数据库之函数依赖公理体系
函数依赖公理系统
函数依赖公理系统
函数依赖公理系统是一种逻辑框架，用于描述数据库中各种数据之间的依赖关系。
这个系统包括多个公理和规则，它们定义了函数依赖的基本性质和相关的推理规则。
其中最基本的公理是函数依赖传递公理，它表明如果X → Y，且Y → Z，则X → Z。
这个公理说明了函数依赖的传递性质，也是其他推理规则的基础。
另外，函数依赖公理系统还包括了等式推理规则、合并规则、拆分规则等等，这些规则可以用来简化和优化函数依赖的描述。
通过这些公理和规则，我们可以更加精确地描述数据库中不同数据之间的依赖关系，并推导出一些重要的结论和性质，比如关系模式的最小化、函数依赖的规范化等等。
总之，函数依赖公理系统是数据库理论中的一个基础概念，它不仅对于理论研究有重要的意义，也为实际的数据库设计和优化提供了一定的指导和支持。
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[总结]关系数据库设计基础（函数依赖、无损连接性、保持函数依赖、范式、……）
![[总结]关系数据库设计基础（函数依赖、无损连接性、保持函数依赖、范式、……）](https://img.taocdn.com/s3/m/af34390811a6f524ccbff121dd36a32d7375c7be.png)
[总结]关系数据库设计基础（函数依赖、⽆损连接性、保持函数依赖、范式、……）≏≎≟≗≖≍≭∼∽≁≃≂≅≊≈≉≇≳⪞⪆⋧⪊≵≲⪝⪅⋦⪉≴⊂ subset ⋐⊄⊊ ⊈⊃⊇ ⋑⊅⊋ ⊉≺⪯≼⋞≾⪷⋨⪵⪹⊀≻⪰≽⋟≿⪸⋩⪶⪺⊁ in ∋∉∌∝≬⊸函数依赖（Function Dependency）定义设关系模式R（U），属性集合U= {A1，A2，…，An}，X，Y为属性集合U的⼦集，如果对于关系模式R(U)的任⼀可能的关系r，r中的任意两个元组u、v，若有 u[X]=v[X]，就有u[Y]=v[Y]，则称X函数决定Y，或称Y函数依赖于X。
⽤符号X→Y表⽰。
其中X为决定因素，Y为被决定因素。
若对于R（U）的任意⼀个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X上的属性值性等，⽽在Y上的属性值不等。
(1) 函数依赖是语义范畴的概念，只能根据语义来确定⼀个函数依赖关系。
(2) 函数依赖X→Y的定义要求关系模式R的任何可能的关系r中的元组都满⾜函数依赖条件。
术语 (1)若X→Y，则X称作决定因素（Determinant） (2)若X→Y，Y→X，称作X<->Y。
(3)若Y不函数依赖于X，称作X -/-> Y。
(4)X→Y，若Y不包含X,即X ⊄ Y，则称X→Y为⾮平凡的函数依赖。
正常讨论的都是⾮平凡的函数依赖。
(5)X→Y，若Y包含X，即X ⊂ Y，则称X→Y为平凡的函数依赖。
(6)完全函数依赖(full functional dependency)：在R(U)中，设X、Y是关系模式R（U）中不同的属性⼦集(即X ⊂ U,Y ⊂ U), 若存在 X→Y，且不存在 X的任何真⼦集X'(即 X' ⊊ X)，使得 X'→Y，则称Y完全函数依赖 ( full functional dependency ) 于X。
记作 X-F->Y。
(7)部分函数依赖：在关系模式R（U）中，X、Y是关系模式R（U）中不同的属性⼦集(即X ⊂ U,Y ⊂ U), 若X→Y成⽴，如果X中存在任何真⼦集X'(即 X' ⊊ X)，⽽且有X'→Y也成⽴，则称Y对X是部分函数依赖，记作：X-P->Y。
函数依赖理论第一讲
属性集闭包பைடு நூலகம்算举例
• r(R)=r(A, B, C, G, H, I)，F={A→B, A→C, CG→H, CG→I, B→H}， 计算(AG)+。
– 算法第一次循环的执行步骤： 步骤 1． 2． 3． 4． 5． 6． FD 初值 A →B A →C CG→H CG→I B→H closure AG ABG ABCG ABCGH ABCGHI ABCGHI
判断属性集是否为候选码举例
• r(R)和F定义同上例，判断AG是否为r(R)的候选码。 – 上例已计算出(AG)+＝ABCGHI, 则还要进一步分 别计算A+和G+。 – 经计算得，A+=ABCH、G+=G，它们都不包含R的 所有属性。因此，AG为r(R)的候选码。
为关系模式， 设r(R)为关系模式，α⊆R，β⊆R。对任意合法关系 及其 为关系模式 。对任意合法关系r及其 中任两个元组t 中任两个元组 i和tj，i≠j，若ti[α]=tj[α]，则ti[β]=tj[β]，则称α ≠， ， ， 函数确定β 或 β 函数依赖于α，记作α→β。
α β
图5-3 α→β 函数依赖图
图57传递依赖的依赖图函数依赖集闭包对于给定关系模式rr及其函数依赖集f有时只考虑给定的函数依赖集是不够的而需要考虑在rr上总是成立的所有函数依赖
函数依赖理论
郑子仪
函数依赖定义
函数依赖(functional dependency, 简称FD)是一种 完整性约束，是现实世界事物属性之间的一种制约 关系，它广泛地存在于现实世界之中。
结果为closure=ABCGHI。
– 算法第二次循环后的结果为closure=ABCGHI，没有变化，算法终止。 – (AG)+＝ABCGHI。
6.第六章关系的规范化
第六章关系的规范化设计第六章关系的规范化设计第一节问题的提出第二节函数依赖第三节范式第四节数据依赖的公理系统第一节关系模式设计问题的提出如何设计一个合理的关系数据库模式？c3c2c1c3c1cno 77OS丁惠s283DS 丁惠s290DB 丁惠s287OS 李立s178DB 李立s1gradecname sname sno 泛关系模式泛关系：泛关系模式中存在的问题c3c2c1c3c1cno 77OS丁惠s283DS 丁惠s290DB 丁惠s287OS 李立s178DB 李立s1gradecname sname sno反映现实世界操作性能例：设计教学管理关系数据库模型sc问题分析Sno Cno Tno Sname Grade Cname Tname S1C1T1赵民90OS彭S1C2T2赵民90DS杨S1C3T3赵民85C++刘S1C4T4赵民87DB张S2C1T4李军90OS张S3C1T4陈江75OS张S3C2T2陈江70DS杨S3C4T4陈江56DB张S4C1T1魏致90OS彭S4C2T2魏致85DS杨S5C1T1乔远95OS彭S5C4T4乔远80DB张关系SCT产生问题的原因？解：sct（sno, cno, tno, sname, grade, cname, tname）属性间约束关系（即数据间的依赖关系）太强解一：（sno，（cno，tno，（tno，cno, tname （sno，cno，解二：（sno，（cno，（tno, tname （sno，cno，（tno，cno）分解关系解决问题的方法：例sc解（sno, cno, tno, sname, grade, cname, tnameS n o S n a m e S 1赵民S 2李军S 3陈江S 4魏致S 5乔远StudentsCno Cname C1OS C2DS C3C++C4DBCoursesSnoCno Grade S1C190S1C290S1C385S1C487S2C190S3C175S3C270S3C456S4C190S4C285S5C195S5C480scTno Tname T1 彭 T2 杨 T3 刘 T4 张TeachersTeachCno Tno C1T1C1T4C2T2C3T3C4T4本章要解决的主要问题理想第二节：函数依赖数据依赖函数依赖（1）、函数依赖定义X 函数决定Y Y函数依赖于XX Y例：只能根据语义来确定函数依赖性的存在与否。
第3-4讲函数依赖和公理
定义(传递FD):设关系模式R，X、Y、Z是R的属性子集， 若FD X→Y，Y → X，Y→Z，则有FD X→Z，称FD X→Z为 传递函数依赖。
函数依赖、完全依赖、传递依赖等基本概念是第四章关系 数据库范式的基础。
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算法3.2.3
判定F是否蕴涵X→Y的成员测试算法
输入：函数依赖集F和FD X→Y。
输出：若F蕴涵X→Y输出为true，否则为false MEMBER(F, X→Y) begin if Y CLOSURE(X,F) then return(true) eles return(false) end.
={AB→E，E→G， BE→I， GI→H}
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定义(函数依赖集F的闭包 F +)
设F是关系r(R)上的函数依赖集，F所蕴含的所有FD的集
合称为F的闭包，记作F +。 F
+
= { X→Y
|
所有F |= X→Y }
例：设F={AB→C，C→B}。 求F+
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设F={AB→C，C→B}。 F+ 为： F+ = {A→A, AB→A, AC→A, ABC→A, B→B, AB→B, BC→B，ABC→B，C→C，AC→C，BC→C,ABC→C，AB→AB， ABC→AB，AC→AC，ABC→AC，BC→BC, ABC→BC, ABC→ABC, AB→C, AB→AC, AB→BC, AB→ABC，C→B,
（3）并比较两种方法更好用语言来实现。
21
（1）设F ={AB→C,B→D,CD→E,CE→GH,G→A}，
数据库学习摘记——关系模式的函数依赖
数据库学习摘记——关系模式的函数依赖关系与关系模式的联系：关系模式是相对稳定的，静态的，是把所有元组删去后的⼀张空表格，是对元组数据组织⽅式的结构描述，⽽关系却是动态变化的，不稳定的，是将若⼲元组填⼊关系模式后得到的⼀个取值实例。
每⼀个关系对应⼀个关系模式，每⼀个关系模式可以定义多个关系。
关系模式R(U)对应的具体关系通常⽤⼩写字母r来表⽰。
函数依赖：设R(U)是属性集U={A1, A2, …, An}上的关系模式，X和Y是U的⼦集。
若对R(U)的任⼀具体关系r中的任意两个元组t1和t2，只要t1[X]=t2[X] 就有t1[Y]=t2[Y]。
则称"X函数确定Y" 或"Y函数依赖于X"，记作X→Y，X为这个函数依赖的决定因素。
函数依赖要求R(U)的⼀切具体关系r都要满⾜的约束条件。
若X→Y且Y→X，则记作X⇿Y平凡函数依赖：X→Y，Y⊆X // 对于任⼀关系模式，平凡函数依赖必然是成⽴的⾮平凡函数依赖：X→Y，Y⊄X完全函数依赖：如果X→Y，且对于X的任何⼀个真⼦集X'，都有X不函数确定Y ，则称Y对X完全函数依赖或者X完全决定Y，记作：部分函数依赖：如果X→Y，但Y不是完全函数依赖于X，则称Y 对X部分函数依赖，记作：传递函数依赖：如果X→Y，Y→Z，且 Y→X，Y⊄X，Z⊄Y,则称Z对X传递函数依赖，记作:候选键：对关系模式R(U)，设K⊆U，且K完全函数确定U，则K为能够唯⼀确定关系中任何⼀个元组(实体)的最少属性集合，称K为R(U)的候选键或候选关键字。
【R(U，F)，U={ A，B，C，D，E，G }，F={AB→C，CD→E，E→A，A→G}，求候选键】因G只在右边出现，所以G⼀定不属于候选码⽽B，D只在左边出现，所以B，D⼀定属于候选码BD的闭包还是BD，则对BD进⾏组合，除了G以外，BD可以跟A，C，E进⾏组合先看ABDABD本⾝⾃包ABD，⽽AB→C，CD→E，A→G，所以ABD的闭包为ABDCEG=U再看BDCCD→E，E→A，A→G，BDC本⾝⾃包，所以BDC的闭包为BDCEAG=U最后看BDEE→A，A→G，AB→C，BDE本⾝⾃包，所以BDE的闭包为BDEAGC=U因为(ABD)、(BCD)、(BDE)的闭包都是ABCDEG所以本问题的候选码有3个分别是ABC、BCD和BDE主键：通常在R(U)的多个候选键中任意选定⼀个候选键作为主键，也称为主码或主关键字。
数据库函数依赖及范式（最通俗易懂）
数据库函数依赖及范式（最通俗易懂）⼀、基础概念 要理解范式，⾸先必须对知道什么是关系数据库，如果你不知道，我可以简单的不能再简单的说⼀下：关系数据库就是⽤⼆维表来保存数据。
表和表之间可以……（省略10W字）。
然后你应该理解以下概念： 实体：现实世界中客观存在并可以被区别的事物。
⽐如“⼀个学⽣”、“⼀本书”、“⼀门课”等等。
值得强调的是这⾥所说的“事物”不仅仅是看得见摸得着的“东西”，它也可以是虚拟的，不如说“⽼师与学校的关系”。
属性：教科书上解释为：“实体所具有的某⼀特性”，由此可见，属性⼀开始是个逻辑概念，⽐如说，“性别”是“⼈”的⼀个属性。
在关系数据库中，属性⼜是个物理概念，属性可以看作是“表的⼀列”。
元组：表中的⼀⾏就是⼀个元组。
分量：元组的某个属性值。
在⼀个关系数据库中，它是⼀个操作原⼦，即关系数据库在做任何操作的时候，属性是“不可分的”。
否则就不是关系数据库了。
码：表中可以唯⼀确定⼀个元组的某个属性（或者属性组），如果这样的码有不⽌⼀个，那么⼤家都叫候选码，我们从候选码中挑⼀个出来做⽼⼤，它就叫主码。
全码：如果⼀个码包含了所有的属性，这个码就是全码。
主属性：⼀个属性只要在任何⼀个候选码中出现过，这个属性就是主属性。
⾮主属性：与上⾯相反，没有在任何候选码中出现过，这个属性就是⾮主属性。
外码：⼀个属性（或属性组），它不是码，但是它别的表的码，它就是外码。
⼆、6个范式 好了，上⾯已经介绍了我们掌握范式所需要的全部基础概念，下⾯我们就来讲范式。
⾸先要明⽩，范式的包含关系。
⼀个数据库设计如果符合第⼆范式，⼀定也符合第⼀范式。
如果符合第三范式，⼀定也符合第⼆范式…第⼀范式（1NF）：属性不可分。
在前⾯我们已经介绍了属性值的概念，我们说，它是“不可分的”。
⽽第⼀范式要求属性也不可分。
那么它和属性值不可分有什么区别呢？给⼀个例⼦：name tel age⼤宝136****567822⼩明139****6655010－123456721Ps：这个表中，属性值“分”了。
函数依赖的公理系统资料
定义4.15 最小覆盖. 满足下列条件的函数依赖集F称为最小覆盖(最 小依赖集, 极小依赖集)，记作Fmin：
(1) 单属性：F中任一函数依赖 XA，A必是单属 性。 (2) 无冗余性：F中不存在这样的函数依赖X A， 使得 F与 F {X A}等价。 (3) 既约性：F中不存在这样的函数依赖 X A， X是多属性，在X中有真子集 Z，使得 F 与 F {X A} {Z A}等价。
2
函数依赖集的闭包F+
定义 4.12 在关系模式 R<U，F> 中，被 F 所 逻辑蕴涵的函数依赖的全体所构成的集合称 作F的闭包，记作 F+ = {XY | F├ XY} + 显然，F F 。 F+的计算很麻烦，F不大，其F+也可能很大。 例如： 设 R<U, F>, U={X, Y, Z}, F = {XY, YZ} F+ = { XX， XY，X Z, YY, YZ, Z Z, XYX，XYY，XYXY, XZ→X, ……}
函数依赖的公理系统
建立函数依赖推理系统的目的:
(1) 求关系模式的候选码 (2) 判断关系模式的范式级别 (3) 给定一组函数依赖，需要导出另外一些函数依赖， 或判断另外的函数依赖是否成立。例如： FD={A B，B C}，判断 A C是否成立？
本节内容:
1. 逻辑蕴涵； 2. Armstrong函数依赖公理系统； 3. 函数依赖集的闭包； 4. 属性集闭包； 5. 函数依赖集的等价和覆盖； 6. 最小函数依赖集。
XY
t[XZ] = s[XZ]
t[Y] = s[Y] t[Z] = s[Z]
t[YZ] = s[YZ]
函数依赖(理论及举例)
函数依赖（理论及举例）教你如何理解函数依赖一、函数依赖的概念函数依赖：函数依赖就是讨论一个数据表（关系）中属性值之间所存在的函数关系。
函数是一种数学中的概念，被引入到数据库中对数据的联系进行分析。
在一个关系中，属性相当于数学上的变量，属性的域相当于变量的取值范围，属性在一个元组上的取值相当于属性变量的当前值。
例如：在下面的这个职工关系中，职工号、姓名、性别、年龄、职务等属性都相当于变量；职工号属性的域，即四位十进制数字，就是取值范围，性别属性的域：{男、女}，就是性别属性的取值范围。
此关系中包含有6个元组，如第2个元组为{3051、刘平、男、48、副处}，其中的每个属性值都是对应属性在该元组上的当前值。
单值函数和多值函数：元组中一个属性或一些属性值对另一个属性值的影响相当于自变量值对函数值的影响。
当给定一个自变量值能求出唯一的一个函数值时，称此为单值函数或单映射函数，否则为多值函数。
在单值函数中由自变量的一个值确定函数的一个值，但不同的自变量值允许具有相同的函数值。
如f(x)=2x, f(n)=(-1)^n, f(x)=x^3+1等都是单值函数，由自变量x或n的值能够唯一确定f(x)或f(n)的值。
属性的单值函数决定（依赖）：在一个关系中，若一个或一组属性的值对另一个或一组属性值起到决定性的作用，则称为单值函数决定（依赖）。
如上表中职工号的值就能够函数决定其余每个属性的值，也就是说，当职工号给定后，其他每个属性的值就跟着唯一地确定了。
如假定职工号为3074，则他的姓名必定是王海，性别必定为男，年龄必定为32岁，职务必定为正科。
这就叫做职工号能够分别单值函数决定姓名、性别和年龄属性，反过来，可以说姓名、性别和年龄等属性单值函数依赖于职工号属性。
二、函数依赖的定义定义：设一个关系为R(U)，X和Y为属性集U上的子集，若对于X上的每个值都有Y上的一个唯一值与之对应，则称X和Y具有函数依赖关系，并称X 函数决定Y，或称Y函数依赖于X，记作X→Y，称X为决定因素。
函数依赖及范式
函数依赖及范式函数依赖基本概念：•函数依赖：FD(function dependency)，设有关系模式R(U)，X，Y是U的子集，r 是R的任一具体关系，如果对r的任意两个元组t1,t2,由t1[X]=t2[X]导致t1[Y]=t2[Y], 则称X 函数决定Y,或Y函数依赖于X，记为X→Y。
X→Y为模式R的一个函数依赖。
•部分函数依赖：即局部依赖，对于一个函数依赖W→A，如果存在X W(X包含于W)有X→A成立，那么称W→A是局部依赖，否则称W→A为完全函数依赖。
•传递依赖：在关系模式中，如果Y→X，X→A，且X Y（X不决定Y），A X（A不属于X）,那么称Y→A是传递依赖。
•函数依赖集F的闭包F+: 被逻辑蕴涵的函数依赖的全体构成的集合，称为F的闭包(clo sure),记为F+。
•最小依赖集：如果函数集合F满足以下三个条件(1)F中每个函数依赖的右部都是单属性；(2) F中的任一函数依赖X→A，其F-{X→A}与F是不等价的；(3)F中的任一函数依赖X→A，Z为X的子集，（F-{X→A}）∪{Z→A}与F不等价。
则称F为最小函数依赖集合，记为Fmin。
函数依赖的公理系统：设有关系模式R(U)，X，Y，Z，W均是U的子集，F是R上只涉及到U中属性的函数依赖集，推理规则如下：•自反律：如果Y X U,则X→Y在R上成立。
•增广律：如果X→Y为F所蕴涵，Z U，则XZ→YZ在R上成立。
(XZ表示X∪Z，下同) •传递律：如果X→Y和Y→Z在R上成立，则X→Z在R上成立。
以上三条为Armstrong公理系统•合并律：如果X→Y和X→Z成立，那么X→YZ成立。
•伪传递律：如果X→Y和WY→Z成立，那么WX→Z成立。
•分解律：如果X→Y和Z Y成立，那么X→Z成立。
这三条为引理注意：•函数依赖推理规则系统(自反律、增广律和传递律)是完备的。
•由自反律所得到的函数依赖均是平凡的函数依赖。
四种范式的含义：•如果某个数据库模式都是第一范式的，则称该数据库模式是属于第一范式的数据库模式。
函数依赖规范化
键码举例
首先：观察title 和year不能决定starName，因 为很多电影有多个影星。 {year,starName}也不是键码，因为一个影星 在同一年中可能出演多部电影，因此， year,starname→title 不是函数依赖。 同样{title,starName}也不是键码。 从而确定了{title, year,starName}是最小的 集合
检验给定的任一函数依赖 A1A2…..An →B是否蕴含于依赖集S
分析： 根据属性集闭包的定义， 知A1A2…..An →{ A1,A2,…..,An }+ 含于S。 只要证明B在{ A1,A2,…..,An 中，那么函数依赖A1A2…..An →B 定蕴含于依赖集S中。 可 蕴 }+ 肯
检验给定的任一函数依赖 A1A2…..An →B是否蕴含于依赖集S
函数依赖说明
强调：函数依赖是针对关系模式， 而不是特定的实例。
2 用函数依赖解释候选码、超码
如果一个或多个属性的集合{A1,A2,….An} 满足如下条件，就称该集合为关系R的键 码。 1． 这些属性函数决定该关系的所有其 他属性。 2． {A1,A2,….An}的任何真子集都不能 函数决定R的所有其他属性。
函数依赖举例
Movie(title,year,length,filmType, studioName,starName） Title year->length Title year -> filmtype Title year -> studioName 简写： title year -> length filmtype studioName
例3．26 ：
已知关系R拥有属性A,B和C，它满足如下 函数依赖：A->B和B->C， 则可以推断出R满足A->C。 分析： 考察R的任意两个在属性A上取 值一致的元组，证明它们在属 性C上也取得一致。
数据库原理04-1 关系规范化理论
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第四范式（续）
例： Teach(C,T,B) ∈ 4NF。 存在非平凡的多值依赖
C→→T， C→→B且C不是候选码
• 用投影分解法把Teach分解为如下两个关系模式：
CT(C, T) ∈ 4NF CB(C, B) ∈ 4NF C→→T， C→→B是平凡多值依赖
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规范化小结
• 关系数据库的规范化理论是数据库逻辑 设计的工具。 • 一个关系只要其分量都是不可分的数据 项，它就是规范化的关系，但这只是最 基本的规范化。 • 规范化程度可以有多个不同的级别
8
例：U={学号，系部，系主任，课程名称，成绩} F={学号→系部，系部 →系主任, (学号，课程名称) →成绩}
注意：函数依赖不是指关系模式R的某 个或某些关系满足的条件，而是指R的 一切关系均要满足的约束条件
9
由定义可以导出下列概念：
1. 决定因素：若X →Y，则X叫做决定因素 2. 平凡的函数依赖：X →Y，Y X，则称 X→Y是平凡的函数依赖。 3. 非平凡的函数依赖:X →Y，但Y X， 则称X→Y是非平凡的函数依赖。 4. 互相依赖：若X→Y， Y→X， 则记作X ←→Y。 5. 若Y不函数依赖于X，则记作X → Y。
10
定义4.2 ：完全函数依赖
在R(U)中，如果X →Y，并且对于X的任 何一个真子集X’，都有X’ →Y，则称Y对X完 全函数依赖。记作： F Y X
定义4.3 ：部分函数依赖
在R(U)中，如果X →Y，并且对于X的一 个真子集X’，有X’ → Y，则称Y对X部分函 数依赖。记作： P Y X
定义4.4：传递函数依赖
规范化 数据依赖的公理系统 模式分解
1
一个低一级范式的关系模式，通过模 式分解可以转换为若干个高一级范式 的关系模式的集合，这种过程就叫做 规范化。 范式表示关系模式满足的某种级别。
数据库函数依赖和范式总结
数据库函数依赖和范式总结1 函数依赖1.1 定义：一个集合R(U,F)，U为属性全集，F为函数依赖集合。
F中存在着{Xi->Yi...};对于每个X都存在着一个Y与之唯一对应。
意思就是相当于X为主键，Y由主键决定。
比如一个学生他的学号相当于X，而他的姓名与年龄这些其他信息相当于Y。
但是X有时候并不是一个值，比如一个学生他的成绩需要有两个属性才能知道他的成绩，学号+课程号->成绩1.2 平凡函数依赖与非平凡函数依赖平时我们主要讨论的是非平凡函数依赖。
平凡函数依赖概念：Y集合属性属于X集合属性的子集非平凡函数则相反1.3 逻辑蕴涵(为后面求闭包做好基础)X,Y为属性集合U的子集，且X->Y不存在于F中。
即我们需要通过F中的函数依赖推出X->Y称为函数依赖。
而所有函数依赖的集合则称为闭包1.4 函数依赖的推理规则(就是求函数依赖的逻辑蕴涵)1.4.1 几个公理1.4.1.1 公理一(自反律):Y属于X的子集，则X->Y 数学公式描述 Y?X?U1.4.1.2 公理二(增广律):X->Y成立，Z?U也成立，则 XZ?YZ1.4.1.3 公理三(传递律):X->Y成立，Y->Z成立，则 X->Z1.4.2 公理的推广1.4.2.1 推广一(合并律):X->Y,X->Z,则X->YZ1.4.2.2 推广二(伪传递律):X->Y,YW->Z,则XW->Z(证明只需要在XY两边*W)1.4.2.3 推广三(分解律):X->Y成立，Z?Y，则 X->Z1.4.2.4 推广四(复合律):X->Y,W->Z,则XW->YZ1.5 完全函数依赖与部分函数依赖(范式中基础知识)X->Y的集合中，若X的任一真子集x都能 x->Y则为部分函数依赖，若不能则的完全函数依赖，如果X没有真子集则也称为完全函数依赖。
约束数据库中的函数依赖公理系统与设计理论
定 义 和 分 解 为 第 ３范 式 和 Ｂ 范 式 的 算 法 ， 而 基 Ｃ 从 本 完 成 了在 函数 依 赖 范 畴 内 的 约 束关 系 模 式 设 计 工
定 义 １ 设 为 一 类 约 束 ， 为 其 论 域 ， ： Ｄ 则
．
这 是 一 种 与 时 空 数 据 关 系 密 切 的 约 束 ． Ｄ 为 若 定 义 ２ 设 Ｒ是 ｘ 上 的 Ｋ 元 约 束 关 系 ， 的 约 它
一
般的全序集 ， 类 约束称为密序约束． 这
１ ）变 量 集 Ｘ 一 （ ， ， ， ） 的 约 束 Ｋ 元 。 ： … 。 上 组 是 一 个 约 束 合 取 式 ， 一 ＾ … Ａ ， 中每 其
据 库 的 无损 连 接 问 题 ， 到 很 好 的 结 果 ． 文 即 是 研 得 本
４ ）约 束 数 据 库 定 义 为 有 限 个 约 束 关 系 组 成 的 集合． ５ ）设 Ｒ（ ｘ）是 约 束 关 系模 式 ， Ｒ（ 上 的 数 则 ｘ）
据 依 赖 Ｄ 定 义 为 一个 映 射 ， 的定 义 域 为 Ｒ（ 它 ｘ）所
成 了约 束数据 库设 计 的核 心工 作 ： 约束 关 系模式 分解 为 ３ 把 ＮＦ或 Ｂ ＮＦ的算 法． Ｃ
关 键 词 ：约束 数 据 库 ； 函数 依赖 ； 函数依 赖 公理 系统 ； 式设 计 模
中 图分 类 号 ： Ｐ３ １１ １ Ｔ １．３
文 献 标 识 码 ： Ａ
个 （ ≤ ｉ Ｎ） １ ≤ 是 中 的定 义 在 变 量 集 Ｘ 上 的一
据 库 可 看 成 是关 系 数 据 库 的 自然 扩 充 ， 此 自然 希 因
关系数据模型之函数依赖
函数依赖的重要性
保持数据完整性
通过函数依赖，可以确保数据库中的数 据满足一定的约束条件，从而保持数据
的完整性。
提高查询效率
在数据库查询过程中，可以利用函数 依赖优化查询计划，提高查询效率。
简化数据库设计
通过合理地利用函数依赖，可以简化 数据库设计，减少冗余数据和数据不 一致的情况。
关系数据模型之函数依赖
contents
目录
• 引言 • 函数依赖的定义与分类 • 函数依赖的推理规则 • 函数依赖在关系数据库设计中的应用 • 关系数据模型中的其他概念 • 关系数据模型的实际应用案例
01 引言
什么是函数依赖？
函数依赖是关系数据模型中的一个基本概念，它表示一个或多个属性的值决定另一个属性的值的关系 。
部分函数依赖
要点一
定义
如果一个属性集合Y中的所有属性决定了一个属性集合X中 的部分属性，则称X部分函数依赖于Y。
要点二
举例
在关系模式"学生(学号,姓名,年龄,性别)"中，性别只依赖于 学号，因此学号→性别。
传递函数依赖
定义
如果Y→X，且X不决定Y，则称X传递依赖于Y。
举例
在关系模式"学生(学号,姓名,年龄,性别)"中，学号→姓名，性别→年龄，因此姓名传递依赖于学号，年龄传递依赖 于性别。
数据完整性维护案例
案例二：银行账户管理系统 账户表：账户号、客户号、余额等字段。 交易表：交易号、账户号、交易金额等字段。
设计一个银行账户管理系统，包括账户、客户、交易等 表。
客户表：客户号、姓名、身份证号等字段。
数据库函数依赖
解：X+=BDEGCA
结论：(BD)+=ABCDEG,BD→AC可由F导出，即BD→AC属于F+
例：已知关系模式R中
U={A，B，C，E, H, P, G},
F={AC→PE, PG→A, B→CE, A→P, GA→B,GC→A, PAB→G, AE→GB, ABCP→H},
（学生ID，所修课程ID）→学生姓名
六、平凡函数依赖和非平凡函数依赖
设X，Y均为某关系上的属性集，且X→Y
1)若Y包含于X，则称X→Y为：平凡函数依赖；
2)若Y不包含于X，则称X→Y为：非平凡函数依赖。
Y包含于X内，W于X相交，与Y无直接交集。
则：X→Y为平凡函数依赖
X→W, W→Y为非平凡函数依赖
A→ABC,AB→ABC,AC→ABC,ABC→A,BC→BC}
例：已知关系模式R中
U={A，B，C，D, E, G},
F={AB→C, C→A, BC→D, ACD→B, D→EG, BE→C, CG→BD, CE→AG},判断BD→AC是否属于F+
解：由D→EG知D→E，BD→BE…①
又知BE→C，C→A所以BE→A, BE→AC…②
解：当X=A时，X+=ABC
当X=B时，X+=BC
当X=C时，X+=C
* X代表的属性集可以决定的属性集（包括本身）
2、定理：当且仅当Y属于X+时，X→Y能根据Armstron公理由F导出。
证：设Y=A1,A2,…,An
①充分条件：当Y属于X+时,对于每个i,Xห้องสมุดไป่ตู้Ai可由公理导出。
平凡函数依赖符合函数依赖公理中的____
平凡函数依赖符合函数依赖公理中的____ 在关系数据库中，函数依赖是一种约束条件，用于描述关系中属性之间的依赖关系。
其中，函数依赖公理是用于判断函数依赖是否成立的一组规则。
对于任意给定的函数依赖F，它必须满足自反律、传递律和合并律才能被认为是有效的函数依赖。
在这里，我们将重点关注平凡函数依赖，并探讨其是否符合函数依赖公理中的自反律和传递律。
首先，我们需要了解什么是平凡函数依赖。
平凡函数依赖是指在一个函数依赖集合中，存在一个函数依赖X->Y，其中Y是X的超集合。
换句话说，如果属性集合Y包含了X中的所有属性，那么X->Y
就是一个平凡函数依赖。
接下来，我们来看一下平凡函数依赖是否符合自反律。
自反律是指对于任何属性集合X，X->X都成立。
在平凡函数依赖中，当Y是X 的超集合时，X->Y成立，也就意味着X->X成立。
因此，平凡函数依赖符合自反律。
接着，我们来看一下平凡函数依赖是否符合传递律。
传递律是指如果X->Y和Y->Z成立，则X->Z也成立。
在平凡函数依赖中，如果
X->Y成立且Y包含Z，则X->Z也成立。
因此，平凡函数依赖也符合
传递律。
综上所述，平凡函数依赖符合函数依赖公理中的自反律和传递律。
虽然平凡函数依赖在实际应用中可能不是很常见，但它们在理论研究中具有一定的重要性。
理解函数依赖公理对于设计关系数据库、优化
数据库性能等方面都有一定的指导意义。
函数依赖的公理系统
子集的闭包是否包含R的所有属性。若不存在任何这样的属 性子集，则X是R的候选码。
第十八页，讲稿共三十页哦
候选码的判断
设有关系R({A1,A2,…,An},F)，F为R的函数依赖集，X为R的 属性组，若X满足： 1 X→ A1,A2,…,An，即X+={A1,A2,…,An} 2 不存在X的真子集Y，Y → A1,A2,…,An。
（4）X(3)= X(2)，所以(EC)+ =ECBD
第十六页，讲稿共三十页哦
属性集闭包计算举例
练习 已知R<U,F>, U= (A, B, C, G, H, I)，F={AB, AC, CGH, CGI, BH}， 计算(AG)+。
– 算法第一次循环的执行步骤：
步骤 FD
closure
1． 初值
数依赖X→Y都成立, 则称F 逻辑蕴含X →Y
第二页，讲稿共三十页哦
Armstrong公理系统
从已知函数依赖集F要问X →Y是否为F逻辑蕴含，就要一套推
理规则，由Armstrong在1974年提出。
这套推理规则，是模式分解算法的理论基础。
用途
– 从一组函数依赖求得蕴含的函数依赖。
– 求给定关系模式的码。
第三页，讲稿共三十页哦
1. Armstrong公理系统
关系模式R <U，F >来说有以下的推理规则：
– Al.自反律（Reflexivity）： 若Y X U，则X →Y为F所蕴含。
– A2.增广律（Augmentation）：若X→Y为F所蕴含，且Z U，则XZ→YZ为F所蕴含。
数据依赖的公理系统----Armstrong公理系统及其有效性和完备性
摘要数据库技术是计算机技术中发展最快的领域之一，也是应用最广的技术之一，他已成为计算机信息系统与应用系统的核心技术和重要基础。
数据库是数据管理的最新技术，是计算机科学的重要分支。
多少年来，数据库已经从专用的应用程序包发展到成为通用的系统软件，由于数据库具有数据结构化，最低冗余度，较高的程序与数据独立性，易于扩充，易于编制程序等等优点，较大信息系统都是建立在数据库设计之上的。
因此，不仅大型计算机及中小型计算机，甚至微型计算机都配有数据库管理系统。
目前对数据库的各种模型的研究以及理论上的探索都还在蓬勃的开展，其应用程序也从一般的管理扩大到计算机辅助设计，人工智能管理以及科学计算等领域。
本文论述的就是数据可系统中的一个分支：Armstrong公理系统。
Armstrong公理系统是一组推理规则，是1974年首先由W.W．Armstrong提出来的。
本文由函数的依赖引入了Armstrong公理系统并对其尽心了证明推导并对其所涉及的引理定理进行证明举例，对于Armstrong公理系统的有效性和完备性进行了详细的阐述。
关键词数据库技术 ; Armstrong公理系统; 有效性 ;完备性AbstractThe database technique is an one of the quickest realms of inside development of calculator technique, and is also applied one of the most large techniques, he to have become the calculator information the system and apply tecn ique and impotent base of the system ? The database is a data latest technique that manage, is the important branch of calculator science. How much in the last years, the database is already from the applying of appropriation what procedure the pack develop to become the in general use system software, because the database have the data of construction, independent of lowest redundancy degree, higher procedure and data, easy to enlargement, easy to establishment procedure etc. the advantage, bigger information system all establish in the database to design on. Therefore, not only small scaled calculator of large inside, even the miniature calculator all have the database management the system. Now management towards the database’s quest tha t the research of the every kind of model and theoretically all return at booming open the exhibition, its applied procedure too from general extend the calculator to lend support to the design, artificial intelligence the realms such as management and science calculation etc.. This what text discuss is a data can a branch of the system inside: Armstrong justice system. Armstrong justicesystem is a the set reason logically what rule, is 1974 beginning of years are first from the W.W. Armstrong to bring up to come. This text becombined by the functon’s counting on into Armstrong justice system as to it’s the usefulness for justice system for involving axioms proceeding proof give examplesing, for Armstrong justice system of proceeds with the completed detailed writeing.Key words database technique; Armstrong justice system ;目录引言......................................................................................................... １1 函数依赖 ............................................................................................. ２1．1 函数依赖的定义..................................................................... ２1．2 函数依赖及其举例 ................................................................. ２2 逻辑蕴含 ............................................................................................. ６2．1 逻辑蕴含的定义..................................................................... ６2．2 逻辑蕴含的证明..................................................................... ６3Armstrong公理系统........................................................................ ７3．1 Armstrong公理系统概述....................................................... ７3．2 Armstrong公理的几个性质 ................................................... ７4Armstrong公理系统的引理........................................................ １０4．1 Armstrong公理系统的引理1 ............................................ １０4．2 Armstrong公理系统的引理2 ............................................ １１5属性集闭包及公理完备性 .......................................................... １２5．1 属性集闭包及公理完备性 ................................................. １２5．2 属性集闭包及公理完备性举例说明.................................. １３6判断函数依赖蕴含的算法 .......................................................... １６6．1 算法说明......................................................................... １６6．2 举例及证明..................................................................... １８参考文献 ......................................................................................... １９数据依赖的公理系统-------Armstrong公理系统及其有效性和完备引言在数据库中，数据之间存在着密切的联系。
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DE,DG，BEC，CGB ， CGD，CEA,CEG
① F1=
ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG，BEC，CGB ， CGD，CEA,CEG
② F21=
ABC，CA，BCD，ACDB， DE ， DG ， BEC ， CGD ， CEA,CEG
③ 对F中的任何FD:XA和X的任何真子集Z，
(F-{XA})∪{ZA}不等价于F。
每个FD左端无多余 的属性
F没有 多余的
FD
求解方法
（1）用分解规则将F中的所有函数依赖分解成右 端为单个属性的函数依赖；
Armstrong公理的推论 分解规则：若XY，且ZY，则XZ
（2）去掉F中冗余的函数依赖
（1）若X是L类属性，则X必为R的某一候选键的成 员；
（2）若X是L类属性，且X＋包含了R的全部属性， 则X必为R的唯一候选键；
（3）若X是R类属性，则X不是任一候选键的成员； （4）若X是N类属性，则X必包含在R的某一候选键
中； （5）若X是R的N类属性和L类属性组成的属性集，
且X＋包含了R的全部属性，则X是R的唯一候选键。
CGB，CEG
四、候选键的求解方法
1、属性分类 对于给定的关系R（U）和函数依赖集F，可将
其属性分为4类： ① L类：仅出现在F的函数依赖左部的属性； ② R类：仅出现在F的函数依赖右部的属性； ③ N类：在F的FD左右两边均未出现的属性； ④ LR类：在F的FD左右两边均出现的属性。
2、快速求解候选键的一个充分条件
对于F中任一FD：XY
① G = F-{XY}；
② 求X关于G的闭包XG+； ③ 看XG+是否包含Y。如果XG+包含Y，则在G 中逻辑蕴涵XY，说明XY是多余的函数依赖， 所以F=G；如果X+不包含Y，则保留XY。
（3）去掉左端多余的属性
对于F中左端是非单属性的函数依赖（XYA）， 假设要判断Y是否是多余的属性
1、X关于F的闭包
设 有 关 系 模 式 R(U,F) 和 属 性 集 U={A1,A2,…,An}
的子集X。则称所有用阿姆斯特朗公理从F推导出的 函数依赖X→Ai的属性Ai组成的集合称为X关于F的 闭包，记为XF+，通常简记为X+。即
XF+={Ai|用公理从F推出的X→Ai}
对比 F+和X+ 集合元素
3、候选键的一般求解方法
① 将所有属性分为L、R、N和LR四类，并令X代 表L和N类，Y代表LR类；
② 求XF+：若XF+包含了R的全部属性，则X是R的 唯一候选键，转⑧；
③ 在Y中取一属性A，并求(XA)F+ ：若(XA)F+包 含了R的全部属性，则XA为的一个候选键；
④ 重复③，直到Y中的属性依次取完为止；
(3)X（2）=BCDEG
(4)X（3）=ABCDEG A∈BD＋，故BD→A成立
三、最小函数依赖集
一个函数依赖集F的闭包F＋通常包含很多函数 依赖，有些函数依赖是无意义的，如平凡的函 数依赖，还有一些是可以推导出的，即无关的 函数依赖。如果将每一个函数依赖看作是对关 系的一个约束，要检查F＋中的每一个函数依赖 对应的约束，显然是一件很繁重的任务。如果 能找出一个与F等价的、包含较少数目函数依赖 的函数依赖集G，则可以简化此工作。最小函数 依赖集的概念由此而提出。
⑤ 从Y中除去所有已成为主属性的属性A；
⑥ 在剩余的属性中依次取两个属性、三个属 性，…，将其记为集合B，并求(XB)F+ ：若 (XB)F+包含了R的全部属性，且自身不包含已求 出的候选键，则XB为R的一个候选键；
⑦ 重复⑥，直到Y中的属性按⑥的组合依次取完 为止；
⑧ 输出候选键，算法结束。
例:设有关系模式R（A,B,C,D,E），R的函数依赖
证：
X Y
增广律
WX→ WY WY→ Z
传递律
WX→ Z
4、定理5.2
如果Ai(i=1,…,n)是关系模式R的属性,则 XA1A2…An成立的充分必要条件是XAi(i= 1,…,n)均成立。
作用：将一个FD分解成若干个右边是单属性
的FD。为确定关系的主键打下基础。
二、X关于F的闭包及其计算（*）
4、举例
例5.4 已知R(U),U={A,B,C,D,E,G}， R上的FD集
F={AB→C,C→A,BC→D,ACD→B
，
D→EG,BE→C,
CG→BD,CE→AG}，
Z=EG BD=X(0)
X=BD，求X＋，BD→A是否成立？
(1)X（0）=BD。 (2)X（1）=BDEG
X＋=ABCDEG
推论
每一个函数依赖集F都被其右端只有一个属性 的函数依赖组成的依赖集G所覆盖。
作用：任一函数依赖集都可转化成由右端只 有单一属性的依赖组成的集合。
该结论是最小函数依赖集的基础。
2、最小函数依赖集
满足下列条件的函数依赖集F称为最小函数依赖集。
① F中每一个FD的右端都是单个属性；
② 对F中任何FD:XA，F-{XA}不等价于F；
A1 自反律：若YX，则XY
证：设u、v为r的任意两个元组。 若u[X]=v[X]，则u和v在X的任何子集上必然相等。 由条件YX ，所以有：u[Y]=v[Y]， 由u、v的任意性，并根据函数依赖的定义，可得 XY。
3、 阿姆斯特朗公理的推论
合并规则：若XY且XZ，则XYZ 分解规则：若XY，且ZY，则XZ 伪传递规则：若XY且WYZ，则WXZ
求X+
FD右边 单属性
无多余FD
F+=G+
FD左边 无多余属性
③ F3=
ABC，CA，BCD， CDB，DE，DG， BEC，CGD，CEG
例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集
法2：
① F1=
ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG，BEC，CGB CGD，CEA,CEG
②
F21=
ABC，CA，BCD， DE，DG，BEC，
② F21=
ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG ， BEC ， CGD ， CEA,CEG
② F22=
ABC，CA，BCD， ACDB，DE，DG， BEC，CGD，CEG
② F22=
ABC，CA，BCD， ACDB，DE，DG， BEC，CGD，CEG
1、函数依赖集的等价与覆盖
定义5.5 设F和G是两个函数依赖集，如果F＋＝G＋，则
称F和G等价。如果F和G等价，则称F覆盖G，同 时也称G覆盖F。
定理 定理5.7 F＋＝G＋的充要条件是FG＋和GF＋。
所 有
F
F＋= G＋
X→Y G＋
X→Y能否Y由GX根G据+ ？公理导出？
FG＋ GF＋
2、定理5.3
设有关系模式R(U，F)，U={A1,A2,…,An}是R 的属性集，F是R的属性集U上的函数依赖集，X、 Y是U的子集，则
XY能用Armstrong公理从F导出YX＋。
该 定 理 把 判 定 XY 是 否 能 由 F 根 据 Armstrong公理导出的问题 求出X＋，判定Y是否为X＋的子集的问题。
3、X关于F的闭包X＋的计算
算法5.1 求属性集X关于函数依赖集F的闭包X＋ 输入：
关系模式R的全部属性集U,U上的函数依赖集F， U的子集X。 输出：
X关于F的闭包X＋。 计算方法：
（1）X(0)=X。 （2）从F中找出满足条件VX(i)的所有函数依赖
V→W，并把所有的V→W中的属性W组成的集 合记为Z；也即从F中找出那些其决定因素是X(i) 的子集的函数依赖，并把由所有这样的依赖的 被决定因素组成的集合记为Z。 （3）若ZX(i)，则转（5）。 （4）否则，X(i+1)=X(i)Z，并转（2）。 （5）停止计算，输出X(i)，即为X+。
集F＝{ABC,CDE,BD,EA}，求R的所有 候选键。
均为LR类,令Y=ABCDE。 A+=ABCDE E+=ABCDE BC+=ABCDE CD+=ABCDE R的候选键：A、E、BC和CD
小结
Armstrong公理 及推论
X→Y是否能从F导出
候选键
求最小FD集
L类、N类、LR类
YX+
F+= A→ C， AB→ C， AC→ C， ABC→ C， B→ BC，
A→ AB， AB→ AB， AC→ AB， ABC→ AB， BC→ ， A→ AC， AB→ AC， AC→ AC， ABC→ AC， BC→ B， A→ BC， AB→ BC， AC→ BC， ABC→ BC， BC→ C， A→ ABC，AB→ ABC，AC→ ABC，ABC→ ABC，BC→ BC，
① G = (F-{XYA})∪{XA}；
② 求X关于F的闭包XF+； ③ 如果A不属于XF+，则XA不在F+中，说明Y 不是多余的属性，接着判别X是否是多余的属性； 如果A属于XF+，则说明Y是多余的属性，F=G。
例：求函数依赖集F的最小函数依赖集
F= 法1：
ABC，CA，BCD， ACDB，DEG，BEC， CGBD，CEAG
例：已知关系模式 R(A,B,C)，其函数依赖集为 F={A→B，B→C}，求函数依赖集F的闭包F+。
A→ ， AB→ ， AC→ ， ABC→ ， B→ ， C→ A→ A， AB→ A， AC→ A， ABC→ A， B→ B， C→ C A→ B， AB→ B， AC→ B， ABC→ B， B→ C，
1、阿姆斯特朗公理
设有关系模式R(U,F)，U={A1,A2,…,An}是R的 属性集，F是R的属性集U上的FD集，X、Y、Z、