弦切角定理练习-初三数学
中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理(圆)(附解析答案)
中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理（圆）一．选择题1．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（）A．97°B．104°C．116°D．142°3．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（）A．70°B．55°C．70°或110°D．55°或125°4．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（）A．50°B．60°C．100°D．120°5．如图，AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE＝40°，则∠A的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°7．如图，△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于点B，AB＝AC，若∠CBD＝40°，则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC．AT是⊙O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°9．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知：如图，E是相交两圆⊙M和⊙N的一个交点，且ME⊥NE，AB为外公切线，切点分别为A，B连接AE，BE，则∠AEB的度数为（）A．145°B．140°C．135°D．130°二．填空题11．已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝度．12．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于度．13．如图PA切⊙O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝度，∠ACB＝度．14．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，且∠BAC＝35°，则∠P＝度．15．如图，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径．若∠BCD＝35°，则∠ABC的大小等于度．16．如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝130°，则∠ADP＝．17．已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为．18．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径．已知∠APB＝70°，则∠ACB的度数为°．19．如图，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径是AB＝2，弦AC＝1，则∠CAD＝度．20．如图，△ABC内接于圆⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC＝100°，∠BCT＝40°，则∠AOB＝度．三．解答题21．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足．（1）求证：∠DAC＝∠BAC；（2）若AC＝6，cos∠BAC＝，求⊙O的直径．22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，且∠DAC＝∠BAC．（1）试说明：AD⊥CD；（2）若AD＝4，AB＝6，求AC．23．如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．求证：（1）AD＝AE；（2）AB•AE＝AC•DB．24．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD．（1）求证：PA∥BC；（2）求⊙O的半径及CD的长．25．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E．（1）求证：BC∥DE；（2）若AB＝3，BD＝2，求CE的长；（3）在题设条件下，为使BDEC是平行四边形，△ABC应满足怎样的条件（不要求证明）．26．如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CB＝CE．求证：（1）BE∥DG；（2）CB2﹣CF2＝BF•FE．参考答案1．解：连接BC，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．故选：A．2．解：∵BD是圆O的直径，∴∠BAD＝90°，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∵直线ED为圆O的切线，∴∠ADE＝∠ABD＝19°，∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．故选：C．3．解：如图，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴∠OAP＝∠O BP＝90°，∵∠P＝70°，∴∠AOB＝110°，∴∠ACB＝55°，当点C在劣弧AB上，∵∠AOB＝110°，∴弧ACB的度数为250°，∴∠ACB＝125°．故选：D．4．解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝50°．∵此圆与直线BC相切于C点，∴的度数＝2∠C＝100°．故选：C．5．解：∵AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，∠CBE＝40°，∴∠A＝∠CBE＝40°．故选：B．6．解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，∴∠CAD＝∠B＝60°．（弦切角定理）故选：B．7．解：∵BD切⊙O于点B，∴∠DBC＝∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．故选：D．8．解：如图，连接AC，由弦切角定理知∠ACB＝∠BAT＝55°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝55°，∴∠B＝180°﹣2∠ACB＝70°，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°．故选：A．9．解：∵直线MN切⊙O于C点，∴∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCN+∠ACM＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∠D+∠BCN＝90°．故选：C．10．解：连接AM，BN，∵∠BAE＝∠AME，∠ABM＝∠BNE，∴∠B AE+∠ABE＝（∠AME+∠BNE），∵MA⊥AB，NB⊥A B，∴MA∥NB，∴∠AMN+∠BNM＝180°．∵∠MEN＝90°，∴∠EMN+∠ENM＝90°，∴∠AME+∠BNE＝180°﹣90°＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝×90°＝45°，∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°．故选：C．二．填空题（共10小题）11．解：∵AB＝2，OA＝，∴cos∠BAO＝＝，∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°；∵OC是⊙M的切线，∴∠BOC＝∠BAO＝30°，∴∠ACO＝∠OBA﹣∠BOC＝30°．故答案为：30．12．解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，∴∠A＝∠PCB＝35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴35°+∠B＝90°，解得∠B＝55°．故答案为：55．13．解：由弦切角定理知，∠C＝∠BAP＝30°；由圆周角定理知，∠AOB＝2∠C＝60°．14．解：连接OB；∵PA、PB都是⊙O的切线，且切点为A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB+∠P＝180°；在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝180°﹣2∠BAC；∴∠P＝2∠BAC＝70°．15．解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵直线CD与⊙O相切，∴∠A＝∠BCD，∵∠BCD＝35°，∴∠A＝35°，∴∠ABC＝55°．故答案为：55°．16．解：连接BD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，∴∠BAD＝50°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠40°∵PD切⊙O于D，∴∠ADP＝∠ABD＝40°，故答案为：40°．17．解：连接BD，则∠ADB＝90°，又∠BCD＝130°，故∠DAB＝50°，所以∠DBA＝40°；又因为PD为切线，故∠PDA＝∠ABD＝40°，即∠PDA＝40°．18．解：∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴PA＝PB；∵∠APB＝70°，∴∠PBA＝（180°﹣∠APB）＝55°，∵PB切⊙O于B，∴∠ACB＝∠PBA＝55°．19．解：∵AB是圆的直径，∴∠C＝90°；又AB＝2，AC＝1，∴∠B＝30°，∵AD为⊙O的切线，∴∠CAD＝∠B＝30°．20．解：∵CT切⊙O于C∴∠BAC＝∠BCT＝40°；在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ABC＝100°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣40°﹣100°＝40°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°．三．解答题（共6小题）21．证明：（1）连接BC，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠B，∠OCD＝90°，∵AD⊥CD，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BAC；（2）∵cos∠BAC＝，∴＝，∵AC＝6，∴AB＝10，故⊙O的直径为10．22．（1）证明：连接OC；∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在△ADC与△ACB中，，∴△ADC∽△ACB，∴＝，即AC2＝AD•AB，∵AD＝4，AB＝6，∴AC＝＝2．23．证明：（1）∵∠ADE＝∠APD+∠PAD，∠AED＝∠CPE+∠C，又∠APD＝∠CPE，∠PAD＝∠C．∴∠ADE＝∠AED．∴AD＝AE．（2）∵∠APB＝∠CPA，∠PAB＝∠C，∴△APB∽△CPA，得．∵∠APE＝∠BPD，∠AED＝∠ADE＝∠PDB，∴△PBD∽△PEA，得．∴．∴AB•AE＝AC•DB．24．（1）证明：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAB＝∠2．又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∴∠PAB＝∠1．∴PA∥BC．（2）解：连接OA交BC于点G，则OA⊥PA；由（1）可知，PA∥BC，∴OA⊥BC．∴G为BC的中点，∵BC＝24，∴BG＝12．又∵AB＝13，∴AG＝5．设⊙O的半径为R，则OG＝OA﹣AG＝R﹣5，在Rt△BOG中，∵OB2＝BG2+OG2，∴R2＝122+（R﹣5）2，∴R＝16.9，OG＝11.9；∵BD是⊙O的直径，∴DC⊥BC．又∵OG⊥BC，∴OG∥DC．∵点O是BD的中点，∴DC＝2OG＝23.8．25．（1）证明：连接CD；∵DE是圆O的切线，∴∠CDE＝∠CBD．∵∠CBD＝∠DAC，∴∠CDE＝∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴∠CDE＝∠BAD．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CDE＝∠BCD．∴BC∥DE．（2）解：如图，连接CD；∵AD平分∠BAC，∴＝．∴∠BCD＝∠CBD．∴BD＝CD＝2．∵BC∥DE，∴∠E＝∠ACB＝∠ADB．又由（1）中已证得∠CDE＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE．∴AB：BD＝CD：CE．∴CE＝BD•CD÷AB＝．（3）解：应该是∠BAC＝2∠ACB．26．证明：（1）∵CB＝CE，∴∠E＝∠CBE．∵CG为⊙O切线，∴∠BCD＝∠E．∴∠CBE＝∠BCD．∴BE∥DG．（2）∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠CBE．∵∠ACB＝∠ACB，∴△CBF∽△CAB，．∴CB2＝CF•AC＝CF•（CF+AF）＝CF2+CF•AF．即CB2﹣CF2＝AF•CF．由相交弦定理，得AF•CF＝BF•FE．∴CB2﹣CF2＝BF•FE．。
三角函数练习题目初三
三角函数练习题目初三1.已知直角三角形中一条直角边的长度为3cm，另一条直角边的长度为4cm。
求其两条直角边上的正弦、余弦和正切值。
解析：已知直角边 a = 3cm、直角边 b = 4cm。
根据三角函数的定义可知：正弦(sin) = 直角边a / 斜边c余弦(cos) = 直角边b / 斜边c正切(tan) = 直角边a / 直角边b其中，斜边c可以通过勾股定理求得：斜边c = √(a² + b²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5代入计算得：正弦(sin) = 3 / 5 = 0.6余弦(cos) = 4 / 5 = 0.8正切(tan) = 3 / 4 = 0.75所以，该直角三角形的正弦值为0.6，余弦值为0.8，正切值为0.75。
2.已知角度θ的正弦值为0.5，求角度θ的余弦值和正切值。
解析：已知正弦(sin) = 0.5，要求余弦(cos)和正切(tan)。
根据正弦函数的定义可得：正弦(sin) = 直角边a / 斜边c已知正弦(sin) = 0.5，令直角边a = 0.5，斜边c = 1。
根据勾股定理可得：直角边b = √(c² - a²) = √(1² - 0.5²) = √(1 - 0.25) = √0.75 ≈ 0.866所以，余弦(cos) = 直角边b / 斜边c = 0.866 / 1 = 0.866正切(tan) = 直角边a / 直角边b = 0.5 / 0.866 ≈ 0.577所以，角度θ的余弦值为0.866，正切值为0.577。
3.已知角度α的正切值为2，求角度α的正弦值和余弦值。
解析：已知正切(tan) = 2，要求正弦(sin)和余弦(cos)。
根据正切函数的定义可得：正切(tan) = 直角边a / 直角边b已知正切(tan) = 2，令直角边a = 2，直角边b = 1。
2019年中考数学知识点精选提高练习：弦切角定理(圆)(附解析答案)
2019年中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理（圆）一．选择题1．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（）A．97°B．104°C．116°D．142°3．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（）A．70°B．55°C．70°或110°D．55°或125°4．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（）A．50°B．60°C．100°D．120°5．如图，AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE＝40°，则∠A的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°7．如图，△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于点B，AB＝AC，若∠CBD＝40°，则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC．AT是⊙O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°9．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知：如图，E是相交两圆⊙M和⊙N的一个交点，且ME⊥NE，AB为外公切线，切点分别为A，B 连接AE，BE，则∠AEB的度数为（）A．145°B．140°C．135°D．130°二．填空题11．已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A 的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝度．12．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于度．13．如图PA切⊙O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝度，∠ACB＝度．14．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，且∠BAC＝35°，则∠P＝度．15．如图，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径．若∠BCD＝35°，则∠ABC的大小等于度．16．如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝130°，则∠ADP＝．17．已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D点的切线PD 与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为．18．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径．已知∠APB＝70°，则∠ACB 的度数为°．19．如图，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径是AB＝2，弦AC＝1，则∠CAD＝度．20．如图，△ABC内接于圆⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC＝100°，∠BCT＝40°，则∠AOB＝度．三．解答题21．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足．（1）求证：∠DAC＝∠BAC；（2）若AC＝6，cos∠BAC＝，求⊙O的直径．22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，且∠DAC＝∠BAC．（1）试说明：AD⊥CD；（2）若AD＝4，AB＝6，求AC．23．如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．求证：（1）AD＝AE；（2）AB•AE＝AC•DB．24．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD．（1）求证：PA∥BC；（2）求⊙O的半径及CD的长．25．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E．（1）求证：BC∥DE；（2）若AB＝3，BD＝2，求CE的长；（3）在题设条件下，为使BDEC是平行四边形，△ABC应满足怎样的条件（不要求证明）．26．如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CB＝CE．求证：（1）BE∥DG；（2）CB2﹣CF2＝BF•FE．参考答案1．解：连接BC，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．故选：A．2．解：∵BD是圆O的直径，∴∠BAD＝90°，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∵直线ED为圆O的切线，∴∠ADE＝∠ABD＝19°，∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．故选：C．3．解：如图，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴∠OAP＝∠O BP＝90°，∵∠P＝70°，∴∠AOB＝110°，∴∠ACB＝55°，当点C在劣弧AB上，∵∠AOB＝110°，∴弧ACB的度数为250°，∴∠ACB＝125°．故选：D．4．解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝50°．∵此圆与直线BC相切于C点，∴的度数＝2∠C＝100°．故选：C．5．解：∵AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，∠CBE＝40°，∴∠A＝∠CBE＝40°．故选：B．6．解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，∴∠CAD＝∠B＝60°．（弦切角定理）故选：B．7．解：∵BD切⊙O于点B，∴∠DBC＝∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．故选：D．8．解：如图，连接AC，由弦切角定理知∠ACB＝∠BAT＝55°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝55°，∴∠B＝180°﹣2∠ACB＝70°，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°．故选：A．9．解：∵直线MN切⊙O于C点，∴∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCN+∠ACM＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∠D+∠BCN＝90°．故选：C．10．解：连接AM，BN，∵∠BAE＝∠AME，∠ABM＝∠BNE，∴∠B AE+∠ABE＝（∠AME+∠BNE），∵MA⊥AB，NB⊥A B，∴MA∥NB，∴∠AMN+∠BNM＝180°．∵∠MEN＝90°，∴∠EMN+∠ENM＝90°，∴∠AME+∠BNE＝180°﹣90°＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝×90°＝45°，∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°．故选：C．二．填空题（共10小题）11．解：∵AB＝2，OA＝，∴cos∠BAO＝＝，∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°；∵OC是⊙M的切线，∴∠BOC＝∠BAO＝30°，∴∠ACO＝∠OBA﹣∠BOC＝30°．故答案为：30．12．解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，∴∠A＝∠PCB＝35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴35°+∠B＝90°，解得∠B＝55°．故答案为：55．13．解：由弦切角定理知，∠C＝∠BAP＝30°；由圆周角定理知，∠AOB＝2∠C＝60°．14．解：连接OB；∵PA、PB都是⊙O的切线，且切点为A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB+∠P＝180°；在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝180°﹣2∠BAC；∴∠P＝2∠BAC＝70°．15．解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵直线CD与⊙O相切，∴∠A＝∠BCD，∵∠BCD＝35°，∴∠A＝35°，∴∠ABC＝55°．故答案为：55°．16．解：连接BD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，∴∠BAD＝50°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠40°∵PD切⊙O于D，∴∠ADP＝∠ABD＝40°，故答案为：40°．17．解：连接BD，则∠ADB＝90°，又∠BCD＝130°，故∠DAB＝50°，所以∠DBA＝40°；又因为PD为切线，故∠PDA＝∠ABD＝40°，即∠PDA＝40°．18．解：∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴PA＝PB；∵∠APB＝70°，∴∠PBA＝（180°﹣∠APB）＝55°，∵PB切⊙O于B，∴∠ACB＝∠PBA＝55°．19．解：∵AB是圆的直径，∴∠C＝90°；又AB＝2，AC＝1，∴∠B＝30°，∵AD为⊙O的切线，∴∠CAD＝∠B＝30°．20．解：∵CT切⊙O于C∴∠BAC＝∠BCT＝40°；在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ABC＝100°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣40°﹣100°＝40°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°．三．解答题（共6小题）21．证明：（1）连接BC，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠B，∠OCD＝90°，∵AD⊥CD，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BAC；（2）∵cos∠BAC＝，∴＝，∵AC＝6，∴AB＝10，故⊙O的直径为10．22．（1）证明：连接OC；∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在△ADC与△ACB中，，∴△ADC∽△ACB，∴＝，即AC2＝AD•AB，∵AD＝4，AB＝6，∴AC＝＝2．23．证明：（1）∵∠ADE＝∠APD+∠PAD，∠AED＝∠CPE+∠C，又∠APD＝∠CPE，∠PAD＝∠C．∴∠ADE＝∠AED．∴AD＝AE．（2）∵∠APB＝∠CPA，∠PAB＝∠C，∴△APB∽△CPA，得．∵∠APE＝∠BPD，∠AED＝∠ADE＝∠PDB，∴△PBD∽△PEA，得．∴．∴AB•AE＝AC•DB．24．（1）证明：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAB＝∠2．又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∴∠PAB＝∠1．∴PA∥BC．（2）解：连接OA交BC于点G，则OA⊥PA；由（1）可知，PA∥BC，∴OA⊥BC．∴G为BC的中点，∵BC＝24，∴BG＝12．又∵AB＝13，∴AG＝5．设⊙O的半径为R，则OG＝OA﹣AG＝R﹣5，在Rt△BOG中，∵OB2＝BG2+OG2，∴R2＝122+（R﹣5）2，∴R＝16.9，OG＝11.9；∵BD是⊙O的直径，∴DC⊥BC．又∵OG⊥BC，∴OG∥DC．∵点O是BD的中点，∴DC＝2OG＝23.8．25．（1）证明：连接CD；∵DE是圆O的切线，∴∠CDE＝∠CBD．∵∠CBD＝∠DAC，∴∠CDE＝∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴∠CDE＝∠BAD．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CDE＝∠BCD．∴BC∥DE．（2）解：如图，连接CD；∵AD平分∠BAC，∴＝．∴∠BCD＝∠CBD．∴BD＝CD＝2．∵BC∥DE，∴∠E＝∠ACB＝∠ADB．又由（1）中已证得∠CDE＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE．∴AB：BD＝CD：CE．∴CE＝BD•CD÷AB＝．（3）解：应该是∠BAC＝2∠ACB．26．证明：（1）∵CB＝CE，∴∠E＝∠CBE．∵CG为⊙O切线，∴∠BCD＝∠E．∴∠CBE＝∠BCD．∴BE∥DG．（2）∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠CBE．∵∠ACB＝∠ACB，∴△CBF∽△CAB，．∴CB2＝CF•AC＝CF•（CF+AF）＝CF2+CF•AF．即CB2﹣CF2＝AF•CF．由相交弦定理，得AF•CF＝BF•FE．∴CB2﹣CF2＝BF•FE．。
最新圆中切线长及弦切角练习题
圆中切线长及弦切角练习题
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角。
如图中，PA=PB
∠APO=∠BPO
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
即∠CAB=∠ADC
1. (12年北京中考)已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C 作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．求证：BE与⊙O相切；
2. （13北京中考）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O 相切于点A，C，PC交AB 的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E。
求证：∠EPD=∠EDO
3. （13东城二模）如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．求证：AP是⊙O的切线；
4. 已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．
求证：AC∥OP．
5.已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是（）
A．38°； B．52°； C．68°； D．42°．
6.如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线.求证：
⑴ 如果AB//CD，那么AM=MB；
⑵ 如果AM=BM，那么AB//CD.
7.如下图，△ABC的∠BAC的平分线交外接圆于D，交圆的切线BE于E．求证：∠EBD=∠DBC.。
初三数学弦切角及和圆有关的比例线段知识精讲试题
初三数学弦切角及和圆有关的比例线段知识精讲一. 本周教学内容：弦切角及和圆有关的比例线段二. 重点、难点：1. 弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
注意：弦切角必须具备三个条件：〔1〕顶点在圆上〔切点〕，〔2〕一边和圆相切，〔3〕一边和圆相交〔弦〕，三者缺一不可。
2. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
3. 弦切角定理的推论：假如两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
弦切角是和圆有关的角之一，其他几种有圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
这四种角之间的关系及转换是与圆有关的论证及计算的根底。
4. 相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
5. 相交弦定理的推论：假如弦与直径相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
6. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
7. 切割线定理的推论〔或者称割线定理〕：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
本节是本章中综合性最强的局部，是本章及初中平面几何中难点之一。
其中，相交弦定理、切割线定理及割线定理在证明等积式、比例式和线段长度的计算中起着极其重要的作用。
这三个定理实际是一个整体，可以看做相交弦交点从圆内移到圆外，由割线旋转到切线时的结果。
应用定理和推论解题时，要注意数形结合的思想、方程思想的运用。
由于定理和推论的结论都是两条线段乘积的形式，所以一元二次方程更显威力。
例1. 如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C。
求证：∠ATC＝∠TBC证明一：∵TC为⊙O切线，∴∠BTC＝∠A∵∠TBC＝∠A＋∠ATB∴∠TBC＝∠BTC＋∠ATB即∠ATC＝∠TBC证明二：∵∠ETA＝∠TBA又∵∠ATC ＝180°－∠ETA ∠TBC ＝180°－∠TBA ∴∠ATC ＝∠TBC证明三：在上任取一点，连结、EA D AD DT∵TC 为⊙O 切线 ∴∠ATC ＝∠D ∵圆内接四边形ABTD ∴∠TBC ＝∠D ∴∠ATC ＝∠TBC例2. ：如图，AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，AB ＝10cm ，PA ＝4cm ，OP ＝5cm ，求⊙O 的半径。
弦切角定理练习-初三数学
、填空1 已知：如图 7 — 143,直线BC 切O O 于B 点，AB=AC , AD=BD ，那么/ A= ___________ 2. 已知：如图7 — 144,直线DC 与O O 相切于点 C, AB 为直径，AD 丄DC 于D ，/ DAC=28 则/CAB= _______ .3. 已知：如图 7 — 145, PA 切O O 于点 A ，/ P=15°，/ ABC=47 °，则/ C= __________ .4. 已知：如图 7 — 146,三角形 ABC 的/C=90 °，内切圆 0与厶ABC 的三边分别切于 D , E , F 三点，/ DFE=56 °，那么/ B= _______ .延长线于P ,则/ APB 等于（ ）A . 1个B . 2个C . 4个D . 5个 7.已知如图7— 150,四边形ABCD为圆内接四边形，AB 是直 径，MN 切O O 于C 点，/ BCM=38 °，那么/ABC 的度数是A . 38°B . 52°C . 68°D . 42° 三、解答 &已知：如图7 — 152 , PT 与O O 切于C, AB 为直径，/ BAC=60 AD 为O O一弦.求/ ADC 与/ PCA 的度数.9. 已知：如图7— 154,O O 的半径 OA 丄OB ，过A 点的直线交 OB 于P,交OO 于Q,过Q 引O O 的切线交OB 延长线于C,且PQ=QC .求A . 62.5B . 55°C . 50° 40° PB 切O O 于A , B 两点, 直径，则图中与/ PAB 相等的角的个数为（ ）6.已知: 如图 7 — 149,PA, 5. 已知：△ ABC 内接于O O ,Z ABC=25，/ ACB= 75。
，过A 点作O O 的切线交 BC 的 團 7-15010. 已知：如图7 — 160, AC 是O O 直径，PA 丄AC 于A , PB 切O O 于B , BE 丄AC 于E .若 AE=6cm , EC=2cm ，求 BD 的长.11. 已知：如图 7— 185,/ 1 = / 2,O O 过A , D 两点且交 AB , AC 于E , F , BC 切O O 于 D .求证：EF // BC .12. 已知：如图 7— 176，圆内接四边形 ABCD 的AB 边经过圆心，AD , BC 的延长线相交 于E ,过C 点的切线 CF 丄AE 于F .求证：(1 )△ ABE 为等腰三角形；(2 )若 BC=1cm , AB=3cm ，求 EF的长.D C K) 7-185£图 T-17B。
中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理(圆)(附解析答案)
5.中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理（圆）•选择题BD 于 F 点.若/ ADE= 19°,则/ AFB 的度数为何？（点A 、B 重合），则/ ACB 等于（ ）如图为△ABC 和一圆的重迭情形， 此圆与直线BC 相切于C 点，且与AC 交于另一点D.若1. 如图，AB 是O O 的直径, DB DE 分别切O O 于点B 、C,若/ AC 巨25°，则/ D 的度数是2. B. 55° C. 60° D. 65°如图，BD 为圆0的直径, 直线 ED 为圆0的切线，A 、C 两点在圆上，AC 平分/ BAD 且交3. B. 104° C. 116 ° 点P 是O 0外一点，PA PB 分别切O 0于点A B,Z P = 70°, 占 八D. 142 °C 是O O 上的点（不与A. 70°B. 55°C. 70° 或 110°D. 55° 或 125° 4./ A = 70°,/ B= 60°, 则 的度数为何（ B. 60° C. 100 ° D. 120 °如图，AB 是O O 的直径, DE 为O O 的切线，切点为 B,点C 在O O 上，若/ CBE= 40°, 则/A 的度数为（B. 40°C. 50°D. 60°A. 97° A. 30°7.如图，△ ABC 内接于O Q BD 切O O 于点 B, AB= AC 若/ CBD= 40°,则/ ABC 等于（）&如图，四边形ABCD 内接于O Q AB= BCAT 是O Q 的切线，/ BAT= 55 °，则/ D 等于（•：）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120 °B. 50°C. 60°D. 70°A. 110°B. 115°C. 120 °D. 125 °9.如图，AB 为O Q 的直径, C D 为O Q 上的点，直线 MN 切O Q 于V 点，图中与/ BCt 互余 A. 40A. 1个 C. 3个 D. 4个的角有（DB. 2个10.已知：如图，E 是相交两圆O M 和O N 的一个交点，且 ME L NE AB 为外公切线，切点分别为 A B 连接AE BE 则/ AEB 的度数为（C. 135 °D. 130 °二.填空题11.已知，如图，半径为 1 的O M 经过直角坐标系的原点 O,且与x 轴、y 轴分别交于点 A 、0）, O M 的切线OC 与直线AB 交于点C.则/ AC Q度. PC 切O Q 于点C,Z PCB= 35°，则/ B 等于度. 13.如图 PA 切O O 于点 A , / PAB= 30°，则/ AQB= 度，/ ACB= 度.B, AC 是O Q 的直径，且/ BAC= 35°，则/ P =度. OB,点A 的坐标为（-,15•如图，已知直线CD与O O相切于点C, AB为直径•若/ BCD= 35°，则/ ABC的大小等于_______ 度.16•如图四边形ABC［内接于O O AB为直径，PD切O 0于D,与BA延长线交于P点，已知/ BCD= 130。
第06讲 切线长定理与弦切角定理(解析版)-2023-2024学年九年级数学上册同步学与练(人教)
第06讲切线长定理与弦切角定理课程标准学习目标①切线长的定义与切线长定理②三角形的内切圆与内心③弦切角的定义与弦切角定理 1.掌握切线长的定义与切线长定理，并能够熟练的运用切线长解决问题。
2.掌握并能够画三角形的内切圆，掌握三角形的内心极其性质，并能够运用其解决相关问题。
3.掌握弦切角的定义与定理并熟练运用。
知识点01切线长定理1.切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
即如图，若PA 与PB 是圆的切线，切点分别是A 与B，则PA与PB 的长度是切线长。
2.切线长定理：从圆外一点作圆的切线，可以作2条，它们的长度相等。
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
即PA＝PB，∠APO＝∠BPO。
推广：有切线长定理的结论可得：①△APO≌△BPO⇒∠AOP＝∠BOP⇒⌒AM＝⌒AM⇒AB⊥OP。
题型考点：①切线长定理的应用。
【即学即练1】1．如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为7．【解答】解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切线，∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．【即学即练2】2．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D 点，则DF的长为（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，∵BC＝BE+CE＝6，∴BD+CF＝6，∵AD＝AF，∠A＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF＝DF，∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，∴AB+AC＝10，∵BD+CF＝6，∴AD+AF＝4，∵AD＝AF＝DF，∴DF＝AF＝AD＝×4＝2，故选：A．【即学即练3】3．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（）A．5B．7C．8D．10【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，∴PA＝PB，同理可得：CA＝CE，DE＝DB．∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，∴△PCD的周长＝10，故选：D．【即学即练4】4．如图所示，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别和⊙O 切于A ，B 两点，C 是上任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA ，PB 于D ，E ．若△PDE 的周长为12，则PA 的长为（）A ．12B ．6C ．8D ．4【解答】解：∵PA ，PB 分别和⊙O 切于A ，B 两点，∴PA ＝PB ，∵DE 是⊙O 的切线，∴DA ＝DC ，EB ＝EC ，∵△PDE 的周长为12，即PD +DE +PE ＝PD +DC +EC +PE ＝PD +AD +EB +PE ＝PA +PB ＝2PA ＝12，∴PA ＝6．故选：B ．知识点02三角形的内切圆与内心1.内切圆的定义：如图：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。
《弦切角定理》《圆幂定理》练习题及答案
《弦切角定理》定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧的圆周角度数。
那怎么证明呢？《圆幂定理》（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，∴PA PB PC PD ⋅=⋅（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线∴ 2PA PC PB =⋅（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅【精典例题】1、如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的直径，∠P=50°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．50°B ．25°C ．40°D ．60°2、如图，BD 为圆O 的直径，直线ED 为圆O 的切线，A ．C 两点在圆上，AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE ＝19°，则∠AFB 的度数为何？（ ） A ．97°B ．104°C ．116°D ．142°解答：解：∵PA 、PB 是⊙O 的切线， ∴∠OAP =∠OBP =90°， 而∠P =50°，∴∠AOB =360°﹣90°﹣90°﹣50°= 130°， 又∵AC 是⊙O 的直径，∴∠BOC =180°﹣130°=50°． 故选A ．BADB3、如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、67.5°4、已知⊙O 的半径为1，圆心O 到直线l 的距离为2，过l 上任一点A 作⊙O 的切线，切点为B ，则 线段AB 长度的最小值为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、2解答：如右图所示，OA ⊥l ，AB 是切线，连接OB ， ∵OA ⊥l ，∴OA=2， 又∵AB 是切线， ∴OB ⊥AB ，在Rt △AOB 中，AB =22OB OA -=2212-=3．故选C ．5、如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形， 两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管 道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点） 是（ ）A.2mB.3mC.6mD.9m解答：在Rt △ABC 中，BC =8m,AC =6m,AB =22BC AC +=2286+=10． ∵中心O 到三条支路的距离相等，设距离是r ．△ABC 的面积=△AOB 的面积+△BOC 的面积+△AOC 的面积 即：12AC •BC =12AB •r+12BC •r+12AC •r 即：6×8=10r+8r+6r ∴r=4824=2． 故O 到三条支路的管道总长是2×3=6m ．故选C ．解答：解：∵BD 是圆O 的直径， ∴∠BAD ＝90°， 又∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ＝45°， ∵直线ED 为圆O 的切线， ∴∠ADE ＝∠ABD ＝19°，∴∠AFB ＝180°－∠BAF －∠ABD ＝180°－45°－19°＝116°． 故选C ．解答：解：如图：∵PD 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PD ， 又∵OC=CD ， ∴∠COD=45°， 连接AC ，∵AO=CO ， ∴∠ACO=22.5°，∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°． 故选D ．O（第5题图）6、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，要使DE 是⊙O 的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确．．．的是（ ） A. DE ＝DO B. AB ＝AC C. CD ＝DB D. AC ∥OD7、已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于（ ）A 、30°B 、60°C 、45°D 、50°解答：连接OC ，∵OC=OA ，，PD 平分∠APC ，∴∠CPD=∠DPA ，∠A=∠ACO ， ∵PC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥PC ，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°． 故选C ．8、如图，CB 切⊙O 于点B ，CA 交⊙O 于点D 且AB 为⊙O 的直径，点E 是ABD 上异于点A 、D 的一点．若∠C =40°，则∠E 的度数为 ．9、已知：如图，三个半圆以此相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上并与直线y ＝x 相切，设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3的半径分别是r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝解答：由三个半圆依次与直线y ＝x 相切并且圆心都在x 轴上，∴y ＝x 倾斜角是30°，∴得，OO 1=2r 1，OO 1=2r 2，001=2r 3，r 1＝1，∴r3=9．故答案为9．333333解答：当AB=AC 时，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，∴CD=BD ， ∵AO=BO ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∴DE 是⊙O 的切线．所以B 正确． 当CD=BD 时，AO=BO ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ∵DE ⊥AC ∴DE ⊥OD ∴DE 是⊙O 的切线．所以C 正确．当AC ∥OD 时，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ．∴DE 是⊙O 的切线．所以D 正确． 故选A ．ABCD P· OE解答：如图：连接BD ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠ABC =90°， ∵∠C =40°，∴∠BAC =50°，∴∠ABD =40°，∴∠E =∠ABD =40°． 故答案为：40°．10、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC 是直角，AB=3，BC=4，P 是BC 边上的动点，设BP=x ，若能在AC 边上找到一点Q ，使∠BQP=90°，则x 的取值范围是 ．解答：解：过BP 中点以BP 为直径作圆，连接QO ，当QO ⊥AC 时，QO 最短，即BP 最短， ∵∠OQC=∠ABC=90°，∠C=∠C ，∴△ABC ∽△OQC ，∴=，∵AB=3，BC=4，∴AC=5， ∵BP=x ，∴QO=x ，CO=4﹣x ，∴=，解得：x=3，当P 与C 重合时，BP=4，∴BP=x 的取值范围是：3≤x ≤4， 故答案为：3≤x ≤4．11、如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O ，交⊙O 于点C ，∠DAB=∠B=30°. (1)直线BD 是否与⊙O 相切？为什么？ (2)连接CD ，若CD=5，求AB 的长.解答：（1）直线BD 与⊙O 相切．如图连接OD ，CD ， ∵∠DAB=∠B=30°，∴∠ADB=120°， ∵OA=OD ，∴∠ODA=∠OAD=30°，∴∠ODB=∠ADB ﹣∠ODA=120°﹣30°=90°． 所以直线BD 与⊙O 相切．（2）连接CD ，∠COD=∠OAD+∠ODA=30°+30°=60°， 又OC=OD ，∴△OCD 是等边三角形，即：OC=OD=CD=5=OA ，∵∠ODB=90°，∠B=30°，∴OB=10，∴AB=AO+OB=5+10=15．12、已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ． （1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）若DE =2，tan C =12，求⊙O 的直径．【解析】（1）证明：联结OD ． ∵ D 为AC 中点， O 为AB 中点，∴ OD 为△ABC 的中位线． ∴OD ∥BC ． ∵ DE ⊥BC ， ∴∠DEC=90°.∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD ⊥DE 于点D. ∴ DE 为⊙O 的切线．（2）解：联结DB ． ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°． ∴DB ⊥AC ． ∴∠CDB=90°. ∵ D 为AC 中点， ∴AB=AC ．在Rt △DEC 中，∵DE=2 ，tanC=12， ∴EC=4tan DEC=. 由勾股定理得：DC=在Rt △DCB 中， BD=tan DC C ⋅ BC=5. ∴AB=BC=5. ∴⊙O 的直径为5.【巩固练习】1．已知⊙O 的半径为10cm ，如果一条直线和圆心O 的距离为10cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离2．如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于（ ）A. 70°B. 35°C. 20°D. 10°（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）3．如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ，下列结论中，错误的是（ ）A. ∠1=∠2B. PA=PBC. AB ⊥OPD. 2PA PC ·PO4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC=5，则⊙O 的半径为（ ）A.335 B. 635 C. 10 D. 55．如图已知AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么AB ︰CD 等于∠BPD 的（ ）A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 余切6．如图A 、B 、C 是⊙O 上三点，AB ⌒的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC 等于（ ）A. 15°B. 25°C. 30°D. 40°（第6题） （第7题） （第8题） （第9题）7．如图AB 为⊙O 的一条固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C ，作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当C 点在半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ）A. 到CD 的距离不变B. 位置不变C. 等分DB ⌒D. 随C 点的移动而移动8．如图AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD=20，则△ABC 的周长为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 21359．如图在⊙O 中，直径AB 、CD 互相垂直，BE 切⊙O 于B ，且BE=BC ，CE 交AB 于F ，交⊙O 于M ，连结MO 并延长，交⊙O 于N ，则下列结论中，正确的是（ ）A. CF=FMB. OF=FBC. BM⌒的度数是22.5° D. BC ∥MN 10．如图⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P ，已知AP=2cm ，BP=6cm ，CP ︰PD =1︰3，则DP=_________．（第10题） （第11题） （第12题） （第13题）11．如图AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，P 是BA 的延长线上的点，连结PC ，交⊙O 于F ，如果PF=7，FC=13，且PA ︰AE ︰EB = 2︰4︰1，则CD =_________．12．从圆外一点P 引圆的切线PA ，点A 为切点，割线PDB 交⊙O 于点D 、B ，已知PA=12，PD=8，则=∆∆DAP ABP S S :__________．13．⊙O 的直径AB=10cm ，C 是⊙O 上的一点，点D 平分BC ⌒，DE=2cm ，则AC=_____． 14．如图，AB 是⊙O 的直径，∠E=25°，∠DBC=50°，则∠CBE=________．（第14题） （第15题） （第17题） （第18题）15．点A 、B 、C 、D 在同一圆上，AD 、BC 延长线相交于点Q ，AB 、DC 延长线相交于点P ，若∠A=50°，∠P=35°，则∠Q=________．16.在Rt △ABC 中,∠C=90°，AC=12cm ，BC=5cm ，以点C 为圆心，6cm 的长为半径的圆与直线AB 的位置关系是________.17.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A 与BC 相切于点D,与AB 相交于点E,则∠ADE 等于___度. 18.如图,PA 、PB 是⊙O 的两条切线,A 、B 为切点,直线OP 交⊙A 于点D 、E,交AB 于C.图中互相垂直的线段有_________(只要写出一对线段即可).19.已知⊙O 的半径为4cm,直线L 与⊙O 相交,则圆心O 到直线L 的距离d 的取值范围是____.E A PO EC D BA20.如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,切点分别为A 、B,且∠APB=50°,点C 是优弧AB 上的一点,则∠ACB 的度数为________.（第20题） （第21题） （第22题） （第23题）21.如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,D 、E 、F 为切点,∠DOB=73°,∠DOE=120°, 则∠DOF=_______度,∠C=______度,∠A=_______度.22.如图,AB 、AC 为⊙O 的切线,B 、C 是切点,延长OB 到D,使BD=OB,连接AD,如果∠DAC=78°,那么∠ ADO 等于_______23.如图AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结BC 交圆0于点D,连结AD,若∠ABC ＝45°,则下列结论正确的是（ ）A.AD ＝BCB.AD ＝ACC.AC ＞ABD.AD ＞DC24.如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交⊙P 于M,N 两点．若点M 的坐标是(2,-1)，则点N 的坐标是（ ）A ．(2,-4) B. (2,-4.5) C.(2,-5) D.(2,-5.5)（第24题） （第25题） （第26题） （第27题）25、如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，点C 在⊙O 上，BC ∥OD ，AB ＝2,OD ＝3,则BC 的长为（ ）A ．B ． CD26、已知圆O 的半径为R ，AB是圆O 的直径，D 是AB 延长线上一点，DC是圆O 的切线，C 是切点，连结AC ，若∠CAB ＝30°，则BD 的长为（ ）A ．BC ．D 27、如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交⊙A 于M 、M 两点，若点M 的坐标是（-4,-2），则点N 的坐标为（ ）A ．（-1,-2）B ．（1,2）C ．（-1.5,-2）D ．（1.5,-2）PO C BA212123322R R R28、如图，AB 是圆O 的直径，AC 是圆O 的切线，A 为切点，连结BC 交圆于点D ，连结AD ，若∠ABC ＝45°，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．（第28题） （第29题） （第30题） （第31题）29、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D,DE ⊥AC 于E,连接AD,则下列结论正确的个数是( ）①AD ⊥BC ②∠EDA ＝∠B ③OA ＝AC ④DE 是⊙O 的切线A ．1 个B ．2个C ．3 个D ．4个30、一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN ＝60︒，则OP ＝( )A ．50 cmB ．25cm C ．cm D ．50cm 31、如图，DB 为半圆的直径，A 为BD 延长线上一点，AC 切半圆于点E ，BC ⊥AC 于点C ，交半圆于点 F ．已知BD ＝2，设AD ＝x ，CF ＝y ，则y 关于x 的函数解析式是 ．32、如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB ＝60°，BC ＝4cm ，则切线AB ＝ cm.（第32题） （第33题） （第34题） （第35题）33、如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC ＝30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF ＝2，则HE 的长为_________．34、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，切线CD 与OB 的延长线交于点D ，若∠A ＝30°，CD ＝，则⊙O 的半径长为 ．35、如图，在中，，与相切于点，且交于两点，则图中阴影部分的面积是 （保留）．O 12AD BC =12AD AC =AC AB >AD DC >12333503第19题图ABC DO32ABC △120AB AC A BC =∠==，°，A ⊙BC D AB AC 、M N 、π36、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F .∠B ＝50°，∠C ＝60°，连结OE ，OF ，DE ，DF ，则∠EDF 等于( )A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°（第36题） （第73题） （第38题）37、如图，一个边长为4 cm 的等边三角形ABC 的高与⊙O 的直径相等．⊙O 与BC 相切于点C ，与AC 相交于点E ，则CE 的长为________cm.38、如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点(不与点A 重合)，过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连结PA .设PA ＝x ，PB ＝y ，则x －y 的最大值是________．39、如图，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，过C 作半圆的切线，连接AC, 作直线AD ，使∠DAC=∠CAB ，AD 交半圆于E,交过C 点的切线于点D. (1)试判断AD 与CD 有何位置关系,并说明理由; (2)若AB=10,AD=8,求AC 的长.40、如图，点A ，B ，C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连结BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°.(1)求证：BD 是⊙O 的切线； (2)求图中阴影部分的面积．答案：8、据切线长定理有AD=AE，BE=BF，CD=CF；则△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BF+CF+AC=AB+BE+AC+CD=AD+AE=2AD=40．故选C．9、解：A错，F显然不是弦的平分点；B错，F不是半径的中点；C错，M点平分应为45°；D对，∵BE为圆O的切线，∴BE⊥AB，∵CD⊥AB，∴BE∥CD，∴∠BEF=∠DCF，∵BC=BE，∴∠BCE=∠BEF，∴∠BCE=∠DCF，∵OC=OM，∴∠DCF=∠CMN，∴∠BCE=∠CMN，∴BC∥MN．故选D．10、解：如图利用相交弦定理可知：11、根据割线定理，PF*PC=PA*PB，设EB=X则PA=2X，AE=4X，PB=7X7*（7+13）=2X*7X，X2=10在三角形PCE中，CE2=PC2-PE2=400-360=40，CD=2CE=10412、由切割线定理可得PA2=PD×PB，∵PA=12，PD=8 ∴PB=18．由弦切角和公共角易知△PAD∽△PBA．∴S△PAD：S△PBA=PA2：PB2=4：9．⌒，∴OD平分BC，∴OE为△ABC的中位线，13、∵点D平分BC又∵⊙O的直径AB=10cm，∴OD=5cm，DE=2cm，∴0E=3cm，则弦AC=6cm．故答案为6cm．14、连接AC，∵∠DBA和∠DCA都为AD所对的圆周角，∴∠DBA=∠DCA，∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵∠CAB=∠E+∠DCA，∴∠CBD+∠DBA+∠E+∠DBA=90°，∵∠E=25°，∠DBC=50°，∴∠DBA=7.5°，∴∠CBE=∠DBA+∠DBC=57.5°15、∠A=50°,故∠BCD=130°（因为是圆,同弧的角互补)，由P=35°计得∠CDQ=85°,故可以计出∠Q=45°.16.相交 17.60 18.如OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP等. 19.0≤d<4. 20.65°21. 146°,60°,86° 22.64°23、【答案】Ａ 24、【答案】A 25、【答案】A 26、【答案】C27、【答案】C 28、【答案】A 29、【答案】D 30、【答案】A31、 32、【答案】433、【答案】34、【答案】2．3536、B 由∠B ＝50°，∠C ＝60°可求出∠A ＝70°，则易求得∠EOF ＝110°，∴∠EDF ＝12∠EOF ＝55°.37、过O 作OF ⊥AC 于F ，连结OC ，如图．则CE ＝2CF .根据△ABC 为等边三角形，且边长为4 cm ，易求得它的高为2 3 cm ，即OC ＝ 3 cm.∵BC 与⊙O 相切，∴∠OCB ＝90°.又∠ACB ＝60°，∴∠OCF ＝30°.3π3在Rt△OFC中，可得CF＝OC·cos 30°＝3×32＝32(cm)，故CE＝2CF＝3 cm.38、如图，连结OA，过点O作OC⊥AP于点C，所以∠ACO＝90°，AC＝12AP.易证△OAC∽△APB，所以OA AP ＝ACPB，即4x＝x2y，所以y＝x28.所以x－y＝x－x28＝－18(x－4)2＋2，所以x－y的最大值是2.39.(1)AD⊥CD.理由:连接OC,则OC⊥CD.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,又∠OAC= ∠DAC,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC,∴AD⊥CD.(2)连接BC,则∠ACB=90°由(1)得∠ADC=∠ACB,又∠DAC=∠CAB.∴△ACD∽△ABC,∴AC ADAB AC=,即AC2=AD·AB=80,故40、22．(1)证明：如图，连结OB，交CA于点E.∵∠C＝30°，∠C＝12∠BOA，∴∠BOA＝60°.∵∠OAC＝30°，∴∠AEO＝90°.∵BD∥AC，∴∠DBE＝∠AEO＝90°.∴OB⊥BD.∴BD是⊙O的切线．(2)解：∵AC∥BD，∴∠D＝∠OAC＝30°.∵∠OBD＝90°，OB＝8，∴BD＝3OB＝8 3.∴S阴影＝S△BDO－S扇形AOB＝12×8×83－60·π×82360＝323－32π3.。
中考冲刺弦切角定理
【中考冲刺】弦切角定理【中考冲刺】弦切角定理一、选择题（共5小题）1．（2004?威海）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCND．若∠A=70°，∠B=60°，则的度数为何（）6．（2001?无锡）如图，已知AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，∠BAC的平分线交圆O于D，连BD并延长交AC于点C，若∠DAC=40°，则∠B=_________度，∠ADC=_________度．7．（2003?内蒙古）如图，割线PAB过圆心O，PD切⊙O于D，C是上一点，∠PDA=20°，则∠C的度数是_________度．8．（2002?无锡）如图，四边形ABED内接于⊙O，E是AD延长线上的一点，若∠AOC=122°，则∠B= _________度，∠EDC=_________度．9．（2002?太原）如图，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，∠BAC=60°，则∠ADB的度数为_________度．10．（2002?常州）如图，AB为⊙O直径，CE切⊙O于点C，CD⊥AB，D为垂足，AB=12cm，∠B=30°，则∠ECB=_________度；CD=_________cm．11．（1998?台州）如图，PA切⊙O于A点，C是弧AB上任意一点，∠PAB=58°，则∠C的度数是_________度．12．（1998?金华）如图，EF切△ABC的外接圆于C，∠BAC=80°，那么∠BCE=_________度．13．（2010?茂名）如图，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径是AB=2，弦AC=1，则∠CAD=_________度．14．（2003?青岛）如图，△ABC内接于圆⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC=100°，∠BCT=40°，则∠AOB= _________度．三、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷）15．（2004?宿迁）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R．（Ⅰ）求证：RP=RQ；（Ⅱ）若OP=PA=1，试求PQ的长．【中考冲刺】弦切角定理参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．（2004?威海）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCND．若∠A=70°，∠B=60°，则的度数为何（）∴6．（2001?无锡）如图，已知AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，∠BAC的平分线交圆O于D，连7．（2003?内蒙古）如图，割线PAB过圆心O，PD切⊙O于D，C是上一点，∠PDA=20°，则∠C的B=∠的度数为120B=6BC=6cmcm11．（1998?台州）如图，PA切⊙O于A点，C是弧AB上任意一点，∠PAB=58°，则∠C的度数是12215．（2004?宿迁）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R．（Ⅰ）求证：RP=RQ；BP==×PQ=x=得：PF=PQ=2PF=。
初三数学三角形内切圆弦切角定理相交弦定理切割线定理例题解析浙江试题
卜人入州八九几市潮王学校初三数学三角形内切圆弦切角定理相交弦定理切割线定理例题解析一.本周教学内容三角形内切圆弦切角定理相交弦定理切割线定理二.教学目的掌握三角形内切圆的有关概念，作图；掌握弦切角定理并会运用弦切角定理进展有关的证明和计算；掌握相交弦定理和切割线定理进展有关的证明计算。
三.重、难点重点：弦切角定理、相交弦定理、切割线定理的证明及其应用难点：弦切角定理的分类证明；节例1的教学[例1]ABC ∆的内切圆半径为3=r ，D 、E 、F 为切点，︒=∠60ABC ，BC=8，310=∆ABC S ，求AB 、AC 的长。
解：连OD 、OB ∵BC 、BA 是⊙O 的切线∴BC OD ⊥，︒=∠=∠3021ABC OBD 又∵3==r OD OD BD OBD =∠cot ∴BD=OD 330cot =︒ ∴5=-=BD BC DC∴由切线长定理得3==BD BE ，5==CD CF 设x AF AE ==∵AOC AOB BOC ABCS S S S ∆∆∆∆++=r AC r AB r BC ⋅+⋅+⋅=212121 ∴310338=+x ∴2=x 故5=AB 7=AC精析：在三角形的内切圆问题中，常用以下几点：〔1〕分解成切线长定理〔2〕ABC ABCC r S ∆∆⋅⋅=21 〔3〕ABC Rt ∆中2c b a r -+=[例2]AB 是⊙O 的直径，过B 作⊙O 的切线BC ，OC 交⊙O 于E ，AE 的延长线交BC 于D 。
〔1〕求证：CB CD CE⋅=2〔2〕假设cm BC AB 2==求CE 、CD 的长。
证：〔1〕连BE CED ∆⇒∽CECD CB CE CBE =⇒∆CB CD CE ⋅=⇒2 〔2〕在OBC Rt ∆中，121===AB OE OB ，2=BC ∴5=OC ∴15-=-=OE OC CE 由CB CD CE ⋅=2 得5325262-=-==CB CE CD 精析：弦切角定理沟通了弦切角，圆心角，圆周角，弧的度数四者之间的关系。
弦切角
例 如图，AD 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的弦，过C 作AD 的垂线，垂足为B ，CB 与⊙O 相交于点E ，AE 平分∠CAB ，且AE=2，求△ABC 各边的长． 解：∵AD 为⊙O 的切线，∴∠BAE=∠C ，∵AE 平分∠CAB ，∴∠BAC=2∠BAE ，又∵∠C+∠BAC=90°，∴∠BAE=∠C=30°．则有BE=1，AB=3，BC=3，AC=23．说明：此题应用弦切角、解直角三角形的知识，为基础题型．例 （吉林省，2000）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，直线XY 切⊙O 于点C ，弦BD ∥XY ，AC 、BD 相交于点E ． （1）求证：△ABE ≌△ACD ；（2）若AB=6cm ，BC=4cm ，求AE 的长． 证明（1）：∵XY 是⊙O 的切线，∴∠1=∠2∵BD ∥XY ，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠3=∠4，∴∠2=∠4．∵∠ABD=∠ACD ，又∵AB=AC ．∴△ABE ≌△ACD ．解（2）：∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB ，∴△BCE ∽△ACB ∴CBCEAC BC =，∴2BC CE AC =⋅，即2BC )AE AC (AC =-⋅．∵AB=AC=6，BC=4，∴16)AE 6(6=-．∴310AE =（cm ） 说明：①此题利用平行线、弦切角、圆周角等角的转换；②建立方程求线段的长度．例 如图，P 为⊙O 的直径CB 延长线上的一点，A 为⊙O 上一点，若 =，AE 交BC于D ，且∠C=21∠PAD. （1） 求证：PA 为⊙O 的切线；（2） 若∠BEA=30°，ＢＤ＝１，求ＡＰ及ＰＢ长。
证明（1）：连结AO ，∵ = ，BC 为直径， ∴AE ⊥BC ，AD=DE ，=∵OA=OB ，∴∠C=∠3，∴∠1=2∠C又∵∠C=21∠PAD ，∴∠1=∠2∵∠1 +∠4=90°，∴∠2 +∠4=90°，∴PA ⊥OA ∴PA 为⊙O 的切线.解（2）：在Rt △EBD 中，∵∠BEA=30°，ＢＤ＝１. ∴BE=2，DE=3 在Rt △ODA 和Rt △EBD 中∠4=90°-∠1=90°-2∠C=90°-2∠E=30°=∠E ，∠ODA=∠BDE ，AD=EDCEO AB D O E1234A BCDEO1234∴Rt △ODA ≌Rt △EBD ，∴AD=DE=3 ，OD=BD=1，OA= BE=2.在Rt △OAP 中，∵AD ⊥OP ，∴AD 2=OD ·DP ，即23=1·DP ，∴DP=3，∴BP=2在Rt △ADP 中 根据勾股定理，得 AP=32332222=+=+DP AD ．说明：此题为综合型题目．它主要应用弦切角、垂径定理、切线的判定、三角形全等和方程思想．典型例题四例 如图，AD 是ABC ∆的角平分线，以AD 为弦的圆与BC 相切于D 点，⊙O 交AB 、AC 于点E 、F ，求证：AF BE CF AE ⋅=⋅.分析：要证乘积式AF BE CF AE ⋅=⋅，只需证比例式CFAFBE AE =，应证BC EF // 证明 连结ED ，Θ⊙O 与BC 相切于D ，BAD BDE ∠=∠Θ AD Θ平分BAC ∠，DAC BAD ∠=∠∴，又DEF DAC ∠=∠， DEF BDE ∠=∠∴，故BC EF //. CFAFBE AE =∴，即AF BE CF AE ⋅=⋅. 说明：本题思路明确，转证乘积式为比例式，但在创建平行线过程中，弦切角与圆周角的性质起到关键作用.典型例题五例 如图，AB 为⊙O 的直径，过B 点作⊙O 的切线BC ，OC 交⊙O 于点，AE 的延长线交BC 于点D ，（1）求证：CB CD CE ⋅=2；（2）若2==BC AB 厘米，求CE 、CD 的长.分析：要证CB CD CE ⋅=2，即要证CED ∆∽CBE ∆. 证明（1）连结BE .CED ∆⇒∽CD CB CE CECBCD CE CBE ⋅=⇒=⇒∆215-=⇒CE又CB CD CE ⋅=2Θ，2=CB ，)53(2)15(2-=⇒=-∴CD CD 厘米.说明：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件.典型例题六例 如图，已知AD 是圆的弦，，DE 是圆的切线，并且与弦AB 的延长线相交于点E ，求证：AE AC AD ⋅=2.分析：欲证明乘积式AE AC AD ⋅=2，只需证比例式ADAEAC AD=，只需证明ACD ∆∽ADE ∆.证明Θ，DAC EAD ∠=∠∴，又CD 是圆的切线，ACD ADE ∠=∠∴ 故ACD ∆∽ADE ∆， ADAE AC AD =∴，即AC AE AD ⋅=2. 说明：本题着重考查圆周角、弦切角以及创建相似三角形证明比例线段的基础知识和基本方法.本题是1996年上海中等学校招生试题，难度不大，但体现了证题的基本方法.典型例题七例 如图，已知AB 为⊙O 的弦，CD 切⊙O 于P ，CD AC ⊥于C ，DC BD ⊥于D ，AB PQ ⊥于Q ，求证：BD AC PQ ⋅=2.分析：要证BD AC PQ ⋅=2，只需证BDPQPQ AC =，但要直接证明有困难，考虑通过过渡比来解决.证明连结PA 、PBBD AC PQ BD PQ PQ AC BD PQ BP AP BP AP PQ AC ⋅=⇒=⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⇒2:同理 说明：证明线段成比例，如果直接证明比较困难，就要想方设法找出过渡线段或过渡比，本例中的BPAP就是过渡比.典型例题八例 已知：如图，设P 是正三角形ABC 外接圆上的一点，AP 交BC 于D .求证：（1）PC PB PA += （2）PC PB BC PA ⋅+=22（3）PC PB PD 111+= 证明 （1）在PA 上截取PB AE =，连结EC . ABC ∆Θ是正三角形 AC BC =∴又PBC ∆Θ≌EAC ∆ ECA PCD ∠=∠∴ ︒=∠+∠60ECB ECA Θ，︒=∠+∠∴60ECB PCD .即︒=∠60PCE 又︒=∠=∠60CBA CPE Θ， PCE ∆∴是等边三角形 PE PC =∴PB PC AE PE PA +=+=∴. 即PB PC PA +=（2）︒=∠=∠60APC BPD Θ，CBP CAP ∠=∠， PBD ∆∴∽PAC ∆，PD PC PB PA ::=∴即PB PC PD PA ⋅=⋅.又︒=∠=∠60BPA ABC Θ，BAP BAD ∠=∠， PAB ∆∴∽BAD ∆AD AB AB PA ::=∴AD PA AB ⋅=∴2由上所得：PC PB AB AD PA PD PA ⋅+=⋅+⋅2又AD PD PA +=ΘPC PB AB AD PD PA ⋅+=+∴2)(即PC PB AB PA ⋅+=22又BC AB =Θ，PC PB BC PA ⋅+=∴22（3）由PC PB PD PA ⋅=⋅知，等式两边同时除以PD PC PB ⋅⋅，得：PCPB PAPD ⋅=1 由PC PB PA +=知，PB PC PC PB PC PB PD 111+=⋅+=∴ 即PCPB PD 111+=∴. 说明：本题利用圆中知识点，证明三角形相似，然后推出有关的比例式，证明结论.这是一道典型的综合题.有一定难度，望同学们多思考，多训练从而达到巩固知识，提高能力的目的.典型例题九例 如图，CD 为⊙O 的直径，AE 切⊙O 于B ，DC 的延长线交AB 于A ，︒=∠62DBE .求：A ∠的度数.解 连结CB .∵BE 切⊙O 于B ，.62︒=∠∴DCB ∵CD 为直径，.90︒=∠∴CBD.28.286290︒=∠∴︒=︒-︒=∠∴CBA D在ABC ∆中，.342862︒=︒-︒=∠-∠=∠CBA DCB A .34︒=∠∴A说明：本题考查弦切角性质，解题关键是连结BC ，构造弦切角，易错点是不能正确作出辅助线.典型例题十例 （黑龙江省，1999）已知四边形ABCD 为圆内接四边形，AD 为圆的直径，直线MN 切圆于B ，DC 的延长线交MN 于G ，若23cos =∠ABM ，则BCG ∠tan 的值为多少？解 连结BD .∵MN 为⊙O 的切线，.ADB ABM ∠=∠∴.30.30,23cos ︒=∠∴︒=∠∴=∠ADB ABM ABM Θ AD Θ为⊙O 的直径，.90︒=∠∴ABD .6090︒=∠-︒=∠∴ADB A∵四边形ABCD 为圆内接四边形，.A BCG ∠=∠∴.360tan tan tan =︒=∠=∠∴A BCG说明：本题综合考查弦切角与三角函数知识，解题关键是连BD ，构成直角三角形，易错点是记错特殊角的三角函数值.典型例题十一例 （北京市海淀区，2000）已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，A 是的中点，过A 点的切线与CB 的延长线相交于点E.（1）求证：BE CD DA AB ⋅=⋅；（2）若点E 在CB 延长线上运动，点A 在上运动，使切线EA 变为割线EF A ，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要画出示意图，注明条件，不要求证明）.证明 （1）连结AC . ∵A 是的中点，∴∴EA 切⊙O 于点A ，点C 在⊙O 上，.321∠=∠=∠∴∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， .D ABE ∠=∠∴..BE CD DA AB DABECD AB ⋅=⋅∴=∴解 （2）如图，具备条件（DF BF =或DCA BCF ∠=∠或DCA BAF ∠=∠，或BD FA //等），使原结论成立.说明：本题主要考查弦切角的应用.解题关键是作辅助线，使构成的CDA ∆与ABE ∆相似，易错点是画不出或画错（2）小题的图形.选择题1．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O的切线PC 交AB 的延长线于点P ，∠PCB ＝25°，则∠ADC 为（ ）(A)105° (B)115° (C)120° (D)125°2．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）23 （D ）43．如图，直线BC 切⊙O 于点A ，则图中的弦切角共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，PC 是⊙O 的切线，切点为C ，︒=∠35BAC ，那么ACP ∠等于（）A ．︒35B ．︒55C ．︒65D ．︒1255．如图，在⊙O 中，AB 是弦，AC 是⊙O 的切线，A 是切点，过B 作AC BD⊥于D ，BD 交⊙O 于E 点，若AE 平分BAD ∠，则ABD ∠=（）A ．︒30B ．︒45C ．︒50D ．︒606．如图，⊙O 与⊙O '交于A ，B ，⊙O的弦AC 与⊙O '相切于点A ，⊙O '的弦AD 与⊙O 相切于A 点，则下列结论中正确的是（）CDOACD BFA ．21∠>∠B ．21∠=∠C ．21∠<∠D ．无法确定7．如图，E 是⊙O 内接四边形ABCD 两条对角线的交点，CD 延长线与过A 点的⊙O 的切线交于F 点，若︒=∠44ABD ，︒=∠100AED ，，则AFC ∠的度数为（）A ．︒78B ．︒92C ．︒34D ．︒1458．如图，AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，PC 是⊙O 的切线，切点为C ，︒=∠35BAC ，那么ACP ∠等于（ ）．A ．︒35B ．︒55C ．︒65D ．︒1259．如图，经过⊙O 上的点A 的切线和弦BC 的延长线相交于点P ，若︒=∠40CAP ，︒=∠100ACP ，则BAC ∠所对的弧的度数为（ ）．A ．︒40B ．︒100C ．︒120D ．︒3010．过圆内接ABC ∆的顶点A 引切线交BC 延长线于D ，若︒=∠35B ，︒=∠80ACB ，则D ∠为（ ）．A ．︒45B ．︒50C ．︒55D ．︒6011．过圆内接四边形ABCD 的顶点C 引切线MN ，AB 为圆直径，若︒=∠38BCM ，则ABC ∠为（ ）． A ．︒38 B ．︒52 C ．︒68 D ．︒42 答案：1．D 2. C 3. D 4. B 5. A 6. B 7. C. 8．B ；9．C ；10．A ；11．B.填空题1.已知一个圆的弦切角等于50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为 ．O ACBE2.如图，AB 是直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，若CD 切⊙O 于C 点，则∠CAB 的度数为 ，∠DCB 的度数为 ，∠ECA 的度数为 ．3.如图，AB ，AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C 、D 是优弧上的点，已知︒=∠80BAC ，那么______=∠BDC 度。
2024-2025学年初中数学九年级上册(人教版)同步练习第06讲切线长定理与弦切角定理(原卷版)
第06讲切线长定理与弦切角定理课程标准学习目标①切线长的定义与切线长定理②三角形的内切圆与内心③弦切角的定义与弦切角定理1.掌握切线长的定义与切线长定理，并能够熟练的运用切线长解决问题。
2.掌握并能够画三角形的内切圆，掌握三角形的内心极其性质，并能够运用其解决相关问题。
3.掌握弦切角的定义与定理并熟练运用。
知识点01 切线长定理1.切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA 与PB的长度是切线长。
2.切线长定理：从圆外一点作圆的切线，可以作条，它们的长度。
圆心和这一点的连线两条切线的夹角。
即P A PB，∠APO∠BPO。
推广：有切线长定理的结论可得：①△APO△BPO⇒∠AOP∠B OP⇒AM⌒AM⌒⇒AB OP。
题型考点：①切线长定理的应用。
【即学即练1】1．如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为．【即学即练2】2．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D 点，则DF的长为（）A．2B．3C．4D．6【即学即练3】3．如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝5，则△PCD的周长为（）A．5B．7C．8D．104．如图所示，P是⊙O外一点，P A，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交P A，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则P A的长为（）A．12B．6C．8D．4知识点02 三角形的内切圆与内心1.内切圆的定义：如图：与三角形各边都的圆叫三角形的。
三角形叫做圆的。
2.内心：三角形的的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角的交点。
所以圆心到三角形三边的距离相等。
九年级数学弦切角定理知识精讲 四年制 试题
九年级数学弦切角定理知识精讲一. 本周教学内容：弦切角定理二. 重点、难点： 1. 弦切角的判别方法 2. 弦切角定理的使用特征[例1]交AD 于连∵又 ∴ BP ⊥AP[例2] PBA 为过圆心的割线，PC 切⊙O 于C ，D 为⋂AC 中点。
〔1〕假设BP=5，PC=15，求BC 的长。
〔2〕假设︒=∠55DAB ，求PCB ∠的度数。
.ADBPC解：〔1〕连AC ∵ PC 切⊙O 于C ∴ PAC PCB ∠=∠ 又 ∵ P P ∠=∠ ∴ PBC ∆∽PCA ∆ ∴3515====PC PA BP PC BC AC 4551522===BP PC AP ∴ 40545=-=-=PB PA AB 设x BC =，那么x AC 3=，在ABC Rt ∆中，22240)3(=+x x ∴ 104=x〔2〕∵ ︒=∠55DAB ∴ ︒⋂110mBD∴ ︒⋂70m AD 又 ∵ ⋂⋂=DC AD ∴ ︒⋂140mAC∴ ︒⋂40mBC∴ ︒=∠⋂2021mBC m PCB[例3] 圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于M ，点B 是⋂ABC 的中点，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，试问：与PBA ∠相等的角有几个？解：6个7654321∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠[例4] AC 切⊙O 于A ，CDB 为割线，AC=AB ，E 为⋂AB 的中点，求证：四边形ACDE 为平行四边形。
证明：连AD ∵ AC ∴ C ∠=∠1∴ B C ∠=∠=∠=∠=∠321 ∴ AC ∥DE又 ∵ ∠E=∠B ∴ ∠3=∠E ∴ AE∥CD ∴ ACDE 为平行四边形[例5] ABC ∆内接于⊙O ，AB=AC ，DC 切⊙O 于C ，交AB 延长线于D 点，DE ⊥AC 于E ，求证：BD=2CE 。
证明：延长CE ∵ AB=AC ∴ ∠1=∠2 ∵ DC 与⊙O 相切 ∴ ∠3=∠A∵ CE=EF ，DE ⊥AC ∴ DC=DF ∴ ∠4=∠F在ABC ∆中，有︒=∠+∠+∠18021A 又知︒=∠+∠+∠180432 ∴ ∠1=∠4 ∴ ∠2=∠F ∴ BC ∥DF ∴ AD=AF ∴ BD=CF ∴ BD=2CE一. 选择题：1. ABC ∆中，︒=∠35B ，︒=∠80C ，过点A 作ABC ∆外接圆的切线交BC 延长线于D ，那么=∠D 〔 〕A. ︒45B. ︒50C. ︒55D. ︒602. 如图，AC 切⊙O 于A ，BD ⊥AC 于D ，交⊙O 于E ，假设AE 平分BAC ∠，那么=∠ABD 〔A. ︒78B. ︒92C. ︒34D. ︒146二. 填空题：三. 证明题：如图，PA 为切线，PBC 为割线，PM 为PAC ∆的中线，求证：122=⋅ADBDPB PA ABPMCD[参考答案]一. 选择题：1. A2. A3. C4. C 二.1. ︒90；︒342. cm 24 三.提示：延长PM 至K ，使KM=MP ，连AK ，易知CMP AMK ∆≅∆〔SAS 〕 故K ∠=∠1 AK ∥PC ，BPPCBP AK BD AD == 又由PBA ∆∽PAC ∆知22PBPA PB PA PA PC BP PC =⋅=励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
数学人教版九年级上册弦切角
∠ABT+∠TBC=180°
∴∠ATC=∠TBC
小结: 1、弦切角的概念、定理、 弦切角定理及初步应用。 2、弦切角定理的发现与证明 是从特殊情况入手，再推广到一般 的过程，这是解决数学问题的一种 重要方法，其证明体现了分情况证 明数学命题的思想和方法，
深化结论
练习： 如图7-138，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦， 若AB＝AC，那么∠DAB和∠EAC是否相等?为什么?
概念引入
1、什么叫直线与圆相切？ 2、什么叫圆周角？ 3、圆周角定理是什么？ 4、观察右图回答： A E C B
圆上 相交 ∠EAC的顶点在_____________, 一边与圆_______ 相切 另一边与圆___________________.
弦切角的定义: 顶点在圆上,一边与圆相交,另一边与 圆相切的角叫弦切角.
相等
பைடு நூலகம்型例题
例题：已知:AB是⊙O的直径,AC是弦, 直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足是D. B 求证:AC平分∠BAD. 证明：连结BC. ∵CD切⊙O于C， O
A
E C D
∴∠ABC=∠ACD， ∵AB为⊙O直径，∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90
∵AD⊥CE，∴∠ADC=90 ∴∠ACD+∠CAD=90
∴∠BAC=∠DAC ∴AC平分∠BAD。
典型例题
例题：已知:AB是⊙O的直径,AC是弦, 直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足是D. 求证:AC平分∠BAD. B O 123 A D C
E
思路二:连结OC，由切线性质， 可得OC∥AD，于是有∠1＝∠3， 又由于∠1＝∠2，可证
练习巩固
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一、填空
1．已知：如图7－143，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____．
2．已知：如图7－144，直线DC与⊙O相切于点C，AB为直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°，则∠CAB=____ ．
3．已知：如图7－145，PA切⊙O于点A，∠P=15°，∠ABC=47°，则∠C= ____．
4．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么∠B=____．
二、选择
5．已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于（）
A．62.5°B．55°
C．50°D．40°
6．已知：如图 7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径，
则图中与∠PAB相等的角的个数为（）
A．1 个B．2个C．4个D．5个
7．已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，
MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是
A．38°B．52°C．68°D．42°
三、解答
8．已知：如图7－152，PT与⊙O切于C，AB为直径，∠BAC=60°，
AD为⊙O一弦．求∠ADC与∠PCA的度数．
9．已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于
P，交⊙O于Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求
∠A的度数．
10．已知：如图7－160，AC是⊙O直径，PA⊥AC于A，PB切⊙O于B，BE⊥AC于E．若AE=6cm，EC=2cm，求BD的长．
2
11．已知：如图7－185，∠1=∠2，⊙O过A，D两点且交AB，AC于E，F，BC切⊙O于D．求证：EF∥BC．
12．已知：如图7－176，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF⊥AE于F．求证：
（1）△ABE为等腰三角形；
（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．。