高中数学二分法

1． 分析：判断区间 a, b 是否为 f ( x ) 零点所在的区间， 只要判断 f ( a )
f (b) 0 是否成立。
四、经典练习：
4、若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间（0，16）、 （0，8）、（0，4）、（0，2）内，那么下列命题中正确 的是( C ). （A）函数f(x)在区间（0，1）内有零点 （B）函数f(x)在区间（0，1）或（1，2）内有零点 （C）函数f(x)在区间[2，16内无零点 （D）函数f(x)在区间（1，16）内无零点
对(1)、(2)两种情形再继续二分法所在的区间。 3、根据精确度得出近似解
当x∈(m,n),且m,n满足精确度时，则x ≈ p，即求得 了近似解。
思想方法：
y
a 0 b x
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a) · f(b)＜０ 的函数 y=f(x) ， 通过不断地把函数f(x)的零 点所在的区间一分为二， 使区间的两个端点 进而得到零点近似值。 逼近零点，
求函数零点近似解的一种计算方法 ---------二分法
Abel
在十六世纪,人们已经找到了三次和 四次方程的求根公式,但对高于四次的代 数方程,类似的努力却一直没有成功. 到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel) 和伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到 高于四次的代数方程不存在求根公式.
Galois
f(1.5)>0 f(1.25)<0 f(1.375)<0
f(1.375)<0 , f(1.5)>0
(1.375, 1.5)
1.4375
f(1.4375)>0
f(1.375)<0 , f(1.4375)>0 (1.375,1.4375)
因为| 1.375-1.4375 | 1.4
0.1，所以原方程的近似解为x1≈
f(2.375)<0，f(2.4375)>0 2.375<x1<2.4375
2
2 2
2.25 2.5 - +
2.375 2.5 - + 2.375 2.4375
3
3 3
∵ | 2.375-2.4375 | 0.1 ∴此方程的近似解为 x 1 2 . 4 若要求结果精确到0.01，则何时停止操作？
二分法步骤速记口诀
定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
五、课堂练习
利用计算器求方程 x 2 2 x 2 0的较小的根的近似解 (精确到0.1)
14 12 10 8 6 4 2 0 -2 0 -4 f(x)=x^2-2x-2 1 2 3 4 5 6
分析：设
f ( x) x 2 2x 1
先画出函数图象的简图，
y
y=x2-2x-1
如何进一步有效缩小根所在的区间？
第一步：得到初始区间（2，3） 第二步：取2与3的平均数2.5 第三步：再取2与2.5的平均数2.25 如此继续取下去： 若要求结果精确到0.1，则何时停 止操作？
-1 0 1 2 3
同理可得， x0∈（1.375，1.5），x0∈ （1.375，1.4375），由于 |1.375-1.4375|=0.0625〈 0.1 所以，原方程的近似解可取为1.4
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
1、 确定区间[a,b]，验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε ； 2、求区间（a,b）的中点x1， 3、计算f(x1)
思考：对下列图象中的函数，能否用二 分法求函数零点的近似值？为什么？
y
不行,因为不满足 f(a)*f(b)<0
y
o x
o
x
四、经典练习：
1、函数y=2x-3的零点所在的区间是 (C ) A.(-1,0) B. (0,1) C.(1,2) D.(2,3) 2、函数y=log2(x-a)的零点是5,则a=( D ) A.0 B.1 C.2. D.3
四、归纳总结
用二分法求方程f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解基本步骤： 1、寻找解所在区间
（1）图象法
先画出y=f(x)图象，观察图象与x轴交点横坐标 所处的范围；或画出y=g(x)和y=h(x)的图象，观察 两图象的交点横坐标所处的范围。 （2）函数性态法 把方程均转换为f(x)=0 的形式，再利用函数 y=f(x)的有关性质（如单调性），来判断解所在 的区间。
A
C
E
D
B
二、方法探究
(1)不解方程,如何求方程 x 2 2 x 1 0 的一个
正的近似解.(精确到0.1)
解：设f ( x) x 2 2 x 1
10 8 6 4 y=x^2-2x-1 2 0 -3 -2 -1 -2 -4 0 1 2

3
4
5
例1.不解方程，求方程X2-2X-1=0的一个正近似解
四、经典练习：
5.设f(x)=3x+3x-8用二分法求方程3x+3x-8 =0在区间 [1,2]内近似解的过程中得到(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0 则方程的根落在区间( C ) A.（1,1.25） B.（1.25,1.5） C.（1.5,2） D.不能 确定 6、某函数有零点在区间(a,b)之内，且|b-a|=2若用 二分法求此根的近似值，要求精确度为0. 1，则至 多将要等分的次数为（ A ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
结果
※二分法定义
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a) f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点 所在的区间一分为二,使区间的两个端点 逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法 叫做二分法。
例2 借助计算器或计算机用二分法求方 程2x+3x=7的近似解（精确度0.1） 解：原方程即2x+3x=7，令f(x)= 2x+3x-7， 用计算器作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值表 和图象如下：
回顾：
２、零点的判定定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 并且有f(a) · f(b)＜０， 连续不断的一条曲线， 那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点， 即存在c ∈（a,b），使得f(c)=0，这个 c 也就是方程f(x)=0的根。
忆一忆 下列区间有函数 f ( x ) x x 1 零点 的是( B )
3
A.(1,0)
x
B.(1,2)来自百度文库
-1 -1 0 -1
C .(0,1)
1 -1
D.(2,3)
2 5 3 23
f ( x)
知识探究（一）:二分法的概念
引例:从某水库闸房到防洪指挥部的 某一处电话线路发生了故障。这是一 条10km长的线路，如何迅速查出故障 所在？
如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B, 1.首先从中点C查 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定 故障在BC段 3.再到BC段中点D 4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段 5.再到CD中点E来看 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半
若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；
若f(a).f(x1)<0，则此时零点x0∈(a, x1) 若f(x1).f(b)<0，则此时零点x0∈( x1,,b)
4、判断是否达到精确度ε ，即若|a-b|< 则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4
ε
二分法步骤速记口诀
定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
根所在区间
中点值
中点函数值 符号
f(-0.5)<0 f(-0.75)>0 f(-0.625)<0 f(-0.6875)<0 f(-0.71875)>0
(-1，0) (-1,-0.5) (-0.75, -0.5) (-0.75, -0.625) (-0.75, -0.6875) (-0.71875,-0.6875)
三、例题
利用计算器，求方程
x
的近似解(精确到0.1)
解:(法一) 画出 f ( x) 2 x 4 的图象，观察图象得， x f ( x ) 2 x 4 有惟一解，记为x1 ，且这个解在 方程 区间(1 , 2)内。
8 6 4 2 0 -3 -2 -1 -2 0 -4 -6 -8 1

2 3 4
三、例题
区间端点函数值 符号
解：设f ( x) 2x x 4
中点值 中点函数值 符号
根所在区间
f(1)<0,f(2)>0 f(1)<0, f(1.5)>0 f(1.25)<0 , f(1.5)>0
(1 , 2) (1 , 1.5) (1.25 , 1.5)
1.5 1.25 1.375
-4
-3
-2
-1

区间端点函数值 符号
f(-1)>0, f(0)<0 f(-1)>0 ,f(-0.5)<0 f(-0.75)>0, f(-0.5)<0 f(-0.75)>0, f(-0.625)<0 f(-0.75)>0, f(-0.6875)<0 f(-0.71875)>0, f(-0.6875)<0
-0.5 -0.75 -0.625 -0.6875 -0.71875
引入：

CCTV2“幸运52”片段 ： 主持人李咏说道:猜一猜这架家用型数 码相机的价格.观众甲:2000!李咏:高了! 观众乙:1000! 李咏:低了! 观众丙:1500! 李咏:还是低了!· · · · · · · · 问题１:你知道这件商品的价格在什么范 围内吗? 答案:1500至2000之间 问题２:若接下来让你猜的话,你会猜多少 价格比较合理呢?
※ 给定精确度,用二分法求函数f(x)零点近似值 的 步骤: 1. 在定义域内取区间[a,b],使f(a)· f(b)<0, 则零点 在区间[a,b]内； ab 2.求区间(a,b)的中点 2 ,记为c; 3.计算f(c)： (1)若 f (c ) 0 ,则c 就是函数的零点; (2)若 f (a ) f (c ) 0, 则此时零点 x0 (a, c) (3)若 f (c ) f (b) 0 , 则此时零点x 0 (c , b) 4.继续实施上述步骤，直到零点所属区间的端 点按照给定的精确到所取的近似值相同时，这 个近似值就是函数的近似零点，计算终止。
x f(x) 0 1 2 3 4 5 -6 -2 3 10 21 40 6 75 7 142 8 273
因为f(1)· f(2)<0所以 f(x)= 2x+3x-7
在 （1，2）内有零点x0,取（1，2）的中点 x1=1.5， f(1.5)= 0.33，因为 f(1)· f(1.5)<0所以x0 ∈（1，1.5） 取（1，1.5）的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87， 因为f(1.25)· f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5）
0 b x
a
思想方法：
y
a 0 b x
前提
对于在①区间[a,b]上连续不断且 精髓 f(a) · f(b)＜０的函数 y=f(x ) ，通过②不 断地把函数f(x)的零点所在的区间一分 为二，使区间的两个端点逼近零点，进 而得到零点近似值。
思想方法：
y
a 0 b x
前提
对于在①区间[a,b]上连续不断且 f(a) · f(b)＜０的函数 y=精髓 f(x) ，通过②不 断地把函数f(x)的零点所在的区间一分 为二，使区间的两个端点逼近零点，进 而③得到零点近似值。
思想方法：
y
a 0 b x
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a) · f(b)＜０ 的函数 y=f(x) ， 通过不断地把函数f(x)的零 点所在的区间一分为二， 使区间的两个端点 进而得到零点近似值。 逼近零点，
思想方法：
y
前提 对于在①区间[a,b]上连续不断且 f(a) · f(b)＜０的函数 y=f(x) ，通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二，使区间的两个端点逼近零点，进而 得到零点近似值。
x
2.25 2
2.5
2
2.5
3
二、方法探究 +
2 2 + 2.5 + 3 3 f(2)<0，f(3)>0
2<x1<3
f(2)<0，f(2.5)>0 2<x1<2.5 f(2.25)<0，f(2.5)>0 2.25<x1<2.5 f(2.375)<0，f(2.5)>0 2.375<x1<2.5
四、归纳总结
2、不断二分解所在的区间
ab ab (1)若f( 2 )>0,由f(a)<0,则x∈(a, 2 ) ab ab (2) 若f( 2 )<0,由f(b)>0,则x∈( 2 ,b) ab ab (3)若f( 2 )=0,则x= 2
若x∈(a,b),不妨设f(a)<0,f(b)>0