相似三角形的综合应用-学生版

知识精要
1、比例线段及性质 (1)比例线段的概念
(2)比例性质：基本性质、更比性质、合比性质、等比性质、比例中项 2、三角形一边的平行线性质定理及其推论
3、相似三角形的判定及性质
(1) 相似三角形的判定方法：预备定理、AA 、SSS 、ASA 、HL 、传递性 (2)相似三角形的性质
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方。

4、三角形相似的基本模型：
(1)平行型：如图，“A”型即公共角对的边平行，“X”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；
常见条件：
①//DE BC ，②::AD AB AE AC =，③AD AC AE AB ⋅=⋅，④ADE B ∠=∠
(2)相交线型：如图，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况
只要配上一对角相等，或夹公共角(或对顶角)的两边成比例，就可以判定两个三角形相似.
常见条件：①AD AB AE AC ⋅=⋅②::AD AC AE AB =③ ADE C ∠=∠ (3)旋转型：
常见条件：已知△BAC ∽△DAE ， 求证：△BAD ∽△CAE. (4)嵌入型：
已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠DAE=45°.找出相似的三角形.
E
A B
C
D
D
C
B A
已知△ABC 是等边三角形，∠DAE=120°.找出相似的三角形.
常见条件：
① 已知∠B=∠C=∠EDF ，找出相似的三角形.
② 已知∠B=∠C=∠EDF ，D 为BC 的中点，找出相似的三角形. (5)一线三等角：
常见条件：B C EDF ∠=∠=∠ (6)子母三角形：(相交线型推广)
常见条件：①
，2AC AD AB =⋅③2
BC BD BA =⋅④2CD AD BD =⋅
F
E
B
C
D
(7)双高型推广：
左图两对相似三角形：ABD △∽△ACE △OCD ∽△OBE 中图六对相似三角形：ABD △∽△ACE ∽△OCD ∽△OBE
右图八对相似三角形：ABD △∽△ACE ∽△OCD ∽△OBE △ADE ∽△ABC △
ODE ∽△
OBC (后两个相似写出证明过程)
常见条件：①ABD ACE ∠=∠，②ADB AEC ∠=∠，③,CE AB BD AC ⊥⊥. 5、常见的三角形面积比
(1)如图一：△ABC 中，若BD ：CD=m ：n ， 则S △ABD ：S △ACD=m ：n
(2)如图二：△ABC 和△BCD 同底，则两个三角形面积之比 等于两个三角形BC 边上的高之比.
(3)蝴蝶定理：在梯形ABCD 中，若AO ：OC=m ：n ，则： 1) S △AOD ：S △COD=S △AOB ：S △BOC=m ：n 2) S △AOD ：S △AOB=S △COD ：S △BOC=m ：n 3)S △COD=S △AOB 4)S △AOD ：S △BOC=2
2
:m n
O
D
C
B
A
例1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点(不与B、C重合)，联结AP，过P点做PE交DC于E，使得∠APE=∠B。

(1)求证：△ABP∽△PCE；
(2)求等腰梯形的腰AB的长；
(3)在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求出BP的长；如果不存在，请说明
理由。

例2.已知：如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE，AD与BE交于点F。

(1)求证：△BDF∽△BEC；
(2)如果AB=12，BD=4，求S△BDF：S△BEC
例3. 如图，已知在△ABC中，D为AC上一点且CD=2AD，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于点E，联结AE。

(1)写出图中所有相等的线段，并加以证明；
(2)图中有无相似三角形？若有，请写出所有的相似三角形并加以证明；若没有，请说明理由；
(3)求△BEC与△BEA的面积之比。

例4：如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，AC=12，AD∥BC，点E在AC边上，∠DEA=∠B，DE的延长线交BC于F。

(1)找出图中的相似三角形，并证明；
(2)求DF的长；
(3)设DE=x，BF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域。

例5 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E在BD的延长线上，BA﹒BD=BC﹒BE。

(1)求证：AE=AD；
(2)如果点F在BD上，CF=CD，求证：BD2=BE﹒BF
例6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一动点，且点P不与A和B重合，过点P作PE⊥AB交AC边(或者CB边)于E点，点E不与点C重合，可将△ABC分割成一个小三角形和一个四边形，若AB=5，AC=4，设AP的长为x，分割的四边形周长为y，求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围。

例7. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是射线CD上一动点，将一把三角尺的直角顶点与点P重合，一条直角边始终经过点B，另一条直角边所在直线与射线AD相交于点E。

设CP=x，DE=y.
(1)当点P在线段CD上时，求证：△BPC∽△PED；
(2)当点P在线段CD的延长线上时，求y与x的函数解析式及自变量x的取值范围；
(3)当DE=1时，求CP的长。

例8. 如图，矩形ABCD中，AD=a，DC=b，在边AB上找一点E，使点E与点C、D的连线将此矩形分割成的三个三角形相似。

问：这样的点E是否存在？如果存在，这样的点E有几个？说明理由；如果不存在，也请说明理由。

例9. 如图，△ABC中，AB=AC。

点B1在边AB上，且△A1B1C∽△ABC，联结AA1.
(1)求证：△A1AC∽△B1BC；
(2)求证：AA1∥BC；
(3)设AB=AC=10，BC=6，BB1=x，AA1=y，求y 关于x的函数关系式，并写出其定义域；
(4)在(3)的条件下，四边形ABCA1能否成为平行四边形？如果能，求出BB1的长；如果不能，请说明
理由。

例10. 如图，△ABC，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，CD⊥AB，垂足为D。

任意作∠EDF=60°，点E、F分别在边AC、BC上，AE=x，BF=y.
(1)求y关于x的函数关系式，并指出它的定义域；
(2)当x为何值时，△BDF是等腰三角形？
巩固练习 一、选择题
1．梯形两底分别为m 、n ，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为( )
(A)
mn n m + (B)n m mn +2 (C)n m mn + (D)mn
n
m 2+ 2．如图，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且
AC AD ＝3
1
，AE ＝BE ，则有( ) (A)△AED ∽△BED
(B)△AED ∽△CBD (C)△AED ∽△ABD
(D)△BAD ∽△BCD
第2题 第3题 第4题 3．如图，∠ABD ＝∠ACD ，图中相似三角形的对数是( )
(A)2
(B)3
(C)4
(D)5
4．如图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是( )
(A)∠APB ＝∠EPC (B)∠APE ＝90° (C)P 是BC 的中点 (D)BP ︰BC ＝2︰3 5．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且有下列条件： (1)∠B ＋∠DAC ＝90°； (2)∠B ＝∠DAC ；(3)
AD CD ＝AB
AC
； (4)AB 2＝BD ·BC ；
其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有( )
(A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个
第5题
第6题
6．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上任意一点，则有( )
(A)△ABE 的周长＋△CDE 的周长＝△BCE 的周长 (B)△ABE 的面积＋△CDE 的面积＝△BCE 的面积 (C)△ABE ∽△DEC (D)△ABE ∽△EBC
7．如图，在□ABCD 中，E 为C D 上一点，DE ︰CE ＝2︰3，连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ︰S △EBF ︰S △ABF 等于( )
(A)4︰10︰25 (B)4︰9︰25 (C)2︰3︰5 (D)2︰5︰25
第7题 第8题 第9题
8．如图，直线a ∥b ，AF ︰FB ＝3︰5，BC ︰CD ＝3︰1，则AE ︰EC 为( )．
(A)5︰12 (B)9︰5 (C)12︰5 (D)3︰2
9．如图，在△ABC 中，M 是AC 边中点，E 是AB 上一点，且AE ＝4
1
AB ，连结EM 并延长，交BC 的延长线于D ，此时BC ︰CD 为( )
(A)2︰1 (B)3︰2 (C)3︰1 (D)5︰2
二、填空题
10. 已知线段a ＝6 cm ，b ＝2 cm ，则a 、b 、a ＋b 的第四比例项是_____cm ，a ＋b 与a －b 的比例中项是_____cm ．
11. 若c b a +＝a c b +＝b c a +＝－m 2，则m ＝______．
第12题 第13题 第14题
12. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝27，D 在AC 上，且BD ＝BC ＝18，DE ∥BC 交AB 于E ，则DE ＝_______．
13．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AB ＝15，AF ＝4，则DE 的长等于________．
14．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝8，BC ＝10，则梯形ABCD 面积是_________．
自我测试
一、填空题
1. 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，四边形DECF 是此三角形的内接正方形，已知5AC =，
3BC =，则:AE DF =_______.
2. 如图，ABC ∆中，EF ∥BC ,AD 交EF 于点G ，若:2:5EG GF =，则:BD DC =_______.
3. 如图，矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，E 是BC 的中点，DF AE ⊥，F 为垂足，则DF
之长为_______.
4. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，MN 是中位线，对角线BD 将梯形分为两部分面积之比
:1:3ABD BCD S S ∆∆=，则S 梯形ADMN :S 梯形BCMN =_______.
5. 如图，已知G 点是ABC ∆的重心，若过G 点分别作边AB 、
AC 的平行线交边BC 于点D 、E 则:GDE ABC S S ∆∆的值是_______.
6. 如图，已知，:1:3AE EB =，AD 与CE 相交于F ，且F 是AD 的
中点，则:BD DC 的值是 _______.
7. 两个相似三角形的面积之比是25:16，周长之差是12cm ，则较小三角形的周长是_______.
8. 如图，AD DF FB ==，AE EG GC ==，则ADE S ∆:S 四边形DEFG :S 四边形FBCG =_______.
二、选择题
1. ABCD 是平行四边形，E 是BC 上一点，AE 交BD 于F ，
若:4:5BE EC =，则:BF FD 为( )
(A)4:5
(B)4:9 (C)5:9 (D)4:10
2. 如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，在下列比例式中，不能
判定DE ∥BC 成立的是( ) (A)AD AE DB EC = (B)DE AE BC AC = (C)AB AC AD AE = (D)DB AB EC AC = 3. 在Rt ABC ∆中，C ∠为直角，CD AB ⊥，D 为垂足，若4AD =，6BD =，则ABC ∆的面积为( )
(A)46 (B)66 (C)106 (D)206
4. 如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则相似三角形有( )
(A)4对 (B)5对 (C)6对 (D)7对
5. 在正三角形ABC 中，P 为BC 边上一点，D 为AC 上一点，且60APD ∠=︒，1BP =，23
CD =
，则ABC ∆的边长为( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 6. 如果两个三角形的两条边对应相等，并且第三边上的高也对应相等，那么这两个三角形( )
(A)面积相等
(B)相似 (C)全等 (D)以上都不对 7. CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，如果1AB =,:4:1AC BC =,则CD =( )
(A)117 (B)217 (C)317 (D)417
三、解答题
1. ABC ∆中，E 为BC 上一点，且BE AB AB BC
=，又AD BC ⊥，D 为垂足，EF AB ⊥，F 为垂足。

求证：AE CD AF AC ⋅=⋅。

2. 如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE CD ⊥，垂足为E ，联结AE 。

F 为AE 上一点，且BFE C ∠=∠。

1) 求证：ABF EAD ∆∆:；
2) 若4AB =，30BAE ∠=︒，求AE 之长；
3) 在1)、2)的条件下，若4AD =，求BF 的长(计算结果可含根号)。

3. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，2AOD S p ∆=，2BOC S q ∆=，试求
梯形ABCD 的面积。

四、分析题
1. 如图，矩形DEFG 内接于ABC ∆，AH BC ⊥，DG 与AH 相交于点K ，48BC =，16AH =。

1) 设AK 的长为x ，矩形DEFG 的周长为C ，面积为S ，分别
求出()C f x =与()S g x =的解析式；
2) 内接矩形DEFG 的长和宽是否都能大于10？如果可能，那么
请说出如何作出这样的矩形。

2. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB BC ⊥，
AD 、BC 的长分别是关于x 的方程
22340x mx m -++=的两根，:1:5ABD BCD S S ∆∆=.
1) 求AD 、BC 的长；
2) 若BD DC ⊥，求BD 的长。