社会统计学第三讲

Z=
X −µ
σ
~ N (0,1)
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标准正态分布表的使用
标准正态分布表见书附录4，标准正态分布表 见课本479页。 标准正态分布表的标识方式有多种，但一般都 包括Z值和Z值相对的标准正态分布曲线下的 面积。 课本中的标示方式为Z值和Z值左边在曲线下 的面积。
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概率的基础知识
概率（Probability）：用数量的形式表示随机 事件发生的可能性大小。 0≤P(E)≤1 某公司有100名员工，其中20名为已婚，现随 机抽取25人，其中至少有5人未婚的概率为多 少？ 其中至少有21名已婚者的概率为多少？
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概率的基础知识
观察抛掷硬币国徽一面出现的频率，统计学家蒲丰和 皮尔逊做了相关的实验。 试验者 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 掷币次数 4040 12000 24000
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国徽面出现 频次n 2048 6019 12012
f(E) 0.5069 0.5016 0.5005
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概率的基础知识
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概率的基础知识
古典法： 样本点与样本空间：随机试验中的每一个结果 称为一个样本点Ei 所有样本点的全体称为样本空间S 投掷一个骰子，随机试验的样本点是什么？ 样本空间是什么？ 随机事件是样本空间的某个子集。
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概率的基础知识
古典概型： 条件： 样本空间中的样本点有限； 每个样本点出现的可能性相同； 如果随机事件A包含m个样本点，则随机事件A的概率 为： P(A)=A中样本点的个数/样本点的总数=m/n 全班有九名同学，其中四名女生，求任抽一名为男生的 概率。
概率分布
连续随机变量的概率分布研究在某个区间ΔX 内的随机变量的取值在整个随机变量取值中所 占的比率，即连续随机变量的概率。
∆x ∆x P( x − ≤ξ ≤ x+ ) 2 2
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概率分布
对于连续的定距定比变量，，一般通过分组后 作直方图来表示。 连续随机变量同样可以用直方图来表示。 直方的面积为概率，直方的宽为ΔX； 则直方的高度为概率/ΔX， 也称为概率密度φ（X）
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概率分布
连续随机变量的概率的分布： 连续随机变量：定距层次以上的变量。 连续随机变量的取值范围在一个区间内是无限 的，则样本空间是无限的。 所以根据古典法计算某一个只有一个样本点的 随机事件A出现的概率： P(A)=1/∞→0 当ξ为连续随机变量时，P(ξ=X)=0
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%↑ 95.05 90.32 84.13 74.22 63.68 36.32 25.78 9.68 4.95 2.28
%↓ 4.95 9.68 15.87 25.78 36.32 63.68 74.22 90.32 95.05 97.72
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标准正态分布表的使用
计算两个Z值之间的面积： 已知某分布满足N(0,1)，求 P(1.3≤ξ≤2.3)=0.0861 P(-2.3≤ξ≤-1.3)=0.0861 P(-2.3≤ξ≤1.3)=0.8925
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标准正态分布
将P(ξ=Xi)的概率分布改为 P(ξ=(X-μ)/σ)的概率分 布即可以将不同的正态分 布标准化。 经过计算Z的密度分布符合 N(0,1)。 Z被称为标准分，即变量中 的一个变量值与变量均值 的距离有多少个标准差。 每个Z值所对应的面积已经 计算出来，只需要查表就 可知道某个Z值所对应的面 积。
社会统计学
2006年 20日 2006年3月20日
主要内容
概率的基础知识 概率分布 期望与方差的概念 正态分布 标准正态分布 标准正态分布表的使用方法 中心极限定理 参考课本第三章（第一、二节），第五章（第一、二、 三节）
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概率的基础知识
概率的概念： 随机事件（Random Event）：具有非确定性 的事件。 尽管随机事件具有偶然性，但在大量重复试验 和观察下可以发现其中的规律，即统计规律性。 如果能用数量的形式将随机事件发生的可能性 大小表示出来，则可以得到随机事件发生的概 率。
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标准正态分布表的使用
根据面积计算Z值： 已知P(│ξ│≥λ)=0.05, ξ~N(0,1),求λ值 P(│ξ│≥λ)=P(ξ≥λ)+P(ξ≤-λ) =2 P(ξ≥λ)=2[1-φ(λ)]=0.05 φ(λ)=0.975 λ=1.96
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标准正态分布表的使用
概率可以视为当观测次数N趋近无穷时相应的 频率n/N值
n P ( E ) = lim f ( E ) = lim N →∞ N →∞ N
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概率的基础知识
频率与概率的关系： 当观察次数足够大时(如N>1000)，频率会稳定于概率。 也称为概率的频率定义。 普查中某种现象出现的频率就是该现象的概率。 生活中采用的大多数为抽样调查的样本数据，这时只 有某个随机现象出现的频率值，即统计值。 但通过计算，仍然可以得到该随机现象在总体中的概 率值，计算得到概率值称为理论值或参数值，可以与 样本值进行比较。
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概率分布
连续随机变量的概率密度性质： φ（X）≥0 P(-∞≤ξ≤∞)=1 所以在分布密度曲线下的总面积恒定为1。
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数学期望与总体方差
在频率分布中，使用均值表示变量的集中趋势。 在概率分布中，使用数学期望表示随机变量的 集中趋势。
E (ξ ) = x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn = ∑ xi pi
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概率分布
在概率分布直方图中，两个区间中心点之间的 概率可以直接用两个区间中心点之间的直方面 积相加。 当Δx趋近于零时，则在分布中任意两个区间 变成了区间中的两个点，此时两者之间的概率 变为曲线下两个点之间的面积。
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概率分布
任意两个连续随机变量取值间（X1≤ξ≤X2） 的概率为两个点之间在曲线下的面积。
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概率分布
• 当Δx趋近0时， 直方的宽度会 变成一点； • 原来连结直方 顶点的折线会 变成平滑的曲 线。
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概率分布
概率密度：
∆x ∆x P( x − ≤ξ ≤ x+ ) 2 2 ϕ ( x) = lim ∆x → 0 ∆x
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正态分布
正态分布的图形特 点： 单峰对称； 唯一对称轴，在对 称轴处三值和一； 渐近线与x轴无限接 近，但始终不会相 交。
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正态分布
决定正态分布图形的因素： μ，φ(x)在μ处达到峰值， μ决定了正态分布在x轴上的 位置； σ，当μ不变时，σ越大则 正态分布越“矮胖”；当σ 越小时，正态分布越“高 瘦”。 根据正态分布的概率密度表 达式可得正态分布的期望 E(ξ)=μ,D(ξ)=σ2 正态分布一般表示为 N(μ,σ2)
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正态分布பைடு நூலகம்
正态分布曲线下的面积： 连续随机变量的两个取值之间的概率为曲线下 两个取值所对应点之间的面积。 68-95-99规律： 经计算发现： P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)=0.6827 P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.9545 P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)=0.9973
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标准正态分布表的使用
Xi 5.05 6.10 7.00 8.05 8.95 11.05 11.95 13.90 14.95 16.00
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Z
%↑
%↓
标准正态分布表的使用
Xi 5.05 6.10 7.00 8.05 8.95 11.05 11.95 13.90 14.95 16.00 Z -1.65 -1.30 -1.00 -0.65 -0.35 0.35 0.65 1.30 1.65 2.00
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正态分布
如果ξ≥μ+3σ或ξ≤μ-3σ,那么ξ出现的 概率会很小。 ξ越靠近μ，P(ξ)会越大；ξ越远离μ， P(ξ)会越小，即越不可能发生。
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标准正态分布
甲乙两人分别来自A、B两班，她们在某次数 学统考中的成绩都是80分，但A班的平均成绩 为70分，标准差为5分；B班的平均成绩为60 分，标准差为20分。 问谁在本班的成绩更好？ 如果比较均值，乙在本班的成绩更好。 甲：80-70=10 乙：80-60=20
概率的基础知识
概率的计算方法： 频率法： 如果进行N次观察，发现随机事件E出现的次数 为n，则随机事件E在N次观察中出现的频率为 n/N，记为f(E)=n/N 0≤f(E)≤1 当观察的次数较少时，f(E)会各不相同，但当观 察次数N逐渐增大时，f(E)就会趋向于稳定。
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N
数学期望与总体方差
数学期望也称为总体均值。 数学期望与总体方差分别构成概率分布（总体 分布）的集中趋势与离散趋势。 E(ξ)与D(ξ)决定了概率分布的不同形态。
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正态分布
生活中的随机现象可以转变为各种分布。 最常见的一种为大量的现象集中出现在一个范 围内，超出这个范围出现的情况较少。 生活中的正态分布（Normal Distribution） 请思考生活中哪些变量的分布属于正态分布？ 身高、体重、考试分数、寿命、收入水平等。
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标准正态分布表的使用
计算标准正态分布中的问题要多配合图形理解， 尤其要抓住图形根据对称轴左右对称的特点； 不要忘记图形的曲线下面积也表示概率的大小。
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标准正态分布表的使用
根据分布的情况计算Z值和其对应的面积： 某次考试的分数分布的均值为10，标准差为3， 写出下列分数的Z值和在Z值之上和之下的面 积百分比。
已知IQ测试中的得分满足N(0,1)，其分布的均 值为100，标准差为16，问90%的人的IQ分数 为多少？ φ（Z）=0.90 Z=1.3 X=μ+Zσ=100+1.3*16=120.8
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概率分布
概率分布（Probability Distribution）：随机现 象一共有多少种结果，以及每种结果出现的概 率是多少。 将随机现象视为一个变量ξ（Kesai）,则随机 现象的各种结果为ξ的各种取值Xi，概率分布 可以表示为（Xi,pi） 投掷两枚硬币出现正反面的概率分布。
i =1
n
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数学期望与总体方差
当N足够大时，频率接近概率，则样本均值等 于数学期望。 频率分布的离散趋势用方差计算； 概率分布的离散趋势也使用方差。
D (ξ ) = E (ξ − E (ξ )) = ∑ [ xi − E (ξ )]pi
2 i =1
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概率分布
频率分布与概率分布的区别： 频率分布称为随机变量的统计分布或经验分布； 概率分布称为随机变量的理论分布。 只有当观测次数很大时，随机变量取值的频率 接近概率，这时随机变量的频率分布才会与概 率分布相符。
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概率分布
离散随机变量的概率分布： P(ξ=Xi)=pi (i=1,2,…n) Xi为随机变量的可能结果，pi为该可能结果出 现的概率。 概率具有非负性； 随机变量的取值具有完备性。 男婴的出生概率为22/43，女婴的出生概率为 21/43，求两名孕妇生女婴的概率分布。
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标准正态分布
如果考虑到各班成绩的离散程度则： 甲：(80-70)/5=2 乙：(80-60)/20=1 甲在本班的成绩更好。 因为不同的总体有不同的概率分布，如果要进 行比较应该先将其标准化。
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标准正态分布
既然任何正态分布： P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.6827 P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545 P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.9973 则： P(-1≤(X-μ)/σ≤1)=0.6827 P(-2≤(X-μ)/σ≤2)=0.9545 P(-3≤(X-μ)/σ≤3)=0.9973