《数学建模思想方法大全及方法适用范围》

数学中国国赛专题培训（一）

《数学建模思想方法大全及方法适用范围》

主讲人：厚积薄发（冰强，BruceJan）

第一篇：方法适用范围

一、统计学方法

1.1多元回归

1、方法概述：

在研究变量之间的相互影响关系模型时候，用到这类方法，具体地说：其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。

2、分类

分为两类：多元线性回归和非线性线性回归；其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如：y=lnx 可以转化为 y=u u=lnx来解决；所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。

3、注意事项

在做回归的时候，一定要注意两件事：

（1）回归方程的显著性检验（可以通过sas和spss来解决）

（2）回归系数的显著性检验（可以通过sas和spss来解决）

检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。

4、使用步骤：

（1）根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系；

（2）选取适当的回归方程；

（3）拟合回归参数；

（4）回归方程显著性检验及回归系数显著性检验

（5）进行后继研究（如：预测等）

1.2 聚类分析

1、方法概述

该方法说的通俗一点就是，将n个样本，通过适当的方法（选取方法很多，大家可以自行查找，可以在数据挖掘类的书籍中查找到，这里不再阐述）选取m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离Xij，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法（一个样本归于一个类也就意味着，该样本距离该类对应的中心距离最近）来聚类，从而可以得到聚类结果，如果利用sas软件或者spss软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图。

这种模型的的特点是直观，容易理解。

2、分类

聚类有两种类型：

（1）Q型聚类：即对样本聚类；

（2）R型聚类：即对变量聚类；

通常聚类中衡量标准的选取有两种：

（1）相似系数法

（2）距离法

聚类方法：

（1）最短距离法

（2）最长距离法

（3）中间距离法

（4）重心法

（5）类平均法

（6）可变类平均法

（7）可变法

（8）利差平均和法

在具体做题中，适当选区方法；

3、注意事项

在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易，这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理。

4、方法步骤

（1）首先把每个样本自成一类；

（2）选取适当的衡量标准，得到衡量矩阵，比如说：距离矩阵或相似性矩阵，找到矩阵中最小的元素，将该元素对应的两个类归为一类，（3）重新计算类间距离，得到衡量矩阵

（4）重复第2步，直到只剩下一个类；

补充：聚类分析是一种无监督的分类，下面将介绍有监督的分类。

1.3数据分类

1、方法概述

数据分类是一种典型的有监督的机器学习方法，其目的是从一组已知类别的数据中发现分类模型，以预测新数据的未知类别。这里需要说明的是：预测和分类是有区别的，预测是对数据的预测，而分类是类别的预测。

2、分类方法：

（1）神经网路

（2）决策树（这里不再阐述，有兴趣的同学，可以参考数据挖掘和数据仓库相关书籍）

3、注意事项

神经网路适用于下列情况的分类：

（1）数据量比较小，缺少足够的样本建立数学模型；

（2）数据的结构难以用传统的统计方法来描述

（3）分类模型难以表示为传统的统计模型

神经网路的优点：

分类准确度高，并行分布处理能力强，对噪声数据有较强的鲁棒性和容错能力，能够充分逼近复杂的非线性关系，具备联想记忆的功能等。

神经网路缺点：

需要大量的参数，不能观察中间学习过程，输出结果较难解释，会影响到结果的可信度，需要较长的学习时间，当数据量较大的时候，学习速度会制约其应用。

4、步骤

（1）初始化全系数

（2）输入训练样本

（3）计算实际输出值

（4）计算实际输出值和期望输出值之间的误差

（5）用误差去修改权系数

（6）判断是否满足终止条件，如果满足终止，否则进入第二步

1.4判别分析

1、概述

其是基于已知类别的训练样本，对未知类别的样本判别的一种统计方法，也是一种有监督的学习方法，是分类的一个子方法！

具体是：在研究已经过分类的样本基础上，根据某些判别分析方法建立判别式，然后对未知分类的样本进行分类！

2、分类

根据判别分析方法的不同，可分为下面几类：

（1）距离判别法

（2） Fisher判别法

（3） Bayes判别法

（4）逐步判别法

关于这几类的方法的介绍，大家可以参考《多元统计学》，其中比较常用的是bayes判别法和逐步判别法

3、注意事项：

判别分析主要针对的是有监督学习的分类问题。共有四种方法，这里重点注意其优缺点：

（1）距离判别方法简单容易理解，但是它将总体等概率看待，没有差异性；

（2） Bayes判别法有效地解决了距离判别法的不足，即：其考虑了先验概率——所以通常这种方法在实际中应用比较多！

（3）在进行判别分析之前，应首先检验各类均值是不是有差异（因为判别分析要求给定的样本数据必须有明显的差异），如果检验后某两个总体的差异不明显，应将这两个总体合为一个总体，再由剩下的互不相同的总体重现建立判别分析函数。

（4）这里说明下Fisher判别法和bayes判别法的使用要求：两者对总体的数据的分布要求不同，具体的，Fishe要求对数据分布没有特殊要求，而bayes 则要求数据分布是多元正态分布，但实际中却没有这么严格！

（5）可以利用spss，sas等软件来轻松实现

4、方法步骤

这里以bayes判别法为例讲述

（1）计算各类中变量的均值xj及均值向量xh，各变量的总均值xi及均值向量x

（2）计算类内协方差及其逆矩阵

（3）计算bayes判别函数中，各个变量的系数及常数项并写出判别函数（4）计算类内协方差矩阵及各总协方差矩阵做多个变量的全体判别效果的检验

（5）做各个变量的判别能力检验

（6）判别样本应属于的类别

1.5主成分分析

1、概述

主成分分析是一种降维数的数学方法，具体就是，通过降维技术立将多个变量化为少数几个主成分的统计分析方法。在建模中，主要用于降维，系统评估，回归分析，加权分析等等。

2、分类（无）

3、注意事项