数理方程期末试题B答案

北 京 交 通 大 学

2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）

（参考答案）

学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __

一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分）

2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分）

3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力

作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得

4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求

出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题

[ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。]

[ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π

sin ，其解可以表示成

把原问题中非齐次项t x t x f l a l π

π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数

因此有

利用参数变易法，有 于是

6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题

[ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得

以及 设0ρβλn n =

为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为

问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故

于是最后得到原问题的解是

二、 证明题（共2分，每题10分） 7． 证明平面上的Green 公式

其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。

[证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有

再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令 得到

交换u,v ，得到

上面第二式减去第一式，得到 证毕。

8． 证明关于Bessel 函数的等式：