一元函数微分学练习题(答案)

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一元函数微分学模拟试卷2(题后含答案及解析)

一元函数微分学模拟试卷2(题后含答案及解析)

一元函数微分学模拟试卷2(题后含答案及解析)全部题型 2. 数学(选择题) 3. 数学(填空题) 4. 数学(解答题) 数学部分单项选择题1.设函数f(x)=x.tanx.esinx,则f(x)是( ).A.偶函数B.无界函数C.周期函数D.单调函数正确答案:B 涉及知识点:一元函数微分学2.设A,B皆为n阶矩阵,则下列结论正确的是( ).A.AB=0的充分必要条件是A=0或B=0B.AB≠0的充分必要条件是A≠0或B≠0C.AB=0且r(A)=n,则B=0D.若AB≠0,则|A|≠0或|B|≠0正确答案:C 涉及知识点:一元函数微分学3.设cosx-1=xsina(x),其中|a(x)|<π/2,则当x→0时,a(x)是A.比x高阶的无穷小B.比x低阶的无穷小C.比x同阶但不等价的无穷小D.与x等价的无穷小正确答案:C 涉及知识点:一元函数微分学4.设A,B,C均为n阶矩阵,若AB=C,且曰可逆,则A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D.矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案:B 涉及知识点:一元函数微分学5.函数f(x)在点x=a处可导,则函数|f(x)|在点x=a处不可导的充分条件是( ).A.f(a)=0且fˊ(a)=0B.f(a)=0且fˊ(a)≠0C.f(a)>0且fˊ(a)>0D.f(a)<0且fˊ(a)<0正确答案:B 涉及知识点:一元函数微分学6.设A,B为n阶矩阵,且A与B相似,E为n阶单位矩阵,则( ).A.λE-A=λE-BB.A与B有相同的特征值和特征向量C.A与B都相似于一个对角矩阵D.对任意常数t,tE-A与tE-B相似正确答案:D 涉及知识点:一元函数微分学7.向量组α1,α2,…,αm线性无关的充分必要条件是( ).A.向量组α1,α2,…,αm,β线性无关B.存在一组不全为零的常数k1,k2,…,km,使得k1α1+k2α2+…+kmαm≠0C.向量组α1,α2,…,αm的维数大于其个数D.向量组α1,α2,…,αm的任意一个部分向量组线性无关正确答案:D 涉及知识点:一元函数微分学8.设A是n阶矩阵,且A的行列式|A|=0,则A( ).A.必有一列元素全为0B.必有两列元素对应成比例C.任一列向量是其余列向量的线性组合D.必有一列向量是其余列向量的线性组合正确答案:D 涉及知识点:一元函数微分学9.设n阶方程A=(α1,α2,…,αn),B=(β1,β2,…,βn),AB=(γ1,γ2,…γn),记向量组(I):1,α2,…,αn,(Ⅱ):β1,β2,…,βn,(Ⅲ):γ1,γ2,…γn,如果向量组(Ⅲ)线性相关,则( ).A.向量组(I)与(Ⅱ)都线性相关B.向量组(I)线性相关C.向量组(Ⅱ)线性相关D.向量组(I)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关正确答案:D 涉及知识点:一元函数微分学10.设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,x0≠0是函数f(x)的极大值点,则( ).A.x0必是函数f(x)的驻点B.﹣x0必是函数﹣f(﹣x)的最小值点C.对一切x0都有f(x)≤f(x0)D.﹣x0必是函数﹣f(﹣x)的极小值点正确答案:D 涉及知识点:一元函数微分学11.函数y=C1ex+C2e﹣2x+xex满足的一个微分方程是( ).A.y〞-yˊ-2y=3xexB.y〞-yˊ-2y=3exC.y〞+yˊ-2y=3exD.y〞+yˊ-2y=3xex正确答案:C 涉及知识点:一元函数微分学12.设A为m×n矩阵,齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是( ).A.A的列向量线性相关B.A的行向量线性相关C.A的行向量线性无关D.A的列向量线性无关正确答案:D 涉及知识点:一元函数微分学13.设A为n阶实矩阵,AT为A的转置矩阵,则对于线性方程组(I)AX=0和(Ⅱ)ATAx=0必有( ).A.(Ⅱ)的解是(I)的解,(I)的解也是(Ⅱ)的解B.(I)的解是(Ⅱ)的解,但(Ⅱ)的解不是(I)的解C.(I)的解不是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也不是(I)的解D.(Ⅱ)的解是(I)的解,但(I)的解不是(Ⅱ)的解正确答案:A 涉及知识点:一元函数微分学14.设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值,则矩阵(1/3 A2 )-1 有一个特征值等于A.4/3B.3/4C.1/2D.1/4正确答案:B 涉及知识点:一元函数微分学15.设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵.已知n维列向量α是A 的属于特征值A的特征向量,则矩阵(P-1 AP)T 属于特征值A的特征向量是A.P-1α.B.PT α.C.Pα.D.(P-1 )Tα.正确答案:B 涉及知识点:一元函数微分学填空题16.微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.正确答案:2/x 涉及知识点:一元函数微分学17.微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.正确答案:1/x 涉及知识点:一元函数微分学18.微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.正确答案:ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点:一元函数微分学19.若x→0时,(1-ax2)1/4-1与xsinx的等价无穷小,则a=________.正确答案:-4 涉及知识点:一元函数微分学20.已知fˊ(lnx)=1+x,则f(x)=_________.正确答案:x+ex+C 涉及知识点:一元函数微分学21.若四阶矩阵A与B为相似矩阵,A的特征值为1/2、1/3、1/4、1/5,则行列式|B-1-E|=_______.正确答案:24 涉及知识点:一元函数微分学22.设A,B为3阶矩阵,且|A |=3,|B |=2,|A-1+B|=2,则|A+B-1 |=_____________.正确答案:3 涉及知识点:一元函数微分学23.设A为3阶矩阵,|A|=3,A*为A的伴随矩阵.若交换A的第1行与第2行得矩阵B,则|BA*|=__________.正确答案:-27 涉及知识点:一元函数微分学24.若a1,a2,a3,β1,β2都是4维列向量,且4阶行列式|a1,a2,a3,β1|=m,|a1,a2,β2,a3|=n,则4阶行列式|a1,a2,a3,β1+β2|=正确答案:n-m 涉及知识点:一元函数微分学25.设A,B均为n阶矩阵,|A |=2,|B|=-3,则|2A*B-1|=_______.正确答案:-22n-1/3 涉及知识点:一元函数微分学26.若4阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5,则行列式|B-1-E |=_________.正确答案:24 涉及知识点:一元函数微分学解答题27.求微分方程y”-2y’-e2x=0满足条件y(0)=1,y’(0)=1的解.正确答案:齐次方程y”-2y’=0的特征方程为λ2-2λ=0.由此求得特征根λ1=0,λ2=2.对应齐次方程的通解为y=C1+C2e2x.设非齐次方程的特解为y”=Axe2x,则(y*)’=(A+2Ax)e2x,(y*)”=4A(1+x)e2x代入原方程,可得A=1/2,从涉及知识点:一元函数微分学28.求:微分方程y〞+y=-2x的通解.正确答案:方程y〞+y=-2x对应的齐次方程的特征方程为λ2+1=0,特征根为λ1,2=±i,故对应的齐次方程通解为C1cosx+C2sinx.因为a=0不是特征根,因此原方程的特解可设为y*=Ax+B,代入原方程得A=-2,B=0.所以原方程的通解为y=C1cosx+C22sinx-2x.涉及知识点:一元函数微分学。

专升本高等数学二(一元函数微分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)

专升本高等数学二(一元函数微分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)

专升本高等数学二(一元函数微分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1.设f(x)在x=0处可导,则= ( )A.f’(0)B.f’(0)C.2f’(0)D.f’(0)正确答案:C解析:知识模块:一元函数微分学2.设函数y=ex-2,则dy= ( )A.ex-3dxB.ex-2dxC.ex-1dxD.exdx正确答案:B解析:因为y=ex-2,y’=ex-2,所以dy=ex-2dx.知识模块:一元函数微分学3.下列函数中,在x=0处可导的是( )A.y=|x|B.y=C.y=x3D.y=lnx正确答案:C解析:选项A中,y=|x|,在x=0处左右导数不相同,则y=|x|在x=0处不可导;选项B中,在x=0处无定义,即y=在x=0处不可导;选项C中,y=x3,y’=3x2处处存在,即y=x3处处可导,也就在x=0处可导;选项D中,y=lnx在x=0点没定义,所以y=lnx在x=0处不可导.知识模块:一元函数微分学4.f(x)=(x+1)(x+2)…(x+100),则f’(一1)= ( )A.100!B.99!C.∞D.一99!正确答案:B解析:由导数的定义可知f’(一1)==(x+2)…(x+100)=99!.知识模块:一元函数微分学5.曲线y=( )A.有一个拐点B.有两个拐点C.有三个拐点D.无拐点正确答案:D解析:因y’=,则y’’在定义域内恒不等于0,且无二阶不可导点,所以无拐点.知识模块:一元函数微分学6.函数y=ex+e-x的单调增加区间是( )A.(一∞,+∞)B.(一∞,0]C.(一1,1)D.[0,+∞)正确答案:D解析:y=ex+e-x,则y’=ex一e-x=,令y’>0,则x>0,所以y 在区间[0,+∞)上单调递增.知识模块:一元函数微分学7.函数f(x)=在[0,3]上满足罗尔定理,则ξ= ( )A.2B.3C.0D.1正确答案:A解析:由f(x)=,得f(0)=f(3)=0.又因f’(x)=,故f’(ξ)=0,所以ξ=2.知识模块:一元函数微分学8.设y=f(x)在[0,1]上连续,且f(0)>0,f(1)<0,则下列正确的是( ) A.y=f(x)在[0,1]上可能无界B.y=f(x)在[0,1]上未必有最小值C.y=f(x)在[0,1]上未必有最大值D.方程f(x)=0在(0,1)内至少有一个实根正确答案:D解析:函数在闭区间上连续,则在该区间必定有界,且存在最大、最小值,由零点定理可知选项D正确.知识模块:一元函数微分学填空题9.设函数y=(x一3)4,则dy=________.正确答案:4(x一3)3dx解析:因为y=(x一3)4,y’=4(x一3)3,则dy=4(x一3)3dx.知识模块:一元函数微分学10.设y=x2ex,则y(10)|x=0=________.正确答案:90解析:y’=2xex+x2ex=ex(x2+2x)=ex[(x+1)2一1],y’’=ex(x2+2x)+ex(2x+2)=ex[(x+2)2一2],y’’’=ex(x2+4x+2)+ex(2x+4)=ex[(x+3)2一3],…y(10)=ex[(x+10)2一10],所以y(10)|x=0=90.知识模块:一元函数微分学11.x=,y=t3,则=________.正确答案:一3t2(1+t)2解析:=一3t2(1+t)2.知识模块:一元函数微分学12.曲线y=的水平渐近线方程为_________.正确答案:y=解析:的水平渐近线.知识模块:一元函数微分学13.f(x)=xex,则f(n)(x)的极小值点为_________.正确答案:x=一(n+1)解析:f’(x)=ex+xex=(x+1)ex,f’’(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex,f’’’(x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex,…,f(n)(x)=(x+n)ex,故(f(n)(x))’=f(n+1)(x)=(x+n+1)ex=0,则x=一(n+1),显然当x>一(n+1)时,f(n+1)(x)>0;当x<一(n+1)时,f(n+1)(x)<0,因此f(n)(x)的极小值点为x=一(n+1).知识模块:一元函数微分学解答题14.讨论f(x)=在x=0处的可导性.正确答案:f-’(0)==0,f+’(0)==0.故函数在x=0处可导且f’(0)=0.涉及知识点:一元函数微分学15.求曲线y=e-x上通过原点的切线方程及和直线x+y=2垂直的法线方程.正确答案:曲线y=e-x上任一点(x0,e-x0)处的切线方程为y=e-x0=一(e -x)|x=x0(x—x0),即y—e-x0=一e-x0(x—x0).因切线过原点,则将x=0,y=0代入得x0=一1,则切点为(一1,e),故过原点的切线方程为y=一ex.又曲线y=e-x上任意点的法线方程为y—e-x0=ex0(x—x0),因法线与x+y=2垂直,故有ex0.(一1)=一1,得x0=0,从而所求法线方程为y=x+1.涉及知识点:一元函数微分学16.函数y=y(x)由方程ey=sin(x+y)确定,求dy.正确答案:将ey=sin(x+y)两边对x求导,有ey.y’=cos(x+y)(1+y’),所以y’=dx.涉及知识点:一元函数微分学17.求函数y=的导数[已知f(μ)可微].正确答案:设y=f(μ),μ=ν2,ν=sint,t=,则涉及知识点:一元函数微分学18.设f(x)在x0点可导,求.正确答案:=2f’( x0).涉及知识点:一元函数微分学19.已知g(x)=af2(x)且f’(x)=,证明:g’(x)=2g(x).正确答案:g’(x)=(af2(x))’=lna.af2(x).[f2(x)]’=lna.af2(x).2f(x).f’(x),又f’(x)=,所以g’(x)=lna.af2(x).2f(x).=2af2(x)=2g(x).涉及知识点:一元函数微分学20.已知曲线y=ax4+bx2+x2+3在点(1,6)处与直线y=11x一5相切,求a,b.正确答案:曲线过点(1,6),即点(1,6)满足曲线方程,所以6=a+b+4,①再y’=4ax2+3bx2+2x,且曲线在点(1,6)处与y=11x一5相切,所以y’|x=1=4a+3b+2=11,②联立①②解得a=3,b=一1.涉及知识点:一元函数微分学21.设f(x)在[0,+∞)上连续,f(0)=0,f’’(x)在(0,+∞)内恒大于零,证明g(x)=在(0,+∞)内单调增加.正确答案:方法一因为f’’(x)>0,所以f’(x)在(0,+∞)单调增加,故f’(x)>f’(ξ),即g’(x)>0,从而g(x)在(0,+∞)单调增加.方法二g’(x)=,欲证分子φ(x)=f’(x)x-f(x)大于零,因为φ’(x)=f’’(x)x+f’(x)一f’(x)=f’’(x)x>0(x>0),所以x>0时φ(x)单调增加,即φ(x)>φ(0)=0,故当x>0,g(x)在(0,+∞)内单调增加.涉及知识点:一元函数微分学22.设f(x)在[a,b]上具有一、二阶导数,f(a)=f(b)=0,又F(x)=(x一a)2f(x).证明F(x)在(a,b)内至少存在一点ζ,使F’’(ζ)=0.正确答案:显然,F(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件,故存在η∈(a,b),使F’(η)=0,又由F’(x)=2(x一a)f(x)+(x一a)2f’(x),知F’(a)=0.因此,F’(x)在[a,η]上满足罗尔定理条件,故存在ζ∈(a,η)(a,b),使得F’’(ζ)=0.涉及知识点:一元函数微分学23.当0<x<π时,证明.正确答案:令F(x)=,则F(0)=F(π)=0.又F’(x)=<F’(0)>F’(x)>F’(π).而F’(0)=<0,判别不出F’(x)的正负.注意到F’’(x)<0,则F(x)在0<x<π时是凸曲线,由于F(0)=F(π)=0,故F(x)>0,即,得证.涉及知识点:一元函数微分学24.设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,k为正整数,求证:存在一点ξ∈(0,1)使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ).正确答案:xf’(x)+kf(x)=f’(x),整理得,(x一1)f’(x)=一kf(x),分离变量得,两边积分得lnf(x)=一kln(1一x)+C1,整理得lnf(x)(1一x)k=C1,即f(x)(1一x)k=C,所以设F(x)=f(x)(1一x)k,F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,又F(0)=0,F(1)=0,则F(x)在[0,1]上满足罗尔定理,故存在一点ξ∈(0,1),使得F’(ξ)=0,即ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ).涉及知识点:一元函数微分学25.证明当x>0时,有.正确答案:分析可得>0,又可构造辅助函数,用单调性证明.令F(x)=(0<x<+∞),因为F’(x)=<0,所以F(x)在(0,+∞)上单调减少,又=0,所以,对一切x∈(0,+∞),恒有F(x)>0,即.涉及知识点:一元函数微分学26.某企业计划生产一批服装a件,分若干批进行生产,设生产每批服装需要固定支出1000元,而每批生产直接消耗的费用与产品数量的平方成正比,已知当每批服装生产数量是40件时,直接消耗的生产费用是800元,问每批服装生产多少件时,才能使总费用最少?正确答案:设每批生产x件,则一年内生产批,每批生产直接消耗费用为p,则p=kx2,又因为根据条件,每批产品40件时,直接消耗的生产费用为800,所以,800=k402,即k=x2,该产品的总费用y为y=.0<x≤a,又因为在实际问题中唯一的极值点就是最值点,所以当x=≈45时,总费用最小.涉及知识点:一元函数微分学。

高等数学:一元函数微分学习题含答案

高等数学:一元函数微分学习题含答案

第二章一元函数微分学一、选择题1.设)(x f y =可导,则)()2(x f h x f -+等于().A.)()(h o h x f +'B.)()(h o h x f +'C.)()(h o h x f +'-D.)()(2h o h x f +'2.设)(x f 在0x 处可导,且4)()2(lim000=--→xx f x x f x ,则)(0x f '等于().A.0B.1-C.1D.2-3.设)(x f 在0x 处可导,则下列命题中不正确的是().A.00)()(limx x x f x f x x --→存在B.00)()(limx x x f x f x x --→不存在C.00)()(lim 0x x x f x f x x --+→存在D.00)()(lim 0x x x f x f x x ---→存在4.已知)(x f y =在0=x 处可导且0)0(=f ,则当0≠t 时,有=→xtx f x )(lim 0().A.)(t f B.)0(f 'C.)0(f t 'D.不存在5.函数)(x f 在0x x =处连续,是)(x f 在0x 处可导的().A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件6.函数x x f =)(在0=x 处().A.连续但不可导B.连续且可导C.极限存在但不连续D.不连续也不可导7.设0)0(=f ,且x x f x )(lim→存在,则xx f x )(lim 0→等于().A.)(x f 'B.)0(f 'C.)0(f D.)0(21f '8.设21)1(+=+x x f ,则)(x f '等于().A.2)1(1--x B.2)1(1+-x C.11+x D.11--x9.设x x f sin )(=,则0=x 处().A.1)0(,1)0(='='-+f f B.1)0(,1)0(-='='-+f f C.1)0(,1)0(-='-='-+f f D.1)0(,1)0(='-='-+f f 10.函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1132)(23x xx xx f 在1=x 处().A.左右导数均存在B.左导数存在,右导数不存在C.左导数不存在,右导数存在D.左右导数均不存在11.设周期函数)(x f 在()+∞∞-,内可导,周期为2,又12)1()1(lim-=--→xx f f x ,则曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线斜率为().A.21B.1C.2-D.212.设函数⎩⎨⎧≤<--+≤=10,110,sin )(x x x x x x f ,则)(x f 在0=x 处满足().A.0)0(='f B.1)0(='f C.3)0(='f D.)0(f '不存在13.已知⎩⎨⎧≤+>-=221)(2x b ax x x x ϕ,且)2(ϕ'存在,则常数b a ,的值为().A.1,2==b a B.5,1=-=b a C.5,4-==b a D.3,3-==b a 14.函数)(x f 在),(+∞-∞上处处可导,且有1)0(='f ,此外,对任何的实数x ,y 恒有xy y f x f y x f 2)()()(++=+,那么=')(x f ().A.xe B.xC.12+x D.1+x 15.设xe x g x xf =+=)(),1ln()(2,则[]='))((x g f ().A.x xe e 2212+B.x xe e 221+C.xxe e 2212-D.xxe e 221-16.设2)(-=x xf ,则)2(f '满足().A.值为2-B.值为2C.值为1D.不存在17.设)(x f y =的导数2)0(='f ,则=-→xx f f x 2)()0(lim 0().A.1B.2-C.1-D.218.设⎩⎨⎧<+≥+=0,,1sin )(x b x x x a x f ,要使)0(f '存在,则b a ,的值分别是().A.1,1==b a B.0,1==b a C.0,0==b a D.1,1-=-=b a 19.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1arctan )(x x xx x f ,则)(x f 在0=x 处的性质是().A.连续且可导B.连续但不可导C.既不连续也不可导D.可导但不连续20.设2arcsin cosxy =,则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'23y ().A.21-B.21C.23-D.2321.函数xe y sin =,则y ''等于().A.xesin B.)sin (sin x ex-C.[]2sin cos x e xD.]sin )[(cos 2sin x x ex-22.函数x x x f )2()(+=的导数为().A.1)2(-+x x x B.1)2(-+x x C.)2ln()2(++x x x D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++)2ln(2)2(x x xx x23.已知x x y ln =,则)12(y 等于().A.111x -B.111x C.11!10x D.11!10x -24.设xxe e y --=,则)2016(y等于().A.xxee -+B.xxee --C.xxee ---D.xx ee -+-25.已知函数)(x f 具有任何阶导数,且[]2)()(x f x f =',则当n 为大于2的正整数时,)(x f 的n 阶导数)()(x f n 是().A.[]1)(!+n x f n B.[]1)(+n x f n C.[]nx f 2)(D.[]nx f n 2)(!26.由方程1sin =-y xy 所确定的隐函数()x f y =的导数=xyd d ().A.yy x -cos B.xy y -cos C.yx y cos -D.yx x -cos 27.由方程x y x e y=++)ln(所确定的隐函数)(x f y =的导数=xy d d ().A.()11++--y x e y x y B.()11-++-y x e y x y C.()11++-+y x e y x y D.()11-+-+y x e y x y 28.设)(x y y =由方程)cos(sin y x x y -=所确定,则=')0(y ().A.12+πB.12+-πC.12-πD.12--π29.设由方程组⎩⎨⎧=++-=0112y te t x y 确定了y 是x 的函数,则==0d d t x y().A.21e B.e21-C.e1-D.e2-30.曲线22x e y x+=上横坐标0=x 处的切线方程是().A.012=-+-y x B.012=-+y x C.012=+-y x D.012=-+y x 31.曲线222)2ln(x x y +-=上对应于1=x 处的法线方程是().A.)1(22-=-x y B.)1(212--=-x y C.)1(22-=+x y D.)1(212--=+x y 32.曲线01cos 22=--y e x上点)3,0(π处的切线方程是().A.332π+=x y B.332π+-=x y C.332π--=x y D.xy 32-=33.曲线⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 在4π=t 处的切线方程是().A.)222222-=-x y B.)2222-=x y C.)22(22--=x y D.y 22=34.设1212+=x y ,则当01.0,1=∆=x x 时,y d 与y ∆分别为().A.2,01.0d =∆=y y B.01.0,201.12d =∆-=y y C.21)01.1(21,01.0d 2-=∆=y y D.1,01.0d =∆=y y 35.若函数)(x f y =有21)(0='x f ,则当0→∆x 时,该函数在0x x =处的微分y d 是x∆的().A.等价无穷小B.同阶但不等价的无穷小C.低阶无穷小D.高阶无穷大36.xx y 1=在e x =处取得().A.极大值B.最大值C.极小值D.最小值37.下列函数在[]e ,1满足拉格朗日中值定理的是().A.xx sin ln ln +B.xln 1C.)2ln(+x D.)2ln(2x -38.设函数)(x f 在[]b a ,上连续,则下列命题正确的是().A.)(x f 在[]b a ,上一定有最大值和最小值B.)(x f 必在区间内部取得最小值C.)(x f 必在区间端点处取得最大值D.若)(x f 在[]b a ,内有极值,则此值必为最值39.设1)()()(lim2-=--→a x a f x f ax ,则在a x =处)(x f ().A.可导且1)(-='a f B.)(a f 是)(x f 的极小值C.不可导D.)(a f 是)(x f 的极大值40.设函数c bx ax x x f +++=23)(,且0)0()0(='=f f ,则下列结论不正确的是().A.0==c b B.当0>a 时,)0(f 为极小值C.当0<a 时,)0(f 为极大值D.当0≠a 时,())0(,0f 为拐点41.函数2332)(x x x f -=在区间[]4,1-上的最小值是().A.0B.1-C.80D.5-42.若当0→x 时,)1(2++-bx ax e x是比2x 高阶的无穷小,则().A.1,1==b a B.1,21==b a C.1,21=-=b a D.1,1-=-=b a 43.(数二)已知某产品的需求函数为510QP -=,则当30=Q 时的边际收益为().A.2-B.3-C.2D.344.(数二)若总成本函数是二次函数c bQ aQ Q C C ++==2)(,其中0,0,0≥≥>c b a ,当产量=Q ()时,平均成本最低?A.a cB.ca C.ac D.ca 二、填空题45.设)(x f 在0x 处可导,且A x f =')(0,则hx f h x f h )()2(lim000-+→用A 的代数式表示为_______.46.设2)3(='f ,则=-+→h f h f h 2)3()3(lim_______.47.设xe xf 1)(=,则=--→h f h f h )2()2(lim_______.48.设2)(x x f =,则=--→2)2()(lim2x f x f x _______.49.))...(2)(1()(n x x x x x f +++=,则=')0(f _______.50.设432)4()3()2)(1()(----=x x x x x f ,则=')1(f _______.51.设1)(0-='x f ,则=--→)()2(lim000x f h x f hh _______.52.设215)()5(lim5-=--→x x f f x ,则=')5(f _______.53.设)(x f 在点0x 处可导,且41)()2(lim000=--→x f h x f h h ,则=')(0x f _______.54.已知)(x f 在0=x 处可导,且0,6)0(≠='h f ,则=--→xhx f hx f x 3)()(lim_______.55.若1)1(2-=-x x f ,则=')(x f _______.56.曲线xe x y +=在点()1,0处的切线方程是_______.57.已知x x y arctan )1(2+=,则=''y _______.58.已知)1ln(2x x y ++=,则=''y _______.59.设曲线方程为⎩⎨⎧+=++=tt y tt x cos sin 2,则='y _______.60.设)1sin(2+=x e y x,则=y d _______.61.求=--→xx e x x 630sin 1lim 3_______.62.设)7)(5)(1)(13()(----=x x x x x f ,则方程0)(='x f 有_______个实根.63.函数x y sin =在区间[]π,0满足罗尔定理的=ξ_______.64.函数x x y -=22在[]2,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ_______.65.曲线x x x y 23123+-=的拐点为_______.66.曲线35)2(-=x y 的拐点为_______.67.(数一)曲线x x y -=12的垂直渐近线方程是.68.(数一)1)(22-=x x x f 有条渐近线.69.(数一)111)(-+=x e x f 有条渐近线.70.已知)4,2(是曲线c bx ax x y +++=23的拐点,且曲线在3=x 处有极值,=a ,=b ,=c .71.(数二)已知某产品的总成本函数C 与产量x 的函数关系为2000102.0)(2++=x x x C ,则当产量10=x 时,其边际成本是.72.(数二)已知某商品的收入函数为2312Q Q R -=,则当=Q 时边际收入为0.73.(数二)设某种产品的单位成本y 是产量x 的函数,xx y 164++=(元),若产品以每件1000元的价格销量,当产量=x 时总利润最大.74.(数二)生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x C ,固定成本1000)0(=C ,求生产x 个产品的总成本函数.75.(数二)设边际收入函数为q q R 32)(+=',且0)0(=R ,则平均收入函数为__________.76.(数二)某公司在一个生产周期内制造x 台电冰箱的成本22.02008000)(xx x C -+=)4000(≤≤x 第251台电冰箱的实际制造成本为.三、计算题77.设)1ln(cos )(2x x f -=,求)(x f '.78.4312)(+-=xx x f ,求)(x f '.79.221cos 5ln x x y -+=,求y '及y d .80.设x ey x3cos -=,求y '.81.设xy 1cosln =,求y '.82.设1133+-=x x y ,求y '.83.设2x xee y +=,求1.00 d =∆=x x y.84.设x x y +=,求y '.85.设)32(2+-=-x x ey x,求y '.86.设212arcsintty +=,求y '.87.设⎪⎭⎫⎝⎛+-=2323x x f y ,且2arcsin )(x x f =',求d d =x x y .88.设134)1(2++=+x x x f ,)()(xe f x g -=,求)(x g '.89.求b a ,的值,使⎩⎨⎧>+≤-=1,ln 1),1(sin )(x b x x x a x f ,在1=x 处可导.90.设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=0,0,11)(x bx a x x xx f 处处可导,求a 和b 的值.91.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,1)(1x x e xx f x ,求)0(-'f ,)0(+'f ,同时讨论)0(f '是否存在.92.已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ,求)(x f '.93.求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==0,00,1sin )(2x x xx x f y 的导数.94.设)(x ϕ在a 点的某领域内连续,)()()(x a x x f ϕ-=,求)(a f '.95.设)(x f ''连续,0)0(=f ,记⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0),0(0,)()(x f x x x f x F ,证明)(x F '连续.96.设函数)(x f 处处可导,[]{})(x f f f y =,求x yd d .97.设x x y ln 22+=,求y ''.98.设xx y +-=11,求)(n y .99.设x x y ln =,求)(n y .100.设)1ln(2x x y ++=,求y ''.101.[])(ln x f y =,求y ''102.)2(2x x f y +=,其中f 二阶可导,求y ''.103.设)(x f ''存在,)(x xe f y -=,求y ''.104.求由方程32y x e xy +=所确定的隐函数)(x f y =的微分y d .105.求方程)sin(y x y +=确定的隐函数的二阶导数.106.已知222222b a y a x b =+,求y ''107.求由方程232-+=y x e xy 确定的隐函数)(x f y =在点)1,0(处的切线方程.108.设)(x y y =由方程e xy e y =+确定,求)0(y '.109.用对数求导法求函数xx x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1的导数.110.用对数求导法求函数54)1()3(2+-+=x x x y 的导数.111.设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧==t e y t e x t t cos sin 所确定,求3d d π=t x y .112.设曲线)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 所确定,求曲线在4π=t 处的切线方程.113.设函数)(x f y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 1 22,求22d d x y .114.设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos 确定,22d d ,d d x yx y .115.求方程⎩⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 表示的函数的二阶导数.116.x xx x 20tan )1ln(lim -+→.117.x x x 2cot 2lim 2⎪⎭⎫⎛-→ππ.118.xx x cos 1120)1(lim -→-.119.求⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x .120.求()x x x ln 31102sin lim +→+.121.求x x x 2sin 231lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→.122.ax a x a x --→sin sin lim .123.xx x 5tan 3sin lim π→.124.22)2(sin ln lim x x x -→ππ.125.)0(lim ≠--→a a x a x nn mm a x .126.xx x 2tan ln 7tan ln lim 0+→.127.x xx 3tan tan lim 2π→.128.xarc x x cot 11ln lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→.129.x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→.130.x x x 2cot lim 0→.131.2120lim x xe x →.132.⎪⎭⎫⎝⎛---→1112lim 21x x x .133.122231lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+++x x x x a .134.x x x sin 0lim +→.135.x x x tan 01lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→.136.求7186223---=x x x y 的单调区间.137.求3)3)(1(+-=x x y 的单调区间.138.求函数x x y -=在区间[]1,0上的最小值.139.求函数)1ln(21arctan 2x x y +-=的极值点和极值.140.求函数32)1(2--=x y 的极值点和极值.141.设x x a y 3sin 31sin +=在点3π=x 处取得极小值,求a 的值.142.求曲线)1ln(2+=x y 的拐点.143.设函数)(x f y =由方程1222223=-+-x xy y y 所确定,求)(x f y =的极值.144.求曲线21x xy +=的凹凸区间及拐点.145.设函数x bx x a x f 3ln )(2-+=在1=x 和2=x 处取得极值,求b a ,的值.146.已知点)4,2(是曲线c bx ax x y +++=23的拐点,且曲线在3=x 处取得极值,求b a ,c 的值.147.求函数12+=x x y 的极值.148.求函数x e x x f -=2)(在]3,1[-上的最大值与最小值.149.设曲线方程为462++=x x y ,求曲线在)4,2(--处的切线方程.150.求等边双曲线x y 1=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.151.求曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 22在0=t 处的切线方程和法线方程.152.求曲线0)ln(22=++yxe y x 在0=x 处的切线方程.153.确定c b a ,,的值,使c bx ax x y +++=23在点)1,1(-处为拐点,且在0=x 处有极大值为1,并求此函数的极小值.154.设函数)(x f 在[]a ,0上二阶可导,0>a 且0)(>''x f ,0)0(=f ,证明xx f x g )()(=在[]a ,0上单调增加.155.求函数26323-+-=x x x y 在区间[]1,1-上的最值.156.求函数322)1()2(+-=x x y 在区间[]2,2-上最大值和最小值.157.求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23与曲线21x y =相切的直线方程.158.求曲线01322=+++y xy x 在点)1,2(-处的切线和法线方程.159.设甲船以km/h 6的速率向东行驶,乙船以8km/h 的速度向南行驶,在中午十二点整时,乙船位于甲船之北16km 处,问下午一点整时两船相离的速率为多少?160.已知曲线2x y =与3x y =的切线平行,求x 的取值.161.求椭圆12222=+by a x 在点),(11y x M 处的切线方程.162.设甲、乙两船同时从一码头出发,甲船以km/h 30的速度向北行驶,乙船以km/h 40的速度向东行驶,求两船间的距离增加的速度.163.已知曲线的参数方程⎩⎨⎧==-232t t e y e x ,证明0d d d d 21222=+x y x y e t .164.(数一)求曲线2)1(42--=xx y 的水平和垂直渐近线.165.设曲线cx bx ax y ++=23上点)2,1(处有水平切线,且原点为该曲线的拐点,求该曲线方程.166.设点)2,1(-是曲线123-+=bx ax y 上的一个拐点,求a 和b 的值.167.设函数3)(4-+=bx ax x f 在1-=x 点处取得极小值0,求a 和b 的值.168.设函数)(x f 满足)()(x f x f =',且1)0(=f ,求证:x e x f =)(.169.求函数xe y x+=1的单调区间和极值.170.设)1ln(21arctan )(arctan 21222x x x x x y ++-+=,求y d .171.求函数3223x x y -=在区间[]1,1-上的最大值与最小值.172.已知曲线2x y =与直线cx y =)10(<<c 所围成图形的面积为1S ,曲线2x y =与直线cx y =)10(<<c 及直线1=x 所围城图形的面积为2S ,求21)(S S c S +=的最小值.173.求内接于半径a的球的长方体体积的最大值.174.用32cm长的一根铁丝围成一个矩形小框,试问:当矩形的长和宽各为多少时,围成的矩形面积最大?175.用薄铁板做一体积为V的有盖圆柱形桶,问桶底直径与桶高应有怎样的比例,才能使所用材料最省.176.已知某船的耗油费用与其速度的立方成正比,若每小时行驶10海里的耗油费为25元,其余费用每小时100元,求最经济的速度.177.欲做一个容积为3m V 的无盖圆柱形储粮桶,底用铝制,侧壁用木板制,已知每平方米铝价是木板价的5倍,问怎样做才能使费用最少.178.窗子的上半部为半圆,下半部为矩形,如果窗子的周长L 固定,试问当圆的半径r 取何值时,能使窗子的面积最大.179.欲围一个面积为2m 150的矩形场地,所用材料的造价是正面是每平方米6元,其余三面是每平方米3元,问场地的长,宽各为多少米时,才能使所用材料费最少.180.设甲船位于乙船东75海里,以12海里每小时的速度向西行驶,而乙船则以6海里每小时的速度向北行驶,问经过多长时间,两船相距最近?181.用a 万元购料,建造一个宽于深相同的长方体水池,已知四周的单位面积材料费为底面积材料费的5.1倍,求水池长与宽(深)各是多少,才能使容积最大.(地面单位面积材料费为1万元).182.在曲线26x y -=)0(>x 上确定一点,使该点处的切线与两坐标轴围城的平面图形的面积最小,并求最小值.183.已知函数x x x f 2)(3+=在区间[]1,0上满足拉格朗日定理,求相关的ξ值.184.(数二)设某工厂生产某种商品的固定成本为200(百元),每生产一个单位商品成本增加5(百元),且已知需求函数P Q 2100-=(其中P 为价格,Q 为产量).这种商品在市场上市场上畅销的.(1)试分别列出该商品的总成本函数)(P C 和总收益函数)(P R 的表达式.(2)求出使该商品的总利润最大时的产量.185.(数二)某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,每多生产一吨该产品,成本增加5万元,该产品的边际收益函数为Q Q R 02.010)(-=',其中Q (单位:吨)为产量.试求:(1)该产品的边际成本函数;(2)该产品的总收入函数;(3)Q 为多少时,该厂总利润L 最大?最大利润是多少?186.(数二)某工厂生产某产品时,每日总成本为C 元,其中固定成本为50元,每多生产一单位产品,成本增加2元,该产品的需求函数为505Q p =-,求Q 为多少时,工厂日总利润L 最大?最大利润是多少?187.(数二)某商品的需求函数为275)(p p f Q -==,(1)求5=p 时的边际需求;(2)当p 为何值时,总收益最大?最大的总收益为多少?31第二章一元函数微分学1.D 。

一元函数微分学练习题

一元函数微分学练习题

第一部分、一元函数微分学习题集1一、选择题1.下列命题正确的是( )0(A)()lim ().x x f x x f x →=∞若在的任意空心邻域内无界,则0(B)lim (),().x x f x f x x →=∞若则在的任意空心邻域内无界(C)lim (),lim ().x x x x f x f x →→=∞若不存在则1(D)lim (),lim.()x x x x f x f x →→=∞若=0则 2.{}n x 关于数列下列命题正确的个数是( ){}(1)lim .n n n x A x →∞⇒若=存在有界(2)lim lim .n n k n n x A k x A +→∞→∞=⇔=存在对任意确定正整数有221(3)lim lim lim .n n n n n n x A x x A -→∞→∞→∞=⇔==存在1(4)lim lim1.n n n n nx x A x +→∞→∞=⇒=存在(A)1 (B)2 (C)3 (D)43. 下列命题正确的是( )00,0()()lim (),lim ()x x x x x x f x g x f x A g x B A B δδ→→∃><-<>==>(A)若当时, 且均存在,则0lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<>(B)若,则,当时 00lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<≥(C)若,则,当时0lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→>∃><-<>(D)若,则,当时4 ()()()cos 1sin ,02x x x x x x πααα-=<→设,当时( )x (A)比高阶的无穷小 x (B)比低阶的无穷小 x (C)与同阶但不等价的无穷小 x (D)与是等价的无穷小5. 已知当0x →时,函数()3sin sin 3f x x x =-与k cx 是等价无穷小,则( )(A) 1,4k c == (B )1,4k c ==- (C )1,4k c == (D )3,4k c ==- 6.20()sin ()ln(1)x f x x ax g x x bx →=-=-当时,与是等价无 a 穷小,则=( )b=( )1111(A)1,(B)1,(C)1,(D)1,6666a b a b a b a b ==-===-=-=-=-7.设()(1231,1,1a x a a =-=+=.当0x +→时,以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是 ( ) (A )123,,a a a (B )231,,a a a (C )213,,a a a (D )321,,a a a8.(](](),lim (),(),x f x b f x A f x b →-∞-∞=-∞设在上连续,则存在是在上有界的( ) (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 9.[]11()tan (),( ) ()xxe e xf x x x e e ππ+=-=-设在上的第一类间断点是0 1 22ππ(A) (B)(C)- (D)10. 1()( )(1)ln xx f x x x x-=+函数的可去间断点的个数为0 1 2(A) (B)(C) (D)311.()20sin ()lim 1,( ) x tt t f x x →⎛⎫+-∞+∞ ⎪⎝⎭函数=在内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点12.曲线y= 1ln(1)x e x++, 渐近线的条数为 ( )A.0B.1C.2D.313. 已知()f x 在0x =附近有定义,且()00f =,则f(x)在0x =处可导的充要条件为 ( )(A )()22limx f x x →存在. (B )()1lim xx f ex→-存在.(C) ()201cos limx f x x →-存在. (D)()02()lim x f x f x x→-存在.14. 已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩,则( )(A )0x =是()f x 的第一类间断点 (B )0x =是()f x 的第二类间断点 (C )()f x 在0x =处连续但不可导 (D )()f x 在0x =处可导15. 已知函数()2321cos ,0()arcsin ,0x x f x xg x x x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩,其中g (x )是有界函数,则f (x )在x =0处( ) (A )极限不存在 (B )极限存在但不连续 (C )连续但不可导 (D )可导16.[]0(),(0)1y f x f δδδ∃>=-=若使得在上有定义,且满足20ln(12)2()lim 0()x x xf x x →-+=,则 ''(A)()0 (B)()0(C)()0(0)0 (D)()0(0)1f x x f x x f x x f f x x f ======在处不连续在处连续但不可导在处可导,且在处可导,且17.'1cos ,0()()00, 0x x f x f x x x x αβαβ⎧>⎪==⎨⎪≤⎩设,(>0,>0),若在处连续,则( )(A) 1 (B)0 1 (C) 2 (D)0 2 αβαβαβαβ-><-≤-><-≤18.()2()cos ln 1lim 1?n y f x xy y x f n →∞⎡⎤⎛⎫=+-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦设是由所确定,则n ( )(A) 2 (B) 1 (C) 1 (D) 2--19.()()''0,()0 , f x f x +∞>设函数在上具有二阶导数,且 令(),1,2,3,,n u f n n ==则下列结论正确的是( ).{}{}{}{}12121212(A), (B),(C), (D),n n n n u u u u u u u u u u u u >><<若则必收敛若则必发散若则必收敛若则必发散20.()()()2'2arctan limx f x x f x xfx ξξ→==设,若则=( )211(A)1 (B) (C) (D)32321.21,y ax b y x a b x=+=设直线同时与曲线及y=相切,则为( )(A)4, 4 (B)3, 4(C)4, 3 (D)3, 3a b a b a b a b =-=-=-=-=-=-=-=-22.()()()0,()0,()gf xg x g x g x a x ''<=设函数具有二阶导数,且若是()()0f g x x 的极值,则在取极大值的一个充分条件是( )(A) ()0f a '< (B)()0f a '> (C)()0f a ''< (D)0)(>''a f 23.设函数0()y f x x =在的某邻域内具有二阶导数,且0''0()lim 0x x f x A x x →=<-,则( ) ()()0000(A)0,(),()x x x y f x x x x y f x δδδ∃>∈-=∈+=当时是凹的,当时是凸的()()0000(B)0,(),()x x x y f x x x x y f x δδδ∃>∈-=∈+=当时是凸的,当时是凹的()00(C)0,()x x x y f x δδδ∃>∈-+=当时是凹的()00(D)0,()x x x y f x δδδ∃>∈-+=当时是凸的 24. 设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其导函数的图形如图所示,则 ( ) (A )函数()f x 有2个极值点,曲线()y f x =有2个拐点 (B )函数()f x 有2个极值点,曲线()y f x =有3个拐点 (C )函数()f x 有3个极值点,曲线()y f x =有1个拐点 (D )函数()f x 有3个极值点,曲线()y f x =有2个拐点25.''22()()(1,1)2()f x y f x x y f x =+=设 不变号,且曲线在点上的曲率圆为,则函数在区间(1,2)内( ).(A), (B),(C), (D),有极值点无零点无极值点有零点有极值点有零点无极值点无零点26.设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数,且''0()0(1,2)i f x i <=,若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =,且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲率2()y f x =的曲率,则在0x 的某个邻域内,有 ( )(数一、二做)12(A)()()()f x f x g x ≤≤ 21(B)()()()f x f x g x ≤≤ 12(C)()()()f x g x f x ≤≤ 21(D)()()()f x g x f x ≤≤ 27.设商品的需求函数为()215()150082Q p p p p =--<<其中Q , p 分别为需求量和价格,ε为商品需求弹性,若1ε<,则p 的取值范围 ( )(数三做)(A)03p << (B)58p << (C)35p << (D)05p <<二、填空题 1. 212lim tan1x xx x →∞-=+ . 2. 0ln(1sin )lim cos 1x x x x →+-= .3.cos 0x x →= .4. tan sin 0limx xx e e →=- .5.limx →∞= .6.(lim sin x →∞-= .7.设0()ln 1lim 3x f x x x x→⎛⎫++ ⎪⎝⎭=,则20()lim x f x x →= .8. []()21cos ()()lim 1(0) 1()xx xf x f x f ef x →-==-已知函数连续且,则 . 9. 已知函数()f x满足x →=02,则lim ()____x f x →=0.10.20()()x x kx x αβ→==当时,与 k 是等价无穷小则= .11.3231lim (sin cos )2x x x x x x x →∞+++=+求 .12.20ln cos lim _________.x xx →=13. 30arctan sin lim x x x x →-⎛⎫=⎪⎝⎭求 .14.()11lim _________nn n n -→∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭.15.101+2lim 2xxx →⎛⎫= ⎪⎝⎭求 . 16.10ln(1)lim 2xx x x →+⎛⎫-= ⎪⎝⎭.17.20lim x x →-= .18.21lim tan 4n n n π→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭.19.21000lim xx e x--→= .20.()2224cos limx x e x x xe ex-→-= .21.若2260sin 3()lim 0x x x f x x→+=,则403()lim →+=x f x x . 22.()21,()=, .2, x x cf x c x c x ⎧+≤⎪-∞+∞=⎨>⎪⎩设函数在内连续则23. x =0是1()1arctanf x x x=-的 间断点.24. x =1是221()lim 1n nn x f x x →∞-=+的 间断点. 25. 曲线()322arctan 11x y x x=+++的斜渐近线方程为 . 26. 曲线1y x =-+的水平渐近线方程为 ,垂直渐近线方程为 ,斜渐近线方程为 .27.1()(()) .21,1x edyx f x y f f x dx x x =⎧≥===⎨-<⎩设,,则28.'()y f x f =设是以3为周期的周期函数,且(7)=1,则(1)(13tanh)lim.h f h f h→+--=29.'f 设(1)=1,则0(1)(12sin )lim .2sin x f x f x x x→+--+=30. ()2()1,0lim . 2n n y f x y x x nf n →∞⎛⎫==-=⎪+⎝⎭曲线和在点处有切线,则31.111cos '1(0)1(0)3lim . nn n f f f n -→∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭设,,则32. 2cos cos .41sin x t t t y tπ⎧=+=⎨=+⎩曲线上对应于点的法线斜率为33.()21ln(1),()2arctan x t t y f x y t ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩设为参数则在任意点处的曲率22 ,() .()d yK dx==数一、二做数三做34.曲线arctan y x=在(1,0)点的切线方程为 .35. 曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为 .36.()12 ln 0(0)13n x y x n y x -===+函数在处的阶导数 . 37.()2()sin cos (0).n f x x x x f=设 ,则 =38.()23 ()3+ 0, f x x Ax x A A -=>设为正常书,则至少取时f(x)20.≥有39. 若曲线y x ax bx =+++3214有拐点(1,3),则b=_____________.40. 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加,宽w 以3cm/s 的速率增加,则当l=12cm,w=5cm 时,它的对角线增加的速率为_________. (数学一、二做) 41.已知动点P 在曲线3x y =上运动,记坐标原点与点P 间的距离为l 。

一元函数微分学习题

一元函数微分学习题

第二部分 一元函数微分学[选择题]容易题 1—39,中等题40—106,难题107-135。

1.设函数)(x f y =在点0x 处可导,)()(00x f h x f y -+=∆,则当0→h 时,必有( )(A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -∆是h 的同阶无穷小量。

(C) y d 是比h 高阶的无穷小量。

(D ) y y d -∆是比h 高阶的无穷小量. 答D2.已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数,且当0<x 时,0)(,0)(<''>'x f x f ,则在),0(+∞内有( )(A)0)(,0)(<''>'x f x f 。

(B )0)(,0)(>''>'x f x f 。

(C )0)(,0)(<''<'x f x f 。

(D )0)(,0)(>''<'x f x f 。

答C3.已知)(x f 在],[b a 上可导,则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的( )(A )必要条件。

(B) 充分条件.(C)充要条件。

(D )既非必要,又非充分条件。

答B4.设n 是曲线x x x y arctan 222-=的渐近线的条数,则=n ( ) (A) 1. (B ) 2 (C) 3 (D) 4 答D5.设函数)(x f 在)1,1(-内有定义,且满足)1,1(,)(2-∈∀≤x x x f ,则0=x 必是)(x f 的( )(A )间断点。

(B )连续而不可导的点. (C )可导的点,且0)0(='f . (D )可导的点,但0)0(≠'f . 答C6.设函数f(x )定义在[a ,b]上,判断何者正确?( ) (A )f(x )可导,则f (x )连续 (B )f (x )不可导,则f (x )不连续 (C)f (x )连续,则f (x)可导 (D )f (x )不连续,则f (x )可导 答A7.设可微函数f(x )定义在[a ,b]上,],[0b a x ∈点的导数的几何意义是:( ) (A)0x 点的切向量 (B )0x 点的法向量 (C )0x 点的切线的斜率 (D )0x 点的法线的斜率 答C8.设可微函数f (x)定义在[a ,b ]上,],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是:( )(A)0x 点的自向量的增量 (B )0x 点的函数值的增量(C )0x 点上割线值与函数值的差的极限 (D )没意义 答C9.x x f =)(,其定义域是0≥x ,其导数的定义域是( ) (A )0≥x(B)0x≠(C)0x>(D)0x≤答Cx不可导,则()10.设函数)(xf在点x没有切线(A))f在点(xx有铅直切线(B))f在点(xx有水平切线(C))f在点(x(D)有无切线不一定答D11.设'=''='''>()(),()00, 则()f x f x f x000(A)x是'f x()的极大值点(B) x是f x()的极大值点是f x()的极小值点(C) x(D) (,())是f x()的拐点x f x00[D]12. (命题I):函数f在[a,b]上连续. (命题II): 函数f在[a,b]上可积。

专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)

专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)

专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1.设f(x)在x0处不连续,则( )A.f’(x0)必存在B.f’(x0)必不存在C.f(x)必存在D.f(x)必不存在正确答案:B解析:f(x)在x0处不连续,是指连续性的三要素之一不满足,因此C、D都不对,由于可导必连续,则不连续必不可导,所以A不对,故选B.知识模块:一元函数微分学2.设函数f(x)=|x3一1|φ(x),其中φ(x)在x=1处连续,则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的( )。

A.充分必要条件B.充分但非必要条件C.必要但非充分条件D.既非充分又非必要条件正确答案:A解析:由φ(1)=0可知即f+’(1)=f -’(1)=0,所以,f’(1)=0.设f(x)在x=1处可导,因为f(1)=0,所以(x2+x+1)φ(x)=3φ(1),知识模块:一元函数微分学3.设函数f(x)在x=0处可导,且f(0)=0,则=( ) A.一2f’(0)B.一f’(0)C.f’(0)D.0正确答案:B解析:由于f(x)在x=0处可导,且f(0)=0,则=f’(0)一2f’(0)=一f’(0).知识模块:一元函数微分学4.若f(x一1)=x2一1,则f’(x)等于( )A.2x+2B.x(x+1)C.x(x一1)D.2x一1正确答案:A解析:因f(x一1)=x2一1=(x—1)(x一1+2),故f(x)=x2+2x,则f’(x)=2x+2.知识模块:一元函数微分学5.函数y=f(x)可导,则y=f{f[f(x)]}的导数为( )A.f’{[f(x)]}B.f’{f’[f’(x)]}C.f’{f[f(x)]}f’(x)D.f’{f[f(x)]}f’[f(x)]f’(x)正确答案:D解析:y’(x)=(f{f[f(x)]})’=f’{f[f(x)]}f’[f(x)]f’(x),故选D.知识模块:一元函数微分学6.设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f’(x)<0,则下列结论成立的是( )A.f(0)<0B.f(1)>0C.f(1)>f(0)D.f(1)<f(0)正确答案:D解析:因f’(x)<0,x∈(0,1),可知f(x)在[0,1]上是单调递减的,故f(1)<f(0).知识模块:一元函数微分学7.设函数f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,f’(x)>0,若f(a).f(b)<0,则y=f(x)在(a,b) ( )A.不存在零点B.存在唯一零点C.存在极大值点D.存在极小值点正确答案:B解析:由题意知,f(x)在(a,b)上单调递增,且f(a).f(b)<0,则由零点定理以及单调性可得y=f(x)在(a,b)内存在唯一零点.知识模块:一元函数微分学8.曲线y=( )A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线,又有铅直渐近线正确答案:D解析:因=1,所以y=1为水平渐近线,又因=∞,所以x=0为铅直渐近线.知识模块:一元函数微分学9.下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有( )A.f(x)=B.y=C.y=xex,[0,1]D.y=x2一1,[一1,1]正确答案:D解析:A选项中,函数在x=5处不连续;B选项中,函数在x=1处不连续;C选项中,y(0)≠y(1);D选项中,函数在[一1,1]连续,在(一1,1)可导,y(-1)=y(1),符合罗尔定理条件,故选D.知识模块:一元函数微分学10.要制作一个有盖铁桶,其容积为V,要想所用铁皮最省,则底面半径和高的比例为( )A.1:2B.1:1C.2:1D.正确答案:A解析:设底面半径为r,高为h,则有V=πr2h,S=2πrh+2πr2=+2πr2,S’(r)=一+4πr=,由于驻点唯一,必是最值点,此时h=,则r:h=1:2.知识模块:一元函数微分学填空题11.设函数y=sin(x一2),则y’’=________.正确答案:一sin(x一2)解析:因为y=sin(x一2),y’=cos(x一2),y’’=一sin(x一2).知识模块:一元函数微分学12.设函数f(x)有连续的二阶导数且f(0)=0,f’(0)=1,f’’(0)=一2,则=_______.正确答案:一1解析:=一1.知识模块:一元函数微分学13.y=y(x)是由方程xy=ey-x确定的函数,则dy=_______.正确答案:解析:方程两边对x求导,注意y是x的函数,有y+xy’=ey-x(y’一1),所以y’=.知识模块:一元函数微分学14.函数y=cosx在[0,2π]上满足罗尔定理,则ξ=_________.正确答案:π解析:y’=一sinx,因函数在[0,2π]上满足罗尔定理,故存在ξ∈(0,2π),使一sinξ=0,故ξ=π.知识模块:一元函数微分学15.若函数f(x)在[0,1]上满足f’’(x)>0,则f’(0),f’(1),f(1)一f(0)的大小顺序为_________.正确答案:f’(1)>f(1)一f(0)>f’(0)解析:f’’(x)>0,则f’(x)单调递增,又有拉格朗日中值定理得f(1)一f(0)=f’(ξ)(1一0)=f’(ξ),ξ∈(0,1).故有f’(1)>f’(ξ)>f’(0),即f’(1)>f(1)一f(0)>f’(0).知识模块:一元函数微分学解答题16.设f(x)=其中a、b、A为常数,试讨论a、b、A为何值时,f(x)在x=0处可导?正确答案:若函数f(x)在x=0可导,则函数f(x)也连续,故有=f(0),f+’(0)=f-’(0),涉及知识点:一元函数微分学17.设y=,求y’.正确答案:涉及知识点:一元函数微分学18.设=a,且f’(0)存在,求f’(0).正确答案:∴f’(0)=a.涉及知识点:一元函数微分学19.求函数x=cosxy的导数.正确答案:等式两边关于x求导,可得1=一(sinxy)(xy)’=一(sinxy)(y+xy’),整理后得(xsinxy)y’=一1一ysinxy,从而y’=.涉及知识点:一元函数微分学20.已知y=,f’(x)=arctanx2,计算.正确答案:令y=f(μ),μ=,则涉及知识点:一元函数微分学21.讨论曲线y=的单调性、极值、凸凹性、拐点.正确答案:y=,令y’=0得x=e.而y’’=,令y’’=0,得x=e2.当x→1时,y→∞,则x=1为垂直渐近线.当0<x<1时,y’<0,y’’<0,故y单调下降,且是凸的.当1<x<e时,y’<0,y’’>0,故y单调下降,且是凹的.当e<x<e2时,y’>0,y’’>0,故y单调上升,且是凹的.当e2<x<+∞时,y’>0,y’’<0,故y单调上升,且是凸的.当x=e时,y有极小值2e,且(e2,e2)是拐点.涉及知识点:一元函数微分学22.设f(x)在[1,e]可导,且f(1)=0,f(e)=1,试证f’(x)=在(1,e)至少有一个实根.正确答案:设F(x)=f(x)一lnx,F(1)=0,F(e)=0,由罗尔定理,至少存在一点ξ∈(1,e)使F’(ξ)=0,即f’(ξ)一=0,所以f’(x)=在(1,e)至少有一个实根.涉及知识点:一元函数微分学23.设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证明对任意给定的正数a及b,在(0,1)内必存在不相等的x1,x2,使=a+b.正确答案:因a,b>0,故0<<1,又因f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=0,f(1)=1,由介值定理,必存在ζ∈(0,1),使f(ζ)=.又分别在[0,ζ],[ζ,1]上用拉格朗日中值定理,得f(ζ)一f(0)=(ζ一0)f’(x1),f(1)一f(ζ)=(1一ζ)f’(x2)(其中0<x1<ζ<x2<1)即有=1-ζ.考虑到1-,并将上两式相加,得=1,即存在不相等的x1,x2使=a+b.涉及知识点:一元函数微分学24.利用拉格朗日中值定理证明:当x>1时,ex>ex.正确答案:令f(μ)=eμ,μ∈[1,x].容易验证f(μ)在[1,x]上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在ξ∈(1,x),使=f’(ξ),即=eξ,因为ξ∈(1,x),所以eξ>e.即>e,整理得,当x>1时,ex>ex.涉及知识点:一元函数微分学25.设a>b>0,n>1,证明:nbn-1(a一b)<an一bn<nan-1(a一b).正确答案:构造函数f(x)=xn(n>1),因为f(x)=xn在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,所以,存在一点ξ∈(a,b)使得f’(ξ)==nξn-1,又0<a<ξ<b,故an-1<ξn-1<bn-1,所以nan-1<nξn-1<nbn-1,即nan-1<<nbn-1,整理得nan-1(b一a)<bn一an<nbn-1(b一a).两边取负号得nbn-1(a一b)<an一bn<nan-1(a一b).涉及知识点:一元函数微分学已知函数f(x)=.26.证明:当x>0时,恒有f(x)+;正确答案:则可知F(x)=C,C为常数.当x=1时,F(1)=C=f(1)+f(1)=,故当x>0时,F(x)=f(x)+恒成立;涉及知识点:一元函数微分学27.试问方程f(x)=x在区间(0,+∞)内有几个实根?正确答案:令g(x)=f(x)一x,则g‘(x)=一1<0,故g(x)在(0,+∞)上单调递减,又则g(x)=0在(0,+∞)上有且仅有一个实根,即f(x)=x在(0,+∞)上只有一个实根.涉及知识点:一元函数微分学28.假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品,两个市场的销售量分别是Q1=,Q2=12一x,其中x为该产品在两个市场的价格(万元/吨),该企业生产这种产品的总成本函数是C=2(Q1+Q2)+5,试确定x的值,使企业获得最大利润,并求出最大利润.正确答案:由已知条件得利润函数为L=(Q1+Q2)x—C=(Q1+Q2)x一2(Q1+Q2)一5=[+(12-x)](x-2)一5=x2+24x一47,求导得L’=一3x+24,令L’=0,得驻点x=8.根据实际情况,L存在最大值,且驻点唯一,则驻点即为最大值点.Lmax=.82+24.8—47=49.故当两个市场价格为8万元/吨时,企业获得最大利润,此时最大利润为49万元.涉及知识点:一元函数微分学。

专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)

专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)

专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)(总分:94.00,做题时间:90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数:4,分数:8.00)1.已知函数y=x5+3x4,则y'|x=2=______。

∙ A.8∙ B.176∙ C.7∙ D.186(分数:2.00)A.B. √C.D.解析:2.若下列各极限都存在,其中等式不成立的是______ A. B. C. D (分数:2.00)A.B.C. √D.解析:[解析] 利用导数f(x)在点x0处的定义进行判断。

选项A中,[*],原等式成立。

选项B中,[*],原等式成立。

选项C中,[*],原等式不成立。

选项D中,[*],原等式成立。

3.已知函数f(x)在点x0处可导,且f'(x0)=2______∙ A.0∙ B.1∙ C.2∙ D.4(分数:2.00)A.B.C.D. √解析:[解析] [*]。

4.设f(x)在x0处不连续,则______A.f'(x0)必存在 B.f'(x0)必不存在C.必存在 D(分数:2.00)A.B. √C.D.解析:[解析] 根据函数的可导与连续的关系可知,f(x)在x0处不连续,则f(x)在x0处不可导。

二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数:8,分数:24.00)5.(2,3)处的切线方程是 1。

(分数:3.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*])解析:6.函数y=4x3-9x2+6x+1的驻点是 1。

(分数:3.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*],1)解析:7.f'(0)=______。

(分数:3.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*])解析:[解析] [*] 依题意,有[*],于是有[*]。

8.曲线y=e-x在点(0,1)处的切线的斜率k为 1。

(分数:3.00)填空项1:__________________ (正确答案:-1)解析:[解析] y'=(e-x)'=-e-x,根据导数的几何意义有,k=y'|x=0=-e0=-1。

专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)

专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)

专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1.设函数f(x)在x=0处连续,且=1,则A.f(0)=0且f-’(0)存在B.f(0)=1且f-’(0)存在C.f(0)=0且f+’(0)存在D.f(0)=1且f+’(0)存在正确答案:C解析:因为f(x)在x=0处连续,且=1,所以f(0)=0.从而有=f+’(0),故选C.知识模块:一元函数微分学2.设f(x)=e2+,则f’(x)= ( )A.B.C.D.正确答案:B解析:f’(x)=(e2)’+.知识模块:一元函数微分学3.设函数f(x)=xsinx,则f’()= ( )A.B.1C.D.2π正确答案:B解析:因为f’(x)=sinx+xcosx,所以=1.知识模块:一元函数微分学4.函数f(x)=在x=0处( )A.连续且可导B.连续且不可导C.不连续D.不仅可导,导数也连续正确答案:B解析:因为=0=f(0),所以函数在x=0处连续;又因不存在,所以函数在x=0处不可导.知识模块:一元函数微分学5.设y=x2+2x一1(x>0),则其反函数x=φ(y)在y=2处导数是( )A.B.C.D.正确答案:A解析:y=x2+2x一1(x>0),y’=2x+2,y=2时,x=1或x=一3(舍),y’(1)=4,所以x=φ(y)在y=2处的导数为φ’(2)=,故选A.知识模块:一元函数微分学6.已知f(x)在x=0的某个邻域内连续,且f(0)=0,=2,则在点x=0处f(x) ( )A.不可导B.可导且f(0)≠0C.取得极大值D.取得极小值正确答案:D解析:因为>0,由极限的保号性知,存在x=0的某个邻域使>0,因此在该邻域内有f(x)>f(0),所以f(x)在x=0处取极小值,故选D.知识模块:一元函数微分学7.函数y=ex+arctanx在区间[一1,1]上( )A.单调减少B.单调增加C.无最大值D.无最小值正确答案:B解析:因y’=ex+>0处处成立,于是函数在(-∞,+∞)内都是单调增加的,故在[一1,1]上单调增加,在区间端点处取得最值.知识模块:一元函数微分学8.设函数f(x)满足关系式f’’(x)+[f’(x)]2=x,且f’(0)=0,则( )A.f(0)是f(x)的极大值B.f(0)是f(x)的极小值C.点(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点D.f(0)不是f(x)的极值,点(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案:C解析:由f’(0)=0及f’’(x)+[f’(x)]2=x知f’’(0)=0且f’’(x)=x一[f’(x)]2,又x,f’(x)可导,所以f’’(x)可导,于是f’’’(x)=1—2f’(x)f’’(x),f’’’(0)=1>0,而f’’’(0)=,故f’’(x)在x=0左、右两侧异号,故选C.知识模块:一元函数微分学9.设f(x)在[0,a]上二次可微,且xf’(x)一f(x)<0,则在区间(0,a)内是( )A.单调减少B.单调增加C.有增有减D.不增不减正确答案:A解析:在区间(0,a)内单调减少.知识模块:一元函数微分学10.点(0,1)是曲线y=ax3+bx2+c的拐点,则有( )A.a=1,b=一3,c=1B.a≠0,b=0,c=1C.a=1,b=0,c为任意D.a、b为任意,c=1正确答案:B解析:(0,1)在曲线上,所以c=1,y’=3ax2+2bx,y’’=6ax+2b,(0,1)为拐点,所以y’’(0)=0,得a≠0,b=0,故选B.知识模块:一元函数微分学填空题11.设f’(x)=g(x),则[f(sin2x)]=________.正确答案:g(sin2x)sin2x解析:[f(sin2x)]=f’(sin2x).(sin2x)’=2sinxcosxf’(sin2x)=sin2xg(sin2x).知识模块:一元函数微分学12.设y=(3x+1)27,则y(27)=________.正确答案:327.27!解析:对于形如y=(ax+b)n的函数,其k阶导为y(k)=ak(ax+b)n-k,对于此题n=k=27,a=3,b=1,所以y(27)=27!.327.知识模块:一元函数微分学13.若f’(x0)=1,f(x0)=0,则=_________.正确答案:一1解析:=-f’(x0)=-1.知识模块:一元函数微分学14.函数F(x)=∫1x(2-)dt(x>0)的单调递减区间是_________.正确答案:0<x<解析:由F(x)=∫1x(2一)dt(x>0),则F’(x)=2一.令F’(x)=0,得时,F’(x)<0,F(x)单调递减.知识模块:一元函数微分学15.设点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点,且f’’(x0)≠0,则f’’(x0)必定_________.正确答案:不存在解析:拐点是二阶导数为0的点或是二阶导数不存在的点.知识模块:一元函数微分学解答题16.当h→0,f(x0+3h)一f(x0)+2h是h的高阶无穷小量,求f’(x0).正确答案:因为h→0,f(x0+3h)-f(x0)+2h是h的高阶无穷小量,即所以,3f’(x0)+2=0,即f’(x0)=.涉及知识点:一元函数微分学17.求曲线处的切线方程.正确答案:则根据点斜式求得切线方程为y=a+[x一a[一1)]=x-+2a.涉及知识点:一元函数微分学18.设f(x)在x=1处有连续导数,且f’(1)=2,求.正确答案:涉及知识点:一元函数微分学19.设y=y(x)由所确定,求.正确答案:,由隐函数求导涉及知识点:一元函数微分学20.计算lnl.01的近似值.正确答案:由微分定义可知f(x+△x)=f(x)+f’(x)△x,令f(x)=lnx,则ln1.01=f(1.01)=f(1)+f’(1).0.01=0+1.0.01=0.01.涉及知识点:一元函数微分学给定曲线y=。

考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)

考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)

考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.(2004年)设函数f(x)连续,且f’(0)>0,则存在δ>0。

使得A.f(x)在(0,δ)内单调增加B.f(x)在(一δ,0)内单凋减少C.对任意的x∈(0,δ)有f(x)>f(0)D.对任意的x∈(一δ,0)有f(x)>f(0)正确答案:C解析:由于由极限的保号性知,存在δ>0,当x∈(一δ,0)或x∈(0,δ)时,而当∈(0,δ)时x>0,则此时f(x)一f(0)>0,即f(x)>f(0),故应选(C).知识模块:一元函数微分学2.(2005年)设函数则f(x)在(一∞,+∞)内A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点D.至少有三个不可导点正确答案:C解析:当|x|≤1时,当|x|>1时,则而f’+(一1)≠f’-(一1),则f(x)在x=一1不可导.同理则f(x)在x=1处不可导,故应选(C).知识模块:一元函数微分学3.(2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数,且f’(x)>0.f”(x)>0,△x为自变量x在x11处的增量,△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若△x>0,则A.0<dy<△yB.0<△y<dyC.△y<dy<0D.dy<△y<0正确答案:A解析:解1 直接法:dy=f’(x0)△x,△y=f(x0+△x)一f(x0)=f’(ξ)△x,x0<ξ<x0+△x由于f”(x)>0,则f’(x)单调增,从而有f(x0)<f’(ξ),故dy<△y 由于f’(x)>0,△x>0,则0<dy<△y,故应选(A).解2 排除法:取f(x)=x2,在(0,+∞)上,f’(x)=2x>0,f”(x)一2>0,取x0=1,则dy=f’(x0)△x=2△x △y=f(1+△x)一f(1)=(1+△x)2一1=2△x+(△x)2由于△x>0,显然有0<dy<△y,由此可知,选项(B),(C),(D)均不正确,故应选(A)。

高等数学一元微积分学课后练习题含答案

高等数学一元微积分学课后练习题含答案

高等数学一元微积分学课后练习题含答案概述高等数学一元微积分是大学数学中的重要课程,掌握好微积分理论和应用,对于理解和学习后续相关数学课程都有非常重要的作用。

在学习一元微积分的过程中,做好练习题也是非常重要的一环。

因此,本文档提供了一些高等数学一元微积分学课后练习题和答案,供大家练习和参考,希望能够帮助大家更好地掌握这门课程。

练习题与答案题目 1已知点A(0,1)和点B(2,5),则过点 A 且斜率为 3 的直线方程为?答案利用两点式,设所求直线方程为y=kx+1,则有:$$ k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{5 - 1}{2 - 0} = 2 $$因为所求直线的斜率为 3,所以有k=3,代入上式得:y=3x+1所以答案为y=3x+1。

题目 2已知函数f(x)=x3−6x2+11x−6,求其零点。

答案为了求出函数f(x)的零点,我们需要通过解方程f(x)=0来得到。

对于一个三次函数,我们可以通过因式分解或利用根的判别式来求解。

首先,我们尝试对f(x)进行因式分解:f(x)=x3−6x2+11x−6=(x−1)(x−2)(x−3)因此,函数f(x)的零点为x=1,2,3。

题目 3求函数f(x)=x3−3x+2在[−1,2]上的最大值和最小值。

答案为了求出函数f(x)在[−1,2]上的最大值和最小值,我们需要使用微积分中的极值定理。

首先,求出函数f(x)的导数:f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)f′(x)在[−1,1]上是负数,在(1,2]上是正数,因此,f(x)在x=1处取得极大值,f(x)在x=−1和x=2处取得极小值。

当x=−1时,有f(−1)=(−1)3−3(−1)+2=6,即最小值为 6。

当x=1时,有f(1)=13−3(1)+2=0,即最大值为 0。

当x=2时,有f(2)=23−3(2)+2=4,即最小值为 4。

因此,函数f(x)在[−1,2]上的最大值为 0,最小值为 4。

一元函数微分学模拟试卷1(题后含答案及解析)

一元函数微分学模拟试卷1(题后含答案及解析)

一元函数微分学模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有:1. 涉及知识点:一元函数微分学15.曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在点(0,1)处的切线方程是_______.正确答案:y=x+1. 涉及知识点:一元函数微分学16.对数螺线P=eθ在点(ρ,θ)=(eπ/2,π/2)处的切线的直角坐标方程为___________.正确答案:x+y=eπ/2. 涉及知识点:一元函数微分学17.已知一个长方形的长2以2cm/s的速率增加,宽ω以3cm/s的速率增加.则当l=12cm,ω=5cm时,它的对角线增加的速率为____________.正确答案:3(cm/s) 涉及知识点:一元函数微分学18.曲线y=x2/(2x+1)的斜渐近线方程为___________.正确答案:y=1/2x-1/4 涉及知识点:一元函数微分学19.曲线y=1/x+ln(1+ex)渐近线的条数为___________.正确答案:3条. 涉及知识点:一元函数微分学20.曲线y=(x2+x)/(x2-1)渐近线的条数为_____________条.正确答案:2 涉及知识点:一元函数微分学解答题设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.21.试将x=x(y)所满足的微分方程(d2x)/(dy2)+(y+sinx)(dx/dy)=0变换为y=y(x)满足的微分方程;正确答案:实质上是求反函数的一、二阶导数的问题.由反函数求导公式知dx/dy=1/y’,(d2x)/(dy2)=(dx/dy)’=(1/y’)y’=(1/y’)x’dx/dy=-y”/y’3=-y”(dx/dy)3代入原微分方程,便得常系数的二阶线性微分方程y”-y=sinx.(*) 涉及知识点:一元函数微分学22.求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=3/2的解.正确答案:特征方程r2-1=0的两个根为r1.2=±1;由于非齐次项f(x)=sinx=eaxsinβx,α=0,β=1,α±β=±i不是特征根,则设(*)的特解y*=acosx+bsinx,代入(*)求得a=0,b=-1/2,故y*=-1/2sinx,于是(*)的通解为y(x)=C1ex+C2e-x-1/2si 涉及知识点:一元函数微分学23.求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3).正确答案:f(x)=x2[x-xn+1/2+…+(-1)xn-2/(n-2)+o(xn-1)]=x3-x4/2+…+(-1)n+1xn/(n-2)+o(xn) (n≥3)可得f(n)(0)/n!=(-1)n+11/(n-2).f(n)(0 涉及知识点:一元函数微分学设F(x)=F(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-∞,+∞)内满足以下条件:f’(x)=g(x),g’(x)=f(x)且f(0)=0,f(x)+g(x)=2ex.24.求F(x)所满足的一阶微分方程;正确答案:F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)=g2(x)+f2(x) =[f(x)+g(x)]2-2f(x)g(x)=(2ex)2-2F(x),可知F(x)所满足的一阶微分方程为F’(x)+2F(x)=4e2x.涉及知识点:一元函数微分学25.求F(x)的表达式.正确答案:e2x同乘方程两边,可得[e2xF(x)]’=4e4x,积分即得e2xF(x)=e4x+C,于是方程的通解是F(x)=e2x+Ce-2x.将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式,可确定常数C=-1.故所求函数的表达式为F(x)=e2x-e 2x. 涉及知识点:一元函数微分学。

第二章一元函数微分学例题练习

第二章一元函数微分学例题练习

第二章、一元函数微分学题型一、导数与微分的计算【例题2.2】设函数f (x )在(0,+∞)内有定义,且对任意的x >0,y >0,都有f (xy )=f (x )+f (y ),又f (1)存在且等于a ,求f ′(x )和f (x )【例题2.4】设函数f (x )=g (x )−cos x x,x =00,x =0其中,g (x )具有二阶连续导数,且g (0)=1,确定a 的值,使得f (x )在点x 0=0处连续,并求出f ′(x ),同时讨论f ′(x )在点x =0处的连续性【例题2.11】(利用Taylor 公式求高阶导数)设函数f (x )=sin 6x +cos 6x ,求f (n )(x )【例题2.13】设函数f (x )=11−x −x2求f (n )(0)题型二、微分中值定理的应用【例题2.21】求极限lim n →∞n n √n +1−n +1√n n √2−1 ln n 【例题2.22】求极限I =limx →0+e (1+x )1x−(1+x )exx 2【例题2.23】设函数f (x ),g (x )均为(0,+∞)上的非常数可导函数,且对任意的x,y ∈(−∞,+∞),恒有f (x +y )=f (x )f (y )−g (x )g (y ),g (x +y )=f (x )g (y )+g (x )f (y )已知f ′(0)=0,证明:对一切x ∈(−∞,+∞),恒有f 2(x )+g 2(x )=1【例题2.25】设n 为正整数,证明:对任意实数λ≥1,有nk =11(1+k )k√λ<λ【例题2.28】设f (x )在区间[−a,a ]上具有二阶连续导数,f (0)=0,(1)写出f (x )的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;(2)证明:在区间[a,a ]上至少存在一点η,使得a 3f ′′(η)=3a−a f(x )dx【例题2.29】设函数y =f (x )((−1,1)内具有二阶连续导数,且f ′′(x )=0,证明:(1)对于(−1,1)内任意x =0,存在唯一的θ(x ),使得f (x )=f (0)+xf ′(θ(x )x )(2)lim x →0θ(x )=12题型三、导数的应用【例题2.30】设在(−∞,+∞)上f ′′(x )>0,f (0)<0,证明:f (x )x分别在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递增【例题2.31】设函数f (x )=(1+x )1x ,x >0确定常数A,B,C ,使得当x →0+时,f (x )=Ax 2+Bx +C +o x 2【例题2.43】设函数f (x )在区间(−π,π)内连续可导,且满足f ′′(x )=sin 2x −[f ′(x )]2=13xg (x ),其中g (x )为连续函数,满足当x =0,g (x )x >0且lim x →0g (x )x =34,证明:(1)点x =0是f (x )在区间(−π,π)内唯一的极值点,且是极小值点;(2)曲线g =f (x )在区间(−π,π)内是向上凹的题型四、介值定理的论证方法【例题2.54】设函数f (x )在[0,1]上连续,(0,1)可导,并且f (0)=f (1)=0,已知对任意的x ∈(0,1),都有f ′′(x )>0,且f (x )在[0,1]上的最小值m <0,求证:(1)对任意正整数n 都存在唯一的x n ∈(0,1),使得f ′(x n )=m n;(2)数列{x n }收敛,且flim n →∞x n=m【例题2.58】设0<a <b,f (x )在[a,b ]上连续,在(a,b )内可导,求证:存在ξ,ηϵ(a,b ),使得f ′(ξ)=a +b 2ηf ′(η)【例题2.60】设函数f (x )在[a,b ]上连续, ba f (x )dx =b a f (x )e x dx =0,求证:f (x )在(a,b )内至少存在两个零点【例题2.61】f (x )在区间[a,b ]上连续,在(0,1)内可导,f ′(x )>0,f (0)=0,f (1)=1,证明:对任意给定的正数λ1,λ2,λ3···λn ,在(0,1)内存在不同的数,x 1,x 2,x 3···x n 使得ni =1λif ′(x i )=ni =1λi【例题2.62】设函数f (x )=x n +x −1,其中n 为正整数,证明:(1)若n 为奇数,则存在唯一的正实数x n ,使得f (x n )=0(2)若n 为奇数,则存在两个实数根x n ,y n ,且x n <0,y n >0(3)极限lim n →∞x n ,lim n →∞y 2n 都存在,并求出它们的值【例题2.63】设实数a,b ,满足b −a >π,函数f (x )在开区间(a,b )内可导,证明:至少存在一点ξ∈(a,b ),使得f 2(ξ)+1>f ′(ξ)。

微积分第二章习题参考答案

微积分第二章习题参考答案

,
y
3 2(1)3 (t 2)4
3 2(1)3 (t 1)4
,
y(n)
n!(1)n (t 2)n1
n!(1)n (t 1)n1
n!(1)n ( (t
1 2)n1
(t
1 1)n1
).
四.求下列函数所指定阶的导娄数.
1. y sh , y(100) . y sh ch , y 2ch sh , y 3sh ch , y(4) 4ch sh,
五.(1)
1 dy dx d arctan y dx 1 y2 dy,
x0
x0
x
x
2时,f ( x)在x 0处连续.
六.
设f
(
x
)存在,
求下列函数y的二阶时数
d2y dx 2
.
(1) y f (e x ).
y e x f (e x ),
y e x f (e x ) e2x f (e x ),
(2) f ( x) 0, y ln f ( x).
y f ( x) . f (x)
2.当 1时,函数在x 0处可导,
当 1时,函数在x 0处不可导.
三.解. f (1) f (1 0) 1, f (1 0) a b,
b 1 a;

f(1)
lim
x10
x2 1 x1
2,
f
(1)
lim
x 1 0
(ax b) x1
1
(ax 1 a) 1
lim
a,
2. tan t ;
3. 2 ln(1 x) dx; 1 x
4. 8tan(1 2 x2 )sec2(1 2 x2 ) xdx;
(t )(1 t ) (t )

一元函数微分学练习题(答案)

一元函数微分学练习题(答案)

一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限:1.9325235lim222-=-+=-+→x x x 2.01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3.x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x xx x x x x x 211011111l i m-=+--=+--=→x x4.0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5.21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x6.x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7.00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8.943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9.2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10.212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11.01sin lim 20=→xx x (无穷小的性质)12.0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x (无穷小的性质)13.51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14.xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15.2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16.mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n 、m 为正整数) ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17.32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x (等价替换)18.31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19.413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20.2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21.1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x (等价替换)注:也可用洛必达法则22.535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23.)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24.nm n m a x nnm m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25.xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26.1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim 22022022020==+=-+=-+→→→→xx x x x x x x x x x x x x x x 27.a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28.2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数: 1.531-=x y 2.x x e y x+=13.1004)13(-=x y 4.122-+-=x xe y5.bx e y ax sin =(b a ,为常数) 6.3cos 12e ey x x ++= 7.xxy --+=1111 8.x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9.)1lg()1(22x e x y x -++=- 10.)1ln(2x x y ++= 11.xy 1tan 2= 12. 322)13(+=x y13.4)sin(=++xy e y x (求y ') 14.4)sin(=++xy e y x (求y ')答案:1.2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y2.x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3.99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4.1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5.)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6.x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7.x xx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x x xx y -+-=-'----='--='8.)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9.])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10.])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11.)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12.3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13.4)sin(=++xy e y x解:方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14.(与13同)三、确定下列函数的单调区间: 1.7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增,在]3,1[-内单调递减。

第二章微分学答案

第二章微分学答案
f ( x)
(e x ) f (e x ) f ( x )) (e f
x
§2.3隐函数的导数
e y 一.1. y ; y 1 xe ye xy 2 xy cos( x 2 y ) 2. y ; xy 2 2 2 y xe x cos( x y ) y ( x ln y y ) 3. y x ( y ln x x ) 3 4. y t; 2 x x 5. y y (ln 1); 1 x 1 x


切线方程为:y ( x e 2 ) x e 2 法线方程为:y ( x e 2 )

二.3.解: 两边同时取对数, 1 则有 ln y ln x ln( x 1) 2ln( x 2) 2 方程两边同时对x求导 : y 1 1 2 y x 2( x 1) x 2 1 1 2 y y ( ) x 2( x 1) x 2
§2.2求导法则
一.1.B; 2. y 2. B 1 1 x2 1 . x 二 .1. y tan 2 x . y y x 3( x 1) 1 2 1 4. y y x 1 3x 1 3(2 x ) 5. 1
1 1 三.3.解: y , x 2 x 1 ( 1)n n ! ( 1)n n ! y(n) n1 ( x 2) ( x 1)n1
dy dy dt 2sin t cos t 三.4.解: 2cos t , dx dx sin t dt dy d 2 y d ( dx ) 2sin t 2. 2 dx dx sin t
1 三. 1.(1)解:y 3sec (ln x ) sec(ln x ) tan(ln x ) x 1 sin 2 1 1 1 1 2 sin2 1 v v (2)解:y e ( 2sin cos )( 2 ) 2 (sin )( e ) v v v v v 1 2 (3)解:y (sec t tan t sec t ) sec t sec t tan t 1 x 1 ( x 1) 1 (4)解:y 2 2 2 ( x 1) x 1 x 1 1 x 1 (5)解:y 2 xe x cos x x 2e x cos x x 2e x sin x

高等数学一元函数微积分学题目与答案A

高等数学一元函数微积分学题目与答案A

三、一元函数积分学练习题(A)一.选择题1. =+òdx x )1(cos ()Cx x A ++sin .Cx x B ++-s i n .Cx x C ++c o s .Cx xx D ++-cos .2. =òdx x 41()CxA +-331.CxB +331.CxC +31.CxD +-31.3. 已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数,则下列函数中()f x 的原函数是()A 21x -B 21x +C 22x x -D 22x x+4. 已知函数()f x 在(,)-¥+¥内可导,且恒有()f x ¢=0,又有(1)1f -=,则函数()f x = ()A 1 B -1 C 0 D x5. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ,则一阶导数()f x ¢=()A 1xB 21x-C ln xD ln x x6.定积分ò1221ln xdx x 值的符号为().A 大于零.B 小于零.C 等于零.D 不能确定7.曲线)2)(1(--=x x x y ,x 轴所围成的图形的面积可表示为().A ò--10)2)(1(dx x x x ;.B ò--20)2)(1(dx x x x ;.C òò-----2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x ;.D òò--+--2110)2)(1()2)(1(dxx x x dx x x x 8. 已知dt t x F xò+=21)(,则=)('x F ()212.x x A + 11.2++x B 21.x C + 11.2-+x D 9. =ò-dx x 115( ) 2.-A 1.-B 0.C D .1 10.若()211xx F -=¢,()231p=F ,则()=x F ( ) A.x arcsin B. c x +arcsin C.p +x arccos D. p +x arcsin二.填空题二.填空题1. 1. 写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数 (1) 52x 的原函数为的原函数为 (2) cos x -的原函数为的原函数为(3) 12t 的原函数为的原函数为 (4) 221x--的原函数为的原函数为2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数,使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数,使等式成立 (1)dx = (51)d x -;(2)xdx = 2(2)d x -;(3)3x dx = 4(32)d x +; (4)2xe dx -= 2()xd e-;(5)219dx x=+ (a r c t a n 3d x ;(6)212dx x=+ (a r c t a n 2)d x ; (7)2(32)x dx -= 3(2)d x x -; (8)dx x= (3l n )d x ;(9)21dx x=- (2a r c si n d x -; (10)21xdx x=- 21d x -. 3. 若()1xf e x ¢=+,则()f x = 4. 根据定积分的性质,比较积分值的大小根据定积分的性质,比较积分值的大小(1)120x dx ò13x d x ò(2)10xe dx ò1(1)x dx +ò5. _________3=òdx e x 6. __________1=òdx ex 7. ò+dx x xln 1=_____________ 8. 已知一阶导数已知一阶导数2(())1f x dx x ¢=+ò,则(1)f ¢= 9. 当x = 时,函数()ò-=xt dt te xI 02有极值. 10. 设()ïîïíì>£+=1,211,12x x x x xf ,()ò20dx x f = 11. 已知ò=xdt t xf y0)(,则=dx dy 12. dt t t x x x )1sin (1lim 030-ò®=三.计算题三.计算题 1.不定积分的计算不定积分的计算(1)1x x e dx e +ò (2)12x e dx x ò(3)ln dx x x ò(4)211x dx x --ò (5)3431xdx x -ò(6)12dx x -ò(7)223xdx x-ò(8)3xa dx ò(9)sin tdt tò (10)2cos ()x dx w j +ò(11)2cos ()sin()x x dx w j w j ++ò(12)22(arcsin )1dx x x-ò(13)3tan secx xdxò(14)sec(sec tan)x x x dx-ò(15)11cos2dxx+ò(16)2(4)x x dx-ò(17)32(32)x dx-ò(18)221dxx x-ò(19)1231dxx-+ò(20)sinx xdxò(21)xxe dx-ò(22)arcsin xdxò(23)2tte dt -ò(24)2arcsin 1xdx x-ò(25)sin cos xxe dx ò(26)1cos sin x dx x x++ò(27)dxx 43-ò (28)dx x 122-ò(29)dx xxe e --ò (30)e32x dx +ò(31)()232xx dx+ò (32)1252+òx dx(33)sin5xdxò(34)cos25xdxò(35)()()244522x dxx x+++ò(36)x dxx23412-ò(37)sin cossin cosx xx xdx+-ò3(38)dxx x(arcsin)221-ò(39)dxx x222-+ò(40)sin cossinx xxdx14+ò(41)2x xe dxò(42)23523x xx dx ×-×ò2.定积分的计算定积分的计算(1)1e xx dx-ò(2)e1lnx xdxò(3)41ln xdxxò(4)324sinxdxxppò(5)220e cosxxdxpò(6)221logx xdxò(7)π2(sin)x x dxò(8)e1sin(ln)x dxò(9)121ln(1)x x dx-++ò(10)41xdxò(11)dx xx x )1(241+ò(12)dx xxò+1241 (13)dx x ò+2241 (14)dx x x ò40tansec p(15)xdxò242cotpp(16)ò--112d x x x(17)dx ò2121)-(3x 1 (18)dx ò+3ln 0x xe 1 e(19)dxx xò-123 (20)ò1arctan xdx x3.反常积分的计算反常积分的计算(1)2048dx x x +¥++ò(2)21arctan xdx x +¥ò(3)101(1)dx x x -ò(4)1ln edx x x ò4. 4. 比较下列各对积分的大小:比较下列各对积分的大小:比较下列各对积分的大小:(1)ò4arctan pxdx 与ò402)(arctan pdx x(2)ò43ln xdx 与ò432)(ln dx x(3)dx x ò-+1141与dxx ò-+112)1((4)ò-2)cos 1(pdx x 与ò2221pdx x四.综合题四.综合题 1.求导数求导数(1)201xdt dt dx +ò (2)5ln 2xtdt e dt dx -ò(3)cos 2cos()xd t dt dx p ò (4)sin xd tdt dx tpò (0x >). 2. 验证下列等式验证下列等式(1)2311d 2-=-+òx x C x ; (2)(sin cos )cos sin x x dx x x C+=-++ò. 3. 求被积函数()f x . (1) 2()ln(1)f x dx x x C =+++ò;(2)21()1f x dx C x=++ò. 4 求由下列曲线所围成的平面图形的面积:求由下列曲线所围成的平面图形的面积:(1) 2y x =与22y x =- (2) xy e =与0x =及y e =(3) 24y x =-与0y =(4) 2y x =与y x =及2y x =5.5. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积:求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积: (1) ,1,4,0y x x x y ====,绕x 轴;轴;(2) 3,2,y x x x ==轴,分别绕x 轴与y 轴;轴; (3) 22,y x x y ==,绕y 轴;轴;(4) 22(5)1x y -+=,绕y 轴.轴.(5). 32y x =,x=4 ,绕y 轴.轴.6. 当k 为何值时,反常积分+2(ln )k dxx x ¥ò收敛?当k 为何值时,这反常积分发散? 7. 设1321()()1f x x f x dx x=++ò,求1()f x dx ò.8. 求函数2()(1)xtf x t e dt -=-ò的极值.的极值.9. 设()f x 在[],a b 上连续,且()1b af x dx =ò,求()baf a b x dx +-ò.10. 设曲线通过点(0,1),且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为xe -,求此曲线方程.11. 设3()1xxf e e ¢=+,且(0)1f =,求()f x . 12. 设()ïîïí죣=其它,00,sin 21p x x xf ,求()()ò=x dt t f x 0j . 13. 设()ïïîïïíì<+³+=时当时当0,110,11x ex x x f x ,求()ò-21dxx f . 14. 已知222(sin )cos tan 01f x x x x ¢=+<< ,求()f x . 三、一元函数积分学 练习题( A ) 参考答案 一.选择题一.选择题1. A2. A3. D4. A5. B6. B7. C8. C9. C 9. C 因为因为5x 为奇函数为奇函数 10. D 10. D二.填空题二.填空题1. 1. 写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数(1) 613x (2) sin x - (3) t (4) 2arcsin x -2. 2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数,使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数,使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数,使等式成立 (1)51;(2)21-;(3)121;(4)21-;(5)31;(6)21;(7)1- (8)31;(9)1-;(1010))1- 3. ()(1ln )ln f x x dx x x C=+=+ò4. 4. 根据定积分的性质,比较积分值的大小根据定积分的性质,比较积分值的大小根据定积分的性质,比较积分值的大小 (1)112300x dx x dx>òò;∵ 当[0,1]x Î时,232(1)0x x x x -=-³,即23x x ³,又2x3x ,所以112300x dx x dx >òò(2)110(1)xe dx x dx >+òò;令()1,()1xxf x e x f x e ¢=--=-,因01x ££,所以()0f x ¢>,从而()(0)0f x f ³=,说明1xe x ³+,所以1100(1)xe dx x dx >+òò5. C e x+33 6. C ex+-- 7. c x x ++2ln 21ln 8.229. 0. 10.38 11. )()(0x xf dt t f x +ò 12. 181- 三.计算题三.计算题1.1.不定积分的计算不定积分的计算不定积分的计算(1)1(1)ln(1)11xx xx x e dx d e e C e e =+=++++òò (2)11121xx xedx e d e C x x=-=-+òò (3)ln ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+òò (4)211(1)ln 11(1)(1)1x x d x dx dx x C x x x x --+===++-+-+òòò(5)3444444333(1)3ln 1141414x dx d x dx x C x x x -==-=--+---òòò(6)1(12)1ln 12122122dx d x x C x x -=-=--+--òò (7)22222211(23)123263232323x dx d x dx x C xx x -==-=--+---òòò (8)33311(3)33ln x x xa dx a d x a C a ==+òò(9)sin 2sin 2cos t dt td t t C t ==-+òò(1010))21cos(22)cos ()2x x dxdx w j w j +++=òò 11 cos(22)(22)24x x d x w j w j w =+++ò11sin(22)24x x C w j w=+++ (1111))221cos ()sin()cos ()cos()x x dx x d x w j w j w j w j w ++=-++òò 31cos ()3x C w j w=-++(1212))222arcsin 1(arcsin )arcsin (arcsin )1dxd xC x xx x==-+-òò(1313))32231tan sectan sec (sec 1)sec sec sec 3x xdx xd x x d x x x C ==-=-+òòò (1414))2sec (sec tan )(sec sec tan )tan sec x x x dx x x x dx x x C-=-=-+òò(1515))221111sec tan 1cos 22cos 22dx dx xdx x C x x ===++òòò (1616))515173222222228(4)(4)473x x dx x x dx x dx x dx x x C -=-=-=-+òòòò(1717))33522211(32)(32)(32)(32)25x dx x d x x C -=---=--+òò (1818)令)令sin ()22x t t p p=-<<,则cos dx tdt =,所以,所以22222cos 1csc cot sincos 1dxtdtx tdt t C C t txxx-===-+=-+×-òòò(1919)令)令23x t -=,则23,2t x dx tdt +==,所以所以11(1)ln(1)11231tdt dxdt t t C t t x ==-=-++++-+òòò23ln(231)x x C =---++(2020))sin cos cos cos cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C=-=-+=-++òòò(2121))xxxxxxxe dxxdexee dxxeeC ------=-=-+=--+òòò(2222))222111arcsin arcsin arcsin (1)211xdx x x x dx x x d x xx=-×=+---òòò2arcsin 1x x x C =+-+ (2323))2222221111122224ttttttte dt tdetee dt tee C ------=-=-+=--+òòò(2424))22arcsin 1arcsin arcsin arcsin21x dx xd x x C x ==+-òò(2525))sin sin sin cossinx x x xe dx e dx e C==+òò(2626))1cos (sin )ln sin sin sin x d x x dx x x C x x x x++==++++òò(2727))dx x 43-ò=1(43)1ln 434434d x x C x -=-+-ò。

一元函数微分学练习题(答案)

一元函数微分学练习题(答案)

一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限:1.9325235lim 222-=-+=-+→x x x2.01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3.x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 211011111l i m-=+--=+--=→x x4.0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5.21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x 6.x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7.00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8.943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9.2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10.212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11.01sin lim 20=→xx x (无穷小的性质)12.0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x (无穷小的性质)13.51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14.xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15.2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16.mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n 、m 为正整数) ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17.32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x (等价替换)18.31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19.413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20.2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21.1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x (等价替换)注:也可用洛必达法则22.535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23.)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24.nm n m a x nn m m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25.xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26.1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim22022022020==+=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 27.a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28.2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数: 1.531-=x y 2.x x e y x+=13.1004)13(-=x y 4.122-+-=x xe y5.bx e y ax sin =(b a ,为常数) 6.3cos 12e ey x x ++= 7.xxy --+=1111 8.x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9.)1lg()1(22x e x y x -++=- 10.)1ln(2x x y ++= 11.xy 1tan 2= 12. 322)13(+=x y13.4)sin(=++xy e y x (求y ') 14.4)sin(=++xy e y x (求y ')答案:1.2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y2.x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3.99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4.1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5.)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6.x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7.xxx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x xxx y -+-=-'----='--='8.)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9.])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10.])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11.)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12.3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13.4)sin(=++xy e y x解:方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14.(与13同)三、确定下列函数的单调区间: 1.7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增,在]3,1[-内单调递减。

考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)

考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)

考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.(87年)设f(x)在x=a处可导,则等于A.f’(a)B.2f’(a)C.0D.f’(2a)正确答案:B解析:知识模块:一元函数微分学2.(88年)f(x)=+6x+1的图形在点(0,1)处切线与x轴交点坐标是A.B.(一1,0)C.D.(1,0)正确答案:A解析:f’(x)=x2+x+6,f’(0)=6,(0,1)点切线方程为y—1=6x,令y=0得x=即此切线与x轴的交点坐标为知识模块:一元函数微分学3.(88年)若函数y=f(x),有f’(x0)=则当△x→0时,该函数在x=x0处的微分dy是A.与△x等价无穷小.B.与△x同阶无穷小.C.比△x低阶的无穷小.D.比△x高阶的无穷小.正确答案:B解析:dy=f’(x0)△x=则当△x→0时,dy与△x是同阶无穷小.知识模块:一元函数微分学4.(88年)设函数y=f(x)是微分方程y”一2y’+4y=0的一个解,且f(x0)>0,f’(x0)=0,则f(x)在x0处A.有极大值.B.有极小值.C.某邻域内单调增加.D.某邻域内单调减少.正确答案:A解析:由题设知f”(x)一2f’(x)+4f(x)≡0,令x=x0得f”(x0)一2f’(x0)+4f(x0)=0,即f”(x0)+4f(x0)=0又f(x0)>0,则f”(x0)<0.故f(x)在x0处取得极大值.知识模块:一元函数微分学5.(89年)当x>0时,曲线A.有且仅有水平渐近线.B.有且仅有铅直渐近线。

C.既有水平渐近线,也有铅直渐近线.D.既无水平渐近线,也无铅直渐近线.正确答案:A解析:由于又则原曲线有且仅有水平渐近线y=1 知识模块:一元函数微分学6.(89年)若3a2一5b<0.则方程x3+2ax3+3bx+4c=0A.无实根.B.有唯一实根.C.有三个不同实根.D.有五个不同实根.正确答案:B解析:由于x5+2ax3+3bx+4c=0为5次方程,则该方程至少有一个实根(奇次方程至少有一实根).令f(x)=x5+2ax3+3bx+4c,f’(x)=5x4+6ax2+3b而△=(6a)2一60b=12(3a2一5b)<0,则f’(x)≠0因此,原方程最多一个实根,故原方程有唯一实根.知识模块:一元函数微分学7.(89年)设两函数f(x)和g(x)都在x=a处取得极大值,则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处A.必取极大值.B.必取极小值.C.不可能取极值.D.是否取极值不能确定.正确答案:D解析:本题的关键在于由题设可知在x=a的某邻域内有f(a)≥f(x),g(a)≥g(x),由此能否得到g(a).f(a)≥g(x)f(x)或g(a)f(a)≤g(x)f(x),这在一般情况下是得不到此结论的.若取f(x)=一(x一a)2,g(x)=-(x—a)2,显然f(x)和g(x)在x=a处取极大值0,但f(x)g(x)=(x一a)4在x=a处取极小值.则(A)(C)都不正确:若取f(x)=1一(x—a)2,g(x)=1一(x一a)2,则f(x)和g(x)都有极大值1,而f(x)g(x)=[1一(x—a)2]2在x=a仍有极大值1,则(B)也不正确,从而只有(D)对.知识模块:一元函数微分学8.(89年)设d(x)在x=a的某个邻域内有定义,则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是A.B.C.D.正确答案:D解析:由于h→+∞时存在只能得出f(x)在a点的右导数存在,不能得出a点导数存在,(B)(C)明显不对,因为f(x)在a点如果没定义,(B)(C)中的两个极限都可能存在,但函数若在a点无定义,则在该点肯定不可导.则应选(D).知识模块:一元函数微分学9.(90年)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f’(x)=[f(x)]2.则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是A.n![f(x)]n+1B.n[f(x)]n+1C.[f(x)]2nD.n![f(x)]2n正确答案:A解析:等式f’(x)=[f(x)]2两边对x求导得f”(x)=2f(x)f’(x)=2[f(x)]2 f”‘(x)=2×3[f(x)]2f’(x)=2×3[f(x)]4…f(n)(x)=[f(x)]n-1n! 知识模块:一元函数微分学10.(90年)设F(x)=其中f(x)在x=0处可导,f’(0)≠0,f(0)=0,则x=0是F(x)的A.连续点.B.第一类间断点.C.第二类间断点.D.连续点或间断点不能由此确定.正确答案:B解析:由于f(0)=0,f(x)在x=0处可导,则而F(0)=f(0)=0,则极限存在但不等于F(0),故x=0为F(x)的第一类间断点.知识模块:一元函数微分学11.(91年)若曲线y=x2+ax+b和2y=一1+xy3在点(1,-1)处相切.其中a,b是常数.则A.a=0,b=一2B.a=1,b=一3C.a=-3,b=1D.a=-1,b=一1正确答案:D解析:由于曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1,一1)处相切,则在点(1.一1)处两曲线切线斜率相等,且两曲线同时过点(1.一1).y’=2x+a.y’|c=1=2+a2y’=y3+3xy2y’,y’|x=1=1则2+a=1,a=一1又一1=1+a+b=1一1+b=b,b=一1所以应选(D).知识模块:一元函数微分学12.(91年)设函数f(x)在(一∞,+∞)内有定义.x0≠0是函数f(x)的极大点,则A.x0必是f(x)的驻点.B.一x0必是一f(一x)的极小点.C.一x0必是-f(x)的极小点.D.对一切x都有f(x)≤f(x0).正确答案:B 涉及知识点:一元函数微分学填空题13.(87年)设yln(1+ax),则y’=______,y”=______.正确答案:解析:由y=ln(1+ax)知,知识模块:一元函数微分学14.(87年)曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程是_______;法线方程是_______.正确答案:解析:则x=1处切线方程为,法线方程为=一2(x一1).知识模块:一元函数微分学15.(88年)设f(t)=则f’(t)=______.正确答案:(1+2t)e2t.解析:则f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t 知识模块:一元函数微分学16.(88年)正确答案:1解析:知识模块:一元函数微分学17.(89年)设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n).则f’(0)=______.正确答案:n!.解析:∵f’(x)=(x+1)(x+2)…(x+n)+x(x+2)(x+3)…(x+n) +…+x(x+1)(x+2)…(x+n-1)∴f’(0)=n! 知识模块:一元函数微分学18.(89年)设tany=x+y.则dy=_____。

一元微积分数学函数题库有答案

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一元微积分数学函数题库有答案一元微积分学数学(1) 函数一、 填空题: 1. 函数 y=arcsin 92-x定义域是:310103-≤≤-⋃≤≤x x2.设y=f (x)的定义域是[0,1],则复合函数f (sinx)的定义域是:z k k x k ∉+≤≤,22πππ.3.函数33+=x y 的值域是 0≤y ≤+∝ . 4.函数)1,0(11≠>+-=a a ax ax y 的反函数是:axa xy +-=1. 5.函数12+-=x y 在区间 ]0,(-∞ 内是单调增加的.在区间)0[∞+,内是单调减少.6.设21)1(x x xf ++=,(x>o ),则)(x f =x x 211++.7.设1)(-=x x x f ,则))(((x f f f =1-x x, ))((x f f = x . 8.函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<-∞=x x x x x y x 4,241,1,2的反函数y=⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤≤≤<<-∞.16,log ,161,,1,2x x x x x x. 二.选择题:1. 在同一直角坐标系中,函数 与它的反函数说代表的曲线具有的性质是(D )(A) 关于y 轴对称; (B) 关于x 轴对称; (C)重合; (D) 关于直线y=x 对称.2.下列几对函数中,)(x f 与)(x g 相同的是(C ).(A )2lg )(x x f =与x x g lg 2)(= (B )x x f =)(与2)(x x g = (C )2)(x x g =与2)(x x g = (D )1)(=x f 与xxx g =)( 3.已知的定义域为则的定义域是(C )(A )[-a,3a] (B) [a,3a] (C) {a} (D) {-a} 4.如果1)(-=x xx g ,那么))(1(x f f 的表达式是(B )(A) x-1 (B)1-x (C)xx 1- (D) 都不是 三.设函数)(x f y =是线性函数,已知,3)1(,1)0(-==f f 求此函数. 解:设f(x)=ax+b,则有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.四.证明函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界.证明:f(x)的定义域为R.xx x x1112+=+因为2111,21≤+≥+xx xx 所以所以: 函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界 五.试讨论函数21121)(+-=x x f 的奇偶性.解:21121)(+-=x x f21121)(+-=--x x f211211+-=x 212211+-=xx 21212+-=x x 2121211+-+-=xx 212111+-+-=x21211--=x )(x f -= 所以 21121)(+-=xx f 偶函数. 一元微积分学题库(2) 数列的极限一.判断题:1.如果数列{n u }以A 为极限,那么在数列{n u }增加或去掉有限项之后,说形成的新数列{n u }仍以阿A 为极限. ( T )2.如果0lim =∞→n n n v u ,则有0lim =∞→n n u 或0lim =∞→n n v( F )3.如果a a n n =∞→lim ,且存在自然数N ,当n>N 时恒有n a <0,则必有a<0. ( F )4.如果n n a ∞→lim ,n n b ∞→lim 均不存在,则有)(lim n n n b a +∞→必不存在. ( F )一元微积分学题库(3) 函数的极限,无穷大,无穷小一. 选择题:下列题中其条件对其结论来说是(A)充分但非必要条件; (B)必要但非充分条件; (C)充分必要条件: (D)既非充分又非必要条件; 1.条件a a n n =∞→lim ,b b n n =∞→lim .结论b a b a n n n +=+∞→)(lim (A )2.条件)(lim 0x f a n -→和)(lim 0x f a n +→都存在.结论)(lim x f an →存在 (B )3.条件)(lim x f an →和)(lim x g an →都存在.结论 )]()([lim x g x f an +→存在. (A )4.条件f(x)在a 的某个邻域内单调有界.结论)(lim x f an →存在. (D )三.求0)(,)(→==x xx x g x xx f ,当时的左右极限,并说明它们在x →0时的极限是否存在? 解:xxx f =)(=1,所以1)(lim 0=→x f x .⎩⎨⎧><-==.0,1,0,1)(x x x xx g 所以 1)(lim 00-=-→x g x , 1)(lim 00=+→x g x 显然≠-→)(lim 00x g x )(lim 00x g x +→,故)(lim 0x g x →不存在.五.证明:函数 xx y 1cos 1=在区间(0,1]上无界,但当x →+0时,这函数不是无穷大.证明:1. 取+∞→∈=k N k k x 当),(21π时,x x y 1cos 1==+∞=πk 2 所以 x x y 1cos 1=在区间(0,1]上无界.2.取0),(21+→+∞→∈+=x k N k k x 时,当ππ,x x y 1cos 1==021⋅+ππk =0即在0的任何邻域都不可能有M xx y >=1cos 1(M>0)成立. 所以当x →+0时,这函数不是无穷大.一元微积分学题库(4) 极限的求法一. 判断题:下列运算是否正确:0)(lim .12=∞-∞=--∞→x x x n(F).1)53(lim )32(lim 5332lim .24343=∞∞=++=++∞→∞→∞→x x x x x x x(F)0lim 2lim 1lim )21(lim .3222222=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++∞→∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n (F )二.计算下列极限:1.x x xx x x 2324lim 2230++-→解:xx x x x x 2324lim 2230++-→ =23124lim 20++-→x x x x =21 2.)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→解:)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→=211)21(1lim--∞→nn =23.)1111(lim 31x x x ---→ 解:设31111)(x x x f ---=,则311111)(1x x x f ---=因为2313111lim 11111lim )(1lim x x x x x x f x x x +-=---=→→→=0,所以∞=→)(lim 1x f x即:∞=---→)1111(lim 31xx x 从而时,当,10,1lim .40-∞→-→→xx x arctg x 从而时,当,10,21lim 0+∞→+→-=-→x x x arctgx π)(.1lim ,21lim 00T xarctg x arctgx x 不存在所以→+→=π4.x x x 11lim-+→ 解:xx x 11lim-+→ =)11()11()11(lim++⋅++⋅-+→x x x x x=)11(lim++⋅→x x x x=111lim 0++→x x=21 5.xarctgxx ∞→lim解:因为 22ππ<<-arctgx 所以arctgx 为有界函数.而 xx 1lim∞→=0, 由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知.x arctgxx ∞→lim =06.)(lim x x x x x -+++∞→解:)(lim x x x x x -+++∞→=xx x x x x x x x x x x x ++++++⋅-+++∞→)()(lim=xx x x x x x x x +++-+++∞→)(lim=xx x x x x x +++++∞→lim=xxx 111111lim+++++∞→=21 7.)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→解:)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→=x x x x x n n -+⋅⋅⋅++-∞→1)1()1)(1)(1(lim 2=xx n n --∞→11lim 2=x-11 三.已知a x f x a x x x x f x 存在,求且)(lim ,3,3,3)(3→⎩⎨⎧<+≥-=解:)(lim 03x f x +→=3lim3-+→x x =0,)(lim 03x f x -→=)(lim 03a x x +-→=3+a,)(lim 3x f x →存在,即:)(lim 03x f x +→=a x f x +==-→3)(lim 003所以. 3-=a .一元微积分学题库(5)极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较一、 判断题:1. 因为0→x 时,tgx~x,sinx~x,所以 0lim sin lim 330=-=-→→xxx xtgx x x x (F ) 2. 222)21(lim )2(lim e xx x xx x x =+=+•∞→∞→ (T)3. 1sin lim )sin (lim sin lim=⋅=⋅=→→→x xx tgx x x x tgx x tgx x x x πππ (F)二、计算下列极限1. xxx 5sin 2sin lim 0→解:x x x 5sin 2sin lim 0→=)525sin 522sin (lim 0⋅⋅→x x x x x =⋅→x x x 22sin lim 0⋅→x x x 5sin 5lim 052=522. xctgx x 0lim →解:xctgx x 0lim →=)cos sin (lim 0x x x x ⋅→=)sin (cos lim 0x x x x ⋅→=⋅→x x cos lim 0xxx sin lim0→=1 3. xx xx sin 2cos 1lim0-→解:x x x x sin 2cos 1lim 0-→=x x x x sin sin 2lim 20⋅→=x x x sin 2lim 0→=xx x sin lim 20→⋅=24. xx x 1sin lim ∞→解:x x x 1sin lim ∞→=x x x 11sinlim∞→=xx x11sinlim 01→=1.5. kx x x)11(lim -∞→解:kx x x )11(lim -∞→=)()()11(lim k x x x -•-∞→--+=k x x x --∞→--+])11[(lim =ke -6. xx x x )11(lim -+∞→解:x x x x )11(lim -+∞→=x x x x ]12)1([lim -+-∞→=xx x )121(lim -+∞→=1221)2111(lim +•-∞→-+x x x=)]2111()2111[(lim 221-+⋅-+•-∞→x x x x =2e . 二、 证明:当x →0时,下列各对无穷小量是等价的 1.x arctgx ~证明:设A=arctgx,则 x=tgA, 当0→x 时,0→A . xarctgxx 0lim→=tgA A A 0lim →=1 2.1-cosx ~ 22x证明:2cos 1lim 20x x x -→=2)2sin(2lim 220x x x ⋅→=2202)2(2)2sin(2lim x x x ⋅⋅→=222)2()2sin(lim x x x →=1. 四、证明:0)2124321(lim =-⋅⋅⋅⋅∞→nn n 用两边夹法则:(解法一)设F(n)= n n 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 则2)2124321()(nn n F -⋅⋅⋅= 22222)2()12(4321n n -⋅⋅⋅⋅=1)2()12(14312122222--⋅⋅⋅-⋅-<n n )12()12()12(75353122+⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n n121+=n 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ,0)(lim =∞→n h n ;由极限存在准则I 知:0)(lim =∞→n F n .证毕.(解法二):设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 因为 n n n n 112-<--(n 为自然数), 所以有F(n)< 12254322124321+⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n n=n21 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ,0)(lim =∞→n h n ;由极限存在准则I 知:0)(lim =∞→n F n .证毕.另解:设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅( 0<F(n)<1 ), 则F(n+1)= 122)(+⋅n nn F ,有F(n+1)<F(n).所以F(n)为单调有界数列,由极限存在准则II 知F(n)有极限.设A n F n =∞→)(lim .则有)1(lim +∞→n F n =))(1(lim n F n nn ⋅+∞→ )1(lim +∞→n F n =1+n n)(lim n F n ∞→⋅A=1+n nA , A=0. 即0)(lim =∞→n F n .证毕.五、设2112,,2,1,10n n n x x x n x -=⋅⋅⋅=<<+,证明数列}{n x 的极限存在,并求其极限.证明: 212n n n x x x -=+ 2211n n x x -+-=2)1(1n x --= ]))1(1(1[1221-----=n x 221)1(1---=n x 322)1(1---=n x = (1)21)1(1---=k x因为 ,101<<x 所以 ,10<<n x 因为 212n n n x x x -=+所以)1(1n n n n x x x x -=-+>0 即: n n x x >+1 所以}{n x 为单调有界数列,由极限存在准则II 知}{n x 有极限. A x n n =∞→lim , 则有 )2(lim lim 21n n n n n x x x -=∞→+∞→,A=2A--2A ,解得:A=1 或A=0(舍去,因为}{n x 为递增数列且01>x .)所以 1lim =∞→n n x一元微积分学题库(6) 函数的连续性一. 判断题1.21))12)(12(1...5*313*11(lim =+-+++∞→n n n ( T ) 2.设)(x f 在0x 点连续,则)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=( T )3.如果函数)(x f 在],[b a 上有定义,在],[b a 上连续,且<)(*)(b f a f 0,则在),(b a 内至少存在一点ξ,使得)(ξf = 0( T )4.若)(x f 连续,则)(x f 必连续. ( T )5.若函数)(x f 在],[b a 上连续且恒为正,则)(1x f 在],[b a 上必连续. ( T )6.若a x f x x =→)(lim 0,且0>a ,则在0x 的某一邻域内恒有0)(>x f .( F )7.0=x 是函数xx x f 1sin )(=的振荡间断点.( F )二. 填空题:1.-→ππx xx sin lim (1-)2. =∞→x x x sin lim ( 0 )3. =+--+-→123lim2312x x x x x x ( ∞ ) 4. 0=x 是xe xf 1)(=的第(二)类间断点.三. 求xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→解:xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=()()1sin 1tan 1lim sin 1sec cot 0==++→ee x x xxx x 四. 求函数4tan()1()(π-+=x xx x f 在)2,0(π内的间断点,并判断其类型.解:)(x f 在()π2,0内的间断点有:4π=x ,43π=x ,45π=x ,47π=x因为 ),(lim 4x f x π→)(lim 45x f x π→不存在,,1)(lim 43=→x f x π1)(lim 47=→x f x π 所以43π=x ,47π=x 是)(x f 的第一类(可去)间断点; 4π=x ,45π=x 是)(x f 的第二类间断点.五. 设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f ,(1)求)(x f ;(2)当)(x f 连续时,求b a ,的值.解:(1) n n n n xx bx ax x f 2122231lim )(---∞→+++= ∴ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+-=-+-=++>=112112111)(2x bx ax x b a x b a x x x f(2) )(x f 连续21)1(11lim)(lim 0101ba f x x f x x ++====+→+→1=+⇒b a21)1(11lim )(lim )01()01(ba f x x f x x -+-====--→--→ 1-=-⇒b a∴⎩⎨⎧==1b a .一元微积分学题库(7) 连续函数的性质一.计算下列极限: 1.2321lim4--+→x x x 解:原式= )321)(4()2)(921(lim4++-+-+→x x x x x =321)2(2lim4+++→x x x =342.22011lim xx x +-→ 解:原式=2220)11(lim x x x x ++→=)11(lim 20x x ++→=2 3.x x x sin lnlim 0→ 解:原式=)sin lim ln(0xxx →=01ln =4.ctgx x tgx )31(lim 0+→解:原式=tgxx tgx 33)31(lim +→=331])31(lim [tgx x tgx +→=3e5.145lim1---→x xx x解:原式=)45)(1()1(4lim1x x x x x +---→=xx x +-→454lim1=26.xe x x 1lim 0-→解:令t e x =-1,得)1ln(+=t x ,当0,0→→t x 时 原式=)1ln(limt tt +→=tt t 10)1ln(1lim+→=])1(lim ln[110tt t +→=1ln 1=e二.证明方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根(其中0,0>>b a ). 证明:设x b x a x f -+=sin )(,则)(x f 在],0[b a +上连续. 又0)0(>=b f ,0]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f . 若0)(=+b a f ,则结论成立.若0)(<+b a f ,则由零点定理0)(),0(=+∈∃ξξf b a 使得. 三.设)(x f 在]1,0[上连续,且1)(0≤≤x f ,证明:至少存在一点]1,0[∈ξ,使得ξξ=)(f .证明:设x x f x F -=)()(,则)(x F 在]1,0[上连续. 又0)0(0)0()0(≥=-=f f F ,01)1()1(≤-=f F 若0)1(0)0(==F F 或,则结论成立.若0)1(0)0(<>F F 或,则由零点定理0)()1,0(=∈∃ξξf 使得. 四.设)(x f 在),(b a 上连续,且B x f x f bx ax ==-+→→)(lim )(lim 00,又存在),(1b a x ∈使 B x f >)(1.证明)(x f 在),(b a 上有最大值. 证明:取),(1B x f -=ε1δ∃, 当10δ<-<a x 时, B x f B x f -<-)()(1. 即 当),(1δ+∈a a x 时,)()(1x f x f <.2δ∃, 当02<-<-b x δ时, B x f B x f -<-)()(1. 即 当),(2b b x δ-∈时,)()(1x f x f <.若21δδ->+b a ,)(1x f 为最大值),(1b a x ∈.若21δδ-≤+b a ,)(x f 在],[21δδ-+b a 上连续,必有最大值. )()(10x f x f ≥, ],[210δδ-+∈b a x .∴在),(b a 上)(x f 取得最大值)(0x f .一元微积分学题库(8) 导数的概念一. 选择题:1. 设f ′ (x)存在,a 为常数,则ha h x f a h x f h )()(lim0--+→等于(C ). (A) f ′(x) ; (B) 0 ; (C) )('2x f a; (D) )('2x f .2. 在抛物线23x y =上,与抛物线上横坐标11=x 和22-=x 的两点连线平行的切线方程是(B ).(A) 12x-4y+3=0; (B)12x+4y+3=0; (C) 4x+12x+3=0; (D)12x+4y+1=0.3. 将一个物体铅直上抛,设经过时间t 秒后,物体上升的高度为22140gt t s -=,则物体在3秒时的瞬时速度为(B ).(A) g 2340-; (B) 40-3g ; (C) 0 ; (D) g 29120-.4. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f 在x=0处 (B). (A) 连续且可导; (B )连续,不可导;(C )不连续; (D )都不是.二.设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f 在处x=1可导,求a 和b. 解:)(x f 在x=1处可导∴)(x f 在x=1处连续,可得 )(lim )(lim 0101x f x f x x -→+→= 即 1=+b a (1)又)(x f 在x=1处可导, 可得1)1()(lim1)1()(lim0101--=---→+→x f x f x f x f x x 即 211lim 11lim20101=--=--+-→+→x x x b ax x x (2) 由(1),(2)得 2=a , 1-=b . 三.设5323)(xx x x f =,求)('x f .解: 67)(x x f =, 由幂函数的导数公式可得6167)('x x f =.四.已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ,求)('x f .(提示:分段点x=0处的导数用导数的定义求)解: 当x=0时, 令0-=x h , 1sinhlim )0()0(lim 00==-+--→→hh f h f h h ;1lim )()0(lim 00==-+++→→h hh x f h f h h .所以 1)0('=f∴ ⎩⎨⎧≥<=0,10,cos )('x x x x f五.设f(x)在),(+∞-∞上有连续导函数.证明f(x)为偶函数的充要条件是:)('x f 为奇函数(充分性的证明用到不定积分的概念,只证必要性).证明: 对于∀ ),(0+∞-∞∈x 则有),(0+∞-∞∈-x 依题意 令0x x h -=有 h x f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→;hx f h x f x f h )()(lim)('0000--+-=-→;)(x f 为偶函数).(')()(lim )('00000x f hx f h x f x f h -=--=-∴→一元微积分学题库(9) 求导法与复合函数求导一. 填空题:1. 曲线xx y 1-=与x 轴交点的切线方程是)1(2±=x y .2. 曲线2sin 2x x y +=在横坐标x=0点处的切线方程是x y 2=,法线方程是x y 21-=.3. 设x x y ln 1ln 1+-=,则2)ln 1(2'x x y +-=. 4. 设xxy 2sin =,则22sin 2cos 2'x x x x y -=. 5. 设)(cos )(sin 22x f x f y +=,则x x f x x f y 2sin )(cos '2sin )(sin ''22-=. 二. 求下列函数的导数.1. 52322+-=xx y .解: 3222246)'2()'3()'523('x x x x x x y +=-=+-=.2. x x y cos 2=.解: )'(cos cos )()'cos ('222x x x x x x y +==x x x x sin cos 22-=. 3. x x y cos sin ⋅=.解: x x x x y 2cos )'2sin 21()'cos (sin '==⋅=.4. )13(2+-=x x e y x .解: )'13()13('22+-++-=x x e x x e y x x )3213(2-++-=x x x e x )2(2--=x x e x .5. 110110+-=x x y .解: 2)110()110(10ln 10)110(10ln 10'+--+=x x x x x y2)110(10ln 102+⋅=x x . 三.求导数:1. x y 2ln 1+=,求'y . 解: xx x x x y 222ln 1211ln 2ln 121)'ln 1('+⋅⋅=+⋅+= xx x 2ln 1ln +=.2. 2ln x tgy =,求dx dy. 解: x x x x x x tg y csc sin 12cos 2sin 212sec 2121'2==⋅=⋅⋅=.3. t t y cos 1sin 1-+=,求dt dy.解: 2)cos 1()'cos 1()sin 1()cos 1()'sin 1('t t t t t y --⋅+--⋅+=222)cos 1(sin cos sin cos t t t t t ----= 2)cos 1(1sin cos t t t ---=. 四.已知)2523(+-=x x f y ,2arctan )('x x f =,求=x dx dy .解: 令2523+-=x x u ,则 22)2523()25()23(5)25(3)('''+-⋅+--+=⋅=x x arctg x x x u f u y ===140arctg dxdyx π.一元微积分学题库(10) 复合函数求导(二) 高阶导数一. 求下列函数的导数: 1. )21arcsin(2x y -=. 解:2222124)21(11)'21('xx x x x y --=--⋅-=.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--<<--=01,1210,1222x xx x2.x e y arcsin =.解: x xe xxe x y arcsin arcsin1121)'(arcsin '⋅-⋅=⋅=2arcsin2xx e x -=.3.3212ttarctgy +=. 解: 1444)21()21(82)212(11)'212('23623233233++++⋅+-=++⋅+=t t t t t t tt tty 1444822363+++-=t t t t .4.242arcsin x xx y -+=.解: 22422)2(11212arcsin'xx xx x y ---⋅⋅+=)4242(22arcsin22xx x x ---+=2arcsin x=.5.xey 1sin 2-=.解: xx e x x xe x y 1sin 21sin 222)1cos 1sin 2(1)'1sin ('--⋅⋅-⋅-=⋅-=xe xx 1sin 222sin-⋅=. 二. 求下列函数的二阶导数:1. )1ln(2x y -=.解: 212'x x y --=, 222222)1()1(2)1(22)1(2''x x x x x x y -+-=-⋅---=. 2. arctgx x y )1(2+=.解: 1211)1(2'22+=+⋅++=xarctgx x x xarctgx y , 2122''xxarctgx y ++=. 3. x xe y =.解: x x xe e y +=', x x x x x xe e xe e e y +=++=2''. 三. 求函数x x y ln =的n 阶导数. 解: 1ln '+=x y ,x y 1''=,21'''x y -=,3)4(2xy =, 一般地,可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--=+=-2,)!2()1(1,1ln 1)(n x n n x y n n n . 四. 设)()()(2x a x x f ϕ-=,其中)('x ϕ在点a 的邻域内连续,求)(''a f . 解: )(')()()22()('2x a x x a x x f ϕϕ-+-=.ax x a x x a x a x a f x f a f a x a x --+-=--=→→)(')()()22(lim )(')('lim )(''2ϕϕ)('x ϕ在点a 的邻域内连续 ∴)(')('lim a x ax ϕϕ=→∴0)(lim )(')(')(lim2=-=--→→a x a ax x a x a x a x ϕϕ. )(20)(2lim )(''a x a f ax ϕϕ=+=→.一元微积分学题库(11) 隐函数求导法一. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy. 1. y xe y -=1.解: )'('yye xy e y +-=, 即 yyxee y +-=1' 其中y 是由方程y xe y -=1所确定的隐函数. 2. )(y x tg y +=.解: )(sec )'1('2y x y y +⋅+=, 即 221'yy y +-=.其中y 是由方程)(y x tg y +=所确定的隐函数. 3. 0922=+-xy y .解: 0'22'2=--xy y y y , 即 xy y y -='. 其中y 是由方程0922=+-xy y 所确定的隐函数. 二. 用对数函数求导法求下列函数的导数'y : 1. 22x ctg xtg y =.解: 先两边取对数(假定422πππk x k +<< . ,2,1,0±±=k ) 得 x tg xctg y 2ln 2ln ⋅=. 则)2ln 2csc 21222sec 2('122x tg xx ctg x ctg x y y -⋅⋅=. )2ln 2csc 21222sec 2(2'222x tg xx ctgx ctg x x tg y xctg -⋅⋅=. 当2)1(42πππ+<<+k x k 时,用同样的方法可得与上面相同的结果. 2. 55225+-=x x y .解: 先两边取对数(假定5>x ) 得)]2ln(51)5[ln(51ln 2+--=x x y .对上式两边对x 求导,得)2125151(51'12+⋅⋅--=x x x y y .即 ])2(5251[2551'2552+--+-=x x x x x y . 当5<x 时,用同样的方法可得与上面相同的结果.三. 求下列函数的二阶导数22dxyd .1. ⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos .解:t a b t a t b dtdx dt dy dx dy cot sin cos -=-==, t a b t a t a b dtdx t a b dt d dx y d 32222sin sin 1csc 1)cot (-=-⋅=⋅-=.2. 已知⎩⎨⎧-==)()(')('t f t tf y t f x 这里)(''t f 存在且不为零.解: )(''t f 存在且不为零 ∴t t f t f t tf t f dx dy =-+=)('')(')('')(', )(''122t f dx y d =. 四. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=tt t y tt x 4522,证明y=y(x)在t=0时dx dy 存在,并求其值. 证明: 原方程可化为 02=-x y . 当0=t 时0=x ,.0)0()(lim lim )0()(lim 0200=-==--+→→→hf h f h h h f h f h h h 一元微积分学题库(12) 微分一. 选择题:1. 已知x y 2tan =,则dy 等于(C).(A) 2tgxdx ; (B)tgxdx x212+ ; (C) xdx tgx 2sec 2 ; (D) x tgx 2sec 2. 2. 一元函数连续是可导的(A );一元函数可导是可微的(C ). (A )必要条件; (B )充分条件;(C )充要条件; (D )既非充分条件又非必要条件. 2. 函数x x x x x f ---=32)2()(不可微点的个数是(B ). (A ) 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0. 二.填空题:1. 已知函数2)(x x f =在点x 处的自变量的增量2.0=∆x ,对应的函数增量y ∆的线性主部是8.0-=dy ,那末自变量的始值为2-. 2. )](ln ln[ln 32x y =,则dx xx dy ln ln ln 2-=.3. xdx c x d 3cos )sin 31(=+; dx e c e d xx22)2(--=+-;dx xc xd 1)2(=+; dx x c x d 11))1(ln(-=+-. 三. 利用微分求近似值:ο59cos .解: 180359ππο-=. 这里x ∆较小应用(p150)(2)式,得1803sin 3cos )1803cos(59cos πππππο⋅+≈+= 5151.01802321=⋅+=π. 四. 已知测量球的直径D 时有1%的相对误差,问用公式36D V π=计算球的体积时,相对误差有多少?解: 我们把测量D 时所产生的误差当作自变量D 的增量D ∆,那么,利用公式36D V π=来计算V 时所产生的误差就是函数V 的对应增量V ∆.当V∆很小时,可以利用微分dV 近似地代替增量V ∆,即D D D V dV V ∆⋅=∆⋅=≈∆22'π.其相对误差%3)(3=∆=∆=DVV V s v . 五. 求由方程t t s st =-+)ln()sin(所确定的隐函数s 在t=0处的微分ds .解: 对方程两边关于t 求导,得11')cos()'(=--++t s s st s t s . 当 t=0时, 得 1'2++-=s s s .又对原方程, 当 t=0时, 得 0ln =s 即 s=1.1111=++-=∴dt ds一元微积分学题库(13)中值定理一.选择题:1.下列函数中,满足罗尔定理条件的是(B ).(A)()[];1,1,132-∈-=x x x f (B)()()[];8,0,42∈-=x x x f(C)()];3,1[,3-∈=x x x f(D)()[].1,10,00,1sin 2-∈⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx x f 2.对于函数()332x x f -=,在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的点ξ是(A).(A)21; (B)31±; (C)31; (D)1. 二. 应用导数证明恒等式:()112arccos arcsin ≤≤-=+x x x π.(注意:对1±=x处的讨论)证:令()x x x f arccos arcsin +=当()1,1-∈x 时,()()()01111'arccos 'arcsin '22=---=+=xxx x x f()C x f =∴(C 为常数).特别地,取0=x ,则求得()20π==f C当1-=x 时,()221πππ=+-=-f当1=x 时,()2021ππ=+=f∴ 当[]1,1-∈x 时,2arccos arcsin π=+x x三. 设0>>b a ,证明:bba b a a b a -<<-ln .证:设()x x f ln =,在],[a b 上利用拉格朗日中值定理,有:()()a b b a b a <<==--ξξξ1'ln ln lnba 111<<ξ ∴bba b a a b a -<<-ln . 四. 证明:不论b 取何值,方程033=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.证:反证法.设()b x x x f +-=33,且在区间[]1,1-上有两个以上实根,其中两个分别记为21,x x ,不妨设1121≤<≤-x x ,则()()021==x f x f ,由罗尔定理,在()1,1-内至少有一点ξ,使()0'=ξf . 而()33'2-=x x f 在()1,1-内恒小于0,矛盾.命题成立.五. 构造辅助函数,证明不等式e e ππ>.证:设()x x f ln =,则在区间[]π,e 上,()ππln =f ,().1=e f 根据拉格朗日中值定理,在()π,e 内至少存在一点ξ使()()()()πξξξππ<<==--e f e e f f ,1'即()ξππe -+=1ln 又πξ<<e()()e e e e ππξππ=-+<-+=∴11lnππ<∴ln e 即ππe e <六. 设函数()x f 和()x g 在[]b a ,上存在二阶导数,且(),0''≠x g()()()()0====b g a g b f a f ,证明(1) 在(a,b)内()0≠x g ;(2) 在(a,b)内至少存在一点ξ,使()()()()ξξξξ''''g f g f =. 证:(1)反证法.设(a,b )内存在一点1x 使0)(1=x g ,则在[]1,x a 上有g(a)=g(x 1)=0,由罗尔定理知在(a,x 1)内至少存在一点ξ1使'g (ξ1)=0. 同理在(x 1,b)内也至少存在一点ξ2使'g (ξ2)=0. ∵'g (ξ1)='g (ξ2)=0∴由罗尔定理,在(ξ1,ξ2)内至少存在一点3ξ使0)(''3=ξg ,这与0)(''≠x g 矛盾,故在()b a ,内()0≠x g . (3) 令)(')()(')()(x f x g x g x f x F -=由题设条件可知,F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知,存在()b a ,∈ξ使得()0'=ξF 即()()()()0''''=-ξξξξg f g f 由于()()0'',0≠≠ξξg g ,故()()()()ξξξξ''''g f g f =. 一元微积分学题库(14)罗必塔法则一. 求下列极限:1. xe e x x x cos 12lim 0--+-→解:原式=2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x 2. 0lim→x xxx 3sin arcsin -解:原式=0lim →x cos sin 311122=--x x x 0lim →x ()()xx x x xsin cos 9sin 321212232+---- =0lim →x xx sin 0lim→x ()xx 2232cos 931+----=61-3.0lim →x xctgx解:原式=0lim→x x xsin 0lim →x x cos =1 4.tgxx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→1lim 0 解:令tgxx y ⎪⎭⎫⎝⎛=1,则ctgx x x tgx y ln ln ln -=-= 0lim +→x =y ln 0sin lim csc 1lim ln lim 20200===-+→+→+→xx x x ctgx x x x x ∴lim +→x y=e 0=1 5.⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x xx ln 11lim 1 解:原式=()()21111lim 1ln 11ln lim ln 11ln lim 2111=+=-+-+=---→→→xx xx x x x x x x x x x x x 一元微积分学题库(15)函数的单调性一. 填空题:1.函数y=(x-1)(x+1)3在区间)5.0,(-∞内单调减少,在区间),5.0(+∞内单调增加.2.函数2x ax x y -= (a>0)在区间)43,0(a 内单调增加,在区间),43(a a 内单调减少.3.函数7186223---=x x x y 在区间),3()1,(+∞⋃--∞内单调增加,在区间(-1, 3)内单调减少.4. 函数xx x y 6941023+-=在区间(0.5,1)内单调增加,在区间()),1()5.0,0(0,+∞∞- 内单调减少.二. 证明下列不等式: 1. 当4>x 时,22x x >.证:令22)(x x f x -=,则0)4(=f .x x f x 22ln 2)('-=,082ln 16)4('>-=f2)2(ln 2)(''2-=x x f ,显然,当4>x 时,0)(''>x f )('x f ∴在区间),4(+∞内单调增加. 又0)4('>f)('x f ∴在区间),4(+∞内恒大于零. 又0)4(=f)(x f ∴在区间),4(+∞内大于零.即当4>x 时,02)(2>-=x x f x 即22x x >. 2. 当20π<<x 时,x tgx x 2sin >+.证:令x tgx x x f 2sin )(-+= 2sec cos )('2-+=x x x f)1sec 2(sin sec 2sin )(''32-=+-=x x x tgx x x f 显然,当20π<<x 时,0)(''>x f)('x f ∴在)2,0(π内单调增加.又)0('f =0)('x f ∴在)2,0(π内大于零.)(x f ∴在)2,0(π内单调增加.而)0(f =0 )(x f ∴在)2,0(π内恒大于零. 即当20π<<x 时,02sin )(>-+=x tgx x x f即.2sin x tgx x >+ 3. 当20π<<x 时,x x x <<sin 2π证:令x x x f sin )(=,则2sin cos )('xxx x x f -=. 令x x x x g sin cos )(-=,则)20(0sin )('π<<<-=x x x x g .)(x g ∴在此区间内单调减少.)('x f ∴在此区间内也单调减少.而()02sin lim sin cos lim0'020=-=-=→→x xx xx x x f x x )('x f ∴在)2,0(π内小于0.)(x f ∴在)2,0(π内单调减少.∴xxx f sin )(=在区间的两端取得极大极小值.即ππ2)2(1sin lim)0(0===→f xxf xx x x <<∴sin 2π三. 证明方程sinx=x 只有一个根.证:令x x x f -=sin )(,则01cos )('≤-=x x f . )(x f ∴在),(+∞-∞内单调减少.∴f(x)=sinx-1=0至多有一个根.而f(0)=0, 0)(=∴x f 有且只有一个根. 即方程sinx=x 只有一个根.一元微积分学题库(16)函数的极值一. 填空题:1. 函数3443x x y -=在1=x 处取得极小值.2. 已知函数322)1()5(+-=x x y 当=x -1或5时,y=0为极小值;当x=0.5时, y=318881为极大值. 3.已知bx ax x x f ++=23)(在x=1处有极值-2,则a=0,b=-3,y=f(x)的极大值为2; 极小值为-2.二. 求下列函数的极值: 1. ()()23321--=x x y解:)12)(32()1(5'2++-=x x x y)188)(1(10''2-+-=x x x y令0'=y 得三驻点:5.0,5.1,1321-=-==x x x . 当1>x 时,0'>y ,当15.0<<-x 时,0'>y . 11=∴x 处为非极值点.当5.12-=x 时,,0''<y 取得极大值,其值为0. 当5.03-=x 时,0''>y ,取得极小值,其值为-13.5. 2. x e y x cos =解:)sin (cos 'x x e y x -=,令0'=y ,得驻点4ππ+=k x (k 为整数).x e y x sin 2''-=∴当42ππ+=k x 时,,0''<y x 在该处取得极大值,其值为4222ππ+=k e y 当452ππ+=k x 时,,0''>y x 在该处取得极小值,其值为45222ππ+-=k e y 三. 试问a 为何值时,函数x x a x f 2sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值?它是极大值还是极小值?并求出此极值.解:x x a x f 2cos 32cos )('+=,令0)('=x f ,则02cos 32cos =+x x a即x x a cos /2cos 32-=3π=x 时)(x f 取得极值.323cos /32cos 32=-=∴ππax x x x a x f 2sin 34sin 322sin 34sin )(''--=--=0332sin 343sin 32)3(''<-=--=πππf)(x f ∴在3π=x 处取得极大值,其值为23. 四. 设q px x x f +-=3)(,q p ,为实数,且0>p(1) 求函数的极值.(2) 求方程03=+-q px x 有三个实根的条件. 解:(1) p x x f -=23)(',令0)('=x f 得3p x ±=,而x x f 6)(''=31px =∴处取得极小值,其值为q p+-23)3(231px -=处取得极大值,其值为q p+23)3(2 (2)由上述的讨论我们可以看出,)(x f 仅有 ),3(),3,3(),3,(+∞---∞p p p p 三个单调区间,由介值定理及区间 单调性知:方程要有三个实根,必须满足在这三个单调区间上各有一个实根,也就是说,极小值应小于或等于0同时极大值应大于或等于0(等于0时含重根).即0320322323≥+⎪⎭⎫⎝⎛≤+⎪⎭⎫⎝⎛-q p q p即当23233232⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-p q p 时,方程有三个实根.五. 一个无盖的圆柱形大桶,已规定体积为V,要使其表面积为最小,问圆 柱的底半径及高应是多少?解:设圆柱的底半径为R,高为h ,则h R V 2π=,R V R Rh R S /2222+=+=πππ表0/222=-=R V R dRdS π表则3πV R = 32/RV R V h ==π 六. 设)(x f 在[]1,0上二阶可微,0)1()0(==f f ,且2)(max 10=≤≤x f x .证明存在 )1,0(∈ξ,使得()16''-≤ξf .证:将)1(),0(f f 在x 取得极大值处展开一阶泰勒公式(设此时0x x =)201000)0(!2)('')0(!1)(')()0(x f x x f x f f -+-+=ξ,010x <<ξ202000)1(!2)('')1(!1)(')()1(x f x x f x f f -+-+=ξ,120<<ξx 0)1()0(,0)(',2)(00====f f x f x f ,两式相加得:8)1)(('')(''20221-=-+x f x f ξξ 令()(){}21'',''m in )(''ξξξf f f =,则16212128)(''8)122)((''20020-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤-≤+-x f x x f ξξ一元微积分学题库 (17) 最大值 最小值 凹凸性 拐点一、求下列函数的最大值和最小值: 1.)41( 3223≤≤--=x x x y-11234-2-11函数在所给区间内可导,因此可令 066)(2=-='='x x x f y 解得 1 ,0==x x而 104)4( ,1)1( ,0)0( ,5)1(=-==-=-f f f f 所以函数在区间]4,1[-上的最大值、最小值分别为104和-5. 2. )41( 718x -6223≤≤+-=x x x y-1123456-50-25255075100函数在所给区间内可导,因此可令18126)(2=--='='xxxfy解得)(1,3舍去-==xx而33)4(,47)3(,15)1(-=-=-=fff所以函数在区间]4,1[上的最大值、最小值分别为-47和-15.二、某车间靠墙壁盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大?解:设宽为)200(<<xx米,则长为x220-米,因此,面积为xxS)220(-=显然,当5=x时,面积取最大值502m.三、求数项),2,1(=nnn中的最大项.解:246810121.11.21.31.4令 0)(x )(1>=xx x f 则 )ln 1()(21x xx f x-='-解得唯一驻点,e x = ,并且)(x f 在区间e] ,0[上单调递增,在区间] ,[∞+e 上单调递减,而332<所以数项),2,1( =n n n 中的最大项为33. 四、求下列函数的凹凸区间与拐点: 1. 53x 523++-=x x y 解:-2246-20-101020函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在,并且 3106)(2+-='='x x x f y 1012)(-=''=''x x f y因此,当)65 ,(-∞∈x 时,0<''y ,曲线为凸的,当) ,65(∞+∈x 时,0>''y ,曲线为凹的,点)216995,65(是曲线的拐点.2. )1ln(2+=x y 解:-4-2240.511.522.53函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在,并且 12)(2+='='x xx f y 22)1()1)(1(2)(x x x x f y ++-=''='' 因此,当)1- ,(-∞∈x 时,0<''y ,曲线为凸的,当) 1 ,1(-∈x 时,0>''y ,曲线为凹的,当) ,1(∞+∈x 时,0<''y ,曲线为凸的,点)ln2 ,1(±是曲线的拐点.五、证明112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上. 证明:-4-224-1.5-1-0.5函数在定义域) ,(∞+-∞内二阶导数存在,并且。

一元函数微分学练习题

一元函数微分学练习题

高等数学 ( Ⅰ) 练习 第二章 一元函数微分学系专业 班 姓名 学号习题一导数概念一.填空题f (x 0 x) f ( x 0 ) f (x 0 )1.若 f ( x 0 ) 存在,则 limx=,x 0f (x 0 h)f ( x 0h) 2 f (x 0 )2.若 f ( x 0 ) 存在, limh=h 03.设 f ( x 0 )2 x14, 则 limf (x 0) )x 0f (x 0 2x). limf ( x 0 3 x)f (x 0 ) 3 f ( x 0 )x=.x 04.已知物体的运动规律为s tt 2 (米 ),则物体在 t2 秒时的瞬时速度为 5m/ s1 3 )1 2 3 ( x) 5.曲线 ycos x 在 x处的切线方程为y( x y22 ,法线方程为23 3336.用箭头 或 ? 表示在某一点处函数极限存在、连续、可导之间的关系,极限存在 ?连续?可导。

二、选择题1.设 f ( 0)0 ,且 f (0) 存在,则 limf ( x)=[B]x 0x( A ) f (x)( B) f(0)(C) f (0)1 f ( 0)(D)22. 设 f ( x) 在 x 处可导, a , b 为常数,则f ( x a x)f ( x b x)[ B ]limx=x 0a b( A ) f (x)( B) (ab) f ( x)(C) ( ab) f (x)(D) f ( x)23. 函数在点 x 0 处连续是在该点 x 0 处可导的条件[ B ]( A )充分但不是必要 ( B )必要但不是充分 ( C )充分必要 (D )即非充分也非必要4.设曲线 y x 2x2 在点 M 处的切线斜率为3,则点 M 的坐标为[B]( A )(0,1)( B)(1, 0)(C) ( 0,0)(D) (1,1)5.设函数 f ( x) | sin x | ,则 f ( x) 在 x0 处[B ]( A )不连续。

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一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限:1.9325235lim222-=-+=-+→x x x 2.01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3.x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x xx x x x x x 211011111lim-=+--=+--=→x x4.0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5.21)23()124(lim 2324lim202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x 6.x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7.00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8.943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9.2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10.212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11.01sin lim 20=→xx x (无穷小的性质)12.0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x (无穷小的性质)13.51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14.xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15.2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16.mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n 、m 为正整数) ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17.32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x (等价替换)18.31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19.413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20.2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21.1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x (等价替换)注:也可用洛必达法则22.535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23.)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24.nm n m a x n nm m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25.xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26.1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim 22022022020==+=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 27.a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28.2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数: 1.531-=x y 2.x x e y x+=13.1004)13(-=x y 4.122-+-=x xe y5.bx e y ax sin =(b a ,为常数) 6.3cos 12e ey x x ++= 7.xxy --+=1111 8.x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9.)1lg()1(22x e x y x -++=- 10.)1ln(2x x y ++= 11.xy 1tan 2= 12. 322)13(+=x y13.4)sin(=++xy e y x (求y ') 14.4)sin(=++xy e y x (求y ')答案:1.2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y 2.x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3.99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4.1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5.)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6.x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7.x xx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x x xx y -+-=-'----='--='8.)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9.])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10.])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11.)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12.3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13.4)sin(=++xy e y x解:方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14.(与13同)三、确定下列函数的单调区间: 1.7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增,在]3,1[-内单调递减。

2.)0(82>+=x xx y 函数在]2,0(内单调递减,在),2[+∞内单调递增。

3.xx x y 6941023+-=函数在)0,(-∞、]21,0(、),1[+∞内单调递减,在]1,21[内单调递增。

4.)1ln(2x x y ++=函数在),(+∞-∞内单调递增。

四、求下列函数图形的拐点及凹或凸区间: 1.53523++-=x x x y拐点)2720,35(,在]35,(-∞内是凸的,在),35[+∞内是凹的。

2.)1ln(2+=x y拐点)2ln ,1(-、)2ln ,1(,在]1,(--∞、),1[+∞内是凸的,在]1,1[-内是凹的。

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