列方程解应用题-------古代数学问题

我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶（如图），请问这根藤条有多长（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺）．本题是一道古代数学题，由于树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕，我们可以按

图的方法，转化为平面图形来解决．

解答：解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，

AB2=BC2+AC2，

因为BC=20，AC=3×7=21，

所以AB2=202+212=841，

所以AB=29，

所以这根藤条有29尺．

原文解法：术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」先做一个5和7的公倍数，且要除3余1的，得到70；

然后做一个3和7的公倍数，且要除5余1的，得到21；

最后做一个3和5的公倍数，且要除7余1的，得到15；

然后按题目中余数的大小将上面的数字倍大再相加：70*2+21*3+15*2=233

233其实已经满足条件了，但是一般我们是要最小的，怎么办呢？很简单，减3、5、7的最小公倍数105直到得出最小整数为止：233-105*2=23

有100个和尚分100只馒头，正好分完。如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大、小和尚各有几人？

--------------------------------------------------------------------------------本问题的解法甚多，最普通、最常规的办法当然是列出一个方程来求解，这很容易做到，但其流弊是一般化、程式化，对开发智力不利。

现在介绍一种别开生面的“编组法”。《直指算法统宗》里的话是：“置僧一百为实，以三一并得四为法除之，得大僧二十五个。”所谓“实”便是“被除数”，“法”便是“除数”。其办法是：

100÷（3+1）=25，100-25=75。

这是一种“编组法”，由于大和尚一人分3只馒头，小和尚3人分一只馒头。合并计算，即是：4个和尚吃4只馒头。这样，100个和尚正好编成25组，而每一组中恰好有1个大和尚，所以人们立即可算出大和尚有25人，从而可知小和尚有75人。

一群猴子分两队，

高高兴兴做游戏．

八分之一再平方，

蹦蹦跳跳进树林．

其余十二高声喊，

充满欢乐的气氛。

告我总数是多少，

两队猴子在一起．

我们设猴子的总数是x，显然全体猴子分成两个部分，不难列出方程

(x/8)2+12=x

解这个方程，得x1=48，x2=16．经检验，这两个根都符合题意，所以猴子的总数是48或16．

井绳一根，三折入井底余一尺，四折入井底差一尺。绳长几何；井深几何？有意君留解

绳子长7尺,井深2尺

李白无事街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗（斗为古代盛酒器皿），三遇店和花，喝完壶中酒。试问壶中原有多少酒？（题意说明：“三遇店和花”是指先遇店，后遇花，并重复三次。）

题里壶中原有酒量是要求的，并告诉了壶中酒的变化及最后结果--三遍成倍添（乘以2）定量减（减肥斗）而光。求解这个问题，一般以变化后的结果出发，利用乘与除、加与减的互逆关系，逐步逆推还原。"三遇店和花，喝光壶中酒"，可见

三遇花时壶中有酒巴斗，则三遇店时有酒巴1÷2斗，那么，二遇花时有酒1÷2+1斗，二遇店有酒（1÷2+1）÷2斗，于是一遇花时有酒（1÷2+1）÷2+1斗，一遇店时有酒，即壶中原有酒的计算式为

[（1÷2+1）÷2+1] ÷2=7/8（斗）

故壶中原有7/8斗酒

第二种解法代数法:设李白酒壶中原有酒为x斗,根据题意列得方程

[(2x-1)×2-1]×2-1=0.

化简此方程得8x=7.

今有蒲生一日，长三尺。莞生一日，长一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等？

解法是：

到第2天末，蒲长为3 + 1.5 = 4.5，莞长为1 + 2 = 3，4.5 > 3，不足4.5 - 3 = 1.5尺；

到第3天末，蒲长为4.5 + 0.75 = 5.25，莞长为3 + 4 = 7，5.25 < 7，有余7 - 5.25 = 1.75尺。

于是知道是在第三天初到第三天末之间生长到同一长度的，这期间它们生长速度分别为0.75尺/天，4尺/天。

于是用它们长度的差除以速度的差得到追齐的时间：

1.5 / (4 - 0.75) = 6/13 天

或

1.75 / (4 - 0.75) = 7/13 天

于是所用总时间为

2 + 6/1

3 天

也就等于

3 - 7/13 天。