第6章集合的基数
《离散数学》 第六章 集合的基数
定理6.2.5 可数个可数集的并集仍然是一可数集。
在上面元素的排列中，由左上端开始，其每一斜线上的每一元素
的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元素的个
数依次为1，2，3，4，…，故A的排列为： a11，a21，a12，a31，a22，a13，… 故S是可数的，定理得证。
（3）card X = card Y。
6.3 基数的比较
定理6.3.3 设X、Y为任意两个集合， 如果cardX ≼· cardY，cardY ≼· cardX， 则cardX=cardY。
例6.3.1
证明[0，1]和（0，1）有相同的基数。
解 根据定理6.3.3，我们只需构造两个单射函数：
f：（0，1） → [0，1]，f（x）=x
6.2 可数集和不可数集
6.2.1 可数集
定理6.2.5
证明 为：
可数个可数集的并集仍然是一可数集。
设S1，S2 ， S3，……是可数个可数集，分别表示 S1={a11，a12，a13，…，a1n，…} S2={a21，a22，a23，…，a2n，…} S3={a31，a32，a33，…，a3n，…} …………
6.1 基数的概念
定义 6.1.3 设 X 为任意集合，称 card X 为集合 X 的基数，并作 以下规定： （ 1 ）对于任意的集合 X 和 Y ，规定 card X = card Y ，当且仅当 X≈Y； （2）对于任意有限集合X，规定与X等势的那个唯一的自然数n为X 的基数，记作 card X = n （3）对于自然数集合N，规定 card N = （读作阿列夫零） （4）对于开区间（0，1），规定 card（0，1）= （读作阿列夫）
⑵ 若X≈Y，则X≼· Y且Y≼· X。
离散数学-基数
称集合A的基数为א0，如果有双射
f：N→A，或双射f：A→N，N为自然数集。 记为 A = א0。
.
基数
1.1 有限集、可数无限集和连续统的基数
➢定义7.6
称集合A的基数为C，如果有 双射f：[0，l]→A，或双射f：A→[0，1]。 记为 A = C。具有基数C的集合常称为
α+γ＜β+δ
.
基数
1.3 基数算术
✓定理3
对任何无限集基数α，有 α＋α＝ α
✓定理4
设, 为基数，为无限集基数， ≤ ， 那么
+ =
.
基数
1.3 基数算术
➢定义7.9
设, 分别是集合A，B的基数，
那么与的基数积定义为
· = A B
.
基数
1.3 基数算术
✓定理5
设α,β,γ为任意基数，那么 （1）α·β= β·α （2）(α·β)·γ=α·(β·γ) （3）α·(β+γ)=α·β+ α·γ, (β+γ)·α =
（2）称A的基数小于等于B的基数，记为
A ≤ B ，如果有单射f：A→B或满射 f：B→A。
（3）称A的基数小于B的基数，记为
A < B ，如果 A ≤ B , 且 A B 。
.
基数
1.2 基数比较
➢定理7.12
基数相等关系为一等价关系， 即对任何集合A，满足：
（1） A = A 。 （2）若 A = B ，则 B ＝ A 。 （3）若 A = B ， B ＝ C ，
✓定理7.15
对任意集合A，B，如果 A ≤ B ， B ≤ A ，那么 A = B 。
.
基数
离散数学_第06章代数结构概念及性质
【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R， ＋〉。 （2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代 数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记 作<S，f1，f2，…，fm>。
此外，集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合，则说代数结构 是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(x)(y)(z)
(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的，即(x)(y)(z) (x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律， 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)；
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。
离散数学 实数集合与集合的基数
集合的等势
定义:
设A, B为两个集合, 如果存在A到B的双 射函数, 则称A和B等势, 记A≈B. 否则称A和B 不等势, 记(A≈B)或A≈B. 例: N偶=nnNn为偶数. N奇=nnNn为奇数. N2n=xx=2n nN. 则N≈ N偶, N≈ N奇, N≈N2n
x 0 x 1 x 1 2
n
,
n 1, 2 , 3 ,
x 取其他值
定理. (康托尔定理) (1) (N≈R) (2) 对任意的集合A, (A≈P(A)).
§3 有限集合与无限集合
定义:
集合A是有限集合, 当且仅当存在nN, 使nA. 否则, 称A为无限集. 定理1. 不存在与自己的真子集等势的自然数. 推论1. 不存在与自己的真子集等势的有限集合. 推论2. 任何与自己的真子集等势的集合是无限 集合. 推论3. 任何有限集合只与唯一的自然数等势.
定理.
集合A是无限可数集合A可写成如下 的式{a1, a2, …, an, …}.
定理 (1) 可数集合的任何子集是可数集. 证: 设A可数, BA, 则BA,即 card B card A 0. (2) 两个可数集的并集和笛卡尔积是可数集. 证: A={a11, a12, …, a1n, …}, B={a21, a22, …, a2n, …}, A∪B={a11, a12, a21, a13, a22,…} (3) 若K是无限集合, 则P(K)是不可数的.
例:
A={a, b, c}, B={{a}, {b}, {c}}. N偶={n | nN∧n为偶数}, N奇={n | nN∧n为奇数}
可数集合
定义1:
对集合K, 如果card K0, 则称K是可 数集合. 定义2: 如果集合K是有限的或与N等势, 则称 K是可数集合.
第六章集合的基数
第六章 集合的基数本章学习目标集合的基数是指集合的元素个数的多少，对有限集合来说，基数就是集合所包 含元素的个数，两个有限集的“大小”相等是指它们包含的元素个数相同。
对于无限 集合，用等势来表示两个无限集的“大小”相等。
教学目的：通过本章学习，读者应该掌握以下内容：1．基数的基本概念2．有限集的概念及运算3．用等势来表示两个无限集的“大小”相等教学重点：1．基数的基本概念2．用等势来表示两个无限集的“大小”相等教学难点：用等势来表示两个无限集的“大小”相等6.1 基数的概念定义 6.1 设A、B 为两个集合，如果存在从 A 到B 的双射函数，则称 A 与B 是等势的，记作A≈B。
例6.1 验证自然数集N 与非负奇数集合 M 是等势的。
证明 因为N 与M 的元素之间可以作一双射函数，即f （n ）=2n+1所以，N ≈M 。
定理 6.1 设A 、B 和 C 为任意的集合，则（1）A ≈A ；（2）若 A ≈B ，则 B ≈A ；（3）若 A ≈B ，B ≈C ，则 A ≈C 。
定义 6.2 如果有一个从集合{0，1，…，n }到 A 的双射函数，则称集合 A 是有限的；如果集合 A 不是有限的，则称它是无限的。
定理 6.2 自然数集合N 是无限的。
定义 6.3（1） 对于有限集合 A ，称与 A 等势的那个唯一的自然数为 A 的基数，记作:card A ，即card A=n ÛA ≈n（2）自然数集合的基数记作 א 0 （读作阿列夫零），即 card N = א0 （3）实数集合的基数记作א（读作阿列夫），即card R = א 0 例例6.3 证明区间[0，1]与（0，1）基数相同。
证明 设集合A={0，1，，…，，…}，A Í[0，1]定义 f ：[0，1]®（0，1）使得：则，f 是双射函数ï ï ï îï ï ï í ì - Î = ³ + = = A x x x f n n n f f ] 1 , 0 [ , ) ( 1 , 2 1 ) 1( 2 1 ) 0 ( 对 对6.2 可数集和不可数集定义 6.4 与自然数集合等势的任何集合称为可数的。
《集合的基数》课件
未来，集合论将与更多学科进行交叉研究，例如计算机科学、物理学和 哲学等。这些交叉研究将有助于深入理解无穷的概念和数学的本质。
03
集合论教育的重要性
随着集合论在各个领域的广泛应用，教育界将更加重视集合论的教育。
未来，将会有更多的教材和课程资源涌现，以帮助学生们更好地学习和
理解集合论。
尽管集合论已经取得了很大的进展，但 仍存在一些未解决的问题和挑战。例如 ，关于无穷的深刻问题、集合论与物理 学的关系等。
未来展望
01 02
集合论的进一步发展
随着数学和其他学科的发展，集合论将会继续发展并应用到更广泛的领 域中。未来，数学家们将进一步探索无穷的奥秘，并试图解决一些长期 存在的数学问题。
03
集合的基数在数学中的应用
在实数理论中的应用
01
实数集合的基数是可数无穷，这 为实数理论中的许多概念和性质 提供了基础。
02
例如，实数轴上的连续性、极限 、连续函数等概念都与集合的基 数有关。
在概率论中的应用
概率论中，样本空间的基数表示所有 可能结果的个数，是概率计算的基础 。
例如，在概率论中，事件的概率是该 事件所包含的样本点个数与样本空间 中样本点个数的比值。
为了解决早期集合论的问题，数学家们 开始对集合论进行公理化。其中，ZF（ Zermelo-Fraenkel）公理系统是最著名 的集合论公理系统之一。
2
集合论的应用
随着现代数学的发展，集合论的应用越 来越广泛。它不仅在数学领域中有着重 要的应用，还涉及到计算机科学、物理 学和哲学等领域。
3
集合论的挑战
数据挖掘与机器学习
在数据挖掘和机器学习中，集合基数用于描述数据集的大 小和多样性。例如，在分类或聚类算法中，集合基数可以 影响算法的性能和结果。
第六章集合的基数
2012-12-4
17
6.1 可数集和不可数集
1 设A和B是无限集,C是有限集. 下列集合是否一定 是无限集？
(1) A
B
(2) A B
(3) A C (4) A C
Ev , B Od , A B
解 (1) 不一定. 反例 A
(2) 不一定. 反例 (4) 一定是. 否则 ( A C ) C
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6.1 可数集和不可数集
例6.1.11 Q 是可数集 证作
f : Q Q ,
f (x) x
显然 f 是双射，于是 Q ~ Q 由 N ~ Q 知 N ~ Q , 故 Q 是可数集 又 Q Q { 0 } Q , 由定理6.1.4知 Q 是可数集
x1 , 当 x 为奇数时 2 f (x) x , 当 x 为偶数时 2
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6.1 可数集和不可数集
定义6.1.5若有 n N , 使 N n ~ A , 则称A是有限集, 且 称其基数为n , 记为 | A | n ；若A不是有限集, 则称 A为无限集
其中 0
x ij 9 ( i , j N ).
构造 y 0 . y 0 y1 y 2 如下
若 x ii 1 若 x ii 1
1, yi 2,
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6.1 可数集和不可数集
则 y [ 0 ,1 ], 但 y f ( N ). 这就说明了 f 不是满射，故不是双射 由 f 的任意性知N与[0,1]之间不存在双射，故[0,1]不 是可数无限集。
f 作：2 : [ 0 ,1 ] ( 0 ,1 ), 2 f2是单射，所以 | [ 0 ,1 ] | | ( 0 ,1 ) | f2 ( x ) x 1 4
基数和序数PPT课件
演讲人
目录
01
1基数和序数简介
02
2基数和序数区别
1基数和序数简介
基数： 在数学上，基数是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两 个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个 人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。 序数： 集合论基本概念之一，是日常使用的第一、第二等表示次序的 数的推广。序数概念是建立在良序集概念之上的，而良序集又 是偏序集、全序集的特殊情形。
谢谢
2基：基数是1，2，3，4……序数是第一，第二，第三，第四等。 2、基数是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集 合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。序数是在基数的基础上再增 加一层意思。 3、基数和序数的用处不同：基数可以比较大小，可以进行运算。例如：设|A|=a，|B|=β，定义 a+β=|{(a,0):a∈A}∪{(b,1):b∈B}|。另，a与β的积规定为|AxB|，A×B为A与B的笛卡儿积;序数，汉语表 示序数的方法较多。通常是在整数前加“第”，如：第一，第二。也有单用基数的。如：五行：一曰水， 二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。
与集合有关的定理
与集合有关的定理集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的元素组成的整体。
在集合论中，有一些与集合有关的定理，它们是集合论研究的基础。
本文将介绍一些与集合有关的定理，并解释其含义和应用。
一、包含与被包含关系在集合论中，最基本的定理之一是包含与被包含关系。
对于两个集合A和B，如果A的所有元素都是B的元素，那么称集合A包含于集合B，记作A⊆B。
反之，如果B的所有元素都是A的元素，那么称集合B包含于集合A，记作B⊆A。
这个定理的应用很广泛，例如在证明两个集合相等时，就可以通过证明它们互相包含来实现。
二、交集与并集的性质交集与并集是集合论中的两个重要操作。
对于两个集合A和B，它们的交集是包含同时属于A和属于B的元素的集合，记作A∩B。
而它们的并集是包含属于A或属于B的元素的集合，记作A∪B。
对于交集和并集，有以下性质：1. 交换律：A∩B = B∩A，A∪B = B∪A。
2. 结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)，(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
3. 分配律：A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)。
交集和并集的这些性质使得它们在集合论中有很多应用。
例如，在求解数学问题中，可以通过交集和并集的性质来简化计算过程，从而得到更简洁的结果。
三、集合的幂集集合的幂集是指包含该集合所有子集的集合。
对于一个集合A，它的幂集记作P(A)。
幂集的元素是集合A的所有可能的子集，包括空集和A本身。
例如，对于集合{1, 2}，它的幂集是{{}, {1}, {2}, {1, 2}}。
幂集的元素个数为2的集合A的元素个数的次方。
幂集在集合论中有很多应用，例如在概率论中，可以通过幂集来表示样本空间，从而计算事件的概率。
此外，在离散数学中，幂集的性质也被广泛研究和应用。
四、集合的补集与差集集合的补集是指与某个给定集合A不相交的全集中的元素组成的集合，记作A的补集，用A'表示。
基数
当我们把所有表示数量的符号放在一起就得到了一个集合，我们称之为“数集”，为了度量“数集”当中表示数量的符号个数，我们首先要定义一个概念就是“基数”。
19 世纪中叶，数学家康托（ G.Cantor ）以集合理论为基础提出了自然数的基数理论。
两个集合 A 与 B 元素之间存在一一对应，则称这两个集合是等价的，记为 A ～ B，凡是能够彼此一一对应的有限集合构成一个等价类。
等价集合的共同特征称为基数（或势）。
对于有限集合来说，基数就是元素的个数。
从有限集合的基数来解释自然数就有如下定义：有限集合 A的基数叫做自然数。
记作“”。
这里所说的有限集合不包含空集（空集用来表示）。
所有等价于的集合的基数，用符号“ 1”表示。
即=1 ， 1是自然数。
如一个人的集合、一本书的集合、一张桌子的集合为等价集合，这类集合的基数用符号“ 1”表示。
类似地这样我们就可以利用集合的基数来刻画自然数以及加法、乘法运算和运算律。
当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。
特别地，空集的基数就是 0.而一切自然数组成的集合，我们称之为自然数集，记为 N 。
1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准,物理科学和技术中使用的数学符号》中,将自然数集记为N={0,1,2,3,…}而将原自然数集称为非零自然数集N+(或N*)={1,2,3,…}.1对自然数的来源的认识,基数是由集合对等而来.最初人类对物品的计数,是将物品与人的手指(脚趾)数形成映射关系2自然数的新概念自然数扩充后,包含了空集的基数,要去掉原有自然数定义中“非空”的限制条件,即定义1有限集合的基数叫做自然数.根据对等的概念,可以建立N与N+的一一映射关系f:N↓={0,↓1,↓2,↓3,↓…}N+={1,2,3,4,…}由此可见,N与N+有相同的基数,即|N|=|N+|.3自然数的四则运算定义2设有有限集合A和B,且A∩B=Φ(A,B分离).若记A∪B=C,集合A,B,C的基数分别是a,b和c,那么c叫做a与b的和,记作a+b=c.a和b叫做加数.求两个数的和的运算叫做加法.定义3设有m(m>1)个相互对等,且两两分离的有限集合A1,A2,A3,…,Am,它们的基数都是n.又设A=Umi=1Ai,A的基数记作a,即有a=n+n+…+nm个,这个a就叫做n乘以m的积,记作a=n×m,或a=n.m,或a=nm.n 称为被乘数,m称为乘数.求两个数积的运算叫做乘法.对于数0,1,补充义定:n和0的积是0,n和1的积是n,即n.0=0,n.1=1.在上述定义里,加法、乘法的交换律、结合律,乘法对于加法的分配律仍然成立.关于减法运算的定义,除了去掉“非空”二字外,集合B可以是A本身,即定义4设有有限集合A和B,B A,若记A-B=C,且A,B,C的基数分别记作a,b,c,那么c叫做a,b的差,记作a-b=c.a叫做被减数,b叫做减数.求两个数差的运算叫做减法.除法是乘法的逆运算,在原定义中要限定“除数非零”即可.定义5设a,b(b≠0)是两个自然数,如果存在一个自然数c,使得bc=a,那么c叫做a 除以b所得的商,记作ab=c,或a÷b=c.a称为被除数,b称为除数.求两个数商的运算叫做除法.在数学基础理论中，加法交换律和结合律通常是以集合论为依据加以证明的。
《集合的基数》课件
广泛的应用
1 数学中的集合论
2 计算机科学中的数
据结构
3 统计学中的概率计
算
结论
1 集合的基数是集合中元素的个数 3 集合可以用表达式来描述
2 基数具有一些性质，可以通过运
算进行ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ算
4 集合在不同领域中有广泛的应用
《集合的基数》PPT课件
集合的基数是集合中元素的个数。通过基数的计算方法和运算，我们可以更 好地理解集合论在不同领域的应用。
什么是集合的基数？
集合的基数即集合中元素的个数。 以|S|表示集合S的基数。
基数的性质
1 非负整数
基数是非负整数。
3 空集的基数为0
2 等势集
两个集合有相同的基数，则它们称为等势集。
基数的计算方法
1 有限集合
直接数元素个数。
2 无限集合
用一一映射确定基数。
基数的运算
1 并集的基数
等于两个集合基数之和减去交集基数。
3 集基数
等于全集基数减去集合基数。
2 交集基数
不超过两个集合的最小基数。
集合的表达式
1 一对花括号 2 元素之间
3 条件限符号
{} 表示集合。
用逗号隔开。
表示集合S中满足某些条件的元素。
集合的基数与(不)可数集合
f ( x) = y 的元. 称这样定义的映射 g 为 f 的逆映射, 记为 f −1 . 显然逆映射
是反函数概念的推广. 若 f 是 X 到 Y 的一一的到上的映射, 则由逆映射的 定义知道成立以下等式:
f
−1
( f ( x)) = x, x ∈ X ,
f(f
−1
( y )) = y, y ∈ Y .
f : X → Y.
当 y 与 x 对应时, 称 y 为 x 在映射 f 下的像, 记为 y = f ( x). 称 X 为 f 的定 义域. 在上述定义中, 若 Y 是实数集或复数集, 习惯上仍称 f 为函数. 设 A 为 X 的子集. 称 Y 的子集
{ y : 存在x ∈ A, 使得y = f ( x)}
证明 首先注意到, 区间 (0, 1) 的实数可以表示为十进制无穷小数:
x = 0. a1 a 2 a3 L ,
其中 ai 是 0,1, L,9 中的数字, 并且有无限多个 ai 不为零.例如 0.5 表示为
0.499 L, 不表示为 0.500 L . 这样, (0, 1) 中每个实数的表示是惟一的.
9
A 与 B 的一个真子集之间能建立一个一一对应, 则 A 的元素比 B 的元素少.
这种方法也适用于无限集的情形. 先看两个例子. 例1 数集 (0, 1) 与实数集 R 1 对等.
1 对任意 x ∈ (0, 1), 令 ϕ ( x) = tan( x − )π . 则 ϕ 是 (0, 1) 到 R 1 的一一对应 2
LLLLLLLLL.
现在考虑小数
x0 = 0. a1 a 2 a3 L ,
( 2) ( 3) , a3 ≠ a3 ,L . (例如, 若 其中 ai 是 0,1, L, 9 中的数字, a1 ≠ a1(1) , a 2 ≠ a 2
06集合代数
引言 集合论
集合论是现代数学的基础，几乎与现代数学的各个 分支都有着密切联系，并且渗透到所有科技领域，是不 可缺少的数学工具和表达语言。
集合论的起源可以追溯到16世纪末期，为了追寻微 积分的坚实基础，开始时，人们仅进行了有关数集的研 究。1976～1983年，康托尔(Georg Cantor)发表了一系 列有关集合论研究的文章，奠定了集合论的深厚基础， 以后策墨罗(Zermelo)在1904～1908年列出了第一个集合 论的公理系统，并逐步形成公理化集合论。
在本书所采用的体系中规定：集合的元素都是集合。
元素和集合之间的关系
元素和集合之间的关系是隶属关系，即属 于或不属于，属于记作∈，不属于记作。
A
例如：A＝{a，{b，c}，d，{{d}}} a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A，
a {b,c} d
bA，{d}A。 b和{d}是A的元素的元素。
A x(x∈ → x∈A) 右边的蕴涵式因前件假而为真命题， 所以 A也为真。
推论 空集是唯一的。 证明：假设存在空集1和2，由定理6.1有
1 2 ， 2 1。 根据集合相等的定义，有 1＝ 2。
有限集和无限集
▪ 集 合 A 中 元 素 的 数 目 称 为 集 合 A 的 基 数 （ base
n元集
含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m(m≤n)个元 素的子集叫做它的m元子集。
例6.1 A＝{1,2,3}，将A的子集分类：
0元子集（空集） 1元子集（单元集） 2元子集 3元子集
{1}，{2}，{3} {1,2}，{1,3}，{2,3} {1,2,3}
幂集 ( power set )
一般地说，对于n元集A，它的0元子集有 Cn0个，1元子集有 C1n 个，…，m元子集有 Cnm个，…，n元子集有 Cnn个。子集总数为
集合的基数
等势集合的实例(1)
（1）Z≈N。
f : Z N,
x0 2x f ( x) 2 x 1 x 0
则f是Z到N的双射函数。 从而证明了Z≈N。
等势集合的实例(2)
（2） N×N≈N。
双射函数
f : N N N,
f ( m, n )
(m n 1)(m n) m 2
自然数n和自然数集合N的定义
定义5 自然数 （1）一个自然数n是属于每一个归纳集的集合。
（2）自然数集N是所有归纳集的交集。
说明：根据定义9.5得到的自然数集 N 恰好由, +, ++, +++,…等集合构成。而这些集合正是构造性方法所定义的 全体自然数。 例如：自然数都是集合，集合的运算对自然数都适用。 2∪5＝{0,1}∪{0,1,2,3,4}＝{0,1,2,3,4}＝5 3∩4＝{0,1,2}∩{0,1,2,3}＝{0,1,2}＝3 4-2＝{0,1,2,3}-{0,1}={2,3} 2×3＝{0,1}×{0,1,2}＝{<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>}
构造一个[0,1]区间的小数b，使得b在N中不存在原像。
（2）任取函数f：AP(A)，构造B∈P(A)，使得B在A中不存在 原像。 或者使用反证法。
康托定理
（1）首先规定[0,1]中数的表示。 对任意的x∈[0,1]，令x = 0.x1x2… , （0 ≤ xi ≤ 9）
注意：为了保证表示式的唯一性，如果遇到0.24999…，则将x 表示为0.25000…。
N ≤·N
N ≤·R A ≤·P(A)
集合的基数
不同的间断点对应的这种开区间一定不相交. 由上一例题, 这样的开区间可数,
从而 f 的间断点可数. 为什么成立?
1 不可列集的存在性(区间[0,1]是不可列集)
[
][
][
]
证明0：假设［0,1］1/是3 可列集,则 [20/,31] 可以写成一1 个
注：A可列当且仅当 A可以写成无穷序列的形式{a1, a2, a3, …}
例：1）Z = {0，1，-1，2，-2，3，-3， …} 2）[0,1]中的有理数全体
={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}
无穷集的特性：
定理 1.5 每个无穷集必包含一个可列集. 证明: 设 A为无穷集, 则存在 a0 ∈ A, 而 A \{a0}非空, 因此存在a1 ∈ A \ {a0}, 且 A \{a0, a1} 非空. 重复以上
无穷序列的形式： {x1, x2, , xn , }
将[0，1]三等分，取其中一个不含点x1的闭区间，记为I1, 再将I1三等分，取其中一个不含点x2的闭区间，记为I 2 ,
这样继续下去得到一个闭区间套：
[0,1] ⊃ I1 ⊃ I2 ⊃ ⊃ In ⊃
|
In
|=
1 3n
,
xn
∉
In
, (n
=
1,2,
an1 , an2 , an3 , , ank , 从而A* = {an1 , an2 , an3 ,
, ank , }是可列集。
可列集的性质（并集）
•有限集与可列集的并仍为可列集
•有限个可列集的并仍为可列集 •可列个可列集的并仍为可列集
集合的基数&数学归纳法
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集合的基数
Cantor Diagonalization(康托对角化论证 康托对角化论证) 康托对角化论证 Theorem: The set of real numbers between 0 and 1 is uncountable. Proof: 假设(0,1)是可数的,用反证法证明 假设(0,1)是可数的 是可数的,
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数学归纳法
Mathematical Induction
个正奇数之和的公式是什么? 前n个正奇数之和的公式是什么? 个正奇数之和的公式是什么
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数学归纳法
Mathematical Induction
A very special rule of inference! Definition: A set S is well ordered(良序的 if 良序的) 良序的 every subset has a least element. Note: [0, 1] is not well ordered since (0,1] does not have a least element.
集合的基数
集合的基数 对于有限集:集合中不同元素的个数. 对于有限集:集合中不同元素的个数.对于无限 集呢?是否所有无限集的基数都一样? 集呢?是否所有无限集的基数都一样? 为了比较两个集合的"大小" 为了比较两个集合的"大小",确定有限集和无 限集的概念,引进自然数集合. 限集的概念,引进自然数集合. 给定集合A, 的后继集合. 给定集合 ,A+=A∪{A},称A+是A的后继集合. ∪ , 是 的后继集合 利用后继集合的概念来定义自然数集合{0, , , 利用后继集合的概念来定义自然数集合 ,1,2, ……} ……
数与集合的关系
数与集合的关系一、引言数学是一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科，而集合论则是数学中的一个重要分支，它研究的是集合及其间的关系。
在数学中，数与集合之间有着密不可分的关系，本文将从不同角度探讨数与集合之间的关系。
二、数与集合的定义1. 数的定义在数学中，我们通常所说的“数”指代的是自然数、整数、有理数和实数等概念。
自然数从1开始递增，整数包括正整数、负整数和0，有理数是可以表示为两个整数之比（分子和分母都为整数）的数字，而实数则包括所有有理数和无理数。
2. 集合的定义集合是指一些对象组成的整体。
这些对象可以是数字、字母、符号等等。
例如，{1, 2, 3, 4}就是一个由数字组成的集合。
在集合论中，我们通常用大括号{}来表示一个集合，并用逗号隔开每个元素。
三、自然数与集合1. 自然数组成一个集合自然数组成了一个无限大的集合。
这个集合中包含了所有正整数：{1, 2, 3, 4, …}。
因此，自然数可以看作是一个集合。
2. 集合的基数集合的基数指的是集合中元素的个数。
对于自然数集合来说，它的基数是无限大的。
3. 自然数集合的子集自然数集合有很多子集，例如{1, 2, 3}、{1, 3, 5}等等。
其中，空集{}和自身{1, 2, 3, …}也是它的子集。
四、整数与集合1. 整数组成一个集合整数组成了一个无限大的集合。
这个集合中包含了所有整数：{… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}。
因此，整数可以看作是一个集合。
2. 集合运算对于整数来说，我们可以进行各种各样的运算，例如加法、减法、乘法和除法等等。
同样地，在整数构成的集合中也可以进行各种各样的运算，例如并、交、差和补等等。
五、有理数与集合1. 有理数组成一个集合有理数组成了一个无限大的集合。
这个集合中包含了所有可以表示为两个整数之比（分子和分母都为整数）的数字：{… -3/2,-1/2,-1/3,0,1/3,1/2,3/2…}。
因此，有理数可以看作是一个集合。
自然数集的基数
自然数集的基数自然数集是数学上最基本的集合之一，它包含了从1开始逐个增加的所有整数，也就是1、2、3、4、5、6、7、8、9、……，简单来说就是“无限大”的正整数集合。
而自然数集合的基数，指的是这个集合中元素的数量或者叫做“基数”。
对于自然数集中的基数，经典的Cantor对等原理是最基本的定义之一。
该原理表明，如果两个集合之间存在一个双向的一对一对应关系，那么它们的基数就是相等的。
比如，假设有两个集合A={1, 2, 3}和B={a, b, c}，而且它们之间的关系是1对应a，2对应b，3对应c，那么A和B的基数就是相等的，即|A|=|B|=3。
在自然数集中，很容易证明它是一个无限集合，也就是说自然数集的基数是无限的。
因此，我们不能像有限集合一样通过计数来得到它的基数，而是需要借助一些特殊的方法来度量无限集合的大小。
一种度量无限集合大小的方法是使用康托尔对等原理。
这个方法已经在上面介绍过了，它通过建立两个元素之间的一对一对应关系来比较集合的大小。
此外，还有一种方法是使用基尔霍夫（Georg Cantor）提出的“基数”的概念，其中基数是指集合的大小，它用符号"|A|"表示，其中A是任意集合。
对于有限集合，它们的基数就是其中元素的个数，比如一个由n个元素组成的集合的基数就是n。
但是在无限集合中，情况却不同。
比如自然数集的基数是无限的，我们不能直接使用元素的个数来度量它的大小。
相反，我们需要使用基数的概念。
在有限集合中，每个元素的编号都可以理解为一个自然数，比如一个集合{a，b，c，d}可以编号为{1，2，3，4}，这样它的基数就是4。
但是在无限大的自然数集合中，我们不能通过编号来确定元素的数量，因为任何编号都不能严格明确地覆盖这个集合中所有的元素。
Cantor定理表明，在无限集合中，有一个很特殊的情况——与本身存在一一对应关系的子集。
例如，假设我们有自然数集合{1, 2, 3, 4, …}以及偶数集合{2, 4, 6, 8, …}，那么这两个集合的基数是相等的，因为我们可以轻松地建立它们之间的一对一对应关系，即将自然数集合中的元素与偶数集合中的元素一一对应，如下所示：1 → 22 → 43 → 64 → 8…由此可见，无论是有限集合还是无限集合，基数都是一种很重要的度量方法。
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第6章 集合的基数
❖ 6.ห้องสมุดไป่ตู้ 基数的比较
❖ 定理6.9 设自然数集合为N，则笛卡儿积N×N是可数集。 ❖ 定义6.5 设A，B为任意两个集合， ❖ （1）若存在f：AB且f是单射函数，则称B优势于A，或称A劣
势 ❖ 于B，记作A≼·B。 ❖ （2）若A≼·B且A与B之间不存在双射，则称B绝对优势于A，或称 ❖ A绝对劣势于B，记作A≺·B。 ❖ 定理6.12 设A，B为两个集合，则A≼·B当且仅当存在CB，使 ❖ 得A≈C。 ❖ 推论 设A，B为两个集合， ❖ （1）若AB，则A≼·B；
❖ {-1，-3，-7，-9，…，-2n +1，…}
❖ {x为素数}，其中xN
定❖理都6.3为A可为可数数集集。的充分必要条件是可以把A排列成
的形式。
A={a1，a2，…，an，…}
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定理6.4 任意无限集，一定包含可数子集。
❖ 证明 设A为无限集，从A中取出一个元素，记为a1，因A为无限 ❖ 集，A-{a1}也为无限集，所以从A-{a1}中取出一个元素，记为a2 ❖ ，而A-{a1，a2}仍为无限集，所以又可以取出a3，重复这个过程 ❖ ，可得到A的可数子集。
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定理6.6 可数集的任意无限子集是可数集。
❖ 证明 设A={a1，a2，…，an，…}为可数集，B为A的无限子集， ❖ 将在A中而不在B中的元素删去，同时注意到B是无限集合，则
❖ 有B={ai1，ai2，…，ain，…}，因此，B是可数的。
定理6.7 可数集与有限集的并是可数集。 证明 设A={a1，a2，…，an，…}为可数集，B={b1，b2，…，bm} 为有限集，则A∪B={b1，b2，…，bm，a1，a2，…，an，…}，不 妨设am+i=ai，（i=1，2，…），a1=b1，a2=b2，…，am=bm，则 A∪B={a1，a2，…，an，…}，所以A∪B为可数集。
n
1 2
n
1
2
,对
n
1
f ( x ) x , 对 x [0,1] A
❖ 则，f是双射函数。
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定义6.4 与自然数集合等势的任何集合称为可数的。可数集合 的
❖ 基数也用0（א读作阿列夫零）表示。 ❖ 例如，{2，4，6，8，…，2n，…}
定理6.5 任意无限集，一定与它的某一真子集等势。 证明 设无限集为A，根据定理6.3，A中包含可数子集B={a1， a2，…，an，…}，设M=A-B，定义A到A-{a1}的函数f，使得f在 M上是恒等函数，即f（x）=x，xM，在B上，使得f（an）=an+1 （n=1，2，3，…）。显然f是双射函数。因此定理得 证。
第6章 集合的基数
❖ 6.3 基数的比较
❖ 定理6.13 设A，B和C为三个集合， ❖ （1）A≼·A； ❖ （2）若A≼·B，B≼·C，则A≼·C。
定理6.14 设A，B为两个集合，则以下三条中恰有一条成立。 （1）card A≺·card B； （2）card B≺·card A； （3）card A = card B。
❖ f（n）=2n+1 ❖ 所以，N≈M。
第6章 集合的基数
❖ 6.1 基数的概念
❖ 定理6.1 设A、B和C为任意的集合，则 ❖ （1）A≈A； ❖ （2）若A≈B，则B≈A； ❖ （3）若A≈B，B≈C，则A≈C。
定义6.2 如果有一个从集合{0，1，…，n}到A的双射函数，则称 集合A是有限的；如果集合A不是有限的，则称它是无限的。
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定理6.8 可数个可数集的并集是可数集。
❖ 证明 设可数个可数集为：
❖ A1={a11，a12，a13，…，a1n，…} ❖ A2={a21，a22，a23，…，a2n，…} ❖ A3={a31，a32，a33，…，a3n，…}
❖…
❖ 令A=A1∪A2∪A3∪…，对A中的元素排列如下：
❖ 6.1 ❖ 6.2 ❖ 6.3
第6章 集合的基数
基数的概念 可数集和不可数集 基数的比较
第6章 集合的基数
❖ 6.1 基数的概念
❖ 定义6.1 设A、B为两个集合，如果存在从A到B的双射函数， ❖ 则称A与B是等势的，记作A≈B。
❖ 例6.1 验证自然数集N与非负奇数集合M是等势的。 ❖ 证明 因为N与M的元素之间可以作一双射函数，即
素
❖ 的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元素的个 ❖ 数依次为1，2，3，4，…，故A的排列为：
❖ a11，a21，a12，a31，a22，a13，… ❖ 所以，A的可数的。
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定理6.9 设自然数集合为N，则笛卡儿积N×N是可数集。
定理6.10 有理数的全体组成的集合是可数集。
定理6.2 自然数集合N是无限的。
第6章 集合的基数
❖ 6.1 基数的概念
❖ 定义6.3 ❖ （1）对于有限集合A，称与A等势的那个唯一的自然数为A的基 ❖ 数，记作card A，即
❖ card A=n An ❖ （2）自然数集合的基数记作0（א读作阿列夫零），即
❖ card N = 0א ❖ （3）实数集合的基数记作（א读作阿列夫），即
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定理6.8 可数个可数集的并集是可数集。
a11
a12
a13
a14
...
a21
a22
a23
a24
...
a31
a32
a33
a34
...
a41
a42
a43
a44
...
...
第6章 集合的基数
❖ 6.2 可数集和不可数集
❖ 定理6.8 可数个可数集的并集是可数集。 ❖ 在上面元素的排列中，由左上端开始，其每一斜线上的每一元
❖ card R = 0א
第6章 集合的基数
❖ 6.1 基数的概念
❖ 定义6.3 ❖ 例6.3 证明区间[0，1]与（0，1）基数相同。
❖ 证明 设集合
❖ A={0，1，，…，，…}，A[0，1]
❖
定义f：[0，1] （0，1）使得：
第6章 集合的基数
❖ 6.1 基数的概念
f f
(0) (1)