动态平衡问题常见解法

动态平衡问题
苗贺铭
动态平衡问题是高中物理平衡问题中的一个难点，学生不掌握问题的根本和规律，就不能解决该类问题，一些教学资料中对动态平衡问题归纳还不够全面。

因此，本文对动态平衡问题的常见解法梳理如下。

所谓的动态平衡，就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化的平衡问题，物体在任意时刻都处于平衡状态，动态平衡问题中往往是三力平衡。

即三个力能围成一个闭合的矢量三角形。

一、图解法
方法：对研究对象受力分析，将三个力的示意图首尾相连构成闭合三角形。

然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形的边长，各力的大小及变化就一目了然了。

例题1如图所示,一小球放置在木板与竖直墙面之间.设墙面对球的压力大小为F N1,球对木板的压力大小为F N2.以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴,将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置.不计摩擦,在此过切程中( )
A.F N1始终减小
B. F N2始终减小
C. F N1先增大后减小
D. F N2先减小后增大
解析：以小球为研究对象，分析受力情况：重力G、
墙面的支持力和木板的支持力，如图所示：由矢量三
角形可知：始终减小，始终减小。

归纳：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。

二、解析法
方法：物体处于动态平衡状态时，对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，得到自变量与应变量的函数关系，由自变量的关系确定应变量的关系。

例题2.1倾斜长木板一端固定在水平轴O上，另一端缓慢放低，放在长木板上的物块m 一直保持相对木板静止状态，如图所示．在这一过程中，物块m受到长木板支持力F N和摩擦力F f的大小变化情况是（） A. F N变大，F f变大
B. F N变小，F f变小
C. F N变大，F f变小
D. F N变小，F f变大
解析：设木板倾角为θ
根据平衡条件：F N=mgcosθ
F f=mgsinθ
可见θ减小，则F N变大，F f变小；
故选：C
例题2.2 如图所示，轻绳OA 、OB 系于水平杆上的A 点和B 点，两绳与水平杆之间的夹角均为30°，重物通过细线系于O 点。

将杆在竖直平面内沿顺时针方向缓慢转动30°此过程中( )
A. OA 绳上拉力变大，OB 绳上拉力变大
B. OA 绳上拉力变大，OB 绳上拉力变小
C. OA 绳上拉力变小，OB 绳上拉力变大
D. OA 绳上拉力变小，OB 绳上拉力变小
解析：转动前，T A =T B ，2T A sin30°=mg ，则T A =mg=T B ；
转动后，OA 与水平方向的夹角变为60°，OB 变为水平。

T A ’sin60°=mg ，T A ’cos60°= T B ’
解得：T A ’=332mg ，T B ’=2
1T A ’=33mg ，故B 正确。

归纳：解析法适用于一个力大小、方向都不变，另两个力在变化的过程中始终垂直的问题，或一个力大小、方向不变，另两个力大小相等的问题
三、相似三角形
方法：找到与力的矢量三角形相似的几何三角形，根据相似三角形的性质，建立比例关系，进行讨论。

例题3 如图所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正
上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，
另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使
小球沿球面由A 到半球的顶点B 的过程中，半球对小球的支持力N 和
绳对小球的拉力T 的大小变化情况是( )。

(A) N 变大，T 变小 (B)N 变小，T 变大
(B) N 变小，T 先变小后变大 (D)N 不变，T 变小
解析:小球受力如图所示,此三力使小球受力平衡.力矢
量三角形如图乙，设球面半径为R ，BC=h,AC=L,AO=R.则
由三角形相似有：R G h =L F T =R
F N
G 、h 、R 均为定值，故F N 为定值，不变，F T ∝L ，由题知：
L ↓,故F T ↓.故D 正确.
归纳：相似三角形法适用于物体受到的三个力中，
一个力的大小、方向均不变，其他两个力的方向均发生
变化，且三个力中没有两个力保持垂直关系，但可以找到与力构成的矢量三角形相似的几何三角形的问题。

四、辅助圆法
方法：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，第一种情况以不变的力为弦作个圆，在辅助的圆中可容易画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。

第二种情况以大小不变，方向变化的力为半径作一个辅助圆，在辅助的圆中可容易画出一个力大小不变、方向改变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。

例题4.1 如图所示，物体G 用两根绳子悬挂，开始时绳OA 水平，现将两绳同时沿顺时针方向转过90°，且保持两绳之间的夹角α不变(α>90°)，物体保
持静止状态。

在旋转过程中，设绳OA 的拉力为T1，绳OB 的拉力为T2，
则：( )
A 、T1先减小后增大
B 、T1先增大后减小
C 、T2逐渐减小
D 、T2最终变为零
解析：取绳子结点O 为研究对角，受到三根绳的拉力，如图所示分别为F 1、F 2、F 3，将三力构成矢量三角形(如图所示的实线三角形CDE)，需满足力F 3大小、方向不变，角∠ CDE 不变(因为角α不变)，由于角∠DCE 为直角，则三力的几何关
系可以从以DE 边为直径的圆中找，则动态矢量三角形如图中画
出的一系列虚线表示的三角形。

由此可知，F 1先增大后减小，
F 2随始终减小，且转过90°时，当好为零。

正确答案选项为B 、
C 、
D 。

例题4.2如图所示，在做“验证力的平行四边形定则”的实验时，用M 、N 两个测力计（图中未画出）通过细线拉橡皮条的端点，使其到达O 点，此时α+β=90°，然后保持M 的示数不变，而使α角减小，为保持端点位置不变，可采用的办法是（ ）
A ． 减小N 的示数同时减小β角
B ． 减小N 的示数同时增大β
角
C ． 增大N 的示数同时增大β角
D ． 增大N 的示数同时减小β
角
解析：以结点O 为研究对角，受到三个拉力，如图所示分别为F M 、F N 、F 合，将三力构成矢量三角形(如图所示的实线三角形),以O 为圆心，F M 为半径作圆，需满足力F 合大小、方向不变，角α减小，则动态矢量三角形如图中画出的一系列虚线表示的三角形。

由此可知F N 的示数减小同时β角减小。

故选A 。

归纳：作辅助圆法适用的问题类型可分为两种情况：①物体
所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，另两个力大小、方向都在改变，但动态平衡时两个力的夹角不变。

②物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，动态平衡时一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向都改变。

五、拉密定理法
方法：如图所示，在同一平面内，当三个共点力的合力为零
时，其中任一个力与其它两个力夹角正弦的比值相等，即α
sin 1F =βsin 2F =γ
sin 3F 。

其实质就是正弦定理的变型。

例题5 如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一重物，
用手拉住绳的另一端N ．初始时，OM 竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的
夹角α（α＞90°）．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变，
在OM 由竖直被拉到水平的过程中（ ）
O
F 合
F N F M γ F 3 F 2 F 1
β α
A MN 上的张力逐渐增大
B MN 上的张力先增大后减小
C OM 上的张力逐渐增大
D OM 上的张力先增大后减小
解析：缓慢拉起到某位置时受力分析如图所示，根据拉密定理αsin mg =βsin MO
F =γsin MN
F ，缓慢拉起过程中，β变大，sin β先变大后变小，F MO 先变大后变小；γ变小，sin γ变大，F MN 逐渐变大。

故选AD 。

归纳：在物体受到三个力的动态平衡问题中，应用拉密定理可解决一个力的大小、方向不变，另两个力大小、方向都改变，但夹角不变的问题。

mg F MO
F MN β γ。