <========> s.t YA CX 0 Y 0（3）max z = C X min w = Y bs.t AX b <========> s.t Y A CX 0 Y例2-3 写出下面线性规划的对偶问题：课堂练习：写出下面线性规划的对偶规划：下面的答案哪一个是正确的？为什麽？（原问题是极小化问题，因此应从原始对偶表的右边往左边查！）例题2minZ=3x1+2x2-6x3+x52x1+x2-4x3+x4+3x5 ≥7x1+ 2x3 -x4 ≤4-x1+3x2 -x4+ x5 =-2x1，x2，x3 ≥0;x4 ≤0;x5无限制max ω=7y1+4y2-2y32y1+ y2- y3 ≤3y1 +3y3 ≤2-4y1+ 2y2 ≤-6y1 -y2 -y3 ≥03y1 +y3=1y1 ≥0 y2 ≤0 y3 无约束2.3 对偶问题的基本性质Max z = CX Min w = Y bs t . AX b s t . YA CX 0Y 0(1) 弱对偶性：若X0——原问题可行解，Y0——对偶问题可行解则CX0 Y0 b证明：∵Y0 0，AX0 b，∴Y0 AX0 Y0 b，而Y0 A C ，∴CX0 Y0AX0 ，∴CX0 Y0 AX0 Y0 b（2）最优性：若X0——原问题可行解，Y0——对偶问题可行解，且CX0 = Y0 b则X0——原问题最优解，Y0——对偶问题最优解证明：设X* ——原问题最优解，Y* ——对偶问题最优解则CX0 CX* Y* b Y0 b但CX0 = Y0 b，∴CX0 = CX* = Y* b = Y0 b∴X0 = X* ，Y0 = Y*即X0——原问题最优解，Y0——对偶问题最优解证毕。
运筹学2对偶问题86页PPT
§2.1线性规划的对偶模型 Dual model of LP
Ch2 Dual Problem
05.05.2020
Page 9 of 19
例如，第一种资源的影子价格为y1=2，第二种资源的影子 价格为y2=2，即当第一种资源增加一个单位时，Z增加2个 单位，当第二种资源增加一个单位时，Z增加2个单位。
Ch2 Dual Problem
05.05.2020
Page 8 of 19
由后面的对偶性质可知：原问题和对偶问题的最 优值相等，故有
Z C B X B C B B 1b Yb
m
bi y i i 1
Z bi
yi
i 1, , m
即yi是第i种资源的变化率，说明当其它资源供应量bk(k≠i) 不变时，bi增加一个单位时目标值Z增加yi个单位。
§2.1线性规划的对偶模型 Dual model of LP
Ch2 Dual Problem
05.05.2020
Page 6 of 19
【解】设xj为每天第j种食物的用量，数学模型为
minZ0.5x1 0.4x2 0.8x3 0.9x4 0.3x5 0.2x6
13x1 25x2 14x3 40x4 8x5 11x6 80 24x1 9x2 30x3 25x4 12x5 15x6 150 18x1 7x2 21x3 34x4 10x5 180 x1、x2、x3、x4、x5、x6 0
型为： max Z 100 x1 80 x 2 70 x 3
9 x1 8 x 2 6 x 3 500
5 8
x x
1 1
4x2 3x2
7 x3 2x3
450 300
7
x
1
运筹学课件第二章对偶问题
第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析一、学习目的与要求 1、掌握对偶理论及其性质 2、掌握对偶单纯形法3、熟悉灵敏度分析的概念和内容4、掌握限制常数与价值系数、约束条件系数的变化对原最优解的影响5、掌握增加新变量和增加新的约束条件对原最优解的影响，并求出相应因素的灵敏度范围6、了解参数线性规划的解法 二、课时 6学时第一节 线性规划的对偶问题一、对偶问题的提出定义：一个线性规划问题常伴随着与之配对的、两者有密切联系的另一个线性规划问题，我们将其中一个称为原问题，另一个就称为对偶问题，在求出一个问题的解时，也同时给出了另一问题的解。
应用：在某些情况下，解对偶问题比解原问题更加容易；对偶变量有重要的经济解释(影子价格)；作为灵敏度分析的工具；对偶单纯形法(从一个非可行基出发，得到线性规划问题的最优解)；防止使用人工变量(人工变量带来很多麻烦，两阶段法那么增加一倍的计算量)。
例：某家具厂木器车间生产木门与木窗；两种产品。
加工木门收入为56元/扇，加工木窗收入为30元/扇。
生产一扇木门需要木工4小时，油漆工2小时；生产一扇木窗需要木工3小时，油漆工1小时；该车间每日可用木工总共时为120小时，油漆工总工时为50小时。
问：(1)该车间应如何安排生产才能使每日收入最大？(2)假假设有一个个体经营者，手中有一批木器家具生产订单。
他想利用该木器车间的木工与油漆工来加工完成他的订单。
他就要考虑付给该车间每个工时的价格。
他可以构造一个数学模型来研究如何定价才能既使木器车间觉得有利可图而愿意为他加工这批订单、又使自己所付的工时费用最少。
解(1)：设该车间每日安排生产木门x1扇，木窗x2扇，那么数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=-0502120343056max 21212121x x x x x x x zX*=(15,20)’ Z*=1440元解(2)：设y 1为付给木工每个工时的价格，y 2为付给油工每个工时的价格⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=-0303562450120min 21212121y y y y y y y wY*=(2,24)’ W*=1440元将上述问题1与问题2称为一对对偶问题，两者之间存在着紧密的联系与区别：它们都使用了木器生产车间相同的数据，只是数据在模型中所处的位置不同，反映所要表达的含义也不同。
《运筹学》第二章 对偶问题
3 x1 2 x2
7x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无 约 束
解：原问题的对偶问题为
mi nW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2
20
一组互为对偶的线性规划问题的解之间只有 下列三种情况:
(1)两个规划问题都有可行解(此时,两个规划问题都有最优 解,且最优值相等);
(2)两个规划问题都不可行; (3) 一个规划问题不可行,另一个规划问题有可行解,且具有
无界解。
21
（4）互补松弛性： 在线性规划问题的最优解中，
则 aij xj * = bi ；
bi , 则 y i* = 0 (4)’ 互补松弛性：
在线性规划问题的最优解中， 则 aij yi * = cj ；
>cj , 则 xj* = 0
n
若 y i * >0,
j=1 n
若 a ij xj * <
j=1
m
若 x j * >0,
i=1 m
若 a ij yi*
i=1 22
m
= 证b：i y∵i*
y1 3 y1
2 y2
3 y3 4 y3
3 5
2 y1 7 y2 y3 1
y1
0,
y2
0,
y
无
3
约
束
对偶问题的对 偶还是原问题
14
• 练习 写出下列线性规划问题的对偶问题.
max Z 4x1 3x2 2x3
4x1
《对偶原理》PPT课件
X(1,1,1,1)T,Y(1,1)
m in W 2 0 y1 2 0 y2
分别是原问题和对偶问题的可行解。
且原问题的目标函数值为
ZCX10
s
.t
.
对偶问题的目标函数值为
WYb40
y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1, y2 0
由（3）和（4）式可知
YA C
CXYAXYb 证毕. 精选课件ppt
(D) s.t.Y 0 5
由弱对偶性，有下面推论：
CX Yb
推论1：若 X0 和Y0 分别是问题(P)和(D)的可行解，则 （1） CX0是问题(D)的目标函数的一个下界； （2） Y0 b是问题(P)的目标函数的一个上界。
推论2：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其中一个问题有 可行解，但目标函数无界，则另一个问题无可行解.
定理4（对偶定理） 若一对对偶问题（P）和（D）一个有最优解，则 另一个也有最优解，且目标函数的最优值必相等.
定理5（互补松弛定理）
设 X* 和Y* 分别是问题（P）和（D）的可行解， 则它们分别是最优解的充要条件是 同时成立：
Y * X S 0
Y S
X
*
0
Y *(b AX* ) 0
(Y
试估计它的目标函数值的界,并验证弱对偶定理.
精选课件ppt
7
maxZx1 2x2 3x3 4x4
解：
s.t.
问题(LP)的对偶问题(DP)为
x12x2 2x3 3x4 20 2x1 x2 3x3 2x4 20 xj 0(j 1,2,3,4)
m in W 2 0 y1 2 0 y2
(DP)
对偶问题课件ppt
拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将原问题转化为 求拉格朗日函数的极值问题。该方法在处理无约束优化问 题时具有简单易行、适用范围广等优点。
牛顿法
牛顿法是一种求解非线性方程的迭代 算法，通过不断迭代和修正解的近似 值，逐步逼近方程的根。
VS
总结词：约束优化问题的对偶问题可 以简化和加速计算过程，通过对偶变 换将约束优化问题转化为对偶问题， 提高求解效率。
机器学习中的对偶问题
在机器学习中，许多算法都涉及到对偶问题 的应用。例如，支持向量机（SVM）算法 中的最大间隔问题就是一个典型的对偶问题 。通过对偶变换，可以将原问题转化为对偶 问题，简化模型复杂度，提高学习效率和精 度。
对于约束优化问题，可以通过对 偶算法（如序列二次规划法）求
解对偶问题，得到最优解。
机器学习中对偶问题的应用案例
对偶问题在机器学习中的应用
在机器学习中，许多算法可以转化为对偶问题，如支持向量机、神经网络等。
应用案例
以支持向量机为例，其原始问题是求解一个二次规划问题，而其对偶问题则是求解一系 列线性方程组。通过对偶变换，可以将原始问题转化为对偶问题，从而简化计算过程。
总结词：线性规划问题的对偶问题可以简化和加速计算过程，通过对偶变换将原问题转化为对偶问题 ，提高求解效率。
最小二乘问题
最小二乘问题是一种数学优化技术，旨在找到一组数据的最优拟合直线或曲线。对偶问题在最小二乘问题中也有广泛应用， 通过对偶变换，将最小二乘问题转化为对偶问题，简化计算过程，提高求解效率。
解决方案
对于线性规划问题，可以 通过对偶算法（如对偶单 纯形法）求解对偶问题， 得到最优解。
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A
B
C 单位产品的利
润（千元）
2对偶问2题
12
1 0 2
233min22yy1112y求21y2ym2898y2a23xy39y33
约束条件
第 j个为
约束条件右端项
m个
yi yi
变量
y i无约束
目标函数中变量的系数
例2：给出下列线性规划的对偶问题：
min Z=2X1+ 8 X2 -4X3 X1+3X2 – 3X3 > =30 -X1 +5X2 + 4X3 =80
st. 4X1+ 2X2 -4X3 < =50 X1 < =0, X2 > =0, X3 无约束
最优解的充分必要条件 ： n 1）如 yˆi 0时，必ai有 jxˆj bi; j1
n
当 aijxˆj bi时，必 yˆi 有 0；i1,2,,m j1 m
2）如 xˆj 0时，必a有 ijyˆi cj; i1
m
当 aijyˆi cj时，必 xˆj 有 0；j1,2,,n i1
利用互补松弛定理,在已知一个问题的最优解的情况下, 可以不要列单纯形表求出另一个的最优解.
yi 0 i 1,2,3
换一角度：将设备卖出，售价定为多少适宜？
两个互为对偶规划问题之间的关系 （对称形式）
1）目标函数的目标互为相反。(max,min) 2）目标函数的系数是另一个约束条件右端 的向量
3）约束系数矩阵是另一个的约束系数矩阵 的转置
4）约束方程的个数与另一个的变量的个数 相等
原问题
二、弱对偶定理
如果 X , Y 分别是（1）和（2）的可行解，
则有
CX。Yb
三、最优性定理
如果 Xˆ , Yˆ 分别是(1)和(2)的可行解，且 有 CXˆ Yˆb，则 Xˆ , Yˆ 分别是(1)和(2)的最优解.
原问题 max Z CX
对偶问题 min Yb
AX b
s.t.
X
0
（3）
m Z ax 1 x 2 x 2 3 x 3 4 x 4
2x1x12xx22
2x3 3x3
3x4 2x4
20 20
xj 0 ( j 1,2,3,4)
其对偶问题为： mW i n2y0 12y0 2
y1 2 y2 1
2 2
y1 y1
y2 3y
2 23
3
y
1
2 y2
4
y 1 , y 2 0
2x3 3x3
3x4 2x4
20 20
xj 0 ( j 1,2,3,4)
其对偶问题为： mW i n2y0 12y0 2
y1 2 y2 1
2 2
y1 y1
y2 3y
2 23
3
y
1
2 y2
4
y 1 , y 2 0
试估计它们的目标函数值的界，并验证弱对偶定理的正确性。
解: 由观察知
例4：已知线性规划问题
minZ 2x1 x2 2x3 x1 x2 x3 4 x1 x2 x3 6 x1 0, x2 0, x3无约束
要求：1）写出对偶问题； 2）已知原问题的最优解为x1= -5, x2=0, x3= -1; 试根据对偶理论直接求出对偶问题最优解。
解：1）对偶问题 max 4 y1 6 y 2
max
min
限定向量b
价值向量
价值向量C
限定向量
m个约束，n个变量
n个约束，m个变量
约束条件“=”
变量自由变量
原问题（对偶问题）
目标函数max
n个
变量
x
j
0
x
j
0
x
j
无约束
目标函数中变量的系数
m个
约束条件
第
i个为第ຫໍສະໝຸດ i个为第 i个为
约束条件右端项
对偶问题（原问题）
目标函数min
n个
第 j个为 第 j个为
YA C s.t.Y自由变量
（4）
四、强对偶定理
对于一对对偶问题，其中一个有有限最优
解，则另一个也有最优解，且两个目标函数值 相等。
五、无界性定理
对于一对对偶问题，若一个有无界解， 则另一个无可行解。
例 3 已知原问题
m Z ax 1 x 2 x 2 3 x 3 4 x 4
2x1x12xx22
y1 y2 2
y1 y1
y2 y2
1 2
y1 , y 2 无 约 束
2）由互补松弛定理，因原问题最优解中x1= -5≠0, 必使对偶问题第一个约束条件为等式，于是有，
y1y1
y2 y2
2
2
y10,y22
例 5:已知下列线性规划问题的对偶问题的最优解为 (6/5, 1/5),求该线性规划问题的最优解.
对偶问题
maxZ CX
min bTY T
s.t.XAX0b
对称式对偶
ATY T s.t.
CT
Y 0
max
min
限定向量b
价值向量
价值向量C
限定向量
m个约束，n个变量
n个约束，m个变量
约束条件“≤”
变量“≥”
变量“≥”
约束条件“≥”
原问题
对偶问题
maxZ CX
min bTYT
s.t.XAX0b 非对称式对偶s.t.YA自TY由T 变C量T
其对偶问题为：
MAX w=30 y1 +80 y2 +50y3 y1 - y2 +4y3 〉=2
st. 3 y1 +5y2 +2 y3 <=8 -3y1 +4y2 -4y3 =-4 y1 >=0, y2 无约束，y3 <=0
原问题
对偶问题
max 2Z.3C对X 偶问题基本min性 质 Yb
一s、.t.对XAX称对性0偶b定问（理题1）的对偶是原s.t问.YY题A。0C（2）
X(1,1,1,1)T 和 Y (1,1)
分别是原问题和对偶问题的可行解，
且原问题的目标函数值
，
对偶问题的目标函数值
ZCX10
WYb40
故 CXYb ，弱对偶定理 成立，
并且我们知对偶问题的目标函数值 W10
原问题的目标函数值
Z40
六、互补松弛性定理
若Xˆ和Yˆ分别(1是 )和(2)的可行解，则它
原问题的松弛变量为: X5 , X6 , 对偶问题的剩余变量为: Y3,Y4, Y5,Y6, 将(6/5,1/5)代入1)和2)知: Y3,Y4, 均不为0,于是由松
弛互补定理知:
X1, X2 , =0 又由 Y1>0,Y2>0和松弛互补定理知:
X5 , X6 ,=0 从而,原问题的约束变为:
2X3 + 3X4 =20 3X3 + 2X4 =20 解此方程得: X3 = X4 =4 于是原问题的最优解为:(0,0,4,4)