数理方程期末试题B答案

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数理方程习题答案

数理方程习题答案数理方程习题答案数理方程是数学中一门重要的学科，它研究的是各种各样的方程。

在学习数理方程的过程中，习题是不可或缺的一部分。

通过解习题，我们可以加深对数理方程的理解，掌握解题的方法和技巧。

在这篇文章中，我将为大家提供一些数理方程习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 求解方程：2x + 5 = 17。

解：将方程化简，得到2x = 17 - 5，即2x = 12。

再将等式两边同时除以2，得到x = 6。

所以方程的解为x = 6。

2. 求解方程组：2x + y = 73x - 2y = 4解：可以使用消元法来求解这个方程组。

首先，将第一个方程乘以2，得到4x + 2y = 14。

然后将第二个方程与这个结果相加，得到7x = 18。

再将等式两边同时除以7，得到x = 18/7。

将x的值代入第一个方程，可以求得y的值为y = 7 - 2x = 7 - 2(18/7) = 7 - 36/7 = 7/7 - 36/7 = -29/7。

所以方程组的解为x = 18/7，y = -29/7。

3. 求解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。

解：可以使用因式分解法来求解这个二次方程。

首先，将方程化简，得到(x - 2)(x - 3) = 0。

根据乘积为零的性质，可以得到x - 2 = 0或者x - 3 = 0。

解这两个方程，可以得到x = 2或者x = 3。

所以方程的解为x = 2或者x = 3。

4. 求解三次方程：x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。

解：可以使用综合除法来求解这个三次方程。

首先，将方程按照降幂排列，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。

然后，尝试将方程的第一项x^3除以x的最高次数x^3，得到商为1。

将这个商乘以方程的所有项，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 - (x^3 - 3x^2 + 2x - 4) = 0。

化简这个等式，可以得到0 = 0。

数学系常微分方程期末试卷B及答案

试卷(B)试卷份数考试本科考试科目常微分第１页（共5页)年月日第2页（共 5 页)年月日第 3 页（共 5 页）年月日第4页（共５页)年月日12-13—２学期期末考试《常微分方程》B 参考答案及评分标准(数计学院）制卷审核一、填空题（每小题3分，本题共15分）1。

1±=y 2。

x x 2cos ,2sin3．xoy 平面4．充分必要 5．不能二、单项选择题(每小题3分,本题共15分)６．A 7．C 8。

C 9。

D 10。

Ｄ三、简答题（每小题６分,本题共30分）１１．解分离变量得x y xyd e d e = （3分)等式两端积分得通积分C x y +=e e（６分）12.解令u x y =,则xuxu x y d d d d +=,代入原方程,得 u u x u x u tan d d +=+,u xux tan d d = （2分)当0tan ≠u 时,分离变量，再积分，得C xxu u ln d tan d +=⎰⎰ （4分)C x u ln ln sin ln += (5分）即通积分为：Cx xy=sin（6分）13.解方程两端同乘以5-y ,得x y xyy +=--45d d （2分）令 z y=-4,则xz x y y d d d d 45=--，代入上式,得 x z xz=--d d 41 (3分)通解为41e4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C yx （6分）14。

解: 因为xNx y M ∂∂==∂∂2,所以原方程是全微分方程（2分）取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰20d d 2 （4分）即 C y y x =-3231 (6分)15。

解：因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件00≠=ac cb a ,故奇点为原点（０，0) 2分又由d ｅｔ(A —λＥ）＝0)(02=++-=--ac c a c b a λλλλ得 c a ==21λλ 4分所以,方程组的奇点(0，0)可分为以下类型：ａ,ｃ为实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>><<⎭⎬⎫=≠=⎪⎩⎪⎨⎧<⎩⎨⎧>><<>≠不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00c a c a b b c a ac c a c a ac c a 6分四、计算题（每小题10分,本题共20分）16．解：对应齐次方程的特征方程为052=-λλ （1分）特征根为：特征根为01=λ，52=λ, (2分）齐次方程的通解为 xC C y 521e += （4分) 因为0=α是特征根。

数学物理方程期末试卷与答案分析

3、试用分离变量法求定解问题(10 分)：
u 2 u 2 ,0 x 4, t 0 t x 0, u x4 0, u x 0 2x u t 0 .
4、分离变量法求定解问题(10 分)
2 2 2 x cos x, (0 x l, t 0) utt a u xx sin l l u (0, t ) 3, u (l , t ) 6 x 4 u ( x, 0) 3 x 1 , ut ( x, 0) sin l l
3
ut a 2u xx , 0 x l , t 0 u u
x 0
0, u x
x l

q ,t 0 k
（1 分）
t 0
x(l x) ,0 x l 2
3、解令 u ( x, t ) X ( x)T (t ) （2 分），代入原方程中得到两个常微分方程：
10、写出格林函数公式（三维）及满足的条件，并解释其物理意义。(10 分)
2
答案及分析
1、解: 这是弦的自由振动，其位移函数 u ( x, t ) 满足
utt a 2u xx ,
（2 分）
其中 a 2
T

.由于左端开始时自由，以后受到强度为 A sin t 的力的作用，所以
Tu x (0, t ) A sin t 0, t 0, u x (0, t )

n 2 2t n ; 16 4 (1 分)，再解 T (t ) ，得到 Tn (t ) C n e （2
分），于是
Cn
u ( x, t ) (C n e
n 1
n 2 2t 16

数理方程期末试题B答案

北京交通大学2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）（参考答案）学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____学号_______________ 姓名___________ __一、计算题（共80分，每题16分）1．求下列定解问题（15分）2222201200,0,0,|,|,|0,|0.x x l t t u ua A x l t t x u M u M u u t ====⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩2．用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分）2,0,0,(,0)0,(,0)0,(0,)(),lim (,)0.tt xx t x u a u x t u x u x u t t u x t φ→+∞⎧=<<+∞>⎪==⎨⎪==⎩ 3．设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。

初速度为零，又没有外力作用。

求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。

[ 解 ] 问题的定解条件是1(,)(cos sin )sin n a n a n n n l l l n u x t C t D t x πππ∞==+∑由初始条件可得0, 1,2,...n D n ==222202()sin d ()sin d =sin, 1,2,...c lh n hn n lc l l c l c hl n c lc l c n C x x x x l x x n ππππ--⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦=⎰⎰4．证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求出波动方程的通解。

5．用分离变量法解下列定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂===><<+∂∂=∂∂====0|,0|0|,0|00sin sin 0002222222t t l x x l a l t uu u u t l x t x x u a t u ，，ππ [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。

西安邮电大学期末数理方程试题+答案

数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===ì¶¶=ï¶¶ï¶¶ï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=ì¶¶=-<<>ï¶¶ïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。

高等数学b期末考试试题及答案

高等数学b期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数y=x^3-3x+1的导数是：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2-3xD. x^2-3答案：A4. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 定积分∫(0到1)x^2dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B6. 函数y=e^x的不定积分是：A. e^xB. e^x + CC. ln(x) + CD. x^2 + C答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是______。

答案：x=1, x=22. 函数f(x)=ln(x)的导数是______。

答案：1/x3. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程是______。

答案：y=2x-14. 定积分∫(0到2)x^2dx的值是______。

答案：4/3三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,2]上的最大值和最小值。

答案：函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数为f'(x)=3x^2-6x。

令f'(x)=0，解得x=0或x=2。

计算f(0)=2，f(2)=-2，f(1)=0。

因此，在区间[0,2]上，函数的最大值为2，最小值为-2。

2. 求极限lim(x→∞)(1/x^2)。

答案：lim(x→∞)(1/x^2)=0。

3. 求函数y=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。

答案：函数y=x^3-6x^2+11x-6的导数为y'=3x^2-12x+11。

令y'>0，解得x>3或x<11/3；令y'<0，解得11/3<x<3。

数理方程课后习题(带答案)

u0 X0T0 B0A0 C0
0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
ABea2nl222t nn
cons l
xCea2nl222t n
cosn
l
x
un 0unC 0n 1Cnea2n l2 22tconlsx
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
由此可得：w (x)1
xt
dt
f()dC xA ,
a2 0 0
其中
C1 l(BAa 1 2 0 ldt0 tf()d),
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
然后用分离变量解
v(vt0,t)a2
2v x2 , 0, v(l,
t)
0,
0 x l,t 0 t 0
v(x,0) g(x) w(x), 0 x l
0xl1,0yl2 0yl2
u(x,0)0,u(x,l2)(x), 0xl1
uXY
XX0,
X(0)X(l1)0
0xl1
YY0
n n2 nl1 2,n1,2,3,L
n
Xn An sin l1 x
Yn
n2 2
l12
Yn
0
ny
ny
Yn Cnel1 Dne l1
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
un 1unn 1Cnenl1 yD nenl1 ysinnl1 x u(x,0)n 1CnDnsinnl1x0 u(x,l2)(x)n 1 C nenl1l2D nenl1l2 sinn l1x

(本科)线性代数期末考试题及答案AB卷

线性代数试题测试卷及答案2套一、填空题1.四阶行列式中含有因子112432a a a 的项为_________.2.行列式222111ab c a b c 的值为_________. 3.设矩阵1000010000210022⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，则1-=A _________.4.设四元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1，则其解空间的维数为_________.5.设矩阵1234(,,,)=A αααα，其中234,,ααα线性无关，12342=-+αααα，向量41i i ==∑βα，则方程=AX β的通解为_________.6.已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，则32--=A A E _________.二、选择题1.若两个三阶行列式1D 与2D 有两列元素对应相同，且123,2D D ==-，则12D D +的值为( ).A.1B.6-C.5D.02.对任意的n 阶方阵,A B 总有 ( ). A.=AB BA B.=AB BA C.()111---=AB B A D.()222=AB A B3.若矩阵X 满足方程=AXB C ，则矩阵X 为（）.A.11--A B C B.11--A CB C.11--CA B D.条件不足，无法求解4.设矩阵A 为四阶方阵，且()3R =A ，则*()R =A （）. A.4 B.3 C.2 D.15.下列说法与非齐次线性方程组=AX β有解不等价的命题是（）.A.向量β可由A 的列向量组线性表示B.矩阵A 的列向量组与(,)A β的列向量组等价C.矩阵A 的行向量组与(,)A β的行向量组等价D.(,)A β的列向量组可由A 的列向量组线性表示6.设n 阶矩阵A 和B 相似，则下列说法错误的是（）. A.=A B B.()()R R =A BC.A 与B 等价D.A 与B 具有相同的特征向量7.设222123121323()224f x x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型，则a 满足（）.A.11a a ><-或B.12a <<C.11a -<<D.21a -<<- 三、计算题1.已知12111111111n na a D a ++=+，其中120n a a a ≠，求12n n nn A A A +++.2.设矩阵022110123⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且2=+AX A X ，求X .3.求矩阵123451122102151(,,,,)2031311041⎛⎫ ⎪-⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭A ααααα的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示.4.求非齐次线性方程组12341234123431,3344,5980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩的通解.5.求一个正交变换=X PY ，将二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =--化成标准形.四、证明题已知n 阶方阵A 和B 满足124-=-A B B E ，证明2不是A 的特征值。

数理方程试题

数理方程试题一．判断题（每题2分）.1. 2u u x y x y x+=是非线性偏微分方程.( )2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式，则 ( )4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( )5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ?= 的解.( )二．填空题（每题2分）.1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程.2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.5. []()____________.at m L e t s = 三．求解定解问题（12分）20sin ;0,0;0.t xx xx xx lt u a u A t u u u ω===-====四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1）1,0,0;1,1.xy x y u x y uy u===>>=+=（2） 00230, 1.tt t y y y e y y =='''+-='==五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。

（12分）六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。

数理方程试题

六、（13 分）用 laplace 变换法求解定 2u 2 xy x y, u |x 1 sin y 2 u | y 0 x
y 0, x 1
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
注： 1.试题请按照模板编辑，只写试题，不留答题空白； 2.内容请勿出边框。
n 2 ) , n 0,1, 2,... l (2n 1) 2 ] , n 1, 2,... D、 [ 2l
B、 (
二、填空题(每小题 4 分，共 24 分) 1、一个定解问题，如果解存在、唯一、稳定，则此定解问题称为 ) 2、方程 uxx 4uyy 0 化标准型时，所做的两个特征变换为 3、 L [
1 ( x) |a|
(a 0)
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊
C 、弱相等意义下－函数是偶函数 D、Green 函数具有对称性 7、设球域 B(O, R) 内一点 M 0 ，则用静电源像法求格林函数时，关于像点 M ' 的说法正确的是（）
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
A、 M 0 , M ' 的关系满足
OM 0 R R ，且 M ' 处放置负电荷，带电量为 OM 0 R M 0M '
1
。
1 ] ( s 2)( s 1)
（其中 L 表示 Laplace 变换）
4、Green 第二公式为
uv ____ dV u n v n ds
S
v
u
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
w s + w2
2
(Re s > 0)
B、 L[ f g ] L[ f ] L[ g ]
┊┊┊┊┊┊┊┊┊ ┊
三、（9 分）利用达朗贝尔公式求解半无界弦问题

数理方程课后习题答案

数理方程课后习题答案数理方程课后习题答案数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种数学模型中的方程。

在学习数理方程的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径之一。

本文将为大家提供一些数理方程课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 解方程：2x + 5 = 13解答：将方程中的常数项5移到等号右边，得到2x = 13 - 5，即2x = 8。

然后将2移到等号右边，得到x = 8/2，即x = 4。

所以方程的解为x = 4。

2. 解方程组：{2x + y = 7，x - y = 1}解答：可以使用消元法来解决这个方程组。

首先将第二个方程的系数取负，得到{-x + y = -1}。

然后将第二个方程乘以2，得到{-2x + 2y = -2}。

将这两个方程相加，得到{0x + 3y = -3}，即3y = -3。

解得y = -1。

将y的值代入第一个方程，得到2x - 1 = 7，即2x = 8。

解得x = 4。

所以方程组的解为x = 4，y = -1。

3. 解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0解答：可以使用因式分解法来解决这个二次方程。

将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。

根据乘积为零的性质，得到x - 2 = 0或x - 3 = 0。

解得x = 2或x = 3。

所以方程的解为x = 2或x = 3。

4. 解三次方程：x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0解答：可以使用因式分解法来解决这个三次方程。

观察方程，可以发现x = 1是一个解。

通过除以x - 1，得到(x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0。

将x^2 - 5x + 6进行因式分解，得到(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0。

根据乘积为零的性质，得到x - 1 = 0或x - 2 = 0或x - 3 = 0。

解得x = 1或x = 2或x = 3。

所以方程的解为x = 1或x = 2或x = 3。

数学物理方程期末考试试题及答案

数学物理方程期末考试试题及答案一、求解方程（15分）⎧utt -a2uxx=0⎪⎨ux-at=0=ϕ(x)⎪u⎩x+at=0=ψ(x).其中ϕ(0)=ψ(0)。

⎧ξ＝x-at解：设⎨则方程变为：η=x+at⎩uξη=0，u=F(x-at)+G(x+at)(8’)由边值条件可得：F(0)+G(2x)=ϕ(x),F(2x)+G(0)=ψ(x)由ϕ(0)=ψ(0)即得：u(x,t)=ϕ(x+at x-at)+ψ()-ϕ(0)。

22二、利用变量分离法求解方程。

（15分）⎧utt -a2uxx=0,(x,t)∈Q,⎪⎨ux=0=ux=l=0,t≥0,⎪u=ϕ(x),ut t=0=ψ(x)⎩t=0其中0≤x≤l。

a>0为常数解：设u=X(x)T(t)代于方程得：X''+λX=0，T''+λa2T=0(8’)X=C1cosλx+C2sinλx，T=C1cosλat+C2sinλat由边值条件得：C 1=0,λ=(∞n π2)ln πx lu =∑(B n cos λat +A n sin λat )sin n =1B n =2l n πx 2l n πx ，ϕ(x )sin dx A =ψ(x )sin dx n ⎰⎰00l l an πl2三．证明方程u t -a u xx -cu =0(c ≥0)具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性. (15分)证明：设v =e -ct u 代入方程：⎧v t-a 2v xx =0⎪⎨v t =0=ϕ(x )⎪v (0,t )=g (t ),v (l ,t )=g (t ).12⎩设v 1,v 2都是方程的解设v =v 1-v 2代入方程得：⎧v t-a 2v xx =0⎪⎨v t =0=0⎪v (0,t )=,v (l ,t )=0⎩由极值原理得v =0唯一性得证。

(8’)由v 1-v 2≤v 1-v 2得证。

τ≤ε，稳定性得证由v =e -ct u 知u 的唯一性稳定性四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分).∆u =u xx +u yy +u zz=0,z >0,u z =0=f (x ).解：设p (ξ,η,ζ)是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点p (ξ,η,-ς)格林函数：G (x ,y ,ξ,η)=-14π14π1(x -ξ)+(y -η)+(z -ς)1(x -ξ)+(y -η)+(z +ς)222222+∂G∂G=-∂n∂z z=0=ς2π[(x-ξ)+(y-η)+ς]2223/2方程的解：u(ξ,η)=ς2πϕ(x,y)⎰[(x-ξ)2+(y-η)2+ς2]3/2dx R2五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分)u utt-a2(uxx+uyy)=f(x,y,t) t=0=ϕ(x,y),=ψ(x,y),ut t=0uΓ=g(x,y,t).其中t>0,(x,y)∈Ω,Γ为Ω的边界.解:设u1,u2都是方程的解设u=u1-u2代入方程得：u tt -a(uxx+uyy)=0u u t t=02 =0=0 t=0uΓ=0.设E(t)=12222[u+a(u+u]dxdy t x y⎰⎰2ΩdE(t)=2⎰⎰[ut utt+a2(uxuxt+uyuyt)]dxdydtΩ=2[ut [utt-a(uxx+uyy)]dxdyΩ⎰⎰2=0(10’)E(t)=E(0)=0，u=C，由边值条件得：u=0。

数学物理方程考试试题及解答

u ( x, t ) (Cn cos ant Dn sin ant )sin nx
n 1
其中 Cn
2

0
8[1 (1)n ] x( x)sin nxdx n3
Dn
2

0
0 (n 2) 3sin 2 x sin nxdx 3 (n 2) a
解：设 u ( x, t ) 代入方程， (8 e
8 e3 x m y
（ 2 分）
3xm y
) 3 3 (8 e3 x m y ) m 0
（ 6 分）（ 7 分）
3m 3 0, m 1
所以解为
3x y u ( x ,t ) e 8
2．
( 本题 7 分 )
2 2u 2 u 2 a x 2 求问题 t u ( x,0) sin 2 x, u t
的解
t 0
3x
2
解：由达朗贝尔公式，得
1 1 x at 2 u ( x, t ) [sin 2( x at ) sin 2( x at )] 3 d 2 2a x at
（A） u( x, t ) A cos ( x at )
（C） u( x, t ) A cos x sin a t （D） u( x, t ) A cos ( x at )
1
三 . 解下列问题
1.
( 本题 8 分 )
u u 0 3 求问题 x 的解 y 3x u ( x,0) 8e
2u t 2
2F t 2
a2
2 u F ( x, t ) c x 2

试卷二期期末B卷试题参考解答

期末B 卷试题参考解答.一. 求初值问题:2(21)0,(1) 2.xy dx x dy y ⎧-+=⎨=⎩解方程化为221.dy y dx x x += 先解对应的齐次方程得解为2,y Cx -=用常数变易法,令2(),y C x x -=则23()2(),y C x x C x x --''=-代入原方程,得()1,(),C x C x x C '==+故从而得原方程的通解为22(),.y x C x x y x C -=+=+或由初始条件,得C =1,故初值问题的解为 21x y x -=.二. 计算累次积分 1120sin .yI dy x dx =⎰⎰ 解 11122sin sin xyI dy x dx dx x dy ==⎰⎰⎰⎰()12sin x xdy dx=⎰⎰120sin x x dx =⎰12201sin 2x dx =⎰21011(cos )(1cos1).22x =-=- 三. 验证数项级数221ln 1n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛,并求其和.解 221()ln 1nk S n k =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑2221ln n k k k =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑22(1)(1)ln nk k k k =-+=∑因此 11lim ()lim ln lnln 2.22n n n S S n n →∞→∞+====- 四. 若解3413coscosy yxyy y=+44cos2yy y=-五.计算曲线积分333(sin)(sin),x xLI ye x dx e x y dy+=-+++⎰其中L是圆周221x y+=,逆时针方向.解333()sin,()sin,x xP x ye x Q x e x y=-=++2233,x xQ Pe x e xx y∂∂-=+-=∂∂由格林公式,DLQ PI Pdx Qdy dxdyx y+⎛⎫∂∂=+=-⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰22213x yx dxdy+≤=⎰⎰2122003cosd r rdrπθθ=⋅⎰⎰212300cos3d r drπθθ=⎰⎰3132.424ππ=⋅⋅=六.求解一阶常微分方程:260.dy yxydx x-+=解令122266,,dz dy y zz y y y xy xdx dx x x---⎛⎫==-=--=-⎪⎝⎭则得线性方程6(*),dz zxdx x+=其对应的齐次方程为60,dz zdx x+=6,dzdxz x=-ln6ln ln,z x C=-+6.z Cx-=令6().z C x x-=代入到(*)中,得677()6()6(),C x C x C xxx x x'-=-781(),().8C x x C x x C'==+即于是于是(*)所求的解为86861.88x Cz x x Cx-+⎛⎫=+=⎪⎝⎭原方程的解为688.xyx C=+另外,显然方程还有平凡解y=0.七.求解二阶非齐次方程的初值问题:2431,(0)(0) 1.xy y y ey y'''⎧-+=+⎨'==⎩解对应的齐次方程为 430,y y y '''-+=其特征方程为2430.λλ-+=特征根为1和3,因此齐次方程的通解为312.x xy C e C e =+ 对非齐次方程 431,y y y '''-+= 特解为 13;y C ==对非齐次方程 243,xy y y e '''-+= 特解为 2,xy Ce =代入后得1,C =-因此原方程的通解为 32121.3xxxy C e C e e =+-+由初始条件y (0)=1,得12121511,;33C C C C =+-++=即由初始条件(0)1,y '=,得1212132,33;C C C C =+-+=即由此得1221,;3C C == 从而初值问题得解为 3221.33x x x y e e e =+-+八. 计算曲面积分3222()(cos ),S I x z x dydz y x yz dzdx x z dxdy +=++--⎰⎰其中S +为曲面222,12,z x y z =--≤≤取上侧.解 3222,cos ,,P x z x Q y x yz R x z =+=-=-22231,sin ,2.P Q R x z y x z x z x y z∂∂∂=+=--=-∂∂∂ 1sin ,P Q Ry x y z∂∂∂++=-∂∂∂ 设2200{(,,)1,1},,,A x y z x y z A S +=+≤=∑=⋃取下侧记则由高斯公式3222()(cos )(1sin ).x z x dydz y x yz dzdx x z dxdy y dv ∑Ω++--=-⎰⎰⎰⎰⎰ 221212012(1).2r dv rdzdrd r r dr ππθπ-Ω===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由对称性3222()(cos )A I x z x dydz y x yz dzdx x z dxdy =-++--⎰⎰ 02()A x dxdy =--⎰⎰21320cos .4r drd ππθθ==⎰⎰显然0I I ∑=+⎰⎰,即 ,.424I I πππ+==故得九. 若函数0111,1n x x n x n ∞=⎛⎫+- ⎪++-⎝⎭∑的和函数,并证明其在区间(0,+∞)上一致收敛. 解111111n n k S x x k x k x n =⎛⎫=+-= ⎪++-+⎝⎭∑ ，故和函数 ()lim ()0,0n n S x S x x →∞==>11()(),0n S x S x x x n n-=≤∀>+又，故该函数项级数在区间 (0,)+∞ 上一致收敛。

七年级下册数学期末测试模拟题BE[含答案]

七年级下册数学期末测试模拟题[含答案]一、选择题1．若关于x 的分式方程311x mx x -=--有增根，则m 的值为（） A ．1m =B ．2m =-C ．0m =D ．无法确定答案：B2．一列列车自 2004年全国铁路第 5次大提速后，速度提高了26 km/h ，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1h ，已知甲、乙两站的路程是312 km ，若设列车提速前的速度是x （km/h ），则根据题意所列方程正确的是（） A ．312312126x x -=+ B ．312312126x x-=+ C ．312312126x x -=- D ．312312126xχ-=- 答案：A3．已知a 、b 为有理数，要使分式ab的值为非负数，a 、b 应满足的条件是（） A ．a ≥0,b ≠0 B ．a ≤0,b<0C ．a ≥0,b>0D ．a ≥0,b>0或a ≤0,b<0解析：Ｄ 4．二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-52723y x y x 的解是（）A ．⎩⎨⎧==23y x B ．⎩⎨⎧==21y x C ．⎩⎨⎧==24y x D ．⎩⎨⎧==13y x 答案：D5．方程组⎩⎨⎧=-=+134723y x y x 的解是（）A ． ⎩⎨⎧=-=31y x B ．⎩⎨⎧-==13y x C ．⎩⎨⎧-=-=13y x D ．⎩⎨⎧-=-=31y x 答案：B6．下面三种说法：①两个能够重合的三角形是全等三角形；②全等三角形的形状和大小相同；③全等三角形的面积相等．其中正确的个数有（） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个答案：A7．若321()44m n x y x y x ÷=，则（） A ．m = 6，n =1B ． m= 5 , n= 1C ．m = 5，n =0D ．m= 6，n =0答案：B8．下列图形绕某点旋转后，不能与原来图形重合的是（旋转度数不超过180°）（）答案：B9．如图所示，△DEF 是由边长为2 cm 的等边△ABC 平移3cm 得到的，则AD 为（） A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．无法确定答案：C10．下列各多项式中，在有理数范围内可用平方差公式分解因式的是（） A ．24a +B ．22a -C ．24a -+D ．24a --答案：C11．把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换．．．．．．过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（）A ．对应点连线与对称轴垂直B ．对应点连线被对称轴平分C ．对应点连线被对称轴垂直平分D ．对应点连线互相平行答案：B12．在①(65)65ab a a b +÷=+；②（8x2y 22(84)(4)2x y xy xy x y -÷-=--；③ 22(1510)(5)32x yz xy xy x y -÷=-；④222(33)33x y xy x x xy y -+÷=-中，不正确的有（） A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ． 4 个ACB A ' B 'C '图2图1答案：C二、填空题13．为了交通方便，在一块长为am，宽为bm的长方形稻田内修两条道路，横向道路为矩形，纵向道路为平行四边形，道路的宽均为1m(如图)，则余下可耕种土地的面积是_．解析：ab-a-b+114．如图所示，是用笔尖扎重叠的纸得到的关于直线l成轴对称的两个图形，连结CE交l 于0，则⊥，且 = ，AB的对应线段是，EF的对应线段是，∠DC0的对应角是．解析：l，CE，OC，O)E，GH．CD，∠FE015．填空：(1) 42× =72；(2) 8⨯= ．22(3) ×27=7-；(7)(4)23⨯= ．1010解析：(1)32；(2)92；(3)57-；(4)51016．若816x=，则2x= ，4x= ．解析： 2，417．用小数表示33.1410-⨯,结果是．解析： 0.0031418．把一个化成几个的的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.解析：多项式，整式，乘积19．如图，OP平分∠EOF，PA⊥OE于点A.已知PA＝2cm，求点P到OF的距离为．解析：2cm20．如图所示，共有个三角形．其中以DC为一边的三角形是．解析：7；△DBC ，△ADC21．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想数字，把乙所猜数字记为b ，且a 、b 分别取0、1、2、3，若a ，b 满足1a b -≤，则称甲、乙两人“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，得出“心有灵犀”的概率为 .解析：8522．如图，在图①中，互不重叠．．．．的三角形共有 4个，在图②中，互不重叠．．．．的三角形共有7个，在图③中，互不重叠．．．．的三角形共有10个，…，则在第n 个图形中，互不重叠的三角形共有个(用含n 的代数式表示).解析：31n +23．已知BD 是ΔABC 的一条中线, 如果ΔABD 和ΔBCD 的周长分别是21,12,则BC AB -的长是．解析：924．如图, △ABC 中,AB=AC=12,EF 为AC 的垂直平分线,若EC=8,则BE 的长为_______．解析：425．下列各图中，从左到右的变换分别是什么变换？解析：轴对称变换，旋转变换，相似变换，平移变换26．写出一个以⎩⎨⎧-==32y x 为解的二元一次方程组__________________．解析：⎩⎨⎧=--=+51y x y x （答案不惟一）27．按程序x →平方→+x →÷x →-2x 进行运算后，结果用x 的代数式表示是____________ (填入运算结果的最简形式). 解析：–x+128．如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形，则需要C 类卡片张．解析：329．在△ABC 与A B C '''∆中，AB A B ''=，A A '∠=∠，要说明△ABC ≌△A ′B ′C ′，还需要增加条件 (只需写一个). 解析：略30．在△ABC 中，∠A －∠C=25°，∠B －∠A=10°，则∠B= ．解析：75°三、解答题31．已知 n 为正整数，试判断233n n +-能否被24 整除．解析：能被 24 整32．“5·12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产线，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶.(1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？(2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？解析：(1)设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x 、y 顶，则⎩⎨⎧=+=+178321052y x y x ，解得x=41，y=32．答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶． (2)由3（4×41+5×32）=972＜1000知，即使工厂满负荷全面转产，还不能如期完成任务．可以从加班生产、改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其它厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献．33．如图所示的轴对称图形的对称轴都不止一条，请把它们都画出来．解析：略34．如下表，“谢氏三角”是波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915年～l916年期间提出的，它的作法是：第一步：取一个等边三角形(记为P 1)，连结各边的中点，得到完全相同的小正三角形，挖掉中间的一个；第二步：将剩下的三个小正三角形(记为P 2)，按上述办法各自取中点，各自分成4个小三角形，去掉各自中间的一个小正三角形；依次类推，不断划分出小的正三角形，同时去掉中间的一个小正三角形．试求P 4的“黑”三角形的个数，“黑”三角形的总边数，边长，周长和面积，并将结果填入下表中．解析：27,81，118a ，1818a ，12764S35．根据条件作图：(1)任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°；(2)画∠CAB的平分线交对边于D；(3)画出点D到Rt△ABC的斜边的垂线段DE．解析：略36．把如图所示的圆0向南偏东60°方向平移3 cm，画出平移后的图形．解析：略37．如图所示，在方格纸中，有两个形状、大小完全相同的图形，请指出如何运用轴对称、平移、旋转这三种运动，将一个图形重合到另一个图形上．解析：把△ABC先绕点A逆时针旋转90°，再向上平移2个单位，然后以D点所在的竖格子线为对称轴进行轴对称变换38．用四块如图①所示的瓷砖拼成一个正方形图案，使拼成的图案成一个轴对称图形(如图②)．请你分别在图③、图④中各画一种与图②不同的拼法，要求两种拼法各不相同，且是轴对称图形．解析：略39．一种被污染的液体每升含有2.4×1013个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死4×1010个此种细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少毫升？（注：15滴=1毫升）解析：40毫升．40．任意给一个非零数，按图中的程序计算下去，试写出输出的结果.解析：输出的数等于输入的数41．先化简，再选择使原式有意义而且你喜欢的数代入求值：22315313695x x x x x x x +-⋅---++.解析：化简结果为1x-，计算结果与代入的x 的值有关，答案不唯 42．解方程组：(1）⎩⎨⎧=+=-1464534y x y x (2）⎩⎨⎧=+=-1732623y x y x解析：（1）⎩⎨⎧==12y x ；（2）⎩⎨⎧==34y x ． 43．705班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长史小青去商店购买奖品，下面是史小青与售货员的对话：史小青：阿姨，你好！售货员：同学你好，想买点什么？史小青：我只有100元，请帮助我安排买10支钢笔和15本笔记本．售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好，再见！根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？解析：5元和3元．44．一不透明纸箱中装有形状、大小、质地等完全相同的4个小球，分别标有数字1，2，3，4.(1）从纸箱中随机地一次取出两个小球，求这两个小球上所标的数字一个是奇数另一个是偶数的概率；(2）先从纸箱中随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为十位上的数字；将取出的小球放回后，再随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少？试用树状图或列表法加以说明.解析：解：（1）从纸箱中随机地一次取出两个小球，所标数字的所有可能结果有：(12)(13)(14)(23)(24)(34)，，，，，，，，，，，，共6种；而所标数字一个是奇数另一个是偶数的有4种，4263P ∴==． (2）画树状图：或用列表法：第一次第二次组成的两位数开始121 2 3 4 （11（1（1（141 2 3 4 （2（2（2（24（3 341 2 3 4 1 2 3 4（3（3（34（41（4（4（4所有可能出现的结果共有16种，其中能被3整除的有5种．516P ∴=． 45．全班有男生30人，女生20人，其中男生有10人住校，女生中有4人住校，•现随机抽一名学生，问：(1）抽到一名男生的概率是多少？（2）抽到一名住校男生的概率是多少？解析：（1）35 ；（2）1546．如图，图中位置、尺寸修筑两条路，则草皮面积为多少？解析：28 m 247．四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张卡片(不放回)，再从桌子上剩下的5张中随机抽取第二张卡片.(1）用画状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况； (2）计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少？解析：(1)略 (2)1548．如图，A ，B ，C ，D 四张卡片上分别写有-257，π四个实数，从中任取两张卡片．(1)请列举出所有可能的结果(用字母A ，B ．C ，D 表示)；(2)求取到的两个数都是无理数的概率．解析：(1)所有可能结果 AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD (2)1649．设22131a =-，22253a =-，…，22(21)(21)n a n n =+--(n 为大于0的自然数).(1)探究n a 是否为 8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；(2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出1a ，2a ，…，n a 这一列数中从小到大排列的前 4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，n a 为完全平方数. (不必说明理由).解析：(1)因为22(21)(21)n a n n =+--=224414418n n n n n ++-+-=，又因为n 大于0的自然数，所以n a 是8的诰数.这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数.(2)这一列数中从小到大排列的前 4个完全平方数为16,64,144,256. n 为一个完全平方数的 2倍时，n a 为完全平方数.50．解方程组：（1）35366x y x y +=⎧⎨-=⎩；（2）4423216x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解析：(1)16535xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；(2)84xy=⎧⎨=⎩。

高等数学期末练习题(带答案)

高等数学期末练习题(带答案) 一、高等数学选择题
1．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】A
二、二选择题
2．设，则=（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
3．微分方程的通解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
4．函数是微分方程的解．
A、正确
B、不正确
【答案】B
5．．
A、正确
B、不正确
【答案】A
6．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
7．微分方程满足的特解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C
8．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】A
9．极限．
A、正确
B、不正确
【答案】A
10．设，则微分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
11．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
12．微分方程的通解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
一、一选择题
13．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
14．曲线在点处切线的方程为（）．A、
B、
C、
D、
【答案】A
一、一选择题
15．函数的导数．
A、正确
B、不正确
【答案】B。

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