社会统计学第三讲

概率的基础知识
概率的计算方法： 频率法： 如果进行N次观察，发现随机事件E出现的次数 为n，则随机事件E在N次观察中出现的频率为 n/N，记为f(E)=n/N 0≤f(E)≤1 当观察的次数较少时，f(E)会各不相同，但当观 察次数N逐渐增大时，f(E)就会趋向于稳定。
(C)2005 GUOH 5
(C)2005 GUOH
40
标准正态分布表的使用
根据面积计算Z值： 已知P(│ξ│≥λ)=0.05, ξ~N(0,1),求λ值 P(│ξ│≥λ)=P(ξ≥λ)+P(ξ≤-λ) =2 P(ξ≥λ)=2[1-φ(λ)]=0.05 φ(λ)=0.975 λ=1.96
(C)2005 GUOH
41
标准正态分布表的使用
(C)2005 GUOH
37
标准正态分布表的使用
Xi 5.05 6.10 7.00 8.05 8.95 11.05 11.95 13.90 14.95 16.00
(C)2005 GUOH 38
Z
%↑
%↓
标准正态分布表的使用
Xi 5.05 6.10 7.00 8.05 8.95 11.05 11.95 13.90 14.95 16.00 Z -1.65 -1.30 -1.00 -0.65 -0.35 0.35 0.65 1.30 1.65 2.00
(C)2005 GUOH
11
概率分布
频率分布与概率分布的区别： 频率分布称为随机变量的统计分布或经验分布； 概率分布称为随机变量的理论分布。 只有当观测次数很大时，随机变量取值的频率 接近概率，这时随机变量的频率分布才会与概 率分布相符。
(C)2005 GUOH
12
概率分布
离散随机变量的概率分布： P(ξ=Xi)=pi (i=1,2,…n) Xi为随机变量的可能结果，pi为该可能结果出 现的概率。 概率具有非负性； 随机变量的取值具有完备性。 男婴的出生概率为22/43，女婴的出生概率为 21/43，求两名孕妇生女婴的概率分布。
35
标准正态分布表的使用
计算标准正态分布中的问题要多配合图形理解， 尤其要抓住图形根据对称轴左右对称的特点； 不要忘记图形的曲线下面积也表示概率的大小。
(C)2005 GUOH 36
标准正态分布表的使用
根据分布的情况计算Z值和其对应的面积： 某次考试的分数分布的均值为10，标准差为3， 写出下列分数的Z值和在Z值之上和之下的面 积百分比。
(C)2005 GUOH 28
(C)2005 GUOH
29Βιβλιοθήκη 正态分布如果ξ≥μ+3σ或ξ≤μ-3σ,那么ξ出现的 概率会很小。 ξ越靠近μ，P(ξ)会越大；ξ越远离μ， P(ξ)会越小，即越不可能发生。
(C)2005 GUOH
30
标准正态分布
甲乙两人分别来自A、B两班，她们在某次数 学统考中的成绩都是80分，但A班的平均成绩 为70分，标准差为5分；B班的平均成绩为60 分，标准差为20分。 问谁在本班的成绩更好？ 如果比较均值，乙在本班的成绩更好。 甲：80-70=10 乙：80-60=20
Z=
X −µ
σ
~ N (0,1)
(C)2005 GUOH
34
标准正态分布表的使用
标准正态分布表见书附录4，标准正态分布表 见课本479页。 标准正态分布表的标识方式有多种，但一般都 包括Z值和Z值相对的标准正态分布曲线下的 面积。 课本中的标示方式为Z值和Z值左边在曲线下 的面积。
(C)2005 GUOH
(C)2005 GUOH
25
正态分布
正态分布的图形特 点： 单峰对称； 唯一对称轴，在对 称轴处三值和一； 渐近线与x轴无限接 近，但始终不会相 交。
(C)2005 GUOH 26
正态分布
决定正态分布图形的因素： μ，φ(x)在μ处达到峰值， μ决定了正态分布在x轴上的 位置； σ，当μ不变时，σ越大则 正态分布越“矮胖”；当σ 越小时，正态分布越“高 瘦”。 根据正态分布的概率密度表 达式可得正态分布的期望 E(ξ)=μ,D(ξ)=σ2 正态分布一般表示为 N(μ,σ2)
i =1
n
(C)2005 GUOH
22
数学期望与总体方差
当N足够大时，频率接近概率，则样本均值等 于数学期望。 频率分布的离散趋势用方差计算； 概率分布的离散趋势也使用方差。
D (ξ ) = E (ξ − E (ξ )) = ∑ [ xi − E (ξ )]pi
2 i =1
(C)2005 GUOH 23
(C)2005 GUOH
16
概率分布
• 当Δx趋近0时， 直方的宽度会 变成一点； • 原来连结直方 顶点的折线会 变成平滑的曲 线。
(C)2005 GUOH
17
概率分布
概率密度：
∆x ∆x P( x − ≤ξ ≤ x+ ) 2 2 ϕ ( x) = lim ∆x → 0 ∆x
(C)2005 GUOH
概率分布
连续随机变量的概率分布研究在某个区间ΔX 内的随机变量的取值在整个随机变量取值中所 占的比率，即连续随机变量的概率。
∆x ∆x P( x − ≤ξ ≤ x+ ) 2 2
(C)2005 GUOH 15
概率分布
对于连续的定距定比变量，，一般通过分组后 作直方图来表示。 连续随机变量同样可以用直方图来表示。 直方的面积为概率，直方的宽为ΔX； 则直方的高度为概率/ΔX， 也称为概率密度φ（X）
(C)2005 GUOH
20
概率分布
连续随机变量的概率密度性质： φ（X）≥0 P(-∞≤ξ≤∞)=1 所以在分布密度曲线下的总面积恒定为1。
(C)2005 GUOH
21
数学期望与总体方差
在频率分布中，使用均值表示变量的集中趋势。 在概率分布中，使用数学期望表示随机变量的 集中趋势。
E (ξ ) = x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn = ∑ xi pi
(C)2005 GUOH 31
标准正态分布
如果考虑到各班成绩的离散程度则： 甲：(80-70)/5=2 乙：(80-60)/20=1 甲在本班的成绩更好。 因为不同的总体有不同的概率分布，如果要进 行比较应该先将其标准化。
(C)2005 GUOH
32
标准正态分布
既然任何正态分布： P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.6827 P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545 P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.9973 则： P(-1≤(X-μ)/σ≤1)=0.6827 P(-2≤(X-μ)/σ≤2)=0.9545 P(-3≤(X-μ)/σ≤3)=0.9973
社会统计学
2006年 20日 2006年3月20日
主要内容
概率的基础知识 概率分布 期望与方差的概念 正态分布 标准正态分布 标准正态分布表的使用方法 中心极限定理 参考课本第三章（第一、二节），第五章（第一、二、 三节）
(C)2005 GUOH 2
概率的基础知识
概率的概念： 随机事件（Random Event）：具有非确定性 的事件。 尽管随机事件具有偶然性，但在大量重复试验 和观察下可以发现其中的规律，即统计规律性。 如果能用数量的形式将随机事件发生的可能性 大小表示出来，则可以得到随机事件发生的概 率。
N
数学期望与总体方差
数学期望也称为总体均值。 数学期望与总体方差分别构成概率分布（总体 分布）的集中趋势与离散趋势。 E(ξ)与D(ξ)决定了概率分布的不同形态。
(C)2005 GUOH
24
正态分布
生活中的随机现象可以转变为各种分布。 最常见的一种为大量的现象集中出现在一个范 围内，超出这个范围出现的情况较少。 生活中的正态分布（Normal Distribution） 请思考生活中哪些变量的分布属于正态分布？ 身高、体重、考试分数、寿命、收入水平等。
已知IQ测试中的得分满足N(0,1)，其分布的均 值为100，标准差为16，问90%的人的IQ分数 为多少？ φ（Z）=0.90 Z=1.3 X=μ+Zσ=100+1.3*16=120.8
(C)2005 GUOH 13
概率分布
连续随机变量的概率的分布： 连续随机变量：定距层次以上的变量。 连续随机变量的取值范围在一个区间内是无限 的，则样本空间是无限的。 所以根据古典法计算某一个只有一个样本点的 随机事件A出现的概率： P(A)=1/∞→0 当ξ为连续随机变量时，P(ξ=X)=0
(C)2005 GUOH 14
18
概率分布
在概率分布直方图中，两个区间中心点之间的 概率可以直接用两个区间中心点之间的直方面 积相加。 当Δx趋近于零时，则在分布中任意两个区间 变成了区间中的两个点，此时两者之间的概率 变为曲线下两个点之间的面积。
(C)2005 GUOH
19
概率分布
任意两个连续随机变量取值间（X1≤ξ≤X2） 的概率为两个点之间在曲线下的面积。
概率可以视为当观测次数N趋近无穷时相应的 频率n/N值
n P ( E ) = lim f ( E ) = lim N →∞ N →∞ N
(C)2005 GUOH
7
概率的基础知识
频率与概率的关系： 当观察次数足够大时(如N>1000)，频率会稳定于概率。 也称为概率的频率定义。 普查中某种现象出现的频率就是该现象的概率。 生活中采用的大多数为抽样调查的样本数据，这时只 有某个随机现象出现的频率值，即统计值。 但通过计算，仍然可以得到该随机现象在总体中的概 率值，计算得到概率值称为理论值或参数值，可以与 样本值进行比较。
(C)2005 GUOH 27
正态分布
正态分布曲线下的面积： 连续随机变量的两个取值之间的概率为曲线下 两个取值所对应点之间的面积。 68-95-99规律： 经计算发现： P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)=0.6827 P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.9545 P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)=0.9973