九年级(上)第五章 中心对称图形(二) 课时练习 第18课时 数学活动

第18课时数学活动（附答案）

1．如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm，BD=200 cm，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少?

2．若B、C是线段AD上的两点，且AB=CD，分别以AB、BC、CD、AD为直径作四个半圆，得到一个如图所示的轴对称图形．此图的对称轴分别交其中两个半圆于点M、N，交AD于点O．若AD=16，AB=2r(0

(1)用含r的代数式表示：BC= ________，MN= ________．

(2)设以MN为直径的圆的面积为S，阴影部分的面积为S阴影，请通过计算填写下表：

(3)由此猜想S与S阴影的大小关系，并证明你的猜想．

3．在学习扇形的面积公式时，同学们推导出2

360

n R S π=扇形，并通过比较扇形面积公式与弧长公式180n R l π=

，得出扇形面积的另一种计算方法1

2

lR S =扇形． 接着老师让同学们解决两个问题：

问题Ⅰ．求弧长为4π、圆心角为1200的扇形面积．

问题Ⅱ．某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分，已知AB 和CD 所在圆的圆心都是点O ，AB 的长为l 1，CD 的长为l 2，AC=BD=d ，求花坛的面积． (1)请你解答问题Ⅰ．

(2)在解完问题Ⅱ后的全班交流中，有位同学发现扇形面积公式1

2

lR S =

扇形类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积()121

2

S d l l =

+．他的猜想正确吗? 如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．

4．下面让我们来探究有关材料的利用率问题：工人师傅要充分利用一块边长为100 cm 的正三角形薄铁皮材料(如图①)来制作一个圆锥体模型(制作时接头部分所用材料不考虑)． (1)求这块三角形铁皮的面积(结果精确到0.0l cm 2)．

(2)假如要制作的圆锥是一个无底面的模型，且使三角形铁皮的利用率最高，请你在图②中画出裁剪方案的草图，并计算出铁皮的利用率(精确到1%)．

(3)假如要用这块铁皮裁一块完整的圆形和一块完整的扇形，使之配套，恰好做成一个封闭的圆锥模型，且使铁皮得到充分利用，请你设计一种裁剪方案，在图③中画出草图，并计算出铁皮的利用率(精确到1％)．

参考答案

1．这扇圆弧形门的最高点离地面的高度是520 cm 2．(1)16-4r 16-2r

(3)

()2

22

64161628

2S r r r r

ππ

πππ===-+-⎛⎫- ⎪⎝⎭

，

()2

222

11641622828r r S r r

πππ

πππ=⨯-+=-+-阴影

S=S ∴阴影

3．(1)把l=4π，n=120代人180

n R

l π=

得 R=6． ∴11

461222

l R S ππ==⨯⨯=扇形

(2)正确 设OA=R 1，OC=R 2，∠AOB=n 0，则∠COD= n 0，d= R 1- R 2，

()122121121111

S=2222

d l l l l l R R R -=+-

()

21212l l R -= 1221

2180

180n n R R R ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()21

212180n R R R π=⨯- =

2211

21802

n d d R l π⨯=

∴S=

()1212

111

222d d d l l l l +=+ 4．(1)过点A 作AD ⊥BC 于点D(图略)．

△ABC 是等边三角形，∴BD=1

2

BC=50(cm)．

根据勾股定理，得=(cm)．

∴1

1004330.132

ABC S ∆=⨯⨯=≈ (cm 2)

(2)如图①，当扇形与BC 边相切时，三角形铁皮的利用率最高．

(2

601

750012503926.99360

6

S πππ=⨯⨯

=⨯⨯=≈ 3 926．99(cm 2)． ∴利用率

3927

100%91%4330

⨯≈ (3)方案1：如图②，扇形与☉O 相切于点E ，☉O 与BC 相切于点E ．则A 、E 、O 、D 在同一直线上，且AE ⊥BC ．

设扇形半径为x cm ，☉O 半径为y cm ，则

602180

x xy π=．

∴

64.95x =

≈

,10.83y =≈. ∴利用率≈60％ 方案2：如图③．☉O 与半圆☉D 相切于点E ，☉O 与AB 、AC 相切于点F 、G ，连接OF ，则OF ⊥AB ，设☉D 的半径为x cm ，设☉O 的半径为y cm,

BAD ∠=300, ∴AO=2y. 则

32y x x y ππ⎧+=⎪⎨

=⎪⎩

∴x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩. ∴利用率≈65％ 方案3：如图④，扇形与☉O 相切于点E ，☉O 与AB 、BC 分别相切于点F 、G ，连接AO 、OF 、OB ，则AO 过点E ，OF ⊥ AB ，BO 平分∠ABC ，设☉O 的半径为y cm ，扇形的半径为x cm ，则有OB=2y ，

．

602180x

xy π=,∴x=6y. ∴AF=

=,

AF+BF=100

，∴

．

∴y x ⎧

=⎪⎨

⎪=⎩

利用率≈68％