《3.1.2 空间向量的数乘运算(1)》导学案(新部编)3

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]

任教学科：_____________

任教年级：_____________

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xx市实验学校

《3.1.2 空间向量的数乘运算（1）》导学案3 学习目标

1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；

2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

学习过程

一、课前准备

（预习教材P 86~ P 87，找出疑惑之处） 复习1：化简： ⑴ 5（32a b -r r ）+4（23b a -r r

）；

⑵ ()()

63a b c a b c -+--+-r r r r r r .

复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？

在平面上有两个向量,a b r r ， 若b r 是非零向量，则a r 与b r

平行的充要条件是

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：空间向量的共线

问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？

新知：空间向量的共线：

1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.

2. 空间向量共线：

定理：对空间任意两个向量,a b r r （0b ≠r r ）， //a b r r

的充要条件是存在唯一实数λ，使得

推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是

试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+u u u r r r u u u r r r

()

3CD a b =-u u u r r r

，求证: A,B,C 三点共线.

反思：充分理解两个向量,a b r r 共线向量的充要条件中的0b ≠r r

，注意零向量与任何向量共线.

※ 典型例题

例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r

，且x +y ＝1，试判断

A,B,P 三点是否共线？

变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+u u u r u u u r u u u r

，那么t ＝

例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C

上，且CG:GA '

=2:1,设CD u u u r =a r ，',CB b CC c ==u u u u r u u u r r r ，试用向量,,a b c r r r 表示向量',,,CA CA CM CG u u u r u u u r u u u u r u u u r .

变式1：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式：

⑴ 'AA CB -u u u r u u u r ; ⑵ '''

''AB B C C D ++u u u u r u u u u r u u u u r

⑶ '

111222AD AB A A +-u u u r u u u r u u u r

变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得：

22OP OA AB AC =++u u u r u u u r u u u r u u u r

⑴32OQ OA AB AC =--u u u r u u u r u u u r u u u r ⑵

⑶32OR OA AB AC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r 23OS OA AB AC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r

. ⑷

小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.

※ 动手试试

练1. 下列说法正确的是（ ）

A. 向量a r 与非零向量b r 共线，b r 与c r 共线，则a r 与c r

共线；

B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；

C. 任意两个共线向量相等；

D. 若向量a r 与b r

共线，则a b λ=r r .

2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++r r r r r r ，0a ≠r r ，若//a b r

r ，求实数.x

三、总结提升 ※ 学习小结

1.空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；

2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.

※ 知识拓展

平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（ ）

A.a r 与非零向量b r 共线,b r 与c r 共线，则a r 与c r

共线 B. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等

D. 若向量a r 与b r

共线，则a b λ=r r