平面向量的综合运用PPT优秀课件
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人教A版数学《平面向量的应用》精品系列-ppt1
6.4平面向量的应用2-山东省枣庄市第 八中学 人教版 高中数 学新教 材必修 第二册 课件( 共33张P PT)
解：不妨设|F1|=|F2| ，由向量的 平行四边形法则，力的平衡以 及直角三角形的知识，可以知道
|G| |F1|=
2cos 2
6.4平面向量的应用2-山东省枣庄市第 八中学 人教版 高中数 学新教 材必修 第二册 课件( 共33张P PT)
当
co
s
2
1 2
,
即θ=120º时， |F1|=|G|
6.4平面向量的应用2-山东省枣庄市第 八中学 人教版 高中数 学新教 材必修 第二册 课件( 共33张P PT)
6.4平面向量的应用2-山东省枣庄市第 八中学 人教版 高中数 学新教 材必修 第二册 课件( 共33张P PT)
探究二：
生活中常遇到两根等长的绳子
OA (0, a), BA (c, a),OC (c,0), BC (2c,0) ．
因为 BB,CC ′都是中线，
所以 BB ' 1 (BC BA) (3c , a ) ，
,
2
22
同理 CC ' ( 3c , a ) ． 22
因为 BB CC ，
所以 9 c2 a 2 0 , a2 9c2 ． 44
人教A版数学《平面向量的应用》精品 系列-p pt1
向量也可以坐标运算，那么本题可以如何建立直角坐标系，设 点的坐标转化为向量的坐标进行运算呢？
解:如图建立平面直角坐标系,设 B(a, 0), D(b, c) ,则 C(a b, c)
AB (a,0), AD (b,c),
AC (a b,c), DB (a b, c)
| AB | a,| AD | b2 c2 , | AC | (a b)2 c2 ,| DB | (a b)2 c2
《平面向量的运算》平面向量及其应用 PPT教学课件 (向量的数量积)
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向量 a 在向量 b 上的投影向量的求法 将已知量代入 a 在 b 方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e 是与 b 方向相同的单位向量， 且 e＝|bb|)中计算即可．
必修第二册·人教数学A版
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2．已知|a|＝4，|b|＝6，a 与 b 的夹角为 60°，则向量 a 在向量 b 上的投影向量是________． 解析：向量 a 在向量 b 上的投影向量是|a|cos 60°|bb|＝4×12×16b＝13b. 答案：13b
我们称上述变换为向量 a 向向量 b 投影 ，A→1B1叫做向量 a 在向量 b 上的 投影向量 ．
必修第二册·人教数学A版
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(2)如图，在平面内任取一点 O，作O→M＝a，O→N＝b，设 与 b 方向相同的单位向量为 e，a 与 b 的夹角为 θ，过点 M 作直线 ON 的垂线，垂足为 M1，则O→M1＝ |a|ecos θ . 特别地，当 θ＝0 时，O→M1＝ |a|e . 当 θ＝π 时，O→M1＝ －|a|e . 当 θ＝π2时，O→M1＝0.
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必修第二册·人教数学A版
⑥cos θ＝|aa|·|bb|.
必修第二册·人教数学A版
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知识点五 平面向量数量积的性质
预习教材，思考问题
根据实数乘法的运算律，类比得出向量数量积的运算律，如下表，这些结果正确吗？
运算律 实数乘法
平面向量数量积
交换律
ab＝ba
a·b＝b·a
结合律
(ab)c＝a(bc)
(a·b)·c＝a·(b·c) (λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)
解析：(2a＋3b)·(3a－2b) ＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2 ＝6|a|2＋5a·b－6|b|2 ＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72 ＝－268.
平面向量的应用PPT教学课件
神经炎, 食欲不振、 消化不良、脚气病
这些食物中含有维生素 C
主要功能是：维持正常 的新陈代谢，维持骨骼、 肌肉和血管的正常生理 作用，增强抵抗力
缺乏症：
坏血病、抵抗 力下降
这些食物中含有哪种维生素？ ∨D
主要功能：促进吸收钙、
磷
和骨骼发育。
缺乏症：
佝偻病（如鸡胸、 X形 或O形腿等）、骨质疏 松症
简记歌谣:
夜盲A 脚气B 坏血C 佝偻D
一 营养物质的作用
糖类 人体的主要能源，构成细胞的重要成分
蛋白质 构成细胞的基本物质，也是生命活动的物质 基础
脂肪 贮存能量
水
细胞的主要成分
无机盐 组成人体的重要成分，参与人体内的代谢活 动
维生素 对于维持人体正常生命活动十分重要
请分析下面的一组插图，每幅插图中的 做法是否正确？并说出道理。
f (ma nb) mf (a) nf (b)
例4 已知 a ( 3, 1),b (1 , 3 ),且存在实数k和t,
使得：x
a (t2
22
3)b,
y
ka
tb,
且 x y, 求：k t 2 的最大值。
解：
t2 3
t 3(t 2 3)
x( 3
, 1
)
2
2
1
3
y ( 3 t, k t)
证明花生中含有能量。本实验是一个定性实验，即通 过燃烧花生豆，能释放大量的热能，热能使试管中的水沸 腾起来，证明花生中含有能量，通过燃烧，有机物中的能 量已热能的形式释放出来，就达到了目的。营养物质在体 内供能和在体外燃烧的最终产物一样，但过程不同。
主 要 的 能 源 物 质
这些食物中含有的主要营养是什么？
这些食物中含有维生素 C
主要功能是：维持正常 的新陈代谢，维持骨骼、 肌肉和血管的正常生理 作用，增强抵抗力
缺乏症：
坏血病、抵抗 力下降
这些食物中含有哪种维生素？ ∨D
主要功能：促进吸收钙、
磷
和骨骼发育。
缺乏症：
佝偻病（如鸡胸、 X形 或O形腿等）、骨质疏 松症
简记歌谣:
夜盲A 脚气B 坏血C 佝偻D
一 营养物质的作用
糖类 人体的主要能源，构成细胞的重要成分
蛋白质 构成细胞的基本物质，也是生命活动的物质 基础
脂肪 贮存能量
水
细胞的主要成分
无机盐 组成人体的重要成分，参与人体内的代谢活 动
维生素 对于维持人体正常生命活动十分重要
请分析下面的一组插图，每幅插图中的 做法是否正确？并说出道理。
f (ma nb) mf (a) nf (b)
例4 已知 a ( 3, 1),b (1 , 3 ),且存在实数k和t,
使得：x
a (t2
22
3)b,
y
ka
tb,
且 x y, 求：k t 2 的最大值。
解：
t2 3
t 3(t 2 3)
x( 3
, 1
)
2
2
1
3
y ( 3 t, k t)
证明花生中含有能量。本实验是一个定性实验，即通 过燃烧花生豆，能释放大量的热能，热能使试管中的水沸 腾起来，证明花生中含有能量，通过燃烧，有机物中的能 量已热能的形式释放出来，就达到了目的。营养物质在体 内供能和在体外燃烧的最终产物一样，但过程不同。
主 要 的 能 源 物 质
这些食物中含有的主要营养是什么？
平面向量及其应用PPT优秀课件
B
解检因得验为：得：xO=Cx－=1－ ,,y1=,5,y2,=，2或．x=1，y=－2．
M． ．
所所以以向向量量OCOC的的坐坐标标为为(-(1-,12,)2．)．
D
AO
x
例6．如图在 ABC中，已知AB=3 ,AC=2 ,D为BC边的中
点，求 AD BC 的值．
A
分析:本题给出的条件仅是AB,AC 长度,因此问题中的两个向量应与
AB AC
(1) BAC的平分线AD上,(2)高线AE上,(3)中线AF
上 ,(4)BC边的垂直平分线上.
解答:设
uuur uAuBur
uuur AB'
uuur , uAuCur
uuuur AC '
AB
AC
B
B′
D
P
uuur uuuur
uuur uuur
则 AB', AC' 是分别与 AB, AC 同向
同所学以们即点还向P可在量以边P选CA与C择上向其.量它A向P量共进线行,且分P拆为.A也C可的以一设个点三A等，分B点，, C，P的所坐以标点,P利在用边坐A标C上运.算对条件进行化简、变形，同学 们不仿试试看.
变式:设动O点是P满平足面:上O u 一uP u r定点O uu,A u rA ,B,C(是u u A u uB u u rr平 面u u A 上u uC u urr不),共线0 的,三则个点点P在,
B
24 22
1u A u D u r21u A u B u r23u A u D u ru A u B u r 4 88
141163 48
同学们不仿试试,仿照上述例题自己编题解答.
例7．如图,平面上有三个向量 OA ,OB ,OC , OA = OB =1,
6.2平面向量的运算课件共40张PPT
故选 B.
→
→
→
→
即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
→
解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
→
→
→
→
[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
→
→
(1)+;
→
→
→
→
→
解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
→
→
(2)++;
→
→
→
→
→
→
解:(2)++=++
→
→
→
=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
→
→
→
[备用例 2] 化简:--.
→
→
→
→
→
→
解:法一 --=-=.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
→
解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
→
→
→
→
[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
→
→
(1)+;
→
→
→
→
→
解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
→
→
(2)++;
→
→
→
→
→
→
解:(2)++=++
→
→
→
=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
→
→
→
[备用例 2] 化简:--.
→
→
→
→
→
→
解:法一 --=-=.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
《平面向量的应用》平面向量及其应用 PPT教学课件 (第二课时正弦定理)
必修第二册·人教数学A版
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同理，过点 C 作与C→B垂直的单位向量 m，可得sinc C＝sinb B. 因此sina A＝sinb B＝sinc C. 在钝角三角形中的这个边角关系也成立．
必修第二册·人教数学A版
知识梳理 正弦定理
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法二：由sina A＝cobs B＝cocs C 得sina A＝cobs B＝cocs C，① 把 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C 代入①， 得 2R＝2Rtan B＝2Rtan C， ∴tan B＝tan C＝1， 又 0°<B<180°，0°<C<180°， ∴B＝C＝45°，A＝90°， ∴△ABC 为等腰直角三角形．
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课前 • 自主探究
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课堂 • 互动探究
课后 • 素养培优
课时 • 跟踪训练
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[教材提炼] 知识点一 正弦定理 预习教材，思考问题 (1)在△ABC 中，若 A＝30°，B＝45°，AC＝4，你还能直接运用余弦定理求出边 BC 吗？
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2．在△ABC 中，A＝45°，B＝30°，a＝10，则 b＝( )
A．5 2
B．10 2
C．10 6
D．5 6
解析：由正弦定理sina A＝sinb B得 b＝assiinnAB＝10s×insi4n5°30°＝5 2.
答案：A
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3．在△ABC 中，若 A＝30°，a＝2，b＝2 3，则此三角形解的个数为( )
《平面向量及其应用——平面向量基本定理及坐标表示》数学教学PPT课件(5篇)
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不 能作为基底的是( )
A．2e1，3e2 C．e1，5e2 答案：B
B．e1＋e2，3e1＋3e2 D．e1，e1＋e2
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
若 AD 是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，则以{a，b}为基
线，C→A与D→C不共线；而D→A∥B→C，O→D∥O→B，故①③可作为基底．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
2．点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是 ()
A.O→A，B→C
B.O→A，C→D
C.A→B，C→F
D.A→B，D→E
解析：选 B.由题图可知，O→A与B→C，A→B与C→F，A→B与D→E共线，不能
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
故B→A＝B→P＋P→A＝B→P－A→P＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2. 而B→A＝B→C＋C→A＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理， 得2λ＋λ＋2μμ＝＝22，，
解得μλ＝＝2323，. 所以A→P＝23A→M，B→P＝23B→N， 所以 AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
1．如图在矩形 ABCD 中，若B→C＝5e1，D→C＝3e2，则O→C＝( )
A.12(5e1＋3e2)
B.12(5e1－3e2)
C.12(3e2－5e1)
D.12(5e2－3e1)
解析：选 A.O→C＝12A→C＝12(B→C＋A→B)
＝12(B→C＋D→C)＝12(5e1＋3e2)．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不 能作为基底的是( )
A．2e1，3e2 C．e1，5e2 答案：B
B．e1＋e2，3e1＋3e2 D．e1，e1＋e2
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
若 AD 是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，则以{a，b}为基
线，C→A与D→C不共线；而D→A∥B→C，O→D∥O→B，故①③可作为基底．
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第六章 平面向量及其应用
2．点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是 ()
A.O→A，B→C
B.O→A，C→D
C.A→B，C→F
D.A→B，D→E
解析：选 B.由题图可知，O→A与B→C，A→B与C→F，A→B与D→E共线，不能
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
故B→A＝B→P＋P→A＝B→P－A→P＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2. 而B→A＝B→C＋C→A＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理， 得2λ＋λ＋2μμ＝＝22，，
解得μλ＝＝2323，. 所以A→P＝23A→M，B→P＝23B→N， 所以 AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
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第六章 平面向量及其应用
1．如图在矩形 ABCD 中，若B→C＝5e1，D→C＝3e2，则O→C＝( )
A.12(5e1＋3e2)
B.12(5e1－3e2)
C.12(3e2－5e1)
D.12(5e2－3e1)
解析：选 A.O→C＝12A→C＝12(B→C＋A→B)
＝12(B→C＋D→C)＝12(5e1＋3e2)．
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《平面向量的运算》平面向量及其应用 PPT教学课件 (向量的加法运算)
必修第二册·人教数学A版
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探究三 向量加法的实际应用
[例 3] 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长
江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为
向东 6 km/h.
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
解析：设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km，从 B 地按 南偏东 55°的方向飞行 800 km， 则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|； 两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C. 依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600 (km)， 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
→ 因为 tan ∠CAB＝|B→C|＝52，所以利用计算工具可得∠CAB≈68°.
|AB| 因此，船实际航行速度的大小约为 16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约ห้องสมุดไป่ตู้ 68°.
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向量加法应用的关键及技巧 (1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的 相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量． (2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题 转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．
必修第二册·人教数学A版
1．如图，已知 a、b，求作 a＋b. 解析： ①A→C＝a＋b ②A→C＝a＋b
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探究二 向量加法的运算律 [例 2] (1)化简下列各式： ①A→B＋B→C＋C→D＋D→A； ②(A→B＋M→B)＋B→O＋O→M. (2)如图，四边形 ABDC 为等腰梯形，AB∥CD，AC＝BD， CD＝2AB，E 为 CD 的中点．试求： ①A→B＋A→E；②A→B＋A→C＋E→C； ③C→D＋A→C＋D→B＋E→C.
平面向量的综合应用PPT教学课件
2
∴ a b a 2a b b 2 a a 3 a
∴ ab 3 a
∴ cos a (a b)
2
a ab
a21 2
2
a
3
a ab a 3 a a 3 a 2
例2.已知 a =（1，2），b =（-3，2），
k为何值时:
(1) k a b 与 a 3b 垂直？
解（：1）k a b=k(1,2)+(-3,2=) (K-
胚胎干细胞应用 （1）治疗人类顽症：
如帕金森综合症、少年糖尿病等。
（2）培育人造组织器官： 解决供体器官不足、免疫排斥等。
（3）研究体外细胞分化。
MⅡ
精细胞
变形
精子
精细胞变形总结：
1.细胞核
精子的头部
2.高尔基体
精子头部的顶体
3.中心体
精子的尾部
4.线粒体
线粒体鞘
5.细胞内其他物质 原生质滴
(球状,最后脱落)
胎
卵原细胞
儿
有丝分裂
卵
时
多个卵原细胞
子 发 生 过
初 情 期
期 完 成
染色体复制
初级卵母细胞
MⅠ
程至
次级卵母细胞 第一极体
生
MⅡ
殖
衰 卵子 第二极体
f (ma nb) (mx1 nx2, 2my1 2ny2 mx1 nx2) mf (a) (mx1, 2my1 mx1) nf (b) (nx2, 2ny2 nx2 )
f (ma nb) mf (a) nf (b)
例4 已知 a ( 3, 1),b (1 , 3 ),且存在实数k和t,
桑椹胚 ：由具有全能性细胞构成，细胞数在32个左右，
新人教版高中数学《平面向量的综合应用》公开课PPT课件
则有 3＋p2＝4，解得 p＝2，所以抛物线 M 的方程为 y2＝4x，F(1,0). 设 Ay420，y0，则O→A＝y420，y0，A→F＝1－y420，－y0，所以O→A·A→F＝y4201－y420
－y20＝－4，解得 y0＝±2.所以点 A 的坐标为(1,2)或(1，－2).
题型一 向量在平面几何中的应用
师生共研
典例 (1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点. 若 A→C·B→E＝1，则AB＝____12____.
解析 在平行四边形ABCD中，取AB的中点F， 则 又∵ B→EA→＝CF＝→DA→，D∴＋BA→→EB＝，F→D＝A→D－21A→B， ∴A→C·B→E＝(A→D＋A→B)·A→D－12A→B ＝A→D2－12A→D·A→B＋A→D·A→B－12A→B2 ＝|A→D|2＋21|A→D||A→B|cos 60°－12|A→B|2
定是菱形.( √ )
(4)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为
2π 3
，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1
＋F2的大小为 19 .( √ ) (5)设定点A(1,2)与动点P(x，y)满足 O→P·O→A ＝4，则点P的轨迹方程是x＋2y
－4＝0.( √ )
(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)， 若动点P满足：O→P＝O→A＋t(A→B＋A→C)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1
∴△ABC 为直角三角形.
3.[P103定义]已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的 大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝___3_0_0___ J.
解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J).
－y20＝－4，解得 y0＝±2.所以点 A 的坐标为(1,2)或(1，－2).
题型一 向量在平面几何中的应用
师生共研
典例 (1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点. 若 A→C·B→E＝1，则AB＝____12____.
解析 在平行四边形ABCD中，取AB的中点F， 则 又∵ B→EA→＝CF＝→DA→，D∴＋BA→→EB＝，F→D＝A→D－21A→B， ∴A→C·B→E＝(A→D＋A→B)·A→D－12A→B ＝A→D2－12A→D·A→B＋A→D·A→B－12A→B2 ＝|A→D|2＋21|A→D||A→B|cos 60°－12|A→B|2
定是菱形.( √ )
(4)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为
2π 3
，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1
＋F2的大小为 19 .( √ ) (5)设定点A(1,2)与动点P(x，y)满足 O→P·O→A ＝4，则点P的轨迹方程是x＋2y
－4＝0.( √ )
(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)， 若动点P满足：O→P＝O→A＋t(A→B＋A→C)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1
∴△ABC 为直角三角形.
3.[P103定义]已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的 大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝___3_0_0___ J.
解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J).
平面向量的综合运用 人教课标版精品公开PPT课件
即
r2 ka
(t3
r2 3t)b
(t
kt 2
r 3k)a
r b
0
，
∴ k
r a
2
(t3
3t)
r b
2
0，
将
r a
2,
r b
1 代入上式，得 4k
t3
3t
0 ，∴k
1 (t3
3t)
，
4
∴ k t2 1 (t2 4t 3) 1 (t 2)2 7 ，
t4
4
4
故k
t t22 t
时1 (，t2 4
变式：试用向量 b ， c 表示 a .
解：⑵∵ a mb nc ，m, n R ，
∴ (3,2) m(1,2) n(4,1)
(m 4n,2m n)
∴
m 4n 2m n
2
3
，
，
解之得
m
5 9
n
8 9
.
一、平面向量的基本运用
例 2 平面内给定三个向量： a (3,2) ， b (1,2) ， c (4,1) .⑶若 (a kc) ∥ (2b a) ，求实数 k；
2
解：⑴∵ f (x) a (a b) a a a b
sin2 x cos2 x sin xcosx cos2 x
1 1 sin 2x 1 (cos2x 1) 3 2 sin(2x ) ，
2
2
22
4
∴ f (x) 的最大值为 3 2 ，最小正周期是 2 ；
22
的转化，从而将问题转化为三角问题，再利用三 角函数的知识来解决的.
巩固练习
设向量 a (sin x,cos x) ， b (cos x,cos x) ， x R ，函
《平面向量的概念》平面向量及其应用PPT
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化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
地理课件：/ke j ia n/dili/
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)
(2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( ×
)
(3)向量的模是一个正实数．(× )
手抄报：/shouchaobao/
P P T课件：/ke j ia n/
语文课件：/kejian/y uwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/
英语课件：/kejian/y ingy u/ 美术课件：/kejian/meishu/
科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
2．向量的有关概念
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《平面向量的概念》平面向量及其应用 PPT教学课件
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知识梳理
名称 大小 方向
零向量 0
任意的
单位向量 1 规定了方向
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知识点五 向量的关系 预习教材，思考问题 (1)向量由其模和方向所确定．对于两个向量 a，b，就其模等与不等，方向同与不同 而言，有哪几种可能情形？
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探究三 相等向量与共线向量 [例 3] 如图，四边形 ABCD 为边长为 3 的正方形，把各边三等分后，共有 16 个交 点，从中选取两个交点作为向量，则与A→C平行且长度为 2 2的向量个数有________ 个．
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[解析] 如图所示，满足与A→C平行且长度为 2 2的向量有A→F，F→A， E→C，C→E，G→H，H→G，→IJ，→JI共 8 个．
[答案] 8
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相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是 同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向 与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终 点的向量． 提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量.
[自主检测] )
B．拉力 D．压强
解析：拉力既有大小又有方向，是向量，其余均是数量．
答案：B
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2．下列说法正确的是( ) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．模为 1 的向量都是相等向量 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
《平面向量的概念》平面向量及其应用PPT课件优秀课件
(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向 量.向量a与b相等，记作a=b. (4)平行向量或共线向量：方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量，也叫做共线向量.向量a平行于b，记作 a∥b.规定零向量平行于任意向量.
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【思考】 (1)0与0相同吗？0是不是没有方向？ 提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且 |0|=0.0有方向，其方向是任意的.
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②字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母a，b， c，…表示向量，手写时，可写成带箭头的小写字 母 a，b，c ….
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(3)向量的模：向量的大小叫做向量的长度或模，如 a，AB 的模分别记做|a|,| AB |.
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提示：向量不仅有大小，而且有方向.大小是代数特征 ，方向是几何特征.看一个量是否为向量，就要看它是 否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可，所以 只描述其中一个方面不可以.
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【思考】 (1)0与0相同吗？0是不是没有方向？ 提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且 |0|=0.0有方向，其方向是任意的.
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②字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母a，b， c，…表示向量，手写时，可写成带箭头的小写字 母 a，b，c ….
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(3)向量的模：向量的大小叫做向量的长度或模，如 a，AB 的模分别记做|a|,| AB |.
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提示：向量不仅有大小，而且有方向.大小是代数特征 ，方向是几何特征.看一个量是否为向量，就要看它是 否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可，所以 只描述其中一个方面不可以.
《平面向量的应用》课件
详细描述
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
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我分们析通：过向横量、a 纵可坐以标用对不应共相线的等向来量建立b ，关于c 线m性、表n的示方，程即组. 平面向量的基本定理，如何计算系数 m ， n 呢？
变式：试用向量 b ， c 表示 a .
解：⑵∵ a mb nc ，m, n R ，
∴ (3,2) m(1,2) n(4,1)
解：⑷∵ d c (x 4, y 1) ， a b (2,4) ，
又∵7r.(向a 量r b垂) 直r(充dr要 c条) 且件|:d c | 1，
∴ ，
a b ab
2( ( x
x 4) 4( y 1) r0 42)2.向 (量y 的1模)2 ： 1a
6.向量平行充要条件:
解ar ：∥⑶br (∵ar (a0r )kcbr) ∥ (a2r b ax1)，y2 x2 y1 0 . 且 a kc (3 4k,2 k) ，2b a (5,2) ，
∴ (3 4k) 2 (5) (2 k) 0
0解之得arx21xyx2 14 yx1215y55225或y01xy2.
4 1
25 5 5 5
.
∴ d (4 2 5 ,1 5 ) 或 d (4 2 5 ,1 5 ) .
一、平面向量的基本运用 二、平面向量与三角知识的综合 三、平面向量与函数知识的综合 四、平面向量与解析几何知识的综合 五、向量与平面几何知识的综合
知识回顾
平面向量基本定理：
若 e1, e2 是同一平面内两个不共线的向量，则对于 平面内的任一向量 a 有且只有一对实数 1, 2 ，使
rr r
a 1e1 2e2 .
同学们,当老师提问或请同学们 练习时，你可以按播放器上的 暂停键思考或练习，然后再点 击播放键.
平面向量的综合运用
主讲 镇江市第二中学 孟炎 审稿 镇江市教研室 黄厚忠
向量是一种既有大小又有方向的 量，既具形的特点，又有数的特性， 是联系数与形的有力纽带。平面向量 知识作为工具性知识广泛地应用于三 角、函数、解析几何、平面几何等方 面的问题中。
rr rr
4.向量的数量积：a b a b cos x1x2 y1y2
知识回顾
r
r
设向量 a (x1, y1) ， b (x2, y2) ，它们的夹角为 ,
rr
5.向量的夹角: cos ar br
x1x2 y1y2
ab
x12 y12 x22 y22
知识回顾
r
r
设向量 a (x1, y1) ， b (x2, y2) ，它们的夹角为 ,
1. 两向量相等的充要条件：
ab a
r 2.向量的模： a
b,
r 且方向相同；或 a
r2 a
x12 y12
r b
x1 y1
x2 , y2.
rr
3.向量的加减法： a b (x1 x2, y1 y2 )
∵ a kc (3 4k,2 k) ， 2b a (5,2)
∴
(3
4k,2
k)
(5,2)
，∴
3 2
4k 5 k 2
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
消去 ，得 6 8k 10 5k 0 ， ∴ k 16 . 13
一、平面向量的基本运用
例 2 平面内给定三个向量：a (3,2) ，b (1,2) ，c (4,1) . ⑷设 d (x, y) 满足 (a b) (d c) 且 d c 1 ，求 d .
(m 4n,2m n)
∴
m 4n 2m n
2
3
，
，
解之得
m
5 9
n
8 9
.
一、平面向量的基本运用
例 2 平面内给定三个向量： a (3,2) ， b (1,2) ， c (4,1) .⑶若 (a kc) ∥ (2b a) ，求实数 k；
，
∴k
16
.
13
一、平面向量的基本运用
例 2 平面内给定三个向量： a (3,2) ， b (1,2) ， c (4,1) .⑶若 (a kc) ∥ (2b a) ，求实数 k；
解：∵ (a kc) ∥ (2b a) ，设 a kc (2b a) ，
量的方向.
⑤若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c .
其中，正确命题的序号是____②__③_____.
一、平面向量的基本运用
例 2 平面内给定三个向量： a (3,2) ， b (1,2) ， c (4,1) .回答下列问题：
⑴求 3a b 2c ； ⑵求满足 a mb nc 的实数 m 和 n ；
①若 a b ，则 a b ； B
C
解决本题的
②若 A、B、C、D 是不共线的四点，则 AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；
关键是平面 向量相等的 概念，既要
③若 a b,b c ，则 a c ；
考虑大小即 向量的长度，
④ a b 的充要条件是 a b 且 a ∥ b ； 又要考虑向
分析： 第⑴小题是进行向量的线性运算，即加法、减 法和数乘运算.
解： ⑴依题意，得
3a b 2c = 3(3,2) + (1,2) 2(4,1) (0,6) .
一、平面向量的基本运用
例 2 平面内给定三个向量： a (3,2) ， b (1,2) ，
c (4,1) .⑵求满足 a mb nc 的实数 m 和 n ；
6.向量平行充要条件:
r rr r r r
a ∥ b(a 0) b a x1 y2 x2 y1 0 .
7.向量垂直充要条件:
r r rr a b a b 0 x1x2 y1 y2 0 .
一、平面向量的基本运用
例 1 给出下列命题：
A
D
【本题小结】
变式：试用向量 b ， c 表示 a .
解：⑵∵ a mb nc ，m, n R ，
∴ (3,2) m(1,2) n(4,1)
解：⑷∵ d c (x 4, y 1) ， a b (2,4) ，
又∵7r.(向a 量r b垂) 直r(充dr要 c条) 且件|:d c | 1，
∴ ，
a b ab
2( ( x
x 4) 4( y 1) r0 42)2.向 (量y 的1模)2 ： 1a
6.向量平行充要条件:
解ar ：∥⑶br (∵ar (a0r )kcbr) ∥ (a2r b ax1)，y2 x2 y1 0 . 且 a kc (3 4k,2 k) ，2b a (5,2) ，
∴ (3 4k) 2 (5) (2 k) 0
0解之得arx21xyx2 14 yx1215y55225或y01xy2.
4 1
25 5 5 5
.
∴ d (4 2 5 ,1 5 ) 或 d (4 2 5 ,1 5 ) .
一、平面向量的基本运用 二、平面向量与三角知识的综合 三、平面向量与函数知识的综合 四、平面向量与解析几何知识的综合 五、向量与平面几何知识的综合
知识回顾
平面向量基本定理：
若 e1, e2 是同一平面内两个不共线的向量，则对于 平面内的任一向量 a 有且只有一对实数 1, 2 ，使
rr r
a 1e1 2e2 .
同学们,当老师提问或请同学们 练习时，你可以按播放器上的 暂停键思考或练习，然后再点 击播放键.
平面向量的综合运用
主讲 镇江市第二中学 孟炎 审稿 镇江市教研室 黄厚忠
向量是一种既有大小又有方向的 量，既具形的特点，又有数的特性， 是联系数与形的有力纽带。平面向量 知识作为工具性知识广泛地应用于三 角、函数、解析几何、平面几何等方 面的问题中。
rr rr
4.向量的数量积：a b a b cos x1x2 y1y2
知识回顾
r
r
设向量 a (x1, y1) ， b (x2, y2) ，它们的夹角为 ,
rr
5.向量的夹角: cos ar br
x1x2 y1y2
ab
x12 y12 x22 y22
知识回顾
r
r
设向量 a (x1, y1) ， b (x2, y2) ，它们的夹角为 ,
1. 两向量相等的充要条件：
ab a
r 2.向量的模： a
b,
r 且方向相同；或 a
r2 a
x12 y12
r b
x1 y1
x2 , y2.
rr
3.向量的加减法： a b (x1 x2, y1 y2 )
∵ a kc (3 4k,2 k) ， 2b a (5,2)
∴
(3
4k,2
k)
(5,2)
，∴
3 2
4k 5 k 2
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
消去 ，得 6 8k 10 5k 0 ， ∴ k 16 . 13
一、平面向量的基本运用
例 2 平面内给定三个向量：a (3,2) ，b (1,2) ，c (4,1) . ⑷设 d (x, y) 满足 (a b) (d c) 且 d c 1 ，求 d .
(m 4n,2m n)
∴
m 4n 2m n
2
3
，
，
解之得
m
5 9
n
8 9
.
一、平面向量的基本运用
例 2 平面内给定三个向量： a (3,2) ， b (1,2) ， c (4,1) .⑶若 (a kc) ∥ (2b a) ，求实数 k；
，
∴k
16
.
13
一、平面向量的基本运用
例 2 平面内给定三个向量： a (3,2) ， b (1,2) ， c (4,1) .⑶若 (a kc) ∥ (2b a) ，求实数 k；
解：∵ (a kc) ∥ (2b a) ，设 a kc (2b a) ，
量的方向.
⑤若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c .
其中，正确命题的序号是____②__③_____.
一、平面向量的基本运用
例 2 平面内给定三个向量： a (3,2) ， b (1,2) ， c (4,1) .回答下列问题：
⑴求 3a b 2c ； ⑵求满足 a mb nc 的实数 m 和 n ；
①若 a b ，则 a b ； B
C
解决本题的
②若 A、B、C、D 是不共线的四点，则 AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；
关键是平面 向量相等的 概念，既要
③若 a b,b c ，则 a c ；
考虑大小即 向量的长度，
④ a b 的充要条件是 a b 且 a ∥ b ； 又要考虑向
分析： 第⑴小题是进行向量的线性运算，即加法、减 法和数乘运算.
解： ⑴依题意，得
3a b 2c = 3(3,2) + (1,2) 2(4,1) (0,6) .
一、平面向量的基本运用
例 2 平面内给定三个向量： a (3,2) ， b (1,2) ，
c (4,1) .⑵求满足 a mb nc 的实数 m 和 n ；
6.向量平行充要条件:
r rr r r r
a ∥ b(a 0) b a x1 y2 x2 y1 0 .
7.向量垂直充要条件:
r r rr a b a b 0 x1x2 y1 y2 0 .
一、平面向量的基本运用
例 1 给出下列命题：
A
D
【本题小结】