电磁场与电磁波课件之镜像法要点只是课件
电磁场教学4(镜像法)
一、镜像法。 二、镜像法应用解决的问题 。 三、例题讲解
镜像法
一、定义：是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙 地应用唯一性定理，使某些看来棘手的问题很容 易地得到解决。该方法是把实际上分区均匀媒质 看成是均匀的，对于研究的场域用闭合边界处虚 设的简单的电荷分布，代替实际边界上复杂的电 荷分布来进行计算。即镜像法处理问题时不直接 去求解电位所满足的泊松方程，而是在不改变求 解区域电荷分布及边界条件的前提条件下，用假 想的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取 代导体面域（电介质分界面）上复杂的感应（半 极化）电荷对电位的贡献，从而使问题的求解过 程大为简化。
二、应用镜像法应主意的问题 应主意适用的区域，不要弄错。在所求电场区 域内： ①不能引入镜像电荷； ② 不能改变它的边界条件； ③ 不能改变电介质的分布情况； ④ 在研究区域外引入镜像电荷，与原给定的电荷一起 产生的电荷满足所求解（讨论）的边界条件 ⑤其求得的解只有在所确定的区域内正确且有意义。
三.镜像法的求解范围
1、应用于电场 E 和电位 的求解； 2、也可应用于计算静电力 F ； 3、确定感应电荷的分布 , , 等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
镜像法应用解决的问题
一般是边界为平面和球面的情况
1、设与一个无限大导电平板（置于地面）相 距远处有一点电荷，周围介质的介电常数为 ，求解其中的电场。 2、镜像法应用于求解两种不同介质中置于点 电荷或电荷时的电场问题。 3、点电荷对金属面的镜像问题 4、点电荷与接地金属球的问题
电磁场课件 Part8--镜像法(1)
Topic # 8—镜像法(method ofimages)Part1n镜像法n点电荷~无限大的接地导板系统n电轴~无限大接地导电平面系统的电场n电轴法 (广义镜像法)1n镜像法n定义The method of images is an analytical technique that involves replacing constantpotential surfaces with equivalent sources called image sources that generate the same fields.镜像法——用场域闭合边界外虚设的较简单的电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布以简化原问题的分析和计算。
场域闭合边界—一般为导体组成等位面2n镜像法n适用场合The conducting boundaries that can be modeled inthis way include infinite planes, spheres, infinitecylinders, and wedges.34n 点电荷~无限大的接地导板系统 n Background对于大地上方输电线、雷电形成的电场，可以典型化为最 基本的问题：无限大接地导体上方点电荷激发的电场问题+q2s DP (x,y,z )1s he 导板¥r 2 0j Ñ=5n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 分析—直接求解是否可能1. ? 不行，2. 已知场源分布，求3. 高斯定理？0 4 P qrj e = p E vd SE S · ò vv Ñ0 E S × 或 非单一媒质需要探索新的求解方法不通6n 点电荷~无限大的接地导板系统n 换一个角度考虑：考虑其边值问题20 in Dj Ñ= 1||0S j j == 导板表面 |0t E = 导板表面 211221 10 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ7n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 q+ 2s 1s h0 e ¥e hq- 2 2 0j Ñ= xy o Er边值问题22 0 ()j Ñ= 在上半空间 12 |0S j = 0 | y n n E E e= = r r8n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 边值问题22 0 ()j Ñ= 在上半空间 1 2 |0 S j = 0 | y n nE E e = = r r y =0的平面为等位面，且其电位为零9n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 22122210 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 在正点电荷处取同样“大小”的面元S 2，可近似认为该 面元为等位面，于是：q+ 2s 1s h0 e ¥e hq- 2 2 0j Ñ= xy o Er10n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 比较边值问题一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场原问题22 0 () j Ñ= 在上半空间 1 220 ||=0S y j j = =0 |0t y E = = 22122 210 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®®¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 20 in Dj Ñ= 1||0S j j == 导板表面 |0t E = 导板表面 21122110 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 二者完全一样（y =0平面对应导板表面）11n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 结论由唯一性定理可知，两者的解答 j =j 2注意适用区域：仅上半平面？为什么？计算导板上方的电场时，可以把导板上的感应电荷的影响 用一置于对称位置上的集中电荷等效由于引入的电荷位于原电荷对导板的镜像处—镜像法n点电荷~无限大的接地导板系统 n计算模型—原问题De导体j = x1ryo(,,0)P x yq+h1213n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 计算模型—镜像法模型场中电场分布,等效于引入镜 像电荷q ，撤去 导板，整个空 间充满同一种 电介质的电场。
电动力学镜像法ppt课件
性，电势也应具有球对称性。当考虑较
r
远处场时，导体球可 视为点电荷。
2 0 (r a)
r 0
r3
(r 0) r , 0
B0 A
r
A
n r r 2
Q
0
r
dS
ra
0
A dS 0 A4 a 2
a2
a2
A Q
4 0
Q 4 0r
E
Q
(r a)
r Qr
2、导体内部电场为零；
3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为 等势面，整个导体的电势相等。
设导体表面所带电荷面密度为σ，设它外面的介质电容率
为ε，导体表面的边界条件为
|s 常数
n s
Q dS dS
S
S n
En
三．静电场的能量
仅讨论均匀介质
1. 一般方程： 能量密度
本节主要内容
一、静电场的标势 二、静电势的微分方程和边值关系 三．静电场的能量
一、静电场的标势
在静止情况下，电场与磁场无关，
麦氏方程组的电场ห้องสมุดไป่ตู้分为
E 0
E
D 静电场的无旋性是它的一个重要特
性，由于无旋性，我们可以引入一
这两方程连同介质 的电磁 性质方程 D 是E 解决静
个标势来描述静电场，和力学中用 势函数描述保守力场的方法一样。
把单位正电荷由P1点移至 P2点，电场E对它所作的
功为
P2 E dl P1
这功定义为P1点和P2点的
电势差。若电场对
电荷做了正功，则电势
下降。由此
(P2 )
(P1 )
P2 P1
E
dl
大学电磁场与电磁波第二章2.8镜像法
E
=
q 4πε0
1 (r2
er
−
R dr12
er1
+
R dr2 2
er2
)
不接地导体球面上的正负感应电荷的 绝对值等于镜像电荷 q′吗? 为什么？
图2.8.7 点电荷位于不接地导体球附近的场图
补充题： 试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位置?
图2.8.8 点电荷对导体球面的镜像
=
qh
(h
2
1 + x2 )1/
2
∞
0
= −q
2. 导体球面镜像 设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。
1) 边值问题：
∇2ϕ = 0 （除q点外的导体球外空间)
ϕ =0 r →∞
ϕ
=0
导球面
2) 设镜像电荷 − q′位于球内,球面上任一点电位为
ϕp
=q
4πε
r
− q' = 0
2
sin
θ
=
q'' 4πε2r
2
sin
θ
q + q' = q'' ε1 ε1 ε2 q − q'= q''
q' = ε1 − ε 2 q ε1 +ε2
和
q' ' = 2ε2 q ε1 +ε2
•ε1中的电场是由q与q' 共同产生，其有效区在上半空间，q'是等效替代极化电荷的
影响。
•ε 2中的电场是由 q'决' 定，其有效区在下半空间，q''是等效替代自由电荷与极化电荷
电磁场与电磁波课件之镜像法要点只是课件
三. 导体圆柱面的镜像
1. 线电荷对导体圆柱面的镜像
一根线电荷密度为 l的无限长线电荷位于半径为 a的无限长接地 导体圆柱面外，且与圆柱轴线平行，线电荷到轴线的距离为 d。
a o
•
d
l
x
为使导体圆柱面成为电位为零的等位面，镜像电荷应是位于圆柱 面内部且与轴线平行的无限长线电荷。
设镜像线电荷密度为 l，由于对称性其必定位于线电荷 l 与圆柱
球面上的感应电荷面密度为
ρS
ε0
n
ra 4a(a2qd (d222a a2)dcoθ)s3/2
导体球面上的总感应电荷为 qin S ρSdSq
这种情况下，镜像电荷并不等于感应电荷。
2. 点电荷对不接地导体球面的镜像 设点电荷 q位于一个半径为 a的不
接地导体球外，与球心距离为 d。
注意到：①导体球面是一个电位不 为零的等位②面由；于导体球未接地，在点电 荷的作用下，球面上总的感应电荷为零。
E
eR
ρl 2πε0R
O
z l (0,0,3)
2π30 ε0 2 12 9 0 32(e x
222 32e z
3) O 2232 (0,0,3)
l
30109 2πε013(ex2ez3)
x
R y P(2,5,0)
R
x
E
eR
ρl 2πε0R
3 0 1 9 0 2 3
2π0ε2232(ex
四. 介质平面的镜像 含有无限大介质分界平面的问题，也可采用镜像法求解。
1. 点电荷对电介质分界平面的镜像
q q
在计算电介质1中的电位时，用
置于介质2中的镜像电荷 来q 代替
分界面上的极化电荷，并把整个
第11讲 镜像法
P r a d P r a d' R' q' d R q
q'来等效。q'应位于导体球内（显然
不影响原方程），且在点电荷q与球 心的连线上，距球心为d'。则有
q q ( ) 4 0 R R 1
b
a a
o
r d
R q
R'
q'
d'
a q q, d
a2 d d
| q'|>|q|，镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量 像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（为什么？）
第11讲 镜像法
导体腔内的电位
q 1 a 2 2 4 0 r d 2rd cos d r 2 (a 2 d )2 2r (a 2 d ) cos
第11讲 镜像法
2. 两平行导体圆柱问题 问题：如图1所示，两平行导体圆柱的半
径均为a，两导体轴线间距为2h，单位长
度分别带电荷 l 和 l。
a
l
h
l
a
h
特点：由于两圆柱带电导体的电场互相
影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相
图1 两平行导体圆柱
对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷
R d a R a d
a2 d 像电荷的位置 d q q R a 0 q q q 像电荷的电量 R R R d a 1 q q d
第11讲 镜像法
球外的电位函数为
q 1 a 4 r 2 d 2 2rd cos d r 2 (a 2 d )2 2r (a 2 d ) cos
电磁场 镜像法PPT课件
Q 40
[
1
R2 a2 2Ra cos
(Ra
/
R0
)2
1 R02
2Ra
cos
]
(R
R0
)
0
(R R0)
② 球面感应电荷分布
感
0
RR R0Fra bibliotekQ4R0a
1
R02 a2
(1 2
R02 a2
)
3
R0 a
cos
2
Q 4R0
(a2 R02 )
a2
R02
2R0a cos
应用举例
P
1. 接地无限大平面导体板附近有一点电荷，
r′
求空间电势。
r
解：根据唯一性定理左半空间 0
Q
z
右半空间，Q在（0，0，a）点，
Q/
a
电势满足泊松方程。
边界上 0 z0
从物理问题的对称性和边界条件考虑，设想在导体板左与电荷Q对 称的位置上放一个假想电荷Q’ ，然后把板抽去。 这样，没有改变 所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程）
看作原电荷与
r’
镜象电荷共同
激发的电场。
场点P的电势
Q’
P 1 Q Q
4 0 r r
可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是
一种求解泊松方程的简洁方法。
镜像法所解决的问题中最常见的是导体表面作为边
界的情况，但也可用于绝缘介质分界面的场问题。
例2 设电容率分别为ε1和ε2的两种均匀介
质，以无限大平面为界。在介质1中
这里要注意几点：
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的 Poisson‘s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替 代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下， 采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
3.5镜像法ppt课件
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题
18
3.5.4 导体圆柱面的镜像 1. 线电荷对接地导体圆柱面的镜像
问题：如图 1 所示，一根电荷线密度
为 l的无限长线电荷位于半径为a 的
无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的
0 a
o
l x
d
图1 线电荷与导体圆柱
轴线平行且到轴线的距离为d 。
特点：在导体圆柱面上有感应电荷， 圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共 同产生。
满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。
聊城大学物理科学与信息工程学院
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题
上半空间( z≥0 ）的电位函数
(x, y, z) q [
1
1
]
4π x2 y2 (z h)2 x2 y2 (z h)2
7
(z 0)
导体平面上的感应电荷密度为
S
z
z0
aa r b
R
Oo q
d
R' q'
分析，可得到
d'
q a q, d
d a2 d
| q'|>|q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量
像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（为什么？）
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电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题
15
球壳内的电位
q
1
a
(r a)
球面上的感应电荷面密度为
S
r
ra
4πa(a2
q(d 2 a2)
d 2 2ad cos )3
2
a
P rR
R' q q'
电磁场与电磁波之镜像法要点
电荷 的q连线上。
r
a
d
设镜像电荷 ，q与球心距离为 。d 任一点电位函数为
r
a
d
1 [
E(0,0,
z2 )
ez
106
4 0
[
1 (0.45
1)2
1 (0.45 1)2
]
ez
3.14
10
4
V
/
m
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
沿 y轴方向的无限长直线电荷位于无限大接地导体平面的上方
其镜像电荷仍是无限长线电荷
l l , z h
z
l
h
x
在 z 的0 上半空间中，电位函数为
代替导体表面上异性的感应电荷的作用。
根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量。
半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上 半空间中，源及边界条件未变。
例 求空气中一个点电荷 在q 地面引起的感应电荷分布情况。
解: 设点电荷 离q 地面高度为h
Ep E E 方向指向地面
30109 2πε0 22 32
(ex
30109 2πε0 13
(ex
2
ez
3)
2 22 32
ez
3 )
22 32
E
ez
30109 6 2πε0 13
P点处的感应电荷面密度则为
S
en D (2,5,0)
ez
(ez
0
E
)
180 109 2.2 nC / m2 2π 13
上半场域边值问题
2 0
(除q所在点外的区域)
《电磁场与电磁波》PDF讲稿集合
¾ 若将两根线电荷称为一对电轴，而任一等位圆 可看成是与z轴平行的长直圆柱形导体的横截面； ¾故以上讨论的结果可用来求解平行双圆柱导体 系统的静电场问题，这种方法称为电轴法； ¾ 由于两个电轴所在的点对任一等位圆互为反演 点，即互为镜像，因此电轴法也是镜像法
两细导线的场图
§5－3 镜像法 ——3、对于柱面的镜像
z q（0,0,d) x
P(x,y,z) z R1 q（0,0,d) R2 x
¾等效问题： • 原电荷：q，位于(0,0,d) • 镜像电荷(等效电荷)：q’=-q，位于(0,0,-d) • 取消导体边界面，z>0空间媒质充满整个空间。 • 与原问题边界条件相同 • 仅在上半平面是等效的
q ⎡ 1 1 ⎤ φ= + = ⎢ − ⎥ 4πε 0 R1 4πε 0 R2 4πε 0 ⎣ R1 R2 ⎦ q q'
+
q' 4πε 1 R2
=
1 ⎛ q q' ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ 4πε 1 ⎝ R1 R2 ⎟ ⎠
⎧φ1 = φ2 ⎪ z = 0处应满足： ∂φ 2 ⎨ ∂φ1 ε ε = 2 ⎪ 1 ∂z ∂z ⎩
Q z = 0处，R1 = R2 = R3 = R
ε1 − ε 2 q' = − q' ' = q ε1 + ε 2
解: a)取圆柱坐标系,
确定电轴位置 d = b)确定电位分布 ( 以 y 轴为参考电位)
h2 − a 2
τ ρ2 ln φp = 2πε 0 ρ 1
又h= D−d
D2 − a2 ⇒d = 2D
若选 x = 0处， φቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
2 ( x + d ) + y2 τ ρ2 τ = 则导体圆柱外 φ = ln ln 2πε ρ 1 4πε ( x − d )2 + y 2
电磁场课件 Part9--镜像法(2)
Topic # 9—镜像法(method ofimages)Part2n电轴法 (广义镜像法)n点电荷~ 无限大介质平面系统的电场n点电荷 ~ 导体球 (球面镜像法）1n计算n等位线在xoy平面内，等位线轨迹是一族偏心圆就每个等位圆轨迹而言，半径a，圆心至原点的距离h，线 电荷至原点的距离b，三者间的关系式为：h 2 = a 2 + b 2∴ a 2 = h 2 - b 2 =( h + b )( h - b)即 (±t) 电轴位置对每个等位圆的圆心来说，互为反演点。
23n 计算n 等位线图示1K oyxt+ t- b1 h 2h 3h b2 K 3K 31 K2 1 K 1 1 K1 a 2a 3an计算n启示n如果一静电场的等位线为一族偏心圆，其电场的计算问题，可考虑等效为一对正负电轴产生的电场n电轴的位置则由上面的a,b,h关系式确定n由于共有a,b,h三个参数，因此至少给出2个等位圆，才能确定电轴的位置。
n按已知2个等位圆的不同，可得不同的等效计算模型。
45n 同半径的两线输电线电场 n 问题半径为a 的两输电线分别带有等量异号的线电荷 （±t ），计算其产生的电场oyt+ t- aa1o 2o dxn同半径的两线输电线电场n分析输电线是导体，导体为等位体、导体表面为等位面 在xoy平面，两导体的圆表面迹线为等位线等位线为同半径的两个偏心圆可用一对电轴模型计算原场的分布67n 同半径的两线输电线电场 n 电轴法模型参数b,h 必须满足相距为d 半径分别为a 的两个圆为等位 圆，即已知等位圆半径a , 等位圆圆心之间的距离d ，确 定线电荷（电轴）至原点的距离b 和y 轴的位置变量h2d h =o a a 1o 2o dxhhbb22222 d b h a aæö =-=- ç÷ èø8n 同半径的两线输电线电场 n 镜像法模型oy t+ t- b hbdxh 1r 2r (,)P x y a电轴 ±t 的位置 22222 d b h a aæö =-=- ç÷ èø9n 同半径的两线输电线电场 n 镜像法模型oyt+ t- b hbdxh 1r 2r (,)P x y a适用区域那个区域没有引入电荷==适用于那个区域不包含同半径两 导体的所有区域 任意点电位2 01ln2 P r tj e r = p10n 两个不同半径的两线输电线电场 n 问题t+ t- d1a 2o 1o 2a11n 两个不同半径的两线输电线电场 n 已知条件n 待求量oy t+ t- bb dx1r 2r (,)P x y 1 a b 1h 2h b2o 1o 2a 两等位圆半径 a 1 、a 2，及其圆心间的距离 d 两圆心与原点的距离h 1 、h 2、线电荷与原点的距离 b12n 两个不同半径的两线输电线电场 n 已知与待求量的关系h 2 = a 2 + b2 22211 b h a=- 12d h h =+ 222 22b h a =- oy t+ t- b b dx1r 2r (,)P x y 1 a b 1h 2h b2o 1o 2a13n 两个不同半径的两线输电线电场 n 已知与待求量的关系222 121 222 212 2 2 d a a h d d a a h d +- =+- =2222 1122b h a h a=-=- oyt+ t- b b dx1r 2r (,)P x y 1 a b 1h 2h b2o 1o 2a 适用区域 不包含不同半径两导体内区域14n 偏心电缆的电场 n 问题d1 a 1o 2o 2a t+ t-15n 偏心电缆的电场 n 分析仍可应用电轴法。
镜像法(课堂PPT)
第3章 静电场及其边值问题的解法
1
d1
q d2
2
电位函数
q (1111) 4π R R1 R2 R3
q1
d1
d2 R1
d1 q R d2
d2 R3 q3 d1
R2 d2
d1
q2
镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 )
镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 ) 镜像电荷q3 = q , 位于(－d1, －d2 )
q q 0 4 R0
得 q q
于 是 4 q R 1 ， R 1 4 q x 2 y 2 1 ( z h ) 2x 2 y 2 1 ( z h ) 2
可见，引入镜像电荷 q q 后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z<0的空间，未改变所 求空间的电荷分布，因而在z>0的空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理知结果正确。
5. 确定镜像电荷的两条原则 镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；
镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定；
.
13
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
二、 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像 3. 点电荷对半无限大接地导体角域 (导体劈) 的镜像
域边界以外虚设的较简单的等效电荷来等效替代场域边界上
未知的较为复杂的电荷分布的作用，且保持原有边界上边界 条件不变，则根据惟一性定理，待求场域空间电场可由原来
的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀 媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化；
电磁场 镜像法ppt课件
Poisson‘s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替 代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下， 采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
(b)
.
平面与圆柱形边界的组合作为边界
λ λ λ
(a)
(b)
(c)
导体上的感应电荷密度为：
n （1）镜像电荷与导体上的感应电荷不一定相等。
（2）由镜像法求出电势分布以后，由上式可求感应
电荷
Q dS
S
n .
电偶极子的镜像
p
p
(a)
(b)
p
(c)
p
op
o p
(d)
(e)
(f)
注意：镜像电荷的位置由边界形状决定，与电量 及界面性质无关。
.
应用举例
P
1. 接地无限大平面导体板附近有一点电荷， 求空间电势。
解：根据唯一性定理左半空间 0
r′
r
Q
z
右半空间，Q在（0，0，a）点，
Q/
a
电势满足泊松方程。
边界上 0 z0
从物理问题的对称性和边界条件考虑，设想在导体板左与电荷Q对 称的位置上放一个假想电荷Q’ ，然后把板抽去。 这样，没有改变 所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程）
讨论：（a）导体面上感应电荷分布
0
z
z0
2 (x2
Qa y2 a2 )3/2
.
Q dS Qa 2rdr Q Q
高中物理课件-镜像法
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Q dS Qa 2rdr Q Q
2 0 (r 2 a 2 )3/ 2
（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。
（c）Q与 Q 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称
为镜象法（又称电象法）
右半空间，Q在（0，0，a）点， Q/
P
r
Qr
a
z
电势满足泊松方程。
边界上 0 z0
从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左
半空间 z 轴上。
设电量为 Q，位置为（0，0，a ）
1 [
Q
Q
]
40 x2 y2 (z a)2 x2 y2 (z a)2
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y
-Q（-a, b, 0）
O
Q（-a, -b, 0）
Q（a, b, 0）
x
-Q（a, -b, 0）
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（2）电势分布
Q [
1
1
40 (x a)2 ( y b)2 z2 (x a)2 ( y b)2 z2
1
(x a)2 ( y b)2 z2
1
]
8 –7 电势
第八章静电场
8 –7 电势
第八章静电场
四.等势面: 电场中电势相同的各点构成的面
等量同号点电荷的电场 正点电荷的电场
等量异号点电荷的电场
孤立带电体的电场
匀强电场
等差等势面： 两个相邻的 等势面间的 电势之差是 相等的
说明：
1.电场线与等势面垂直 2.电场线由高等势面指向低等势面，等势面不相交 3.在同一等势面上移动电荷电场力不做功 4.相邻两个等势面间的电势差相等，场强大的地方
电磁场镜像法
z
aQ
介质1
介质2
-a Q’
1 2 x
解：先考虑介质1 中的电势，设想将下半空间换成与 上半空间一样，并在z=-a处有Q的像电荷Q’来代
替分界面上极化电荷对上半空间场的影响。则在 Z>0的区域，空间一点的电势为
`1
1
41
(Q r
Q) r
(1)
1
41
x2
y2
Q (z
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的 Poisson‘s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替代 时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下，采用 试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
为镜象法（又称电象法）
（d）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力
F
Q2
40r 2
ez
Q
40
1 (2a)2
ez
Q
16 0 a 2
ez
第十四页，课件共有47页
导体板上的感 应电荷确实可 以用板下方一
个假想电荷Q’ 代替。
P r
导体板上部空
Q
间的电场可以
看作原电荷与
r’
镜象电荷共同
激发的电场。
4 1
1
1 2
x2 y2 (z a)2 1 2
2 2 (1 2 )
Q x2 y2 (z a)2
第十九页，课件共有47页
(8)
1
x2
y2
(z
a)2
交界面上 极化电荷 面密度
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电场线与等位面的分布电偶极
z
子的上半部分完全相同。
由此可见，电场线处处垂直
于导体平面，而零电位面与导体 表面吻合。
电场线
等位线
电荷守恒：当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面将
产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及
导体表面上的感应可电见荷，。上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷
1
E (0,0,z)ez40[(z1)2(z1)2]
将z1 1.6代7入m，得
E (0 ,0 ,z1)e z4 1 6 0 0 [(1 .61 7 1 )2(1 .61 7 1 )2] e z1 .8 8 14V 0/m
当 z时1， 轴z上的电场强度
E (0,0,z) e z4 1 0 6 0[(z 11 )2(z 11 )2]
E
eR
ρl 2πε0R
O
z l (0,0,3)
2π30 ε0 2 12 9 0 32(e x
222 32e z
3) O 2232 (0,0,3)
l
30109 2πε013(ex2ez3)
x
R y P(2,5,0)
R
x
E
eR
ρl 2πε0R
3 0 1 9 0 2 3
2π0ε2232(ex
任一点电位函数为
r
a
d
1[
q
q
]
4 π 0ε r 2 d 2 2 rc d θ os r 2 d 2 2 r d cθ os
导体球接地 0 ra
1[
q
q
] 0
4 π 0ε a 2 d 2 2 ac d θ oa s 2 d 2 2 a d cθ os
( a 2 d 2 ) q 2 ( a 2 d 2 ) q 2 2 a c θ ( d o q 2 d s q 2 ) 0
l l , z h
z
l h
x
在 z 的0上半空间中，电位函数为
z
l h
(x,y,z)2 l lnx x2 2 ((z z h h))2 2 (z0)
h
l
x
3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像
y A d1 q
d2 o
B x
q d 1 d 1 q
d2
d2 q d1
d2
d2 d 1 q
可看作是把导体平面撤去，整个空间均匀，由４个点电荷所引起的。
代替导体表面上异性的感应电荷的作用。
根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量。
半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上 半空间中，源及边界条件未变。
例 求空气中一个点电荷 在q地面引起的感应电荷分布情况。
解: 设点电荷 离q地面高度为h
EpEE 方向指向地面
导体球面将产生感应电荷，导体球外
a
的电位应由点电荷 和感应电荷共同产生。
这类问题可用镜像法求解。
把导体球面移去，用一个镜像电荷来 等效球面上的感应电荷。
为了不改变球面上的电荷分布，镜像 电荷必须放置在导体球面内。
由于对称性镜像电荷应位于球心与点 电荷 的q连线上。
r
a
d
设镜像电荷 ，q 与球心距离为 。d
有 (a2d2)q2(a2d2)q20 dq2dq20
解得 q a q d
d a 2 , q q dd（舍去） d
由惟一性定理，球外的电位函数为
q[
1
a
]
4 π0εr2 d 2 2 rc dθ od sr2 (a 2/d )2 2 r(a 2/d )cθ o(s r a)
球面上的感应电荷面密度为
2232ez
) 2232
32π0ε011093(ex2ez3)
Eez
301096 2πε013
P点处的感应电荷面密度则为
S enD(2,5,0)
ez(ez 0E)
1810 0 92.2 nC /m2 2π13
二. 导体球面的镜像
1. 点电荷对接地导体球面的镜像
设点电荷 q位于一个半径为 a的接地导体球外，与球心距离为 d。
镜像电荷应放置在球外，且在球心与点电荷 q的连线的延长线上。
q(d2a2)
ρS ε0 n ra 4a(a2d22adcoθ)s3/2
导体球面上的总感应电荷为
qin S ρSdSq(d4 2 aa2)0 20 (a2a d2 2s2 iθ a nd cdo θ θ)3s /d 2
aq d
当点电荷 q位于接地导体球内，与球心距离为 d（d a）。
例 线电荷密度为 l 3的0n无C 限/m 长直导线位于无限大导体平板（ 处）的
上z方0 处，沿 轴方z向3。m试求该导y体板上的点 处的感应电荷密P度(2。,5,0)
解: 去掉导体平板，在 z3m处放置
z l
y
(0,0,3)
线电荷密度为 l30nC /m 的镜像线
电荷替代其作用。
P点电场强度为 EpEE
Ep 24q0r2 cos 20(hq2 hxEp2(h2qxh2)3/2
整个地面上感应电荷的总量
SpdS 02(h 2 qxh 2)3/22xdx
qh[(h2
1 x2)1/2
] 0
q
例 真空中，电量为 1的C点电荷位于点 P处(0，,0,1) 平面x是O一y个无限大的 接地导体板。⑴求 轴上电位z 为 的点的坐10标4V；⑵计算该点的电场强度。
解: ⑴ 根据镜像法可知上半空间的电位
q
1
1
40{ [x 2 y 2 (z h )2 ]1 2 [x 2 y 2 (z h )2 ]1 2}
由 (0,0,z)4 1 0 6 0[z1 1z1 1]14 0
可解得
z1 1.67m z2 0.45m
⑵ 当 z时1， 轴z 上的电场强度
1 0 6 1
将 z2 0.代4入5m ，得
E (0 ,0 ,z2) e z4 1 6 0 0 [(0 .41 5 1 )2 (0 .41 5 1 )2] e z3 .1 1 44V 0 /m
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
沿 y轴方向的无限长直线电荷位于无限大接地导体平面的上方
其镜像电荷仍是无限长线电荷
半无限大导体平面形成劈形边界。但是仅当这种导体劈的夹角等
于 的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边 界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为 π的导电劈
3 需引入 5 个镜像电荷。
q /3
q
/3
若两导体平面相交成角, 只要 ， n为整数
n 就可用镜像法求解，其镜像电荷数为有限的，为 (2n个1)