浙江大学第四版概率论ppt课件
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浙江大学概率论与数理统计ppt课件
随机变量及其分布
随机变量 离散型随机变量及其分布 随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度 随机变量的函数的分布
第三章
• • • • 3.1 3.2 3.3 3.4
多维随机变量及其分布
二维随机变量 边缘分布 条件分布 相互独立的随机变量
3
第四章 随机变量的数字特征
• • • • 4.1 4.2 4.3 4.4 数学期望 方差 协方差及相关系数 矩、协方差矩阵
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会生活中的两类现象
不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
9
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
第九章 方差分析及回归分析
• • • • 9.1 9.2 9.3 9.4 单因素试验的方差分析 双因素试验的方差分析 一元线性回归 多元线性回归
5
第十章 随机过程及其统计描述
• 10.1 随机过程的概念 • 10.2 随机过程的统计描述 • 10.3 泊松过程及维纳过程
第十一章 马尔可夫链
S
“和”、“交”关系式
n
A
A ；A i n
i 1 n n
A
A ＝ A A i 1 2 A ； n
A A i A i 1 A 2
i 1
n
i 1
i 1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则： A B {甲、乙至少有一人来} A B {甲、乙都来}
概率论与数理统计浙大第四版-第二章1
其中一种重要的类型为
连续性 r.v.
引入 r.v.
重要意义
◇ 任何随机现象可
被 r.v.描述
◇ 借助微积分方法 将讨论进行到底
2.离散型随机变量及其概率分布
离散随机变量及分布律
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限 个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量
描述X 的概率特性常用概率分布或分布律
即 P ( X xk ) pk , k 1,2,
p 0.4 k 0 1 2
3
4
代入 pk 0.6 0.24 0.0960 1 2 3 4
x
0,
x0
F (x) 0.6,
0 x 1
P(Xx) 0.6 0.24 0.84,
1 x 2
0.84 0.096 0.936, 2 x 3
接到电话次数超过100次” 这一事件
r.v.的函数一般也是r.v.
在同一个样本空间可以同时定义多个
r.v., 例如
= {儿童的发育情况 } X() — 身高, Y() — 体重, Z() — 头围.
各 r.v.之间可能有一定的关系, 也可能没
有关系—— 即 相互独立
离散型
r.v. 分类 非离散型
例1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为
续r.v., 其 pdf为
f
(x)
c x2
,
0,
x 1000 其他
(1) 求常数 c (2) 计算 P( X 1700 1500 X 2000 )
解 (1) 令
f (x)dx
1000
c x2
dx cx1
1000
c 1000
1
c = 1000
P(0 X 1/3) P(0 X 1/3)
概率论与数理统计第一章(浙大第四版)ppt课件
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9
例：
概率论
一枚硬币抛一次
记录一城市一日中发生交通事故次数
记录一批产品的寿命x
记录某地一昼夜最高温度x，最低温 度y
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10
概率论
S={正面，反面}； S={0,1,2,…}； S={ x|a≤x≤b }
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；
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111
n—总试验次数。称 fn ( A) 为A
在这n次试验中发生的频率。
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27
例：
概率论
中国男子国家足球队，“冲出亚洲”
共进行了n次，其中成功了一次，在
这n次试验中“冲出亚洲”这事件发
生的频率为 1 n；
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28
概率论
某人一共听了16次“概率统计”课，其 中有12次迟到，记A={听课迟到}，则
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33
(二) 概率
概率论
定义1：fn ( A) 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p
定义2：将概率视为测度，且满足：
1。 P( A) 0
2。 P(S ) 1
3。 A1, A2,...,Ak ,...,Ai Aj （i j）,
P( Ai ) P( Ai )
（1）从袋中随机摸一球，记A={ 摸到红 球 }，求P(A)．
（2）从袋中不放回摸两球，记B={恰是一 红一黄}，求P(B)．
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47
概率论
解：(1)
S={1,2, ,8},A={1,2,3}
P
A
3 8
(2)P(B)
C31C51
概率论与数理统计浙江大学第四版盛骤概率论部分ppt精选课件
• 性质：
1 P(A)1P(A)
P(A)0不能A； P(A)1不能AS；
A AS P(A)P(A)1 P()0
2 若 A B ， 则 有 P ( B A ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( A )
BA AB P (B )P (A )P (A B )
P ( B ) P ( A ) P ( A B ) P ( B A ) 0P(B)P(A)
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定
明天天气状况
——不确定
买了彩票会中奖 ——不确定
8
•篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性：
3 概 率 的 加 法 公 式 ： P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B )
A B A ( B A B ) P ( A B ) P ( A ) P ( B A B ) 又 B A B ， 由 2 。 知 P ( B A B ) P ( B ) P ( A B )
✓ A B A B { x |x A 且 x B }
S AB
✓ A 的 逆 事 件 记 为 A , A A A A S , 若 A A B B S , 称 A ,B 互 逆 、 互 斥
S
✓ “和”、“交”关系式
AA
n
n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2 An；
• 7.1 参数的点估计 • 7.2 估计量的评选标准 • 7.3 区间估计
1 P(A)1P(A)
P(A)0不能A； P(A)1不能AS；
A AS P(A)P(A)1 P()0
2 若 A B ， 则 有 P ( B A ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( A )
BA AB P (B )P (A )P (A B )
P ( B ) P ( A ) P ( A B ) P ( B A ) 0P(B)P(A)
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定
明天天气状况
——不确定
买了彩票会中奖 ——不确定
8
•篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性：
3 概 率 的 加 法 公 式 ： P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B )
A B A ( B A B ) P ( A B ) P ( A ) P ( B A B ) 又 B A B ， 由 2 。 知 P ( B A B ) P ( B ) P ( A B )
✓ A B A B { x |x A 且 x B }
S AB
✓ A 的 逆 事 件 记 为 A , A A A A S , 若 A A B B S , 称 A ,B 互 逆 、 互 斥
S
✓ “和”、“交”关系式
AA
n
n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2 An；
• 7.1 参数的点估计 • 7.2 估计量的评选标准 • 7.3 区间估计
概率论与数理统计浙大四版 第一章 第一章3讲
拼成英文单词SCIENCE 的情况数为
224
故该结果出现的概率为：
p4 1 0.00079 7! 1260
这个概率很小，这里算出的概率有如 下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试 验，则我们所关心的事件在1260次试验中 大约出现1次 .
这样小概率的事件在一次抽卡的试验 中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这 是魔术.
(答:案 p 9 6 1393 9160 ) 13
2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的 概率.
(答:案 p363)
需要注意的是：
1、在应用古典概型时必须注意“等可能性” 的条件.
“等可能性”是一种假设，在实际应用 中，我们需要根据实际情况去判断是否可 以认为各基本事件或样本点是等可能的.
k = n时称全排列
P n n p n n (n 1 )n ( 2 ) 2 1 n !
第1次选取 A
B C
第2次选取 B C D
第3次选取
C 例如：n=4, k =3
D B D B
C
P4343224
…… P4432124
D
从n个不同元素取 k个（允许重复）
我们首先引入的计算概率的数学模型， 是在概率论的发展过程中最早出现的研究 对象，通常称为
古典概型
一、古典概型
假定某个试验有有限个可能的结果
e1, e2, …，eN ,
假定从该试验的条件及实施方法上去分 析，我们找不到任何理由认为其中某一结果
例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势，
则我们只好认为所有结果在试验中有同等可 能的出现机会，即1/N的出现机会.
2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率.
224
故该结果出现的概率为：
p4 1 0.00079 7! 1260
这个概率很小，这里算出的概率有如 下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试 验，则我们所关心的事件在1260次试验中 大约出现1次 .
这样小概率的事件在一次抽卡的试验 中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这 是魔术.
(答:案 p 9 6 1393 9160 ) 13
2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的 概率.
(答:案 p363)
需要注意的是：
1、在应用古典概型时必须注意“等可能性” 的条件.
“等可能性”是一种假设，在实际应用 中，我们需要根据实际情况去判断是否可 以认为各基本事件或样本点是等可能的.
k = n时称全排列
P n n p n n (n 1 )n ( 2 ) 2 1 n !
第1次选取 A
B C
第2次选取 B C D
第3次选取
C 例如：n=4, k =3
D B D B
C
P4343224
…… P4432124
D
从n个不同元素取 k个（允许重复）
我们首先引入的计算概率的数学模型， 是在概率论的发展过程中最早出现的研究 对象，通常称为
古典概型
一、古典概型
假定某个试验有有限个可能的结果
e1, e2, …，eN ,
假定从该试验的条件及实施方法上去分 析，我们找不到任何理由认为其中某一结果
例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势，
则我们只好认为所有结果在试验中有同等可 能的出现机会，即1/N的出现机会.
2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率.
概率论与数理统计浙大第四版
必然事件——全体样本点组成的事件,记 为S, 每次试验必定发生的事件.
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
事件的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )
A
随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
非负性： A , P( A) 0
归一性： P( ) 1
可列可加性：P
i 1
Ai
P ( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1,A2,An 两两互斥
P
n i1
Ai
n i1
P(Ai )
P(A)1P(A) P(A)1
解 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A)P(B)10.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( A B) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(AB) P(B) 时取得
§1.4 古典概型
概率的 设 随机试验E 具有下列特点： 古典定义 基本事件的个数有限
（2） nB C31C122C150C55
P( A) 25 91
P(B) 6 91
例2 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求有至少有一个盒子的号码与放入的球 的号码一致的概率。
解 n A44 4!
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
§1.1 随机事件
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
事件的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )
A
随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
非负性： A , P( A) 0
归一性： P( ) 1
可列可加性：P
i 1
Ai
P ( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1,A2,An 两两互斥
P
n i1
Ai
n i1
P(Ai )
P(A)1P(A) P(A)1
解 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A)P(B)10.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( A B) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(AB) P(B) 时取得
§1.4 古典概型
概率的 设 随机试验E 具有下列特点： 古典定义 基本事件的个数有限
（2） nB C31C122C150C55
P( A) 25 91
P(B) 6 91
例2 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求有至少有一个盒子的号码与放入的球 的号码一致的概率。
解 n A44 4!
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
§1.1 随机事件
概率论与数理统计(浙大四版)课件 第二章++随机变量及其分布
0.01k
0.99
80k
0.0087 < 0.0169
第二种方法优于第一种方法
计算 休息 结束
街头赌博 高尔顿钉板试验
休息 结束
Poission分布
例 单位时间内某电话总机收 到的呼叫次数用X表示，它是一 个离散型随机变量。
X= 0， 1， …
P{ X k } e k k 1,2,L
请 P(a X b ) F(b ) F(a 0 ) 填 P(a X b ) F(b 0 ) F(a) 空 P(a X b ) F(b 0 ) F(a 0 )
休息 结束
例1 求例2中的分布函数 F( x ) 并作图.
解 ：X 的分布律为
X
0
1
2
p 7/15 7/15 1/15
我们来求X的概率分布。
休息 结束
X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个 数，生男孩的概率为 p.
X=0 X =1 X =2 X =3 X =4
p0 ( 1 p )4
p4 ( 1 p )44
p1( 1 p )41
p3 ( 1 p )43
p2 ( 1 p )42
C
0 4
C
1 4
休息 结束
7 15
x
x
0
1
1
x 15
x
2
x
分布函数为
0
7
x0 0x1
15
F( x ) P{ X x } 14
15
1 x2
1
x2
休息 结束
F(x) 的图形为:
F(x)
概率论与数理统计浙大四版 第一章 第一章1讲
• 第四阶段：概率的公理化定义。为概率论确定严 密的理论基础的是前苏联数学家柯尔莫哥洛夫。 1933年，他发表了著名的《概率论的基本概念》 ，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发 展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发 展奠定了基础。
• 使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞 士数学家伯努利，在他写的概率论的第一本 专著《推测术》中，他建立了概率论中第一 个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事 件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和 P.S.拉普拉斯 又导出了第二个基本极限定理 （中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在 系统总结前人工作的基础上写出了《分析的 概率理论》，明确给出了概率的古典定义， 并在概率论中引入了更有力的分析工具，将 概率论推向一个新的发展阶段。
从亚里士多德时代开始，哲学家们 就已经认识到随机性在生活中的作用， 他们把随机性看作为破坏生活规律、超 越了人们理解能力范围的东西. 他们没 有认识到有可能去研究随机性，或者是 去测量不定性.
将不定性数量化，来尝试回答这些 问题，是直到20世纪初叶才开始的. 还 不能说这个努力已经十分成功了，但就 是那些已得到的成果，已经给人类活动 的一切领域带来了一场革命.
此类现象都可归类于概率问题，概率属于“不确 定性”数学，它探求社会生活中这些不确定现象的规 律性（必然性）---是对“可能性”的量化；
19世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生 活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题”。 可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的， 只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身， 归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概 率论的基础之上。
• 如何定义概率，如何把概率论建立在严格 的逻辑基础上，是概率理论发展的困难所 在，对这一问题的探索一直持续了3个世纪。 20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及 随后发展的抽象测度和积分理论，为概率 公理体系的建立奠定了基础。在这种背景 下，苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年在他 的《概率论基础》一书中第一次给出了概 率的测度论的定义和一套严密的公理体系。 他的公理化方法成为现代概率论的基础， 使概率论成为严谨的数学分支，对概率论 的迅速发展起了积极的作用。
• 使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞 士数学家伯努利，在他写的概率论的第一本 专著《推测术》中，他建立了概率论中第一 个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事 件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和 P.S.拉普拉斯 又导出了第二个基本极限定理 （中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在 系统总结前人工作的基础上写出了《分析的 概率理论》，明确给出了概率的古典定义， 并在概率论中引入了更有力的分析工具，将 概率论推向一个新的发展阶段。
从亚里士多德时代开始，哲学家们 就已经认识到随机性在生活中的作用， 他们把随机性看作为破坏生活规律、超 越了人们理解能力范围的东西. 他们没 有认识到有可能去研究随机性，或者是 去测量不定性.
将不定性数量化，来尝试回答这些 问题，是直到20世纪初叶才开始的. 还 不能说这个努力已经十分成功了，但就 是那些已得到的成果，已经给人类活动 的一切领域带来了一场革命.
此类现象都可归类于概率问题，概率属于“不确 定性”数学，它探求社会生活中这些不确定现象的规 律性（必然性）---是对“可能性”的量化；
19世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生 活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题”。 可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的， 只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身， 归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概 率论的基础之上。
• 如何定义概率，如何把概率论建立在严格 的逻辑基础上，是概率理论发展的困难所 在，对这一问题的探索一直持续了3个世纪。 20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及 随后发展的抽象测度和积分理论，为概率 公理体系的建立奠定了基础。在这种背景 下，苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年在他 的《概率论基础》一书中第一次给出了概 率的测度论的定义和一套严密的公理体系。 他的公理化方法成为现代概率论的基础， 使概率论成为严谨的数学分支，对概率论 的迅速发展起了积极的作用。
浙大第四版概率论与数理统计
第1章随机事件及其概率基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。
通常用大写字母A,B,C,…表木事件，它们是的子集。
为必然事件，？为不可能事件。
不可能事件（？）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理, ①关系:如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有AB,BA,则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：AB,或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也（6）事件可表本为A-AB或者AB,它表小A发生而B不发生的事件。
的关系与A、B同时发生：AB,或者AB。
AB=?，则表示A与B不可能同时发运算生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。
它表示A不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算:结合率: A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率: (AB)UC=(AUC)n(BUC)(AUB)AC=(AC)U(BC)德摩根率:A i A ii1i1ABAB,ABAB（7）概率设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P（A）,若满足下列三个条件：第二章随机变量及其分布称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
分布函数具有如下性质:100F(x)1,x;2F(x)是单调不减的函数，即x i x 2时，有F(x i )F(x 2)； 3F()limF(x)0,F()limF(x)1；xx4°F(x0)F(x),即F(x)是右连续的；5°P(Xx) 对于离散型随机变量,对于连续型随机变量,F(x)F(x0)。
F(x)P k;x k x xF(x)f(x)dx 。
⑸八大 0-1分布 P(X=1)=p,P(X=0)=q分布(4)分布设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数函数F(x)P(Xx)P(aXb)F(b)F(a) 可以彳#到X 落入区间(a,b ］的概率。
浙江大学概率论4-110.0汇总演示课件.ppt
1 4 21 35 1 4 2 1 3 5 2.1
10
10 10 10
nx1k212 n
则其“均值”应为
1
n.
k i1
ni xi
k i1
ni n
xi
n所i 以上面的均值是以
n频率为权重的加权平均。
精选课件
二、数学期望
1、离散型随机变量的数学期望
设离散型随机变量X 的分布律为
9精/3选8课件
例题 3 有 5 个相互独立工作的电子装置，它们
的寿命 X k ,(k 1,2,3,4,5)服从同一指数分布，其概
率密度为
f ( x) 1 e x / , x 0, 0.
0,
x 0,
（1）若将这 5 个电子装置串联工作组成整机，求
整机寿命N 的数学期望.
Fmin ( x)
1
1
F ( x)5
1 0,
e5x / , x 0 x 0.
因而，N 的概率密度为 fmin ( x) 5 e5x / , x 0,
于是，N 的数学期望为
0,
x 0.
E(N )
xfmin ( x)dx
射中 1 环的次数为a1次.则 N a10 a9 a1，N 次
10
射击得分总和为 kak ，于是每次射击平均射中环数
k 1
为10 a10 9 a9 1 a1 10 k ak ，若以 X 表示
N
k1 N
射手射击所中环数，则ak / N 是事件{X k}的频数，
0,
x 0.
于是，M 的数学期望为
浙江大学第四版概率论 1-4
由实际推断原理可知接待时间是有规定的.
212 种.
212 p 12 0.0000003 . 7
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从而可知接待时间是有规定的.
例9 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.
解
64 个人生日各不相同的概率为
假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的.
解 7 1 周一 7 2 周二 7 3 周三 7 4 周四
周五
7 12 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有
712 种.
2 1
2
2 3
2 4
周五 周六
2 12
周一
周二
周三
周四
周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
2018年5月10日10时4分
模型的应用
分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.
答案 : p 2 9
生日问题 假设每人的生日在一年365天中的任 一天是等可能的，即都等于1/365，那么随机选取 n(n≤365)个人,试求(1)他们的生日各不相同的概率； (2)n个人中至少有两人生日相同的概率。
2018年5月10日10时4分
例5 (抽签问题)一袋中有a个白球，b个红球，k个人依 次从袋中取一只球，(1)作放回抽样；(2)不放回抽样， 求第i(i=1,2,…,k)人取到白球(记为事件B)的概率 (k≤a+b). 解(1)放回抽样情况，
从a b个球中有放回地取 k个球所有可能的取法有 ：
212 种.
212 p 12 0.0000003 . 7
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从而可知接待时间是有规定的.
例9 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.
解
64 个人生日各不相同的概率为
假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的.
解 7 1 周一 7 2 周二 7 3 周三 7 4 周四
周五
7 12 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有
712 种.
2 1
2
2 3
2 4
周五 周六
2 12
周一
周二
周三
周四
周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
2018年5月10日10时4分
模型的应用
分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.
答案 : p 2 9
生日问题 假设每人的生日在一年365天中的任 一天是等可能的，即都等于1/365，那么随机选取 n(n≤365)个人,试求(1)他们的生日各不相同的概率； (2)n个人中至少有两人生日相同的概率。
2018年5月10日10时4分
例5 (抽签问题)一袋中有a个白球，b个红球，k个人依 次从袋中取一只球，(1)作放回抽样；(2)不放回抽样， 求第i(i=1,2,…,k)人取到白球(记为事件B)的概率 (k≤a+b). 解(1)放回抽样情况，
从a b个球中有放回地取 k个球所有可能的取法有 ：
浙江大学概率论与数理统计(盛骤第四版)——概率论部分1-90页精品文档
fn ( A )
# 频率 反映了事件A发生的频繁程度。
15
n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2 An；
i1
i1
i1
i1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：
A B {甲、乙至少有一人来}
都不来}
A BAB{甲、乙至少有一人不来}
14
§3 频率与概率
例：
称S中的元素e为基本事件或样本点．
一枚硬币抛一次 S={正面，反面}； 记录一城市一日中发生交通事故次数
S={0,1,2,…}； 记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}； 记录一批产品的寿命x S={ x|a≤x≤b }
10
(二) 随机事件
一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且 仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。 例：观察89路公交车浙大站候车人数，S＝{0,1,2,…}；
概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。
1
第一章 概率论的基本概念
• 1.1 随机试验 • 1.2 样本空间 • 1.3 概率和频率 • 1.4 等可能概型（古典概型） • 1.5 条件概率 • 1.6 独立性
第二章 随机变量及其分布
• 2.1 随机变量 • 2.2 离散型随机变量及其分布 • 2.3 随机变量的分布函数 • 2.4 连续型随机变量及其概率密度 • 2.5 随机变量的函数的分布
记 A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…} S， A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。
如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件。 为方便起见，记Φ 为不可能事件，Φ 不包含
# 频率 反映了事件A发生的频繁程度。
15
n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2 An；
i1
i1
i1
i1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：
A B {甲、乙至少有一人来}
都不来}
A BAB{甲、乙至少有一人不来}
14
§3 频率与概率
例：
称S中的元素e为基本事件或样本点．
一枚硬币抛一次 S={正面，反面}； 记录一城市一日中发生交通事故次数
S={0,1,2,…}； 记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}； 记录一批产品的寿命x S={ x|a≤x≤b }
10
(二) 随机事件
一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且 仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。 例：观察89路公交车浙大站候车人数，S＝{0,1,2,…}；
概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。
1
第一章 概率论的基本概念
• 1.1 随机试验 • 1.2 样本空间 • 1.3 概率和频率 • 1.4 等可能概型（古典概型） • 1.5 条件概率 • 1.6 独立性
第二章 随机变量及其分布
• 2.1 随机变量 • 2.2 离散型随机变量及其分布 • 2.3 随机变量的分布函数 • 2.4 连续型随机变量及其概率密度 • 2.5 随机变量的函数的分布
记 A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…} S， A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。
如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件。 为方便起见，记Φ 为不可能事件，Φ 不包含
概率论与数理统计浙大四版 第七章 第七章3讲2
若依此区间内为 任的 一近 值似 作 , 值
其误6 差 .20 2 不 .2 12 3 2 大 1 6 .6 5(于 克 1). 16
这个误差的可信度为95%.
2.方差2 的置信区间
根据实 ,只 际 介 需 未 绍 要 知.的情况 方差 2的置信 1的 度置 为信区间
( n 2/2 (1 n) S1 2), 1 (2 n /21 (n )S 21).
解 0.n 0 1 5 1,,5
附表3-1
查t(n1)分布表:可t0知 .02(1 5 )52.131,5
计算 x 5.7 0 得 ,5 3 s 6 .20 , 22
得 的置信 95% 度 的为 置信区间
50.7356.2106222.131 5即(50 .4,050 .1)7. 就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与 507.1克之间, 这个估计的可信程度为95%.
1. 两个总1 体 2的 均置 值信 差区
(1) 12和 22均为已知
12 的一个 1置 的信 置度 信为 区
XYz/2
n112n222.
推导过程如下:
因X ,为 Y分别 1,2的 是无 , 偏估计
所X 以 Y是 12的无,偏估计
由X, Y的独立性及
XYz/2
n112n222.
(2) 12和22均为未 , 知
只 n 1 和 n 2 都 要 ( 实 很 5 即 用 0 大 )则 , 可 上 有
12的一个1 置 的信 近度 似为 置信
XYz/2
Sn112Sn222.
(3 )12222,但 2为,未知
推导过程如下:
因为 S2是2的无偏, 估计
根据第六章第二节定理二知
其误6 差 .20 2 不 .2 12 3 2 大 1 6 .6 5(于 克 1). 16
这个误差的可信度为95%.
2.方差2 的置信区间
根据实 ,只 际 介 需 未 绍 要 知.的情况 方差 2的置信 1的 度置 为信区间
( n 2/2 (1 n) S1 2), 1 (2 n /21 (n )S 21).
解 0.n 0 1 5 1,,5
附表3-1
查t(n1)分布表:可t0知 .02(1 5 )52.131,5
计算 x 5.7 0 得 ,5 3 s 6 .20 , 22
得 的置信 95% 度 的为 置信区间
50.7356.2106222.131 5即(50 .4,050 .1)7. 就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与 507.1克之间, 这个估计的可信程度为95%.
1. 两个总1 体 2的 均置 值信 差区
(1) 12和 22均为已知
12 的一个 1置 的信 置度 信为 区
XYz/2
n112n222.
推导过程如下:
因X ,为 Y分别 1,2的 是无 , 偏估计
所X 以 Y是 12的无,偏估计
由X, Y的独立性及
XYz/2
n112n222.
(2) 12和22均为未 , 知
只 n 1 和 n 2 都 要 ( 实 很 5 即 用 0 大 )则 , 可 上 有
12的一个1 置 的信 近度 似为 置信
XYz/2
Sn112Sn222.
(3 )12222,但 2为,未知
推导过程如下:
因为 S2是2的无偏, 估计
根据第六章第二节定理二知
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结果有可能为:
“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
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概率论与数理统计
$
实例3 “从一批含有正品 和次品的产品中任意抽取
一个产品”. 实例4 “过马路交叉口时,
其结果可能为: 正品 、次品.
可能遇上的交通指挥灯的颜色”.
结果有可能为：红灯、黄灯、绿灯. 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果
E5 :记录某公共汽车站上午某时 刻的等车人 数.
E6 :考察某地区 12 月份的平均气温.
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概率论与数理统计
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§2 样本空间、随机事件
一、样本空间、样本点 二、随机事件的概念 三、随机事件间的关系及运算
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概率论与数理统计
$
1.2 样本空间、随机事件
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合 称为E 的样本空间, 记为S. 样本空间的元素 ,即试验E 的每一个结果, 称为样 本点. 实例1 E1 :“抛掷一枚硬币,观察正面H,反面T出现的情况
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2. 随机现象
在一定条件下可能出现这样的结果也可能出现那样的结果，而 且带有偶然性的现象称为随机现象，这类现象具有多种可能的 结果，但事先不确定出现哪种结果。 实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观
察正反两面出现的情况”.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 “抛掷一枚骰子,观 察出现的点数”.
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 每次试验的可能结果不止一个，并且能明确试验 (3) 的所有可能结果；
(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
定义： 在概率论中,把具有以上三个特征的试验称 为随机试验.
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$
下列试验都为随机试验
E3 :“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”. E4 :“从一批产品中,依次任选三件, 记 录出现正品与次品的情况”.
S 5 t0 t T
其中t 为日光灯管的寿命. 说明 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同.
2. 同一试验,若试验目的不同, 对应的样本空
间也不同.(样本空间由试验目的决定)
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概率论与数理统计
任务与研究方式 $
概率论与数理统计的任务 研究和揭示随机现象统计规律的一门数学学科. 研究方式 概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性.
数理统计——从应用角度研究处理随机性数据， 建立有效的统计方法，进行统计推理。
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概率论与数理统计
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概率论与数理统计起源
• 概率统计是一门古老的学科，起源于十七 世纪资本主义上升的初期，这时航海商业有了 很大的发展，封闭的封建社会经济正在被航海 商业经济所取代。然而航海商业是冒风险的事 业，人们自然要关心大量投资是否有利可图？ 怎样估计出现各种不幸事故与自然灾害的可能 性？在桥牌活动中，经常需要判断某种花色在 对方手中的分配等。概率论与数理统计正是从
则 S 3 D N， N N ,N N D N D ,D ,D DN D N ,D NN D N ,DD D , N
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概率论与数理统计
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实例4 E4:记录某公共汽车站上午某时刻的等
车人数. S 4 0 ,1 ,2 , 可列个
实例5 E5: 从一批灯泡中任取一只, 测试其寿命.
研究这类问题开始的。
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概率论与数理统计
发展简史
$
• 尽管概率论与数理统计起源较早，但形成一门 严谨的学科是在上世纪三十年代，由前苏联数学家 科尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义后，才得以 迅速发展，特别是电子计算机的出现，进一步加速 了概率论与数理统计的发展。六十年代后，形成了 许多新的统计分支，从事这方面的理论，尤其是应 用方面研究的科技工作者越来越多，概率论与数理 统计几乎渗透到一切学科之中，哪里有试验，哪里 有数据，哪里就少不了数理统计。没有数理统计就 无法应付大量的数据和信息。因此，概率论与数理
H 字面朝上, T 花面朝上.
S 1 H ,T
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概率论与数理统计
$
实例2 E2:抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
S 2 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6
实例3 E3:从一批产品中, 依次任选三件, 记录出 现正品与次品的情况.
记 N 正 , D 品 次 . 品
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说明 1. 确定性现象遵循一定的规律，人们根据已经知 道的一些事实来推断它将发生什么样的结果. 2. 随机现象具有明显的不确定性，就一次试验而 言，它的结果是难以确定的, 但在大量重复试验 或观察中呈现出固有的规律性,我们称之为统计 规律性 .
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概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性 的学科。
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的.
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第一章 概率论的基本概念 §1 随机试验
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概率论与数理统计
1.1 随机试验
$
实例 E1 :抛掷一枚硬币,观察正面、反面出现的情况. E2 :从一批灯泡中任取一只,测试其寿命. E3 :一射手射击，观察射击情况。
统计作为一门应用数学课程是非常重要的。
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概率论与数理统计
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课程要求与成绩评定
课程要求
• 准时 • 精力充沛,认真听讲 • 作业认真做,按时交
成绩评定
• 平时成绩（到课情况、书面作业）占30% • 期末考试占70%
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概率论与数理统计
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概率论篇
第一章 概率论的基本概念 第二章 随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定律及中心极限定理
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浙江大学第四版概率论
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绪论篇 概率论 篇 数计
绪 论篇 $
随机现象 任务与研究方式 概率论起源 发展简史 应用前景 课程要求
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概率论与数理统计
确定性现象与随机现象 $
1.确定性现象
在一定条件下必然发生或必然 不发生的现象称为确定性现象. 实例 “太阳一定会从东边升起”, “在标准大气压下，水烧到100摄氏度就会沸腾”, “可导必连续”, 确定性现象的特征: 条件完全决定结果