第3讲 一元二次方程
专题17.2 一元二次方程的解法(第3课时)八年级数学下册同步备课系列(沪科版)
适用的方程类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0） x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m)（x + n）＝0
要点归纳
解法选择基本思路 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0）， 应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一 般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因 式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法 也较简单.
x b b2 4ac 10 10，
2a
2 4.9
49 49
x1
100 ， 49
x2
0.
x1
100 ， 49
x2 0.
10x-4.9x2 =0 ①
因式分解
x(10-4.9x) =0 ②
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
x =0 或 10-4.9x=0
解： x2 100 x 0， 49
解： 10x-4.9x2=0.
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
，
∵ a=4.9,b=-10,c=0.
x
50 49
2
50 49
2
，
∴ b2－4ac= (－10)2－4×4.9×0 =100.
x 50 50，
第3讲 一元二次方程的解法-公式法
第3讲 一元二次方程的解法(三)----公式法知识要点梳理1.一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.2.根的判别式：ac b 42-=∆① 当b 2－4ac ＞0时，方程有2个不相等的实数根；② 当b 2－4ac ＝0时，方程有2个相等的实数根x 1＝x 2＝ab 2- ③ 当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根.经典例题例1.用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).因为a ≠0，方程两边都除以a ，得_____________________＝0. 移项，得 x 2＋ab x ＝________， 配方，得 x 2＋a b x ＋______＝______－ac , 即 (____________) 2＝___________因为a ≠0，所以4 a 2＞0，当b 2－4 ac ≥0时，直接开平方，得_____________________________.所以x ＝_______________________例2.不解方程，判断方程根的情况。
（1）x 2＋2x －8＝0； （2）3x 2＝4x －1；x ＝aac b b 242-±-( b 2－4 ac ≥0)（3）x（3x－2）－6x2-2＝0；（4）x2＋(3＋1)x＝0；（5）x（x＋8）＝-16；（6）（x＋2）（x－5）＝1；例2. m取什么值时，关于x的方程x2-2x＋m－2＝0（1）有两个相等的实数根？（2）没有实数根?例3. 说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.例4. 应用公式法解方程：(1)x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6； (3)4x2－3x－1＝x－2；(4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1). （5）x2+16x-13=0（6）（x＋1）2＝2（x＋1）.经典练习:1、方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；C.有一个实数根；D.没有实数根. 2、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．x 2＋1＝0 B. x 2+x-1＝0 C. x 2+2x ＋3＝0 D. 4x 2-4x ＋1＝03、若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（ ）A. k ＜41B. k ＞41C. k ≤41D. k ≥41 4、关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 的范围是（ ）A. k ＜21B. k ＞21C. k ≤21D. k ≥21 5．一元二次方程x 2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m=（ ）． A ．0 B ．1 C ．-1 D ．±16．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到（ ）A ．36-±B ．36±C ．323±D ．323-± 7．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且方程a （1+x 2）+2bx-c （1-x 2）=0的两根相等，则△ABC 为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．任意三角形8．不解方程，判断所给方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．关于x 的一元二次方程x 2+2x+c=0的两根为__________________．（c ≤1）10．用公式法解方程x 2= -8x-15，其中b 2-4ac=___________，x 1=_________，x 2=___________．11．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________．12．当x=_______时，代数式13x +与2214x x +-的值互为相反数． 13．若方程042=+-a x x 的两根之差为0，则a 的值为______________．14．应用公式法解下列方程:(1) 2 x 2＋x －6＝0； (2) x 2＋4x ＝2；(3) 5x 2－4x －12＝0； (4) 4x 2＋4x ＋10＝1－8x.15.小明在一块长18m 宽14m 的空地上为班级建造一个花园，所建花园占空地面积的2116，图中阴影部分表示道路，请你求出图中的x ．16．要建一个面积为150m 2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长为am ，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m ．（1）求鸡场的长与宽各是多少？ （2）题中墙的长度a 对解题有什么作用．课后巩固:1．解下列方程；（1）2x2-3x-5=0 （2）2t2+3=7t(3) (x+5)(x-2)＝8；（4）x22x+1=0（5）0.4x2-0.8x=1 （6）23y2+13y-2=02.ｋ取什么值时，关于x的方程4x2-(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.3、某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用篱笆围成，篱笆长为40m. （1）养鸭场的面积能达到150m2吗？（2）能达到200 m2吗？（3）能达到250m2吗？如果能，要怎么围？。
第3讲 一元二次不等式与绝对值不等式的解法
第3讲 一元二次不等式与绝对值不等式的解法 教学设计：1、 一元二次方程：20ax bx c ++= (0)a ≠（1）解法：（根所在区间的讨论）（2）判别式（指定区间内根情况的判定）（3）根与系数的关系、根与函数的关系、根与不等式的关系2、 二次函数：2y ax bx c =++ (0)a ≠（1）开口方向（2）顶点与对称轴（3）图象与x 轴交点（4）y 的正、负号3、 一元二次不等式：（1）一般式：2200ax bx c ax bx c ++>++<或(0)a ≠（2）解法：（函数法）4、分式不等式的解集：（1） 一般式：()00()f x f x g x ><（）或g(x)（2）解法：符号法则商化积⇒序轴标根法5、无理不等式的解集：（1）解题依据：0a b >>⇒n n a b >化为有理不等式组（2）常见题型及解法：22()0()0()()0()0()()()0()()0()()f x f xg x g x g x f x g x f x g x g x f x g x ⎧≥≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩⎧≥⎪<⇔≥⎨⎪<⎩或[说明]“式”化“组”是为了等价转化。
一元二次不等式与绝对值不等式的解法6、含绝对值的不等式解法(1)定义法：(2)公式法：)()()()()()()()()()()()0()0(x g x f x g x f x g x f x g x f x g x g x f a x a x a a x ax a a a x −<>⇔><<−⇔<−<>⇔>><<−⇔><或或例题分析：例1. 解不等式：（1）22320x x −−>（2）2362x x −+>（3）24410x x −+>（4）2230x x −+−>（5）(1)()0x x a −−< （6）(1)(1)0x ax −−>（7）(1)(1)0x x −+>（8）2(69)(1)0x x x +++> 例2. 解不等式：（1）37x x −<+（2）1204x x −≤+（3）28x x x −−≥（431>（5）7340x x +−−+>（6）42280x x −−>（7）2560x x −+<（8）500 5 x −≤（9）257x +>（10）x a b −<（11）2124x x ++−>例3. （1）求集合{013,}x x x Z <−<∈的真子集个数（2x 的集合（3）已知{}{}2,13A x x a B x x A B =−≤=−≥=Φ∩且，则实数a 的范围（4）若0a >，43x x a −+−<使不等式的解集不是空集的a 的范围例4. 已知：方程2(1)2(2)240m x m x m ++−++= ()m R ∈，求：m 为何值时，一根大于3 ,一根小于3.例5. 解关于x 的不等式（1）2220x ax a −−≤参考答案例1．解不等式：（1）解：()(21)0x x x −+> ∴解集为：122x x x ⎧⎫><−⎨⎬⎩⎭或（2）解：等价于23620x x −+<方程23620x x −+=的根为121 133x x =+=−解集为：1133x x ⎧⎪−<<+⎨⎪⎪⎩⎭（3）解：等价于2(21)0x −>解集为：12x x x ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭R 且 （4）解：等价于2230x x −+<解集为：∅（5）解：①当1a >时，解集为：{}1x x a <<②当1a =时，解集为：∅③当1a <时，解集为： {}1x a x <<（6）解：①当0a =时，解集为：{}1x x <②当01a <<时，11a >，解集为：11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或③当1a =时，2(1)0x −>，解集为：{}1x x x ∈≠R 且④当1a >时，11a <，解集为：11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或⑤当0a <时，解集为：11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（7）解：200(1)(1)0(1)0x x x x x <≥⎧⎧⎨⎨+−<+>⎩⎩或∴解集为：{}11x x x <≠−且（8）解：2(3)(1)0x x ++>解集为：{}1x x >−例2．解不等式：（1）解：等价于(3)(7)0x x −+<解集为：{}73x x −<<（2）解：等价于(21)(4)040x x x −+≥⎧⎨+≠⎩∴解集为：142x x x ⎧⎫≥<−⎨⎬⎩⎭或（3）解：等价于28x x x −−≥或28x x x−−≤−即2280x x −−≥或280x −≤解集为：{}4x x x ≤≥（431>31−<−4>2<20 216x x −≥⎧∴⎨−>⎩或2024x x −≥⎧⎨−<⎩ ∴解集为：{}2618x x x ≤<>或（5）解：73410x x +−−+−>等价于①432100x x ⎧≥⎪⎨⎪−+>⎩②47420x x ⎧−≤<⎪⎨⎪++>⎩③72120x x <−⎧⎨−+>⎩解得：①的解集：4532x x ⎧⎪≤<+⎨⎪⎪⎩⎭②的解集：2443x x ⎧⎫+⎪⎪−<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭③的解集：∅ ∴原式解集2542x x ⎧⎪−<<+⎨⎪⎪⎩⎭（6）x 4－2x 2－8＞0，则（x 2－4）（x 2+2）＞0，即x 2－4＞0∴解集为（－∞，－2）∪（2，+∞）另解：设2x t =（t ＞0）则原不等式化为 t 2－2t －8＞00)2)(4(>+−t t ，∴2−<t 或4>t∵t ＞0，∴4>t ，∴x 2 ＞ 4∴解集为（－∞，－2）∪（2，+∞） （7）设t x =（0≥t ）则原不等式为t 2－5t +6＜0，即（t －2）（t －3）＜0，∴2＜t ＜3∴2＜|x |＜3，∴解集为（－3，－2）∪（2，3）（8）解：等价于55005x −≤−≤即495505x ≤≤∴解集为：{}495505x x ≤≤（9）解：等价于257x +>或257x +<− 即1x >或6x <− ∴解集为：{}16x x x ><−或（10）解：当0b ≤时，解集为∅；当0b >时，解集为{}x a b x a b −<<+（11）解：等价于121x x ⎧<−⎪⎨⎪<−⎩或1221x x ⎧−≤≤⎪⎨⎪>⎩或253x x >⎧⎪⎨>⎪⎩∴解集为：{}11x x x <−>或例3．（1）解：由013x <−<得{}241x x x −<<≠且 x Z ∈∵{}1, 0, 2, 3∴− ∴集合的真子集的个数为42115−=个（2）由题意得：302140x x ⎧−≥⎪⎨+−>⎪⎩即333522x x x −≤≤⎧⎪⎨><−⎪⎩或即533322x x x ⎧⎫−≤<−<≤⎨⎬⎩⎭或（3）解：{}22A x a x a =−≤≤+{}42B x x x =≥≤−或 A B =Φ∵∩22 24a a −>−⎧∴⎨+<⎩∴a 的取值范围是()0, 2a ∈（4）解：设()43f x x x =−+−min ()1f x =∵∵ 不等式43x x a −+−<有解1a ∴>a ∴取值范围是()1, a ∈+∞ 例4．方法一解：设2()(1)2(2)24f x m x m x m =++−++由题意可知1010(3)0(3)0m m f f +>+<⎧⎧⎨⎨<>⎩⎩或即1155m m m m >−<−⎧⎧⎨⎨<−>−⎩⎩或 m ∴的取值范围是()5, 1m ∈−−方法二解：设方程的两根分别为12, x x ，由题意可知21211004(2)4(1)(24)0(3)(3)0242(2)39011m m m m m x x m m m m ⎧⎪≠−+≠⎧⎪⎪Δ>⇔−−++>⎨⎨⎪⎪−−<+−⎩+×+<⎪++⎩解之得()5, 1m ∈−−例5．（1）解：2220x ax a −−≤即(2)()0x a x a −+≤∴12x a =，2x a =−当12x x > 即2a a >−, a ＞0时，解集为[－a ,2a ] 当12x x =即2a =－a , a =0时，原不等式为20x ≤，解集为{}0 当12x x <即2a a <−, a ＜0时，解集为[]2,a a −。
21.2解一元二次方程(第3课时)
所以Δ=b2－4ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.
所以b=-10或b=2.
将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
所以△ABC 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13.
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根．
ax2+bx+c=0 (a≠0).
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
.
问题：接下来能用直接开平方解吗？
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时，
导入新课
问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们 是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站 起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判 断的吗？
九年级数学培优第3讲：二次函数与一元二次方程及不等式
符合题意．
12．在直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是正整数)与 x 轴有两个不同的交点，若两交点
到原点的距离都小于 1，则 abc 的最小值是__25__，此时 a＋b＋c＝__11__． 【解析】 设抛物线与 x 轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，且 x1＜x2，则 x1，x2 是方程 ax2＋bx＋c
图 1－3－3
8．函数 y＝x2＋bx＋c 与 y＝x 的图象如图 1－3－4 所示，有以下结论：①b2－4c>0；②b＋c＋1＝0； ③3b＋c＋6＝0；④当 1<x<3 时，x2＋(b－1)x＋c<0.其中正确的个数是 (B)
图 1－3－4
A．1
B．2
C．3
D．4
9．已知二次函数 y＝x2－2mx＋m2＋3(m 是常数)．
证法二：因为 a＝1＞0，所以该函数的图象开口向上．
又因为 y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3≥3.
所以该函数的图象在 x 轴的上方．
所以不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点．
(2)y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3，
把函数 y＝(x－m)2＋3 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到函数 y＝(x－m)2 的图象，它
的顶点坐标是(m，0)，因此这个函数的图象与 x 轴只有一个公共点．
所以把该函数的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到的函数的图象与 x 轴只有一个公共点．
10．如图 1－3－5，已知抛物线 y＝x2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A，B，AB＝2，与 y 轴交于点 C，对称
轴为直线 x＝2.
(1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点；
第03讲 一元二次方程的判别式及根系关系(一)
第三讲 一元二次方程的判别式及根系关系（一） 一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，显然只有当240b ac -≥时，方程才有实数根.一元二次方程根与系数的关系 （1）当c a ＜0时，方程的两根必一正一负.若0b a-≥，则次方程的整根不小于负根的绝对值；若b a-＜0，则此方程的正根小于负根的绝对值. （2）当c a ＞0时，方程的两根同正或同负.若b a-＞0，则此方程的两根均为正根；若b a -＜0，则此方程两根均为负根. 一般的结论是：若12,x x 是()200ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地：①()()120x m x m --＜12,x m x m ⇔＞＜②()()120x m x m --＞且()()120x m x m -+-＞12,x m x m ⇔＞＞③()()120x m x m --＞且()()120x m x m -+-＜12,x m x m ⇔＜＜特殊是，当m =0时，上述就转化为()200ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件韦达定理的应用：（1）已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值（2）已知方程，求关于方程的两根的代数式的值（3）已知方程的两根，构造方程（4）结合根的判别式，讨论根的符号特征（5）逆用构造一元二次方程辅助解题，当已知等式具有相同的结构时，就可以把两个变元看作某一个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理（6）利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆是否为非负【例1】（1）关于x 的方程()21-210k x --=，有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.（2）已知a ＞0，b ＞a +c ，判断关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况，并给出必要的说明.（3）设a 、b 、c 为互不相等的非零实数，求证：以下三个方程220ax bx c ++=，220bx cx a ++=，220cx ax b ++=，不可能都有2个相等的实数根.（4）若()()()()()()x a x b x b x c x c x a ++++++++是关于x 的完全平方式.证明：a =b =c .【例2】已知关于x 的二次方程2110x p x q ++=与2220x p x q ++=，求证：当()12122p p q q =+时，这两个方程中至少有一个方程有实数根.【例3】设方程24x ax +=只有3个不相等的实数根，求a 的取值和相应的3个根.【例4】（1）已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三边长，求证：方程()2222220b x b c a x c ++-+=没有实数根.（2）已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足：b +c =8，21252bc a a =-+，试确定△ABC 的形状.【例5】在等腰△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程21202x mx m ++-=的两个实数根，求△ABC 的周长.。
第3讲：一元二次方程根的判别式、根与系数的关系(韦达定理)
金银学校2010年秋期初2011级一诊考试数学复习（二）“第23章：一元二次方程”第3讲：一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）一．课堂反馈1．（03泸州）一元二次方程210x x ++=的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.以上说法都不对 2．（04泸州17题）已知：一元二次方程2440(0)k x x k ++=≠，当k 为何值时，方程有两个相等的实数根（ ）A. 12k =B.12k =-C. 1k =D. 1k =-3．（07泸州）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m < B ．1m >- C ．1m > D ．1m <- 4．（08泸州）已知关于x 的一元二次方程()21210k x x ++-=有两个不相同的实数根，则k 的取值范围是5．(10安徽芜湖7题)关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ） A ．1a ≥ B ．15a a >≠且 C ．15a a ≥≠且 D ．5a ≠6．（03泸州）设12,x x 是方程22410x x +-=的两个根，则2212x x += .7．（10泸州）已知一元二次方程21)10x x -+=的两根为12x x ，，则1211x x +=_________.8．（07泸州）若非零实数)(,b a b a ≠满足020072=-+a a ,020072=-+b b ，则=+ba 11____________.9．（09泸州B4）已知方程11=-xx 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ．10．（10日照）如果关于x 的一元二次方程20x p x q ++=的两根分别为122,1x x ==，那么,p q 的值分别是（ ） A ．－3，2 B 3，-2 C 2，－3 D 2，3 二．典例精析 例1．（09泸州B6）有A 、B 两个黑布袋，A 布袋中装有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3， B 布袋中装有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2．小明先从A 布袋中随机取出—个小球，用m 表示取出的球上标有的数字，再从B 布袋中随机取出一个小球，用n 表示取出的球上标有的数字．（1）若用(m ，n)表示小明取球时m 与n 的对应值，请画出树状图并写出(m ，n)的所有取值；（2）求关于x 的一元二次方程0212=+-n mx x 有实数根的概率．例2．已知关于x 的方程22x －4x ＋3q ＝0的一个根是1－2，求它的另一个根和q 的值．例3．（08泸州压轴题）如图，已知二次函数2y a x b x c =++的图象经过三点A ()1,0-，B ()3,0，C ()0,3，它的顶点为M ，又正比例函数y k x =的图像与二次函数相交于两点D 、E ，且P 是线段DE 的中点.（1）求该二次函数的解析式，并求函数顶点M 的坐标；（2）已知点E ()2,3，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x 的取值范围；（3）当02k <<时，求四边形PCMB 的面积s 的最小值.【参考公式：已知两点()11D ,x y ，()22E ,x y ，则线段DE 的中点坐标为1212,x x y y ++⎛⎫】三．自我测评 1．（02泸州）下列方程有实数根的是（ ）A ．x 2－x －1＝0 B. x 2＋x ＋1＝0 C. x 2－6x ＋10＝0 D. x 2－2x ＋1＝0 2．（05泸州非课改15题）下列方程中，没有实数根的是（ ） A ．012=++x x B ．0122=++x x C ．0122=--x x D ．022=--x x3. (10兰州) 已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是 ．4．(10安徽B 卷5)关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．95．（04泸州B2）已知：12,x x 是方程2430x x +-=的两根，则1211x x +＝＿＿＿.6．（10四川眉山）已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ） A ．7- B ．3- C ．7 D ．37．(10安徽芜湖14题)已知12,x x 为方程2310x x ++=的两实根，则312820x x ++＝_______．8．（10广东广州）已知关于x 的一元二次方程)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4)2(222-+-ba ab的值.9．（02泸州压轴题）已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A(x 1，0)，B(x 2，0)(x 1<x 2)，顶点M 的纵坐标是－4。
人教版九年级数学上册课件第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
当堂练习
5. 如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其 中有两横、两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之 一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一 位）？
①
②
③
④
当堂练习
解：设横彩条的宽度为3x cm.则竖彩条的宽度为2x cm.
根据题意，得30×20× 1 =30×20-(30-4x)(20-6x). 4
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
课堂小结
常见几何图形面积 几何图形 是等量关系
几何图形与
一元二次方
程问题
课本封面问题 常采用图形
平移能聚零
类
型
彩条/小路宽 度问题
为整方便列 方程
动点面积问题
当堂练习
(2)对.两个正方形的面积之和为： x2+(10-x)2=2x2-20x+100
=2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50 ∵无论x取何值，2(x-5)2总是不小于0的. ∴2(x-5)2+50≥50.即这两个正方形的面积之和总是 不小于50cm2的，所以不可能等于48cm2. 小峰的说法是对的.
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
当堂练习
1. 从正方形铁片的边截去2cm宽的一个长方形，余下的
面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（D ）
A.8cm B.64cm
C.8cm2 D.64cm2
2. 直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2.
则其两条直角边长分别是 6cm 、 8cm .
整理，得12x2-130x+75=0.
数学讲义：第3章 3.3 一元二次不等式及其解法 Word版含答案
高中数学课程
1．含参数的不等式的解题步骤 (1)将二次项系数转化为正数； (2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根 的大小)． 2．解含参数的一元二次不等式 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 与等于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6.
∴7m－6<0，解得
6 m<7.
∴0<m<67.
当 m＝0 时，－6<0 恒成立．
当 m<0 时，g(x)在[1,3]上是减函数．
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，解得 m<6，∴m<0.
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综上所述，m 的取值范围为－∞，67. 法二：f(x)<－m＋5 恒成立，
高中数学课程
综上所述，
当－2<a<0 时，解集为x2a≤x≤－1
；
当 a＝－2 时，解集为{x|x＝－1}；
当 a<－2 时，解集为x－1≤x≤2a
.
不等式恒成立问题
【例 3】 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围； (2)对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．
.
(2)原不等式等价于 3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程 3x2－6x＋2＝0，得 x1＝
第3讲一元二次方程的解法(公式法)和根与系数的关系(原卷版)-初中数学暑假自学课讲义(9年级人教版)
第03讲一元二次方程的解法（公式法）和根与系数的关系【人教版】·模块一根的判别式·模块二公式法解一元二次方程·模块三根与系数的关系·模块四课后作业一元二次方程根的判别式b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b 2-4ac △＞0，方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等得实数根△=0，方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有两个相等得实数根△＜0，方程ax 2+bx+c=0(a≠0)无实数根【考点1根据判别式判断方程根的情况】【例1.1】关于一元二次方程2+3=4根的情况，下列说法中正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【例1.2】已知实数k ，现甲、乙、丙、丁四人对关于x 的方程B 2−(+2)+14=0讨论如下．甲：该方程一定是关于x 的一元二次方程乙：该方程有可能是关于x 的一元二次方程丙：当≥−1时，该方程有实数根丁：只有当≥−1且≠0时，该方程有实数根则下列判断正确的是（）A ．甲和丙说的对B ．甲和丁说的对C ．乙和丙说的对D ．乙和丁说的对【例1.3】若=1是一元二次方程B 2−B +2=0(≠0)的一个根，那么方程B 2+B +2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有一个根是J−1C．没有实数根D．有两个相等的实数根【变式1.1】已知a为实数，下列关于x的一元二次方程一定有实数根的是（）A．2−2B+2+1=0B．2−2B+22+1=0 C．2+2−1−2=0D．2+2+1+2=0【变式1.2】对于实数a，b定义运算“⊗”为⊗=2−B，例如3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程+2⊗=1−的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【变式1.3】对于一元二次方程B2+B+=0(≠0)，有下列说法：①若方程B2+=0有两个不相等的实数根，则方程B2+B+=0(≠0)必有两个不相等的实数根；②若方程B2+B+=0(≠0)有两个实数根，则方程B2+B+=0一定有两个实数根；③若c是方程B2+B+=0(≠0)的一个根，则一定有B++1=0成立；④若0是一元二次方程B2+B+=0(≠0)的根，则2−4B=(2B0−p2其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点2已知根的情况确定字母的值或取值范围】【例2.1】若关于的方程2−+=0有两个实数根，则的取值范围是（）A．≥14B．<14C．≤14D．≤14且≠0【例2.2】关于的方程B2−3+2=0有实数根，则的值不可能是（）A．−1B．0C．1D．2【例2.3】若一元二次方程B2+B+1=0有两个相同的实数根，则2−2+5的最小值为（）A．5B．1C．−9D．−1【变式2.1】关于x的方程2−+−2=0有两个不相等的实数根，则实数a可取的最大整数为（）A．2B．3C．4D．5【变式2.2】在实数范围内，存在2个不同的的值，使代数式2−3+与代数式+2值相等，则的取值范围是___________．【变式2.3】关于x的一元二次方程2−+3++2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【变式2.4】如果关于x的方程(+p(+p+(+p(+p+(+p(+p=0(其中，，均为正数)有两个相等的实数根，证明：以，，为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征．公式法解一元二次方程当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：=做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。
第03讲 一元二次方程的解法(公式法3种题型)(原卷版)
第03讲一元二次方程的解法（公式法3种题型）1.了解求根公式的推导过程.（难点）2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a -+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >1当240b ac -≥时，22404b ac a -≥利用开平方法，得：2b x a +=，即：42b x a-±=2当240b ac -<时，22404b ac a -<这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a -+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．三、用公式法解一元二次方程一般步骤1把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）；2确定a 、b 、c 的值；3求出24b ac -的值（或代数式）；4若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．四、根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆-．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆->时，方程有两个不相等的实数根；当2=40b ac ∆-=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆-<时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．题型1根的判别式例1.选择：（1）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（）（A ）012=+x （B ）0122=++x x （C ）0322=++x x（D ）0322=-+x x（2）不解方程，判别方程25750x x -+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x --=的根的情况是()（A ）有两个相等实根（B ）有两个不等实根（C ）没有实根（D ）无法确定（4）一元二次方程2310x x +-=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根（B ）有两个相等的实数根（C ）只有一个实数根（D ）没有实数根例2.不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530x x --=；（2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +-=．题型2用公式法解一元二次方程例3．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）用公式法解方程：22720x x -+=．例4．用公式法解下列方程：（1）2320x x +-=；（2）25610x x -++=．例5.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+-．题型3根的判别式的应用例6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于x 的一元二次方程()21360x k x k +++-=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求k 的取值范围．例7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知关于x 的一元二次方程22210x mx m -+-=．(1)若该方程有一个根是2x =，求m 的值；(2)求证：无论m 取什么值，该方程总有两个实数根．例8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()23220x k x k -+++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于2，求k 的取值范围．一、单选题1．（2023·江苏徐州·统考一模）关于一元二次方程2430x x ++=根的情况，下列说法中正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定2．（2023·江苏徐州·校考一模）关于x 的一元二次方程240x x k -+=有实数根，则k 的值可以是（）A ．4B ．5C ．6D ．73．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程240x x k --=没有实数根，则k 的值可以是（）A ．5-B ．4-C ．3-D ．24．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=没有实数根，则k 的值可以是（）A ．2B ．1C ．0D ．1-5．（2023秋·江苏·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程2440x x k --+=没有实数根，则k 的取值范围为（）A ．0k >B ．4k >C ．0k <D ．4k <二、填空题6．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x 的一元二次方程()22210k x x ---=有实数根，则实数k 的取值范围是______．7．（2023·江苏常州·统考一模）若关于x 的方程20x x m -+=（m 为常数）有两个相等的实数根，则m =______．8．（2023·江苏盐城·校考二模）已知关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，则a的值为________．9．（2023·江苏宿迁·模拟预测）关于x 的方程()21210m x x --+=有实数根，则m 的取值范围是______．10．（2023·江苏·模拟预测）请填写一个常数，使得一元二次方程25x x -+____________0=没有实数根．11．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）请填写一个常数，使得关于x 的方程24x x -+________=0有两个不相等的实数根．三、解答题12．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）求证：关于x 的方程2()0()x m n x mn m n +++=≠有两个不相等的实数根．13．（2023·江苏盐城·校考一模）已知关于x 的一元二次方程210x ax a -+-=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一实数根大于4，求a 的取值范围．14．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）关于x 的一元二次方程2(23)10mx m x m ++++=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小整数时，求x 的值．15．（2023秋·江苏扬州·九年级统考期末）已知关于x 的方程()2200mx nx m +-=≠．(1)若方程有两个相等的实数根，请求出m ，n 的关系；(2)求证：当2n m =-时，方程总有两个实数根．一、单选题1．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）一元二次方程2440x x +-=的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定2．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程250x ax --=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．可能有实数根，也可能没有C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若关于x 的一元二次方程22(1)0x x k +--=有实数根，则k 的取值范围是（）A ．0k >B ．0k ≥C ．0k <D ．0k ≤5．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是()A ．1k >-B ．1k <C ．1k >-且0k ≠D ．1k <且0k ≠二、填空题5．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）请填写一个常数，使得关于x 的方程22+-x x __________0=有两个相等的实数根．6．（2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）方程220x x m -+=没有实数根，则m 的取值范围是______．三、解答题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程210x ax a ++-=．(1)若该方程的一个根为2-，求a 的值及该方程的另一根；(2)求证：无论a 取何实数，该方程都有实数根．8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数13．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）已知关于x的方程220-．+-=x mx m(1)当该方程的一个根为1-时，求m的值及该方程的另一根；(2)求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．14．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程：(1)2820--=（配方法）x x(2)2320++=（公式法）x x。
第3讲数学第2章《一元二次方程》
八年级数学下第3讲《一元二次方程》()重点难点分析：1、一般形式中的a ，b ，c 分别是二次项的系数，一次项系数和常数项。
2、因式分解法是解一元二次方程的最常用的方法。
3、“a ≠0”是一元二次方程的前提，是一个重要的隐含条件。
4、因式分解法将一元二次方程转化成一元一次方程来解，体现了“转化化归”的数学思想。
例题精选：例1、把方程（2x －1）（3x+2）＝x 2+2化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项.例2、已知关于x 的方程()()012112=--+++x m x m m，问：（1）m 取何值时，它是一元二次方程？并猜测方程的解； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？例3、用因式分解法解方程：（1）2x 2－5x ＝0 （2）x （2x －7） + （2x －7）＝0（3）4x 2－9＝0 （4）25（x+3）2－16＝0（5）（2x+1）2＝2（2x+1） （6）4x 2－4x+1＝0（7）4（y －1）2＝（3y+1）2 （8）（3x+2）2－2（3x+2）－3＝0例4（1）若一元二次方程ax2－bx－2017＝0有一个根是－1，则a+b＝ . （2）若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2＝0的常数项为0，则m的值为（）A. 1B. 2C. 1或2D. 0（3）解方程3x（x+2）＝5（x+2）时，两边同除以x+2，得3x＝5.你认为对还是错： . （4）若x＝n是关于x的方程x2+mx+2n＝0的非零实数根，则m+n的值为 .（5）已知实数m，n满足3m2+6m－5＝0，3n2+6n－5＝0，且m≠n，则nm + mn＝ .例5、已知a，b为实数，关于x的方程x2-（a-1)x+b+3＝0的一个根为a+1，（1）用含a的代数式表示b；（2）求代数式b2－4a2+10b的值.例6、（1）已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根，求代数式（m2－m）（m－2m+ 1）的值. （2）已知m2+m－1＝0，求m3+2m2－2018的值.（3）已知3x2－x＝1，求9x4+12x3－2x2－7x +2018 的值学生练习：1关于x的一元二次方程（m2－m－2）x2+mx+1＝0成立的条件是（）A.m≠－1B. m≠2C. m≠－1 或 m≠2 D . m≠－1 且 m≠22、下列方程中，一元二次方程共有（）①x2－2x－1＝0；②1y+ 3y－5＝0；③－x2＝0④(x+1)2+y2＝2；⑤(x－1)(x－3)＝x2.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4 个3、若关于x的一元二次方程()1-a x2+x+a-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A.-1B. 0C. 1D.-1或14、利用平方法可以构造一个整系数方程.如：当x=12+时，移项得x-1＝2，两边平方得（x-1）2＝()22，所以得x 2－2x －1＝0.依照上述方法，当x ＝216-时，可以构造出一个整系数方程是（ ） A. 4x 2+4x+5＝0 B. 4x 2+4x －5＝0 C. x 2+x+1＝0 D. x 2+x －1＝05已知一元二次方程ax 2+bx+c ＝0，若4a －2b+c ＝0，则它的一个根是（ ）A.－2B. －12 C. －4 D. 26若关于x 的方程x 2+(m+1)x + 12＝0的一个实数根的倒数恰好是它本身，则m 的值为（ ）A.－52B. 12C.－ 52或12 D. 17、若x 0是方程ax 2+2x+c ＝0的一个根，设M ＝1－ac ，N ＝（ax 0+1)，则M 与N 的大小关系正确的是（ ） A .M>N B. M ＝N C. M<N D. 不确定8、若a 是方程x 2－2x －1＝0的解，则代数式2a 2－4a+2017的值为 .9、已知关于x 的方程()()012342=-++---m x m x m m m是一元二次方程，则m = .10、已知m ，n 都是方程x 2+2017x －2019＝0的根，则（m 2+2017m －2018)(n 2+2017n －2020)＝－ .11、若关于x 的方程a(x+m)2+b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1 （a ≠0),则方程a(x+m+2)2+b ＝0的解是 .12、解方程：（1）2x 2－6＝0 （2）（x －4）2＝16（3）2（3x －2）2＝34 （4）3（x+5）2＝11（5）（x －1)2－2(x －1)＝0 (6)(2x+1)2＝6x+3（7）（3x－4)(x+1)+4＝0 (8)x(x－10)+25＝02 是方程x2－4x+c＝0的一个根，求c的值.13、已知x＝514、若方程x2－6x－k－1＝0与x2－kx－7＝0仅有一个公共的实数根，试求k的值和公共的根.15、已知m是方程x2－2x－5＝0的一个根，求下列代数式的值：（1）m3－2m2－5m－9；（2）m3+m2－11m－916、设a>2,b>2，试判断关于x的方程x2－(a+b)x+ab＝0与x2－abx+(a+b)＝0有没有公共根，请说明理由.17、选取二次三项式ax2+bx+c（a0）中的两项，配成完全平方式的过程叫配方.例如：①选取二次项和一次项配方：x2-4x+2＝（x－2）2－2；②选二次项和常数项配方：x2-4x+2＝（x－2）2+（22－4）x或原式＝（x+2）2+（22+4）x③选取一次项和一次项配方：x2-4x+2＝（2x－2）2－x2.根据以上材料，解决下列问题：（1）写出x2-8x+4的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2+xy－3y+3＝0，求y x的值.八年级数学下第3讲《一元二次方程》()重点难点分析：1、一般形式中的a ，b ，c 分别是二次项的系数，一次项系数和常数项。
第3讲 一元二次方程与一元二次不等式
(2)x-x2+6<0; (4)x2-6x+9≤0; (6)-x2+2x-3>0.
【解析】(1)∵Δ=22-4×1×(-3)=16>0,方程 x2+2x-3=0 的解为 x1=-3,x2=1.
∴原不等式的解集为{x|-3≤x≤1}.
(2)原不等式可化为 x2-x-6>0. ∵Δ=(-1)2-4×1×(-6)=25>0,方程 x2-x-6=0 的解为 x1=-2,x2=3. ∴原不等式的解集为{x|x<-2 或 x>3}. (3)原不等式可化为(2x+1)2≥0.由于上式对任意实数 x 都成立, ∴原不等式的解集为 R.
A.1
B.-1 C.-3
D.3
【解析】(1)∵不等式 x2+mx+ >0 对任意 x∈R 恒成立,
2
∴Δ<0,即 m2-2m<0,∴0<m<2.故选 D. (2)由已知可得 m≤x2-4x 对任意 x∈(0,1]恒成立, 又 f(x)=x2-4x 在(0,1]上单调递减, ∴f(x)min=f(1)=-3,∴m≤-3.故选 C.
12+
2 2
=(x1+x2)2-2x1x2,
1+
1
1=
2
1+ 2,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2, |x1-
12
x2|= ( 1 + 2)2-4 1 2,x1 22+ 12x2=x1x2(x1+x2), 13+ 23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2),
等等.
【对点训练 2】已知 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+3x-6=0
3.第三节 一元二次方程
4. (2016河南11题3分)若关于x的一元二次方程x2＋3x－k＝0有两个不相等的实数根，
9 则k的取值范围是_k_＞__－___4_． 5. (2015河南19题9分)已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝|m|.
(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； 证明：原方程可化为x2－5x＋6－|m|＝0， ∴由根的判别式可得：b2－4ac＝(－5)2－4×1×(6－|m|)＝25－24＋4|m|＝1＋4|m|. ∵|m|≥0， ∴1＋4|m|≥1＞0， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；(4分)
2a
河南6年真题
命题点 1 一元二次方程根的判别式(10年6考，近6年连续考查)
1. (2019河南6题3分)一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情况是( A ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
2. (2018河南7题3分)下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是( B )
面积问题
图① 2.如图②、图③、图④，S阴影＝_(_a_-_x_)(_b_-_x_) ；
3.如图⑤，围栏总长为a，BC的长为b，则S阴影＝__a_2__b_ _b_ 面积问题
循环赛 问题
若n(n≥2)个人(或球队数)，相互之间握手(或单循环赛)，则握手
n (n 1)
(或单循环赛)总次数＝______2______，n(n≥2)个人相互赠送礼
6. (2020河南8题3分)国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年 至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快 递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为( C ) A. 5000(1＋2x)＝7500 B. 5000×2(1＋x)＝7500 C. 5000(1＋x)2＝7500 D. 5000＋5000(1＋x)＋5000(1＋x)2＝7500
著名机构初中数学培优讲义中考复习.一元二次方程.第03讲(通用讲).学生版
知识点基本要求略高要求 较高要求一元二次方程 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题板块一 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．一元二次方程的识别：要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．要特别注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程．☞一元二次方程的定义：中考要求例题精讲中考复习：一元二次方程关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2；③整式方程【例1】关于x 的方程22(1)260a x ax ++-=是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）A.1a ≠±B.0a ≠C.a 为任何实数D.不存在【巩固】已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．【例2】若2(3)330n m x nx ---+=是关于x 的一元二次方程，则m 、n 的取值范围是（ ）A.0m ≠、3n =B.3m ≠、4n =C.0m ≠，4n =D.3m ≠、0n ≠☞一元二次方程根的考察关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。
第3讲根系关系
第3讲 一元二次方程的根与系数的关系一、公式推导:一元二次方程20ax bx c ++= （0a ≠）当△≥0时，12b x a--= 22b x a -+= （1）1x +2x =（2）1x ·2x =（3） 12x x -=二、直击考点：考点一、利用根系关系求代数式的值：1、（成都2010）．设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为__________________．2、1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）2221x x + （2）21x x - （3）2222133x x x -+考点二、已知根的情况，确定方程中的字母：1、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为 （ ）A 、0B 、－1C 、1D 、±12、如果关于x 的一元二次方程042=+-kx x 有两个相等的负根，则_____=k ；3、32-是方程012=-+bx x 的一个根，则b =_______，另一个根是_______；4、已知关于x 的方程x 2-4x+k-1=0的两根之差等于6，求k 的值考点三、利用根系关系构造一元二次方程：1、以1313－和+的根为方程是______________。
2、若两数和为3，积为－4，则这两个数分别为_____________。
考点四、利用根系关系和判别式，确定方程中的字母：1、已知关于x 的一元二次方程()21230k x k x -+++=的两根之差为1，试求k 的值。
2、已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。
3、已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。
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中山市溪角初Leabharlann 中学★课前预习★1．一元二次方程 x2-3x=0 的根是
x1=0，x2=3． 9
．
2．已知 x=3 是方程 x2-6x+k=0 的一个根，则 k=
3．已知 x=-1 是关于 x 的方程 2x2+ax-a2=0 的一个根，则 a= -2或1 ． 4．一元二次方程 x（x-6）=0 的两个实数根中较大的根是
1 4
2 2
∴不存在实数 k 使得 x1•x2-x1 -x2 ≥0 成立。
2．若将方程 x2+6x=7 化为（x+m）2=16，则 m=
3
．
3. 解方程：x2+3x-2=0
解：
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考点 2．一元二次方程的判别式（高频考点） 4.若 5k+20＜0，则关于 x 的一元二次方程 x2+4x-k=0 的根的情况是（ A．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 D．无法判断
年份 2010 2011 2012 2013 解答题 解答题 试题类型 知识点 分值 解答题 解可转化为一元二次方程的方程组、 6分+6分=12 根与系数的关系、判别式 分 未考 一元二次方程的应用 一元二次方程的应用 6分 8分
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1．从近几年广东省命题地区的考试内容来看，本 讲内容命题难度较大，是中考命题的热点，考查的重 点是解一元二次方程，根与系数的关系（韦达定理） ， 列简单的一元二次方程解应用题． 2．题型以解答题为主． 3．2014 年考查重点可能仍是解一元二次方程，根 与系数的关系（韦达定理） ，列简单的一元二次方程 解应用题．
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第二章 方程与不等式
第3讲 一元二次方程方程
★中考导航★
考纲要求 1．能够根据具体问题中的数量关系列出方程． 2．理解配方法，会用因式分解法.公式法.配方法解简单的数字系数的一元二 次方程． 3．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理． 命题趋势 2010～2013 年广东省中考题型及分值统计
A ）
5.已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+2k-4=0 有两个不相等的实数根． ⑴求 k 的取值范围； ⑵若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值．
5 解：⑴根据题意得：△=4-4（2k-4）=20-8k＞0，解得：k＜ ； 2 ⑵由 k 为整数，得到 k=1 或 2，
利用求根公式表示出方程的解为 x=-1± 5 2k ， ∵方程的解为整数 ∴5-2k 为完全平方数，则 k 的值为 2．
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★考点梳理★
1．一元二次方程： (1)概念： 只含有一个未知数， 未知数的最高次数是二次， 且系数不为 O 的整式方程， 叫做一元二次方程． (2)一元二次方程的一般形式： ，其中 叫做二次项，bx 叫 做一次项，c 叫做常数项，a，b 分别是二次项.一次项的系数，注意 2．一元二次方程的解法： (1)基本思路：解一元二次方程的基本思路是降次． (2)方法： ①直接开平方法： 的根是 ②配方法：将 化成 ．
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解：⑴∵原方程有两个实数根 2 2 ∴[-（2k+1）] -4（k +2k）≥0 2 2 ∴4k +4k+1-4k -8k≥0 ∴1-4k≥0 ∴k≤
1 4 1 时，原方程有两个实数根． 4
2 2
∴当 k≤
⑵假设存在实数 k 使得 x1•x2-x1 -x2 ≥0 成立 ∵x1，x2 是原方程的两根 2 ∴x1+x2=2k+1，x1•x2=k +2k 2 2 由 x1•x2-x1 -x2 ≥0 2 得 3x1•x2-(x1+x2) ≥0 2 2 2 ∴3（k +2k）-（2k+1） ≥0，整理得：-（k-1） ≥0 ∴只有当 k=1 时，上式才能成立 又∵由（1）知 k≤
6
．
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5． 2009 年国家扶贫开发工作重点县农村居民人均纯收 入为 2027 元，2011 年增长到 3985 元．若设年平均增 长 率 为 x ， 则 根 据 题 意 可 列 方 程 为 ． 2027（1+x）2=3985 6．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80 元，则平均每次降价的百分率为 20% ．
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考点 3．一元二次方程根与系数的关系（高频考点） 6.已知关于 x 的一元二次方程 x2-（2k+1）x+k2+2k=0 有两个实数根 x1，x2． ⑴求实数 k 的取值范围； ⑵是否存在实数 k 使得 x1•x2-x12-x22≥0 成立？若存在，请求出 k 的值；若 不存在，请说明理由．
；求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为 .两根之积 的代数式的形式，整体代入．
6．一元二次方程的应用 解应用题的关键是把握题意，找准 等量关系 ，列出 方程 ，最后
还要注意求出的未知数的值，是否符合实际意义．
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★课堂精讲★
考点 1．一元二次方程及其解法 1. 方程 x2-3x+2=0 的根是 x1=1，x2=2 ．
； 形式，
当 时，用直接开平方法求解． (3)公式法： 的求根公式为 x= ． (4)因式分解法：将方程右边化为 0，左边化为两个一次因式的 积 ，令每个因式等 于 0，得到两个 一元一次 方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解．
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3．一元二次方程根的判别式 的根的判别式是 ① 时，方程有 两个不相等 的实数根； ②当 时，方程有 两个相等 的实数根； ③当 时，方程 无实数根 ． 4．一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） ： 一元二次方程的一般形式为 ，则 5．根与系数的关系（韦达定理）的应用： (1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数；
，方程的两根为
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(5)确定根的符号． 应用根与系数的关系时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断 根的判别式是否非负；求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项 系 数 设 为 1 ， 即 以 为 根 的 一 元 二 次 方 程 为 ，
；求字母系数的值时，需使二次项系数 同时满足 含有两根之和