高考数学专题练习八直线与方程、圆与方程理

，点
A的
51
y0
y0
11
坐标是
－3， 3
，根据
x
的几何意义可知
0
x
的取值范围是
0
－ 2，－ 5 .
11
答案：
－ ，－ 25
10．(2011 ·苏锡常镇 ) 如果圆 ( x－ a) 2＋ ( y－a) 2＝ 4 上总存在两个点到原点的距离为
1，
则实数 a 的取值范围是 __________________ ．
)
A．a2＋ b2≤1
B．a2＋ b2≥１
11 C. a2＋b2≤1
11 D. a2＋b2≥１
解析： 由点
M(cos α ，sin α ) 可知，点
M在圆
x2＋ y2＝ 1 上，又直线
xy a＋ b＝ 1 经过点
M，所
以
| ab| a2＋ b2≤１?
a2＋ b2 ≥a2b2，不等式两边同时除以
a2b2
0－ m 2－ 0×1＝－ 1，
解得 m＝ 2，即点 P 的坐标为 (0,2) 从而圆的半径
r ＝| MP| ＝
－ 2＋ － 2＝ 2 2.
故所求圆的方程为 ( x－ 2) 2＋ y2＝ 8.
(2) 因为直线 l 的方程为 y＝ x＋m
所以直线 l ′的方程为 y＝－ x－m.
y＝－ x－ m， 由 x2＝ 4y
(1) 若以点 M(2,0) 为圆心的圆与直线 l 相切于点 P，且点 P在 y 轴上，求该圆的方程； (2) 若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ′，问直线 l ′与抛物线 C：x2 ＝4y 是否相切？说明
理由．
解： 解法一：
(1) 依题意，点
P 的坐标为
(0 ， m) ．因为
MP⊥ l ，所以
(
x－ 2)
2
＋(
y－ 3)
2
＝1
关于直线
l 对称的圆的方程为
________．
解析： 本小题主要考查了直线与圆的知识，并且考查了圆关于直线对称的知识点．
3－ a－ b 由题可知 kPQ＝3－ b－ a＝1，又 kl kPQ＝－ 1? kl＝－ 1，圆关于直线 l 对称，找到圆心 (2,3) 的对称点 (0,1) ，又圆的半径不变，易得 x2＋ ( y－ 1) 2＝ 1. 答案： － 1 x2＋ ( y－ 1) 2＝ 1
2
＋
(
y－
3)
2
＝
4
相交于
M， N两点，若
| MN| ≥２
3，则
k 的取
值范围是 (
)
3 A. －4， 0
33 B. － 3 ， 3
C．[ － 3， 3]
2 D. －3， 0
解析： 本小题主要考查直线与圆的位置关系、圆的方程与几何性质．
|2 k| 如图， 记题中圆的圆心为 C(2,3) ，作 CD⊥ MN于 D，则 | CD| ＝ 1＋ k2，于是有 | MN| ＝ 2| MD|
B．x＋ 2y－ 5＝ 0
C．2x－ y＋4＝ 0
D．2x－ y＝ 0
1 解析： 由圆的几何性质知 kPQ·kOM＝－ 1，∵ kOM＝ 2，∴ kPQ＝－ 2，故直线 PQ的方程为 y－ 2
1 ＝－ ( x－ 1) ，即 x＋ 2y－5＝ 0.
2
答案： B
xy
3．(2011 ·日照市 ) 若直线 a＋ b＝ 1 经过点 M(cos α， sin α) ，则 (
A．y2－ 4x＋ 4y＋ 8＝ 0
B．y2＋ 2x－ 2y＋ 2＝ 0
C．y2＋ 4x－ 4y＋ 8＝ 0
D．y2－ 2x－ y－1＝ 0
解析： 由圆 x2＋y2－ ax＋ 2y＋ 1＝ 0 与圆 x2＋ y2＝ 1 关于直线 y＝ x－ 1 对称可知两圆半径相
等，故可得 a＝± 2( 舍负 ) ，即点 C( － 2,2) ，所以过点 C( － 2,2) 且与 y 轴相切的圆圆心的轨迹 方程为 ( x＋ 2) 2＋ ( y－ 2) 2＝ x2，整理即得 y2＋ 4x－ 4y＋ 8＝ 0，故答案选 C.
答案： C
6．(2011 ·山东省临沂市
) 已知点
P( x，y) 在直线
x＋ 2y＝ 3 上移动，
当
x
y
2 ＋4
取最小值时，
过点
P( x， y) 引圆
C：
1 x－2
2＋
1 y＋ 4
2
＝
1 2的切线，则此切线长等于
(
)
1
3
A. 2
B. 2
6 C. 2
3 D. 2
解析： 由于点 P( x，y) 在直线 x＋ 2y＝3 上移动，得
＝ 2 | CM| 2－ | CD| 2＝ 2
4k2 4－ 1＋ k2≥２ 3，
4k 2
3
3
即 4－ 1＋ k2≥3，解得－ 3 ≤ k≤ 3 .
答案： B 2．(2011 ·潍坊市 ) 若 PQ是圆 x2＋ y2＝ 9 的弦， PQ的中点是 M(1,2) ，则直线 PQ的方程是
()
A．x＋ 2y－3＝ 0
16 2－ ＝ ，故选 C.
22 答案： C
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上．
7．圆心为原点且与直线 x＋ y－2＝ 0 相切的圆的方程为 ________．
解析： 本题考查了直线与圆的位置关系，在解题时应首先求得原点到直线的距离，即是
圆的半径，写出圆的方程即可，题目定位于简单题．
高考专题训练八 直线与方程、圆与方程
班级 _______ 姓名 _______ 时间： 45 分钟 分值： 75 分 总得分 ________
一、选择题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1．直线
y＝
kx＋
3
与圆
(
x－
2)
2
1，当 a
32 ＝ 2 时，单位圆与圆
( x－ a) 2＋ ( y－ a) 2＝ 4 外切， 此时也只有切点到原点的距离是
2 1，而当 2
3 <a<
2 时，单位圆与圆
( x－ a) 2＋ ( y－ a) 2＝ 4 相交于两个点，且恰有这两个交点到原点的距离
2
3 为 1；同理，当－
2 <a<－
2 时，单位圆与圆
3 ，故向量
3
O→A＋O→B
所在直线的斜率为 3，结合选项知，只有选项 D 符合要求．
答案： D 5．(2011 ·烟台市 ) 若圆 x2＋ y2－ ax＋2y＋ 1＝ 0 与圆 x2＋ y2＝ 1 关于直线 y＝x－ 1 对称，
过点 C( － a， a) 的圆 P 与 y 轴相切，则圆心 P的轨迹方程为 ( )
1.
2 32 32
2
答案： 2 <a< 2 或－ 2 <a<－ 2
三、解答题：本大题共 2 小题，共 25 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11． (12 分 ) 已知，如图，⊙ O： x2＋ y2＝1 和定点 A(2,1) ，由⊙ O外一点 P( a，b) 向⊙ O引
切线 PQ，切点为 Q，且满足 | PQ| ＝ | PA|.
解析： ∵ ( x－ a) 2＋ ( y－ a) 2＝ 4，∴圆心坐标为 ( a， a) ，半径为 2，圆心在直线 y＝ x 上，
只需考察圆心与原点之间的距离，先画个单位圆，由于圆
(
x－
a)
2
＋(
y－
a)
2
＝4
的半径为
2，
当 a＝
2 时，单位圆与圆
( x－a) 2＋ ( y－ a) 2＝ 4 内切，此时只有切点到原点的距离是
而| OP| ＝ a2＋ b2＝ a2＋ － 2a＋ 2
＝
5
6 a－ 5
2＋
9 5.
6
3
3
3
故当 a＝ 5时， | PO| min＝5 5，此时 b＝－ 2a＋ 3＝ 5， Rmin＝ 5 5－ 1. 则半径取最小值时⊙ P
的方程为
6 x－ 5ห้องสมุดไป่ตู้
2＋
3 y－ 5
2＝
3 5
5－ 1 2.
12． (13 分)(2011 ·福建 ) 已知直线 l ： y＝ x＋ m，m∈ R.
(1) 求实数 a、 b 间满足的等量关系； (2) 求线段 PQ长的最小值； (3) 若以 P 为圆心所作的⊙ P 与⊙ O有公共点，试求半径取最小值时⊙ P 的方程． 解： (1) 接接 OP，∵ Q为切点， PQ⊥ OQ，由勾股定理有 | PQ| 2 ＝| OP| 2－ | OQ| 2. 又由已知 | PQ| ＝ | PA| ，故 | PQ| 2＝| PA| 2， 即( a2＋ b2) － 12＝( a－ 2) 2＋( b－ 1) 2. 化简得实数 a、 b 间满足的等量关系为 2a＋ b－ 3＝0. (2) 由 2a＋ b－ 3＝ 0，得 b＝－ 2a＋ 3. | PQ| ＝ a2＋b2－ 1＝ a2＋ －2a＋ 2－ 1
9．(2011 ·临沂 ) 已知点 P 在直线 x＋ 2y－ 1＝ 0 上，点 Q在直线 x＋ 2y＋3＝ 0 上， PQ中点
y0 为 M( x0， y0) ，且 y0≥x0＋2，则 x0的取值范围为 ________．
11
5
解析： 如下图所示，点
M在射线
AB上，射线
AB的方程为
y＝－ x－ 22
x≤－ 3
得
1 a2
＋
1 b2≥
1，故选
D.
答案： D
4．(2011 ·临沂市 ) 已知直线 x＋ 3y－ m＝ 0 与圆 x2＋ y2＝ 1 交于 A、B 两点，则与 O→A＋ O→B共
线的向量为 ( )
1
3
A. 2，－ 3
13 B. 2， 3
C．( － 1， 3)
D．(1 ， 3)
解析： 根据题意 | →OA| ＝ | O→B| ＝ 1，故 ( →OA＋ O→B) ⊥ A→B，直线 AB的斜率为－
x， y 满足
x＋ 2y＝ 3，又
x
y
x
2 ＋4 ＝2 ＋
22y≥２ 2x＋2y＝ 4 2，取得最小值时
x＝ 2y，此时点 P的坐标为
33
11
2， 4 . 由于点 P 到圆心 C 2，－ 4
的距离为 d＝
31 －
22
2＋
31 ＋
44
2＝
2，而圆
C 的半径为
2 r ＝ 2 ，那么切线长为
d2－r 2＝
得 x2＋ 4x＋ 4m＝ 0.
Δ＝
4
2
－
4×４m＝
16(1
－
m)
．
①当 m＝ 1，即 Δ ＝ 0 时，直线 l ′与抛物线 C相切；
②当 m≠1，即 Δ ≠０时，直线 l ′与抛物线 C不相切．
综上，当 m＝1 时，直线 l ′与抛物线 C相切，当 m≠１时，直线 l ′与抛物线 C不相切．
解法二： (1) 设所求圆的半径为 r ，则圆的方程可设为 ( x－ 2) 2＋ y2＝ r 2.
＝ 5a2－ 12a＋ 8＝
5
6 a－ 5
24 ＋5.
6
2
故当 a＝ 5时， | PQ| ＝ min 5 5，
2 即线段 PQ长的最小值为 5 5.
(3) 设⊙ P 的半径为 R，⊙ P 与⊙ O有公共点， ∵⊙ O的半径为 1， ∴| R－1| ≤｜OP| ≤ R＋1，即 R≥｜OP| － 1 且 R≤｜OP| ＋ 1.
由题意可知，原点到直线
x＋ y－ 2＝ 0 的距离为圆的半径，即
|0 ＋ 0－ 2|
r＝
＝ 2，所以
2
圆的方程为 x2＋ y2＝ 2.
答案： x2＋ y2＝ 2
8．若不同两点 P， Q 的坐标分别为 ( a， b) ， (3 － b, 3－ a) ，则线段 PQ的垂直平分线 l 的
斜率为
________ ；圆
4＋ m2＝ r 2，
依题意，所求圆与直线 l ： x－ y＋ m＝ 0 相切于点 P(0 ， m) ，则 |2 － 0＋ m|
解
＝r，
2
m＝ 2， 得
r ＝ 2 2.
所以所求圆的方程为
(
x
－
2)
2
＋
y
2
＝
8.
(2) 同解法一．
( x－ a) 2＋ ( y－ a) 2＝ 4 也相交于两个点，且恰有
2
2
这两个交点到原点的距离为
1，即当
2 32 32
2
2 <a< 2 或－ 2 <a<－ 2 时，单位圆与圆
( x－ a) 2＋( y
－ a) 2＝ 4 相交于两个点，在圆 ( x－ a) 2＋ ( y－ a) 2＝ 4 上总存在这两个交点到原点的距离为