高数同济7版教案第一章函数与极限
同济大学高等数学第七版1_1映射与函数
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幂函数的图形和性质
yx
(是常数)
y x2
y
1
yx
(1,1)
y x
图像特点及性质：
o
1、图形都通过点（1，1）。
2、 0 时，图形过原点， 且在 (0,) 内单调增加。
1 y x
1
x
3、
0 时，图形在 (0,)
内单调减少。
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M *表示 M 中排除 0 的集 ;
2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B .
若 例如 , 且 , 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . ,
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
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表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an
自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n , 注 : M 为数集 (2) 描述法： M x x所具有的特征 . M 表示 M 中排除 0 与负数的集 例: 整数集合 Z x x N 或 x N p p 与 q 互质 p Z, q N , 有理数集 Q q 实数集合 R x x 为有理数或无理数
同一个函数在不同的实数集是否有界的结论可能不一样。
(2021年整理)高等数学教案第一章函数与极限
第一章高等数学教案第一章函数与极限第二章第三章第四章编辑整理：第五章第六章第七章第八章第九章尊敬的读者朋友们：第十章这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高等数学教案第一章函数与极限）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
第十一章本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高等数学教案第一章函数与极限的全部内容。
第十二章第十三章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式.2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性.3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）,并会应用这些性质。
教学重点:1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。
教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。
高数同济7版教案第一章-函数与极限
广西民族师范学院数计系《高等数学》课程教案课程代码：____ ___061041210______________总学时／周学时：51/3开课时间： 2015年9 月16 日第 3周至第18周授课年级、专业、班级：____制药本152班使用教材：__ 高等数学_同济大学第7版____教研室： _ _数学与应用数学教研室_________授课教师：____________ ___________________ 一、课程教学计划表二、教案正文第一章函数与极限（一）教学目的：1．理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4．掌握基本初等函数的性质及其图形。
5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6．掌握极限的性质及四则运算法则。
7．了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
（二）重点、难点1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。
2．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。
（三）教学方法、手段：教师讲授，提问式教学，多媒体教学第一节 映射与函数一、映射 1. 映射概念定义4.设X 、Y 是两个非空集合, 如果存在一个法则f ,使得对X 中每个元素x , 按法则f , 在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应, 则称f 为从X 到Y 的映射, 记作f : X →Y .其中y 称为元素x (在映射f 下)的像, 并记作()f x , 即()y f x =,元素x 称为元素y (在映射f 下)的一个原像; 集合X 称为映射f 的定义域, 记作f D , 即f D X =。
同济七版NUAA高数课件 第一章 函数与极限 函数
x sgn x x
16
(2) 取整函数 y=[x]
y
[x]表示不超过 x 的最大整数 4
3
2
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
阶梯曲线
17
(3) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
18
(4) 取最值函数
则
f u 1
u
1
1 u2
1
1 u2 ,
u
故
f (x) 1
1 x2 .
( x 0)
x
解：
x
2
x
k 1
x
k,k
0,1,2, x0
得定义域为 x < 0 且 x 1,2,
14
例3 设 f(x) 的定义域[0，1]，求 (1) f (x+a)+f(x-a) (a>0) 的定义域； (2) f (lnx)的定义域。
解: (1)
0 0
x x
a a
1 1
a
a
x
x
1 1
a
a
x应取在a≤x≤1-a, 而a ≤1-a
则: 若 a > 1/2 ，定义域为空集; 若 a <＝ 1/2 ，定义域为 [a, 1-a];
(2) 0≤ln x≤1 , 1≤x≤e为定义域。
15
几个特殊的函数举例 (1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
y
1
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)教材包含 笔记 课后习题 考研真题 函数与极限(圣才出品
（2）有界性
如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。
①有界数列：存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
②无界数列：不存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
（3）保号性
如果
lim
n
xn
a
，且
a＞0（或
a＜0），则存在正整数
N＞0，当
n＞N
时，都有
xn＞0
（4）初等函数
5 类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
二、数列的极限
1．数列极限的定义
数列{xn}收敛于
a⇔
lim
n
xn
a
⇔∀ε＞0，∃正整数
N，当
n＞N
时，有|xn－a|＜ε。
数列{xn}是发散⇔
lim
n
xn
不存在。
2．收敛数列的性质
（1）唯一性
如果数列{xn}收敛，则它的极限唯一。
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第 1 章 函数与极限
1.1 复习笔记
一、映射与函数 1．函数 （1）函数的性质（见表 1-1）
表 1-1 函数的性质
（2）反函数与复合函数 ①反函数的特点 a．函数 f 和反函数 f－1 的单调性一致。 b．f 的图像和 f－1 的图像关于直线 y＝x 对称。 ②复合函数 g 与 f 能构成复合函数 f°g 的条件是：f 的定义域与 g 的值域的交集不能为空集。 （3）函数的运算 设函数 f（x），g（x）的定义域为 Df，Dg，且定义域有交集为 D，则可定义这两个函
②如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，则数列{xn}是发散的。
【9A文】同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)
福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求(一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。
高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。
（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。
（三）基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。
2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。
3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。
4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。
5、掌握极限运算法则。
6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
同济大学-高等数学微积分教案
第一章:函数与极限1。
1 初等函数图象及性质1。
1.1 幂函数函数（m 是常数）叫做幂函数。
幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。
例如，当m = 3时，y=x3的定义域是（-∞ ，+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0，+∞ );当m = —1/2时，y=x-1/2的定义域是(0，+∞）。
但不论m 取什么值，幂函数在（0,+∞）内总有定义。
最常见的幂函数图象如下图所示：［如图]1。
1.2 指数函数与对数函数1．指数函数函数y=a x（a是常数且a>0，a≠1）叫做指数函数,它的定义域是区间（-∞ ，+∞)。
因为对于任何实数值x,总有a x〉0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点（0，1）。
若a〉1,指数函数a x是单调增加的。
若0<a〈1,指数函数a x是单调减少的.由于y=（1/a）—x=a-x，所以y=a x的图形与y=(1/a）x的图形是关于y轴对称的（图1-21）。
[如图］2．对数函数指数函数y=a x的反函数，记作y=log a x（a是常数且a〉0，a≠1），叫做对数函数。
它的定义域是区间（0,+∞)。
对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。
y=log a x的图形总在y轴上方，且通过点(1，0)。
若a〉1,对数函数log a x是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负,而在区间(1，+∞)内函数值为正.若0<a<1,对数函数log a x是单调减少的，在开区间（0,1)内函数值为正，而在区间(1，+∞)内函数值为负.[如图] 1。
1.3 三角函数与反三角函数1．三角函数正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都是区间（—∞ ，+∞)，值域都是必区间[—1,1］. 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。
2．反三角函数反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。
高等数学同济七版教材目录
高等数学同济七版教材目录第一章集合与函数1.1 集合1.2 常用函数与运算1.3 映射与函数第二章极限与连续2.1 数列的极限2.2 函数的极限2.3 极限的运算法则2.4 无穷小与无穷大2.5 极限存在准则与两个重要极限2.6 连续与间断第三章导数与微分3.1 导数与物理意义3.2 函数的求导法则3.3 高阶导数与莱布尼茨公式3.4 常用函数的导数3.5 隐函数与参数方程的导数3.6 微分3.7 导数在实际问题中的应用第四章微分中值定理与导数的应用4.1 罗尔定理、拉格朗日中值定理4.2 柯西中值定理与洛必达法则4.3 幂指对数函数的凹凸性与曲率4.4 函数的单调性与曲线的图形4.5 弧长与曲线的面积第五章定积分5.1 不定积分5.2 定积分的概念与性质5.3 反常积分5.4 定积分的计算方法5.5 可积性与定积分中值定理5.6 定积分的应用第六章定积分的应用6.1 几何应用之平面图形的面积6.2 物理应用之质心、转动惯量和万有引力6.3 概率应用之统计平均值和方差第七章级数7.1 数项级数的概念7.2 收敛级数的性质7.3 正项级数的审敛法与特殊级数7.4 幂级数7.5 函数展开成幂级数第八章常微分方程8.1 常微分方程的基本概念8.2 可分离变量的微分方程8.3 齐次方程和一阶线性非齐次方程8.4 二阶齐次线性微分方程8.5 常系数线性微分方程和其它一些特殊方程附录1. 通用公式与常用极限2. 高等数学同济七版教材参考答案3. 数表4. 符号说明。
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数
如何学好微积分 ?
1、深刻理解基本概念
2、勤于思考，敢于提问，独立完 成作业
3、快乐学习，在学习中提升自己、
华罗庚
认识自己
第一章
函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一节 函数
一、基本概念 二、函数及其几种基本特性 三、反函数 四、复合函数 初等函数
一、基本概念
值域 f (D) [0, )
f
(
1 2
)
2
1 2
2
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
y
y 1 x
y2 x
O
1
x
例：某市的出租车按如下规定收费：当行驶里程不 超过3km 时，一律收起步费 10 元；当行驶里程超 过 3km 时,除起步费外，对超过 3km 但不超过 10 km 的部分，按每千米 2 元计费，对超过 10 km 的部 分按每千米 3 元计费,试写出车费 C 与行驶里程 s 之间的函数关系。
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数， 辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.
高等数学的主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
1.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
1.1映射与函数 同济大学高数(第七版)上册
f ( x )
y
y f ( x)
y f ( x)
f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
o
x
x
2 （两边对折重合）,如 y x
偶函数图形关于y轴对称
奇函数的图形关于原点对称
3 y x （一边旋转180度得到另一边），如
函数的奇偶性质：
（1）奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的； （2）两个偶函数的和、差、积、商仍是偶函数； （3）两个奇函数的和、差仍是奇函数，两个奇函数的积、商是偶函数； （4）奇函数与偶函数的积、商是奇函数； （5）奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函数， （6）任一定义在区间(-a,a)(a＞0)上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
二、函数的概念及其几种特性
1.函数的概念
X 和Y , 若 x X , 按照某种对应法则 f , 对应 定义 设给定两个非空实数集 唯一确定的一个实数 y Y , 则称 f 是定义在X上的函数, 简记为y f ( x), 其中x为自变量, y为因变量.
X 称为函数f 的定义域, 记为D f , 数x对应的数f ( x)称为x的函数值, 函数值的集合称为函数 f 的值域, 记为R f .
x (, 1) (1, )
x [1,4) (4, )
例2 判断下列函数是否相同
(1) f ( x) x,
x (,)； (2) f ( x) lg x 2 , g ( x) 2 lg x, g ( x) x 2 , x (,)
(1)表示不同的函数，因为它们的对应法则不同 . (2)表示不同的函数，因为它们的定义域不同 .
函数的单调性
同济大学高等数学教案第一章函数、极限与连续
特别地，若我们所讨论问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为 ）中进行，集合 是 的子集，此时称 为 的余集（或补集），记作 或 .
3、设 是两个非空的集合，则由有序数对 组成的集合
称为 与 的直积.
4、设 和 都是实数，且 ，数集 称为开区间，记作 ，即
.
和 称为开区 的端点，其中 为左端点， 为右端点，且 ， .
数集 称为闭区间，记作 ，即
.
和 也称为闭区间 的端点，且 ， .
5、邻域
设 与 为两个实数，且 ，数集 称为点 的 邻域，记作 ，即
，
其中 称作 的中心， 称作 的半径.
6、基本初等函数
中学时我们已经学习过的许多函数，比如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等，它们统称为基本初等函数.我们把由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合所构成的并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数.
高等数学教学教案
第一章函数、连续与极限
授课序号01
教学基本指标
教学课题
第一章第一节集合与函数
课的类型
复习、新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
函数的定义域，函数的性质，复合函数性质，分段函数，三角函数性质与公式
教学难点
分段函数图形
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
极限的性质
教学难点
用定义证明极限
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
高等数学同济第七版第一章课件
有无穷连续点
x0
及可去连续点 x 1,试确定常数 a 及 b .
解: x 0 为无穷连续点, 所以
lim ex b x0 (x a)(x 1)
lim (x
x0
a)(x 1) exb
a 1b
0
a 0,b1
x 1 为可去连续点 , lim ex b 极限存在
x1 x (x 1)
lim(ex b) 0
x lim 3 x0
x 123k
(1
x
3 2
)
故 k1 6
阅读与练习
1. 求 f (x) (1 x)sin x 的连续点, 并判别其类型. x (x 1)(x 1)
解: lim (1 x)sin x 1 sin1 x 1 x (x 1)(x 1) 2 x = –1 为第一类可去连续点 lim f (x)
一样
2. 以下各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?
(1) y 1 sin x 1
不是
(2)
y max sin x , cos x ,
x
[
0,
π 2
]
是
(3) y arcsin u , u 2 x2 不是
cos x , 提示: (2) y
sin x ,
0
x
π 4
π 4
x
π 2
(2) lim(1 1 ) 1 或 lim(1
1
) e
0
0
注: 代表相同的表达式 5. 求极限的根本方法
6. 判断极限不存在的方法
例7. 求以下极限：
(1) lim (sin
x
(2)
lim
x1
1 x2 sinπ x
同济高等数学第七版教材
同济高等数学第七版教材同济高等数学第七版教材是一本经典的数学教材，广泛应用于中国高校的数学教育领域。
本教材具有详细的数学理论知识，丰富的例题和习题，以及清晰的数学思维方法，对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
以下将对教材内容进行概述。
第一章：数列与极限本章主要介绍了数列的定义、数列极限的概念和性质。
数列是数学中重要的基本概念之一，通过对数列的研究能够帮助我们理解数学中的各种变化规律和趋势。
本章通过一系列的例题和习题，帮助学生掌握数列的性质和极限的概念，并培养他们的数学思维能力。
第二章：函数与极限此章节主要介绍了函数的概念、函数的极限和连续性。
函数是描述变化规律的重要数学工具，对于解决实际问题具有重要影响。
通过对函数的极限和连续性的学习，我们可以更好地理解函数的行为和性质，并能够应用于实际问题的解决中。
第三章：导数与微分导数是微积分的重要内容，它描述了函数局部变化的速率。
本章节主要介绍了导数的定义、性质和计算方法，以及微分的概念和应用。
通过对导数的学习，我们可以了解函数的瞬时变化率，进而应用导数来解决实际问题。
第四章：积分与不定积分积分是微积分的另一个重要内容，它描述了函数的累计变化。
本章主要介绍了定积分和不定积分的概念、性质以及计算方法。
通过对积分的学习，我们可以理解函数的累积变化，并能够应用积分解决一些实际问题，如求曲线的长度、面积等。
第五章：常微分方程此章节主要介绍了常微分方程的概念和基本解法。
常微分方程是描述自然界中变化的数学模型，对于理解和分析实际问题中的变化规律具有重要意义。
通过对常微分方程的学习，我们可以了解不同类型的常微分方程，掌握常微分方程的求解方法，并能够应用于实际问题的解决。
第六章：多重积分多重积分是微积分的拓展内容，它描述了多变量函数在多维空间中的累积变化。
本章主要介绍了二重积分和三重积分的概念、性质和计算方法。
通过对多重积分的学习，我们可以理解多变量函数的累积变化，并应用多重积分解决实际问题，如求体积、质量、重心等。
同济大学高等数学教案第一章函数、极限与连续
0,
1,
数.
x0
x 0 的定义域为 D , ，值域W 1,0,1 ，这个函数称为符号函
x0
例 4 设 x 为任一实数，不超过 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作 x ，函数 y x 的定义域为
D , ，值域为整数集 Z ，它的图形在 x 的整数值处，图形出现跳跃，而跃度为1，这个函数称为取整
x
x
x
定理 2 （极限的四则运算法则） 设 lim f x A， lim g x B ，则
x x0
x x0
（1） lim xx0
f
x
g x
A B
lim
xx0
f
x lim xx0
gx ;
（2） lim xx0
f
x g x
AB
lim
xx0
f
x lim xx0
g x ;
(3)
lim
三、主要例题：
例 1 函数 y C ，其中 C 为某确定的常数. 它的定义域为 D , ，值域为W C，它的图形是
一条平行于 x 轴的直线，这个函数称为常数函数.
例2
函数 y
x
x, x,
x
0
的定义域为
D
, ，值域W
0, ，这个函数称为绝对值函数.
x0
2
1,
例3
函数 y sgn x
高等数学教学教案
第一章函数、连续与极限
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
参考教材
第一章 第一节 集合与函数
课的类型
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
函数的定义域，函数的性质，复合函数性质，分 教学难点
同济七版NUAA高数课件 第一章 函数与极限 初等函数
D :[1,) 在 [1,) 内单调增加.
y archx
反双曲正切 y arthx
y arthx
1 ln 1 x . 2 1 x
D : (1,1)
奇函数,
在 (1,1)内单调增加.
y ar tanh x
四、小结
函数的分类:
有 有理整函数(多项式函数) 理
ch(x y) chxchy shxshy ;
ch2x sh2x 1;
sh2x 2shxchx;
ch2x ch2x sh2x.
2.反双曲函数
反双曲正弦y arshx ;
y arshx ln(x x2 1).
D : (,)
奇函数,
在 (,)内单调增加.
y arshx
反双曲余弦 y archx
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
注:
1 不是任何两个函数都可以复合成一 个复合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2;
y arcsin(2 x2 )
2 复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
例如 y cot x , 2
y u, u cot v, v x . 2
3 正确分析复合函数的复合过程十分重要： 复合(由里到外), 分析复合过程(由外到里)
y earctan x2 1
2.初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四 则运算和有限次的函数复合步骤所构成并 可用一个式子表示的函数,称为初等函数.
y 1 x x2 xn 不是初等函数
例1
设
f (x)
基本初等函数 复合函数、初等函数 双曲函数与反双曲函数
一、基本初等函数
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广西民族师范学院数计系《高等数学》课程教案课程代码：061041210总学时/周学时：_________ 51/3开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级：制药本152班使用教材：高等数学同济大学第7版教研室：数学与应用数学教研室授课教师:、课程教学计划表、教案正文第一章函数与极限（一）教学目的：1. 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2•了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3•理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4•掌握基本初等函数的性质及其图形。
5•理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6•掌握极限的性质及四则运算法则。
7•了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8•理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9•理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并会应用这些性质。
(二)重点、难点1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。
2 ．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。
三)教学方法、手段：教师讲授，提问式教学，多媒体教学第一节映射与函数一、映射1. 映射概念定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y.其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即y f(x),元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作D f ,即D f X。
X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记为R f , 或 f(X), 即R f f(X) {f(x)| x X}.、I •、、+ :注意:1) 映射的三要素 : 定义域 , 对应规则 , 值域 .2) 对每个x X,元素x的像y是唯一的；但对每个y R元素y的原像不一定唯例 1设 f : R R, 对每个 x R, f(x) x2.f 是一个映射 , f 的定义域 Df R, 值域R f {y| y 0}.例 2 设 X {(x, y)| x2 y2 1}, Y {( x, 0)|| x| 1}, f : X Y,对每个(x, y) X, 有唯一确定的(x, 0) 丫与之对应.f是一个映射，f的定义域Df X,值域R fY在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[1, 1]上.2、满射、单射和双射设f是从集合X到集合丫的映射.(1)若R f 丫即丫中任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X到丫上的映射或满射；(2)若对X中任意两个不同元素x1 x2,它们的像f(x1) f(x2),则称f为X 到丫的单射；(3)若映射f既是单射，又是满射，则称f为一一映射(或双射).从实数集(或其子集)X到实数集丫的映射通常称为定义在X上的函数.3. 逆映射与复合映射逆映射定义：设f是X到丫的单射，则由定义，对每个y R f ,有唯一的x人适合f(x) y,于是，我们可定义一个从R f到X的新映射g,即g : R f X,对每个y R f ,规定g(y) x,这x满足f (x) y.这个映射g称为f的逆映射，记作f 1,其定义域为R f ,值域为X .按定义，只有单射才存在逆映射。
例如，映射y x2, x ( , 0],其逆映射为y 、上,x [ 0,)复合映射定义：设有两个映射g : X Y1, f : Y2 Z,其中丫1 Y2.则由映射g和f 可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个x X映射成f[g(x)]乙显然，这个对应法则确定了一个从 X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作f o g,即 f o g: X Z,( f o g)( x) f [g(x)], x X .说明：(1)映射g和f构成复合映射的条件是：g的值域R必须包含在f的定义域内，即R Df .(2)映射的复合是有顺序的,f o g有意义并不表示g o f也有意义.即使它们都有意义,f o g与g o f也未必相同.例3设有映射 g : R [ 1, 1],对每个x R, g(x) sin x,映射f：[ 1,1] [0,1]，对每个u [1,1],f(u)厂孑•则映射g和f构成复映射fog： R [0, 1],对每个X R,有(f og)(x) f [g(x)] f (sin x) <1 sin2x cosx、函数1.函数的定义：设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于给定的每个数x D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y f(x)，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量.y的取值范围叫函数的值域.2. 定义域的求法原则：(1)分母不为零(2)、、x, x 0(3)ln x, x 0(4)arcs in x, arccos x, 1 x 1(5)同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集3. 分段函数用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数x 1, x 1x 1, x 1x 1称为分段点4. 复合函数若y f u u x，当x的值域落在f u的定义域内时称y f x是由中间变量u复合成的复合函数.5. 反函数设函数的定义域为D f，值域为V f .对于任意的y V f，在D f上至少可以确定一个x与y对应，且满足y f x •如果把y看作自变量，x看作因变量，就可以得到一个新的函数：x f 1y .我们称这个新的函数x f 1y为函数y f x的反函数，而把函数y f x称为直接函数.说明：一个函数若有反函数，则有恒等式 f 1f X x, x D f .相应地有f f 1y y, y V f.例如直接函数y f x -x 3, x4R 的反函数为x f 1y 43y3，y R ，并且有 f 1f x433x43 3 x ，f f 1y3 44 3y 3 3 y .由于习惯上x表示自变量，y表示因变量，于是我们约定y f 1x也是直接函数y f x的反函数.6. 函数的性质(1)有界性有界定义：若有正数M存在，使函数f x在区间I上恒有f x M，则称 f x在区间I上是有界函数；否则，f x在区间I上是无界函数.上界定义：如果存在常数M (不一定局限于正数)，使函数f x在区间|上恒有f(x) M,则称f x在区间I上有上界，并且任意一个 N M的数N都是 f x在区间I上的一个上界；下界定义：如果存在常数m，使f x在区间I上恒有f x m，则称f x在区间I上有下界，并且任意一个I m的数I都是f x在区间I上的一个下界.显然，函数f x在区间|上有界的充分必要条件是f x在区间|上既有上界又有下界.(2)单调性严格单调递增：设函数f x在区间I上的任意两点x1x2，都有f X" f x2 (或f X1 f x2 )，则称y f X在区间I上为严格单调增加(或严格单调减少)的函数.严格单调递增：如果函数f X在区间|上的任意两点x1 x2，都有 f X i f X2 (或f X i f X2)，则称y f x在区间I上为广义单调增加(或广义单调减少)的函数.广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数.例如，函数y X2在区间，0内是严格单调减少的；在区间0, 内是严格单调增加的.而函数y x、y X3在区间，内都是严格单调增加的.(3)奇偶性若函数f X在关于原点对称的区间I上满足f X f X (或f X f X )则称f X为偶函数(或奇函数).偶函数的图形是关于y轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的.例如，f x x2、g X XS in x在定义区间上都是偶函数.而 F x X、G x xcosx在定义区间上都是奇函数.(4)周期性对于函数y fx，如果存在一个非零常数T ,对一切的X均有f x T f x，则称函数f x为周期函数.并把T称为f x的周期.应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期.7. 初等函数基本初等函数幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做基本初等函数.这些函数在中学的数学课程里已经学过.(1)幕函数y x a a R它的定义域和值域依a的取值不同而不同，但是无论a取何值，幕函数在x 0, 内总有定义.当a N或a -一，n N时，定义域2n 1为R .常见的幕函数的图形如图1-1所示.图1-1(2)指数函数y a x a 0, a 1它的定义域为，，值域为0, .指数函数的图形如图1-2所示.(3)对数函数y log a x a 0, a 1定义域为0, ，值域为，.对数函数y log a x是指数函数y a x的反函数.其图形见图1-3 .在工程中，常以无理数 e = 2.718 281 828…作为指数函数和对数函数的底，并且记e x expx，og e x In x，而后者称为自然对数函数.(4)三角函数三角函数有正弦函数y sinx、余弦函数 y cosx、正切函数 y tanx、余切函数y cotx、正割函数y secx和余割函数y cscx .其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4 .图1-4(5)反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数y arcsinx、反余弦函数y arccosx、反正切函数y arctanx和反余切函数y arccotx等.它们的图形如图1-5所示.,函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示.■y = cb图1-6初等函数通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数.非初等函数经常遇到.例如符号函数，取整函数y x等分段函数就是非初等函数.在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的.作业 P16 第 1 题的（ 1）、（3）、（5）、（7）、（9）小结与思考：本节复习了中学学过的各种函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，为后继课的学习作好准备．1. x sinx是否为初等函数?第二节数列的极限一、数列极限的定义极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.引例我国古代数学家刘徽（公元 3 世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用.设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A;再作内接正十二边形，其面积记为A2 ;再作内接正二十四边形，其面积记为A3 ；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正6 2n 1边形的面积记为A n n N .这样，就得到一系列内接正多边形的面积：A1，A2，A3，，A n，，它们构成一列有次序的数.当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以A n作为圆面积的近似值也越精确.但是无论n取得如何大，只要n取定了，A n终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积.因此，设想无限增大（记为n ，读作n 趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时A n也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）A1，A2，A3，，A n，，当n时的极限.在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积.在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明.数列的概念如果按照某一法则，有第一个数治，第二个数X2，…这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数n有一个确定的数x n，那么，这列有次序的数x1，x2，x3，，x n，就叫做数列.数列中的每一个数叫做数列的项，第n项X n叫做数列的一般项•例如:12 3 n2，E ，4，，百， 2,4,8, 2n ,; 1 1 1 2，4，8，1 , 1 ,1 ,,2丄4 2 3都是数列的例子，它们的一般项依次为，»，2n以后，数列也简记为数列X n •数列极限定义一般地：如果数列X n 与常数a 有下列关系：对于任意给定的正数 多么小），总存在正整数N ，使得对于n N 时的一切X n ，不等式X n a都成立，则称常数a 是数列X n 的极限，或者称数列X n 收敛于a ，记为 lim X n a,或 X n n如果数列没有极限，就说数列是发散的. 如：lim 1 nnn 1 lim nnX 1 , X 2 , X 3, ,xn ,1n1（不论它0,|( 1)nI 2 n 10 (设e <1 ),只要已矢口X n（1厶，证明数列1X n 的极限是00a| 0|1不等式lx . a |必定成立。