年7月浙江省自考试题近世代数

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7月高等教育自学考试

近世代数试题

课程代码:10025

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案的序号填在

题干的括号内。每小题3分,共15分)

1. 设R 是实数集,σ(a)=⎩⎨⎧<≥+0a a 0

a 1a 则σ是R 的( )。

A. 满射变换

B. 单射变换

C. 一一变换

D. 不是R 的变换

2. 下列法则,哪个不是有理数集Q 的代数运算( )。

A. a b=21(a+b)

B. a b=a 2-2ab+b 2

C. a b=10a+b

D. a b=21

〔a(a+1)+b(b+1)〕

3. 设集合G={a,b},在G 中规定代数运算如下表,则G 关于哪个代数运算可作成群。( )

A.

B. O 1 a b

a a a

b b b

O 2 a b

a a b

b a b

2

C.

D.

4. 设M 2(R)=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a a,b,c,d ∈R ,R 为实数域⎭⎬⎫按矩阵的加法和乘法构成R 上的二阶方阵环,那么这个方阵环是( )。

A. 有单位元的交换环

B. 无单位元的变换环

C. 无单位元的非交换环

D. 有单位元的非交换环

5. 在非零有理数乘群Q *中,阶为2的元有( )。

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 无限个

二、填空题(每小题3分,共27分)

1.剩余类加群Z 12有_________个生成元.

2.6阶循环群有_________个子群.

3.5次对称群S 5中,(12543)2(13542)-1=_________. O 3 a b a a b b b a O 4 a b a b a b a b

4.模8的剩余类环Z8的子环有_________个.

5.剩余类环Z n是域⇔n是_________.

6.整数环Z的理想有_________个.

7.唯一分解环与欧氏环的关系是_________.

8.设Q是有理数域,S={2i},则Q(S)=________.

9.3

1+在有理数域Q上的极小多项式是_________.

三、本题共3大题,第1、2大题各10分,第3大题14分,共34分

1.设A={a,b,c}群,且a是单位元,试作出A的乘法表.

2.找出模18的剩余类加群Z18的所有子群.

3.试分别写出剩余类环Z5和Z6中的全部零因子与可逆元.

四、证明题(每题8分,共24分)

1. 设G是2p阶群(p是素数),证明G的每个真子群都是循环群.

2. 设偶数环R=2Z,N={4r|r∈Z},证明N是R的一个理想,R/N是怎样的环?N是否与(4)相

等?R/(4)是不是域?

3.设Z〔i〕={a+bi|a,b∈Z},试确定Z〔i〕/(1+i)含有哪些元素?Z〔i〕/(1+i)是否是域?为什么?

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