2019年高考文理数学选做题练习

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2019年高考选做题练习

数学（文）试卷

考试时间：120分钟 满分150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1.在直角坐标系xOy 中，过点P (1,2)的直线l

的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪

⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以原点

O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.

（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求

11PM PN

+的值. 答案及解析：

1.（1

）由已知得1122x t y ⎧

-=⎪⎪

⎨⎪-=⎪⎩，消去t

得21)y x -=-，

即

20y -+=，

所以直线l

20y -+-=；┄┄┄2分

曲线C ：4sin ρθ=得2

4sin ρρθ=，因为2

2

2

x y ρ=+，sin y ρθ=，所以2

2

4x y y +=， 整理得2

2

(2)4x y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2

2

(2)4x y +-=；┄┄┄5分

（2）解：把直线l

的参数方程11222

x t y ⎧

=+⎪⎪

⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程中得：

221(1))422

t ++=，即230t t +-=， 设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则12121

3

t t t t +=-⎧⎨

⋅=-⎩，┄┄┄8分

所以11PM PN +1212

PM PN t t PM PN t t ++==⋅

⋅1212t t t t -==⋅

=。┄┄┄10分 2.已知函数()222f x x x =--+. （1）求不等式()6f x ≥的解集；

（2）当x R ∈时，()f x x a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围.

答案及解析：

2.解:（1）当2x ≤-时，()4f x x =-+，∴()646f x x ≥⇒-+≥2x ⇒≤-，故2x ≤-；

当21x -<<时，()3f x x =-，∴()636f x x ≥⇒-≥2x ⇒≤-，故x ∈∅； 当1x ≥时，()4f x x =-，∴()646f x x ≥⇒-≥10x ⇒≥，故10x ≥； 综上可知：()6f x ≥的解集为(,2][10,)-∞+∞；┄┄┄5分

（2）由（1）知：4,2()3,214,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪

=--<<⎨⎪-≥⎩

，

【解法一】如图所示：作出函数()f x 的图象，

由图象知，当1x =时，13a -+≤-，解得：2a ≤-， ∴实数a 的取值范围为(,2]-∞-。┄┄┄10分

【解法二】当2x ≤-时，4x x a -+≥-+恒成立，∴4a ≤， 当21x -<<时，3x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-， 当1x ≥时，4x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-， 综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞-。

3.在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为1cos 1sin x r y r α

α=+⎧⎨=+⎩

（α为参数，0r >），以直角坐标系的原

点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C 的极坐标方程为8sin ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程（化为标准方程）及曲线M 的普通方程；

（2）若圆C 与曲线M 的公共弦长为8，求r 的值.

答案及解析：

3.（1）由8sin ρθ=，得2

8sin ρρθ=，

所以2

2

80x y y +-=， 即()2

2

416x y +-=，

故曲线C 的直角坐标方程为()2

2

416x y +-=.

曲线M 的普通方程为()()22

211x y r -+-=

（2）联立()()()2222

241611x y x y r ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩

，得2

262x y r -=-

因为圆C 的直径为8，且圆C 与曲线M 的公共弦长为8， 所以直线2

262x y r -=-经过圆C 的圆心()0,4，

则22

20642,6r r ⨯-⨯=-=， 又0r >

所以r =

4.(本小题满分10分) 设函数(),f x x a a =-∈R . (1)当5a =时，解不等式()3f x ≤；

(2)当1a =时，若x ∃∈R ，使得不等式()()1212f x f x m -+≤-成立，求实数m 的取值范围.

答案及解析：

4.解（I ）当5a =时，原不等式等价于53x -≤，

即35328x x -≤-≤⇒≤≤，所以解集为{}

28x x ≤≤.…………………………4分

（II ）当1a =时，()1f x x =-.

令()()()12g x f x f x =-+133,,212211,2,233,2,x x x x x x x x ⎧

-+≤⎪⎪

⎪

=-+-=+<<⎨⎪

-≥⎪⎪⎩

由图象，易知12x =

时，()g x 取得最小值32.由题意，知311224

m m ≤-⇒≤-， 所以实数m 的取值范围为1

(,]4

-∞-…………………………………10分

5.（本大题10分）

在平面直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为1,212x y t ⎧

=-⎪⎪

⎨

⎪=+⎪⎩

（t 为参数）.在以原点O 为极轴，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；

（2）若点P 坐标为(1,1)，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求PA PB +的值.

答案及解析：

5.解：（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程为： 20x y +-=，

极坐标方程即： 24cos ρρθ=，则直角坐标方程为： 22

4x y x +=， 据此可得圆C 的直角坐标方程为：

()

2

224

x y -+=

…………（4分）

（2

）将1,

2 1.2

x y ⎧

⎪⎪

=⎨

-+⎪⎪⎩

=代入

()2224x y -+=得：

220t +-=

得12120,20t t t t +=-<⋅=-<， 则

124PA PB t t +=-== …………（10分）

6.选修4-5：不等式选讲 已知函数()||2f x x a =--.

（1）若1a =，求不等式()|23|0f x x +->；

（2）关于x 的不等式()|3|f x x >-有解，求实数a 的取值范围.

答案及解析：

6.（1）解：当a=1时，原不等式等价于：2321>-+-x x ． 当2,24323

>>-≥

x x x 解得时，

当无解时，,2223

1>-<

当3

2

,2341<>-