系统的能控性、能观测性、稳定性分析

实 验 报 告

课程 线性系统理论基础 实验日期 年 月 日

专业班级 学号 同组人

实验名称 系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现 评分

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一、实验目的

加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌

握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。

1、系统的能观测性、能控性分析；

2、系统的稳定性分析；

3、系统的最小实现。

二、实验内容

（1）能控性、能观测性及系统实现

（a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结

果。

gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal ；

（b ）已知连续系统的传递函数模型，18

2710)(23++++=s s s a s s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；

（c ）已知系统矩阵为⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2101013333.06667.10666.6A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性；

（d ）求系统18

27101)(23++++=

s s s s s G 的最小实现。 （2）稳定性 （a ）代数法稳定性判据 已知单位反馈系统的开环传递函数为：)

20)(1()2(100)(+++=s s s s s G ，试对系统闭环判别其稳定性

（b ）根轨迹法判断系统稳定性 已知一个单位负反馈系统开环传递函数为

)

22)(6)(5()3()(2+++++=s s s s s s k s G ，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。

（c ）Bode 图法判断系统稳定性

已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为

s

s s s G s s s s G 457.2)(,457.2)(232231-+=++= 用Bode 图法判断系统闭环的稳定性。

（d ）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO 稳定。

[]x y u x x 0525,100050250100010-=⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=

三、实验环境

1、计算机120台；

2、MATLAB6.X 软件1套。

四、实验原理（或程序框图）及步骤

1、系统能控性、能观性分析

设系统的状态空间表达式如（1-1）所示。

系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。

系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（t 1-t 0），能把任一给定的初态x(t 0)转移至预期的终端x(t 1)，则称此状态是能控的。若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。

能控性判别分为状态能控性判别和输出能控性判别。

状态能控性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

输出能控性判别式为：

[]p B CA CAB CB Rank RankQ n cy ==-1

（2-1）

状态能控性判别式为：

[]n B A AB B Rank RankQ n c ==-1

（2-2）

系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（2-1）,

如果对t 0时刻存在t a ，t 0

状态能观测性也分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

状态能观测性判别式为：

[]n CA CA C

Rank RankQ T n o ==-1

（2-3）

系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有(1-2)式所示关系。已知系统的传递函数阵表述，求其满足(1-2)式所示关系的状态空间表达式，称为实现。实现的方式不唯一，实现也不唯一。其中，当状态矩阵A 具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。

五、程序源代码

1.(a) 了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。

gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal ；

gram:求解用状态空间表示的系统的可控或客观Gramian 矩阵

num=[6 -0.6 -0.12];

den=[1 -1 0.25 0.25 -0.125];

H=tf(num,den,'Ts',0.1)

Lc=gram(ss(H),'c')

H = 6 z^2 - 0.6 z - 0.12

-------------------------------------

z^4 - z^3 + 0.25 z^2 + 0.25 z - 0.125

Sample time: 0.1 seconds

Discrete-time transfer function.

Lc =10.7651 7.8769 3.6759 -0.0000

7.8769 10.7651 7.8769 1.8379

3.6759 7.8769 10.7651 3.9385

-0.0000 1.8379 3.9385 2.6913

Ctrb：计算矩阵可控性

A=[-2.2 -0.7 1.5 -1;0.2 -6.3 6 -1.5;0.6 -0.9 -2 -0.5;1.4 -0.1 -1 -3.5] B=[6 9;4 6;4 4;8 4];

Tc=ctrb(A,B);

rank(Tc)

A =-2.2000 -0.7000 1.5000 -1.0000

0.2000 -6.3000 6.0000 -1.5000

0.6000 -0.9000 -2.0000 -0.5000

1.4000 -0.1000 -1.0000 -3.5000

ans =

3

Obsv:计算可观察性矩阵

A=[-2.2 -0.7 1.5 -1;0.2 -6.3 6 -1.5;0.6 -0.9 -2 -0.5;1.4 -0.1 -1 -3.5] B=[6 9;4 6;4 4;8 4];

C=[1 2 3 4];

Qo=obsv(A,C);

Ro=rank(Qo)

A =-2.2000 -0.7000 1.5000 -1.0000

0.2000 -6.3000 6.0000 -1.5000