微积分下册知识点

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微积分下册主要知识点,DOC

一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注:以上几例所使用的均为三角代换,三角代换的目的是化掉根式,其一般规律如下:当被积函数中含有a),22x a -可令;sin t a x =b),22a x +可令;tan t a x = c),22a x -可令.sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时,常采用倒代换tx 1=.四、积分表续 4.3分部积分法⎰性质3⎰⎰⎰+=bccab adx x f dx x f dx x f )()()(.性质4.1a b dx dx ba ba -==⋅⎰⎰性质5若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤则,)()(⎰⎰≤ba ba dx x g dx x f ).(b a < 推论1若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则,0)(≥⎰ba dx x f ).(b a < 推论2).(|)(|)(b a dxx f dx x f bab a<≤⎰⎰性质6(估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则性质7(定积分中值定理)如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ,使5.3微积分的基本公式（2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(.(4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似.但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(txϕ=把变量x换成新变量t时,积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出)(ϕ'的一个原函数)(tΦ后,不必象计算不定积分那fϕt([t)]样再把)(tΦ变换成原变量x的函数,而只要把新变量t的上、下限分别代入)(tΦ然后相减就行了.⎰变量，并确定它的变化区间],[b a，任取],[b a的一个区间微元]x+，,[dxx求出相应于这个区间微元上部分量U∆的近似值，即求出所求总量U 的微元(=；dU)dxxf(2)由微元写出积分根据dx=写出表示总量U的定积分dU)(fx微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1)所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性，即如果把区间],[b a 分成许旋转体的体积微元,)]([2dx x f dV π= 所求旋转体的体积.)]([2⎰=ba dx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元,dV=Ax)(dx所求立体的体积.)(⎰=b a dxAVx5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介一、空间直角坐标系方程0yxF的),,(=z F称为曲面S的方程,而曲面S就称为方程0 z),,(=xy图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1)已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;(2)已知曲面方程，研究曲面的几何形状.平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面.可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示，反之亦然.其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数.方程(1.3)称q p z 22+=同号与q p 双曲抛物面z qy p x =+-2222(p 与q 同号)单叶双曲面1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念x {00A y x f y y x x =→→),(lim 0.或A y x f →),(（),(),(00y x y x →）也记作A P f P P =→)(lim 0或A P f →)()(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述.为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数,在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数,若在D上取得两个不同的函数值,则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义,当y 固定(（1）对一元函数而言，导数dxdy可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商.但偏导数的记号xu∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续.但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.例如，二元函数在点)0,0(的偏导数为但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.表示当价格为p 、消费者收入为y 时,Q 对于p 的变化率.称为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理，yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率.而表示当价格p 、消费者收入为y 时,Q 对于y 的变化率.称为需求Q 对收入y 的偏弹性. 五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c y cx y x p a a 且，区域D 内连续,则在该区域内有yx zx y z ∂∂∂=∂∂∂22. 6.4全微分一、微分的定义定义1如果函数),(y x f z =在点),(y x 的全增量可以表示为),(ρo y B x A z +∆+∆=∆(4.2)其中A ,B 不依赖于y x ∆∆,而仅与x ,y 有关,,)()(22y x ∆+∆=ρ则称函数),(y x f z =在点),(y x 可微分,y B x A ∆+∆称为函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分,记为,dz 即函数沿各个方向的变化情况.但如果对偏导数再加些条件，就可以保证函数的可微性.一般地，我们有：定理2(充分条件)如果函数),(y x f z =的偏导数yzx z ∂∂∂∂,在点),(y x 连续,则函数在该点处可微分. 三、微分的计算习惯上，常将自变量的增量x ∆、y ∆分别记为dx 、dy ，并分别称为自变量的微分.这样，函数),(y x f z =的全微分就表为.dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=(4.5) 上述关于二元函数全微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元及三元以上的多元函数中去.例如，三元函数),,(z y x f u =1．复合函数的中间变量为一元函数的情形设函数),(v u f z =,)(t u u =,)(t v v =构成复合函数)](),([t v t u f z =.dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂=（5.1）公式(5.1)中的导数dtdz称为全导数.2、复合函数的中间变量为多元函数的情形设),,(v u f z =),,(y x u u =),(y x v v =构成复合函数)],,(),,([y x v y x u f z =,xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂(5.3) ,yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂(5.4) 3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形定理3如果函数),(y x u u =在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数,函数v v 根据复合函数求导的链式法则，可得到重要的全微分形式不变性.以二元函数为例，设),(v u f z =,),(),,(y x v v y x u u ==是可微函数，则由全微分定义和链式法则，有由此可见，尽管现在的u 、v 是中间变量，但全微分dz 与x 、y 是自变量时的表达式在形式上完全一致.这个性质称为全微分形式不变性.适当应用这个性质，会收到很好的效果. 三、隐函数微分法在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程000续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =,它满足条件),(000y x f z =,并有.,zy zx F F y zF Fx z -=∂∂-=∂∂(5.14) 6.6多元函数的极值及求法一、二元函数极值的概念定义1设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义,对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x ,如果则称函数在),(00y x 有极大值；如果则称函数在),(00y x 有极小值;极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.(根据定理1与定理2，如果函数),(y x f 具有二阶连续偏导数，则求),(y x f z =的极值的一般步骤为：第一步解方程组,0),(,0),(==y x f y x f y x 求出),(y x f 的所有驻点；第二步求出函数),(y x f 的二阶偏导数，依次确定各驻点处A 、B 、C 的值，并根据2B AC -的符号判定驻点是否为极值点.最后求出函数f在极值点处的极值.)x,(y二、二元函数的最大值与最小值求函数),(y x f的最大值和最小值的一般步骤为:（1）求函数),(y x f在D内所有驻点处的函数值;（2）求),(y x f在D的边界上的最大值和最小值;设二元函数),(y x f和),(y xϕ在区域D内有一阶连续偏导数，则求ϕ的极值问题，可以转化为求拉格朗日,)xy(=f),(yz=在D内满足条件0x函数（其中λ为某一常数）的无条件极值问题.于是，求函数),(y x fϕ的极值的拉格朗日乘数法yx,(=z=在条件0)的基本步骤为：(1)构造拉格朗日函数其中λ为某一常数;(2)由方程组解出λ,,y x ,其中x ,y 就是所求条件极值的可能的极值点.如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零时,这和式的极限存在,则称此极限为函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分,记为,),(⎰⎰Dd y x f σ即⎰⎰Dd y x f σ),(∑=→∆=ni i i i f 1),(lim σηξλ(7.2)其中),(y x f 称为被积函数,σd y x f ),(称为被积表达式,σd 称为面积微元,x 和y 称为积分变量,D 称为积分区域,并称∑=∆ni i i i f 1),(σηξ为积分和.对二重积分定义的说明:(1)如果二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(存在，则称函数),(y x f 在区域D 上是可积的.可以证明，如果函数),(y x f 区域D 上连续，则),(y x f 在区域D 上是可积的.今后，我们总假定被积函数),(y x f 在积分区域D 上是连续6.8在直角坐标系下二重积分的计算一、区域分类-X 型区域：)}()(,|),{(21x y x b x a y x ϕϕ≤≤≤≤.其中函数)(),(21x x ϕϕ在区间],[b a 上连续.这种区域的特点是：穿过区域且平行于y 轴的直线与区域的边界相交不多于两个交点.-Y 型区域：)}()(,|),{(21y x y d y c y x ψψ≤≤≤≤.其中函数)(),(21x x ψψ在区间],[d c 上连续.这种区域的特点是：穿过区域且平行于x 轴的直线与区域的边界相交不多于两个交点.二、二重积分的计算假定积分区域D 为如下-X 型区域:（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D 的积分限（3）写出结果四、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算利用被积函数的奇偶性及积分区域D 的对称性，常会大大化简二重积分的计算.在例5中我们就应用了对称性来解决所给的问题.如同在处理关于原点对称的区间上的奇（偶）函数的定积分一样，在利用这一方法时，要同时兼顾到被积函数),(y x f的奇偶性和积分区域D 的对称性两方面.为应用方便，我们总结如下：1.如果积分区域D关于y轴对称，则。

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vduuvudv (3.1)
vdxuuvdxvu (3.2)
(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被
(其中m, n都是正整数).
arctanarccosarcsin)(lncossincossin等mxxmxxmxxxxexmxemxemxxmxxnnnnmxnnxnxnn
:
已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;
已知曲面方程，研究曲面的几何形状.
. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次
DCzByAx
(1.3)
. 其中A、B、C、D是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.
2 平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲
定积分的概念
定积分的性质
(a) 当ba时, ;0)(b
dxxf (b) 当ba时, abbadxxfdxxf)()(.
1
)()()]()([b
babadxxgdxxfdxxgxf
2 ,)()(b
badxxfkdxxkf (k为常数).
3 b
cabadxxfdxxfdxxf)()()(.
1 设函数)(xf在闭区间],[ba上连续,函数)(tx满足条件：
1）,)(,)(ba 且bta)(；
2）)(t在],[(或],[)上具有连续导数,则有
ttfdxxfb
)()]([)(. (4.1)
(4.1)称为定积分的换元公式.
. 但是,在应用定积分的换元公式时应
1）用)(tx把变量x换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且
),(),(lim00000,
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微积分下册pdf微积分下册是一门数学学科，也是数学学习中重要的基础课程。

它包括微积分中，多变量函数及其应用，椭圆偏微分方程，矢量分析及其应用，空间计算几何，积分的定义和算法，级数，常微分方程，张量与高维空间，无穷维常微分方程，近似法以及泛函分析等内容。

一、多变量函数及其应用1.一般性多变量函数的性质：不同地址上的极大值和极小值，一阶偏导数，拉格朗日考虑，函数极值的最优性条件等。

2.函数的求导及其应用：一阶偏导数、二阶偏导数、向量偏导数、多元函数求导规则、梯度、直线法则等。

3.极值与曲线积分：反函数、不定积分、向量积分规则、曲线积分计算等。

二、椭圆偏微分方程1.椭圆偏微分方程的定义及性质：偏微分方程的结构、Laplace方程；正定性的比较；可分解的性质；椭圆型微分方程的独特性质色等。

2.椭圆型偏微分方程的解法：积分圆；椭圆型偏微分方程的变量变换；受限椭圆型偏微分方程的重构；水平矩系数偏微分方程的对称性质；Fourier级数法；Sturm-Liouville理论等。

三、矢量分析及其应用1.矢量的基本概念及性质：极限、具有可数维的完备性质等；向量空间及库伦理论：向量空间、基、内积、正交性质等；向量的极限、逆变换等。

2.向量的微分运算：曲线极限；导数；拉格朗日积分等；散度；矢量分析重要定理及其证明。

四、空间计算几何1.坐标系统：极坐标系；笛卡尔坐标系；向量形式；变换矩阵等。

2.向量场：曲线及其上的向量场；曲面及其上的向量场；角加速度等。

3.曲线及其曲率：曲线及其参数方程；曲线的曲率多种表示；曲线上点的切线；曲线的总曲率及局部曲率等。

五、积分的定义和算法1.一元积分：直线积分；函数积分规则；非线性变换；积分公式；定积分；广义、高斯积分及其变换等。

2.多元积分：多元函数的积分规则；多元函数的积分公式；多元积分的变换等。

六、级数1.级数概念及性质：无穷级数及其基本概念；收敛性、算术性质等；偏积分；收敛性定理；剧烈变动条件等。

微积分下册主要知识点(中大南方学院)

a
x
定理若函数 f ( x) 在区间 [a , b] 上连续,则函数
Φ ( x) =
∫
x
a
f (t)dt
就是 f ( x) 在 [a , b] 上的一个原函数. .(1),(2) ）（指导书 P172 D3 D3. —莱布尼兹公式牛顿牛顿— 定理若函数 F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间 [a , b] 上的一个原函数,则
无穷限的广义积分一、一、无穷限的广义积分
∫ ∫
+∞
a b
∞ f ( x)dx = F (x ) |+ a = F ( +∞) − F ( a)
−∞ +∞
f ( x)dx = F (x ) |b − ∞ = F ( b) − F ( −∞)
∞ f ( x)dx = F (x ) |+ − ∞ = F ( +∞) − F (−∞)
换元公式
u = ax + b u = xµ u = ln x u = ex u = ax u = sin x u = cos x u = tan x u = cot x
x x x x 第 4.. ∫ f (e ) ⋅ e dx = ∫ f (e )de
一换
5.∫ f (a x ) ⋅ a x dx =
∫ ∫
b
a b
f ( x)dx =
∫
c
a
f (x )dx +
∫ f ( x )dx .
c b b
b
a
1 ⋅ dx = dx = b − a.
a
∫
b
性质 5 若在区间 [a , b ]上有 f ( x) ≤ g (x ), 则 ∫ f ( x )dx ≤ ∫ g (x )dx,

微积分总结(下册)

微积分（B II)总结chapter 8 多元函数微分学8。

1 多元函数的极限先看极限是否存在（一个方向组（y=kx）或两个方向趋近于极限点（给定方向必须当x满足极限过程时,y也满足极限过程））。

如果存在，能先求的先求，能用等价无穷小替换的就替换,最后考虑夹逼准则。

8.2 偏导数点导数定义（多用于分段函数的分界点）例：求，就是求分段函数的点偏导数在连续，但偏导数不一定存在（如:锥)8.3 全微分函数可微，则偏导数必存在(逆否命题可证明函数不可微,证明时，把右边前两项移到左边，看它是不是的高阶无穷小）例:对于某一点处的全微分，也可能要用到点导数.8.4多元复合函数求导8.4。

1链式求导法则链式求导法则要求函数对每个中间变量求偏导，乘以中间变量对自变量求偏导。

而所谓函数对第一中间变量求偏导就是说另外把两个中间变量看做不变.小心：中间变量要带入,例：(在计算z对u的偏导时，相当于把v,t看做不变）这里的u,v要带入（第三行），并且z是具体的函数，所以在对中间变量求偏导数时，偏导数可以求出来8。

4.2隐函数求偏导全微分性质的不变性例：①用全微分形式的不变性两边同时取全微分,相当于（-xy）为中间变量，求出全微分后，直接出偏导②想象z=z(x，y）即z是复合函数，两边对x,y求导也能的出来（较慢）8。

5 隐函数求导公式8。

5.1 一个方程分母上的做函数，分子上的做一个自变量，对分子上的求偏导如：若求偏x，那就把方程看成z=z（x，y）对z求导.注意，x,yy独立，然而z对x，y求导不是08.5。

2 方程组观察方程组，4个变量，两个等式，那么说有两个自由变量。

让求,就是把方程组看成u=u(x，y）,v=v（x,y)，上下对y求导.（把分母上的变量看做函数）8。

6空间曲线的几何应用8。

6。

1空间曲线的切线与法平面特殊地，无论方程如何给出，弄出对x或对t的导数十分关键.注意，在某点处的切线方程在看方向向量时要把那个点带入8。

微积分总结(下册)

微积分（B II)总结chapter 8 多元函数微分学8。

1 多元函数的极限先看极限是否存在（一个方向组（y=kx）或两个方向趋近于极限点（给定方向必须当x满足极限过程时,y也满足极限过程））。

如果存在，能先求的先求，能用等价无穷小替换的就替换,最后考虑夹逼准则。

1链式求导法则链式求导法则要求函数对每个中间变量求偏导，乘以中间变量对自变量求偏导。

5 隐函数求导公式8。

2 方程组观察方程组，4个变量，两个等式，那么说有两个自由变量。

让求,就是把方程组看成u=u(x，y）,v=v（x,y)，上下对y求导.（把分母上的变量看做函数）8。

6空间曲线的几何应用8。

6。

1空间曲线的切线与法平面特殊地，无论方程如何给出，弄出对x或对t的导数十分关键.注意，在某点处的切线方程在看方向向量时要把那个点带入8。

微积分下册复习要点（共5篇）

微积分下册复习要点（共5篇）第一篇：微积分下册复习要点微积分下册复习要点第七章多元函数微分学1．了解分段函数在分界点连续的判别；2．掌握偏导数的计算（特别是抽象函数的二阶偏导数）必考3．掌握隐函数求导（曲面的切平面和法线），及方程组求导（曲线的切线和法平面方程）必考。

4．方向导数的计算，特别是梯度，散度，旋度的计算公式；必考。

5．可微的定义，分段函数的连续性及可微性，偏导数及偏导数的连续性。

6．多元函数的极值和最值：无条件极值和条件极值（拉格朗日乘数法），实际问题的最值。

必考。

第八章重积分1．二重积分交换积分次序；必考。

2．利用合适的坐标系计算（特别是极坐标）3．三重积分中三种坐标系的合理使用（直角坐标系，柱坐标系，球坐标系）在使用时特别注意“先二后一法”的运用。

必考。

4．重积分的应用中曲面面积、重心、转动惯量、引力的公式，曲面面积为重点。

第九章曲线曲面积分1．第一、二类曲线积分的计算公式（特别是参数方程）；2．第一、二类曲面积分的计算公式（常考第一类曲面积分，第二类曲面积分一般用高斯公式）3．三个公式的正确使用（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）必考。

可以参考期中考试卷中最后三个题。

4．格林公式中有“奇点”的使用条件及积分与路径无关的条件（可能和全微分方程结合）必考。

第10章级数1．数项级数的敛散性的判别：定义，收敛的必要条件，比较判别法及极限形式，比值判别法，根值判别法，莱布尼兹判别法，条件收敛和绝对收敛的概念。

2．幂级数的收敛域及和函数的计算。

（利用逐项求导和逐项积分）必考。

3．将函数展成幂级数。

（一般利用间接法）必考。

4．将函数展成傅里叶级数，系数的计算公式；狄利克雷收敛定理；几个词的理解（周期延拓、奇延拓、偶延拓、变量替换）第11章常微分方程1．各种一阶微分方程的计算：可分离变量、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程。

2．可降阶的微分方程三种形式，特别注意不显含x 这种情形。

大一微积分下期期末知识点

大一微积分下期期末知识点微积分是数学的一个重要分支，对于大一学生而言，学习微积分是非常重要的一门课程。

下面我将为大家总结一下大一微积分下学期期末考试的知识点，希望能够帮助大家复习和备考。

一、函数与极限1. 函数的定义与性质- 函数的定义及表示法- 常见函数的性质：奇偶性、周期性、单调性、有界性等2. 极限的定义与性质- 极限的定义与极限存在的条件- 极限的性质：唯一性、局部有界性等- 极限运算法则：四则运算、复合函数、有理函数等3. 极限的计算- 基本初等函数的极限计算- 无穷大与无穷小的概念与计算- 极限存在的判定方法：夹逼准则、单调有界准则等二、导数与微分1. 导数的概念与性质- 导数的定义与几何意义- 导数与函数的连续性、可导性的关系- 常见函数的导数公式与性质2. 导数的计算- 基本初等函数的导数计算- 导数的四则运算法则与复合函数求导法则- 高阶导数的定义与计算3. 微分的概念与性质- 微分的定义与几何意义- 微分的计算与近似计算三、微分中值定理与应用1. 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理- 罗尔中值定理的条件与结论- 拉格朗日中值定理的条件与结论2. 泰勒公式与应用- 泰勒公式的定义与表述- 泰勒公式的应用：函数近似、极值、曲线拟合等3. 函数的单调性与曲线的凹凸性- 函数单调性的判定方法- 函数曲线的凹凸性与拐点的判定方法四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质- 不定积分的定义与几何意义- 基本积分表与常见公式2. 不定积分的计算方法- 基本积分法与换元积分法- 分部积分法与有理函数积分法3. 定积分的概念与性质- 定积分的定义与几何意义- 定积分的性质：线性性、区间可加性等4. 定积分的计算- 几何应用：面积、体积、弧长等- 基本积分表与常见公式的应用五、微分方程与其应用1. 微分方程的基本概念与分类- 微分方程的定义与基本概念- 一阶微分方程与高阶微分方程的分类2. 一阶微分方程的求解- 可分离变量方程的求解- 齐次方程的求解- 一阶线性微分方程的求解3. 高阶微分方程的求解- 常系数齐次线性微分方程的求解- 非齐次线性微分方程的求解：待定系数法、常数变易法等4. 微分方程的应用- 物理问题中的微分方程建模- 生物问题中的微分方程建模以上就是大一微积分下学期期末考试的知识点总结。

微积分下册主要知识点汇总

一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.二、常用凑微分公式三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下:当被积函数中含有a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c),22a x - 可令 .sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换tx 1=.四、积分表续 4.3分部积分法xu x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx xx f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx xx f x d x f dx x x f a b ax d b axf a dx b ax f xx xx x x xx x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμ分部积分公式： ⎰⎰-=vdu uv udv (3.1)⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数)..arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n5.1定积分的概念 5.2定积分的性质两点补充规定：(a) 当b a =时, ;0)(=⎰badx x f (b) 当b a >时,⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f性质2 ,)()(⎰⎰=baba dx x f k dx x kf (k 为常数).性质3⎰⎰⎰+=bccab a dx x f dx x f dx x f )()()(.性质4 .1a b dx dx baba-==⋅⎰⎰性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰≤babadx x g dx x f ).(b a <推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰badx x f ).(b a <推论2).(|)(|)(b a dxx f dx x f baba<≤⎰⎰性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使).(),)(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ5.3微积分的基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数：⎰=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数.三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰. (3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.5.4定积分的换元法积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件：（1）,)(,)(b a ==βϕαϕ 且b t a ≤≤)(ϕ；（2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(. (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了. 二、定积分的分部积分法⎰baudv ⎰-=ba b a vdu uv ][ 或⎰'badx v u ⎰'-=ba b a dx u v uv ][5.5广义积分一、无穷限的广义积分)()(|)()(a F F x F dx x f a a-+∞==∞++∞⎰)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰F b F x F dx x f b b)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞∞-⎰F F x F dx x f二、无界函数的广义积分⎰⎰++→=ba ba dx x f dx x f εε)(lim )(0.)(lim)(0⎰⎰-+→=εεb aba dx x f dx x f5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U （总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ，任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +，求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值，即求出所求总量U 的微元 dx x f dU )(=；(2) 由微元写出积分根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分⎰⎰==bab adx x f dU U )(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性，即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ∆之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量U ∆的近似表达式dx x f )(，即使得U dU dx x f ∆≈=)(. 在通常情况下，要检验dx x f U )(-∆是否为dx 的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性. 二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 θθd r dA 2)]([21=所求曲边扇形的面积 .)]([212θθϕβαd A ⎰=三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)]([2dx x f dV π= 所求旋转体的体积 .)]([2⎰=badx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dx x A dV = 所求立体的体积 .)(⎰=badx x A V5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴，依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz （图6-1-1）. 空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F ，而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状. 平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示，反之亦然. 其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1.4)椭圆抛物面 q y p x z 2222+=（同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 00.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →）也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界. 定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z xf xz x y y x x xy y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如，有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000.类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记为).,(,,00000000y x f z yfy z y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之. 二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数dxdy可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.例如，二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x yx xyy x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆xx f x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆y yf y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =，)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点，过点0M 作平面0y y =，截此曲面得一条曲线，其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理，偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入. 记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆易见，pQ p ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而pQ p Qp p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称Qp p Q pp Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理，yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而yQ y Q y y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称 Qy y Q yy Q Q E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对收入y 的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c ycx y x p aa且，其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。

微积分下册知识点

曲為 viZk#微积分下册知识点第一章空间解析几何与向量代数 (一)向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设a (a x ，a y ,a z )，b (b x ,b y ,b z )，则 a b (a xb x ,a y b y , a z b z ), a ( a *, a $, a z )；5、向量的模、方向角、投影：1) 向量的模：「| 后—y 2—?；2) 两点间的距离公式：AB \」；(X 2 xj 2(y 2 y i )2(Z 2 zj 23)方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,2 2 2cos cos cos 1(二)数量积，向量积 1、数量积： a b la b cos1)a a a22)a4) 方向余弦:COSx 一，cosry, cos r5)投影：Prj u a a cos ，其中为向量a 与u 的夹角肅為viZmf-a b a x b x a y b y a z b z2、向量积：cab大小：|a||b sin ，方向：a ,b , c符合右手规则1) a a02) a// b a b0■ i■ j ka b a x a y a zb x b y b z运算律：反交换律b a a b(三)曲面及其方程1、曲面方程的概念：S:f(x,y,z) 02、旋转曲面：yoz 面上曲线C : f (y, z) 0，2 2绕y轴旋转一周：f (y, x z ) 0/ 2 2-绕z轴旋转一周：f( \ X y , z) 03、柱面：F(x,y) F (x, y) 0表示母线平行于z轴，准线为z 0 4、二次曲面(不考)0的柱面2x0 01）椭圆锥面：—2a2y b 2z 22）椭球面: 2x 2 a 2y b 2旋转椭球面: 2x ~2 a2y 2 a 2z 2 c 3) 单叶双曲面:2 x2 a y b 22 z 2c 4) 双叶双曲面:2 x2a2y b 22 z 2c5) 椭圆抛物面:2y b 2 6) 双曲抛物面（马鞍面）2x ~2 a7) 椭圆柱面:2x a 2 2y b 2 8) 双曲柱面:9) 抛物柱面:2 x2a 2x2y b 2（四）空间曲线及其方程1、ayF (x, y,z) 般方程：G(x,y,z)曲為 viZk#x x(t)x a cos t 2、参数方程：yy（t ），如螺旋线：y a sin tz z(t) zbt3、空间曲线在坐标面上的投影H （x,y ） 00 '消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影z 0（五）平面及其方程x截距式方程：aAx 0 By 。

微积分下知识点总结

微积分下知识点总结微积分下知识点总结引导语：微积分是很多人都掌握不太好的一门课，那么临近考试，有哪些下册的微积分的知识点呢？接下来是小编为你带来收集整理的文微积分下知识点总结，欢迎阅读！A．Function函数（1）函数的定义和性质（定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等）（2）幂函数（一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数）（3）指数和对数（指数和对数的公式运算以及函数性质）（4）三角函数和反三角函数（运算公式和函数性质）（5）复合函数，反函数*（6）参数函数，极坐标函数，分段函数（7）函数图像平移和变换B．Limit and Continuity极限和连续（1）极限的定义和左右极限（2）极限的运算法则和有理函数求极限（3）两个重要的极限（4）极限的应用-求渐近线（5）连续的定义（6）三类不连续点（移点、跳点和无穷点）（7）最值定理、介值定理和零值定理C．Derivative导数（1）导数的定义、几何意义和单侧导数（2）极限、连续和可导的关系（3）导数的求导法则（共21个）（4）复合函数求导（5）高阶导数（6）隐函数求导数和高阶导数（7）反函数求导数*（8）参数函数求导数和极坐标求导数D．Application of Derivative导数的应用（1）微分中值定理（D-MVT）（2）几何应用-切线和法线和相对变化率（3）物理应用-求速度和加速度（一维和二维运动）（4）求极值、最值，函数的增减性和凹凸性*（5）洛比达法则求极限（6）微分和线性估计，四种估计求近似值（7）欧拉法则求近似值E．Indefinite Integral不定积分（1）不定积分和导数的关系（2）不定积分的公式（18个）（3）U换元法求不定积分*（4）分部积分法求不定积分*（5）待定系数法求不定积分F．Definite Integral 定积分（1）Riemann Sum（左、右、中和梯形）和定积分的定义和几何意义（2）牛顿-莱布尼茨公式和定积分的性质*（3）Accumulation function求导数*（4）反常函数求积分H．Application of Integral定积分的'应用（1）积分中值定理（I-MVT）（2）定积分求面积、极坐标求面积（3）定积分求体积，横截面体积（4）求弧长（5）定积分的物理应用I．Differential Equation微分方程（1）可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程（2）斜率场*J．Infinite Series无穷级数（1）无穷级数的定义和数列的级数（2）三个审敛法-比值、积分、比较审敛法（3）四种级数-调和级数、几何级数、P级数和交错级数（4）函数的级数-幂级数（收敛半径）、泰勒级数和麦克劳林级数（5）级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差注意：（1）问答题主要考察知识点的综合运用，一般每道问答题都有3-4问，可能同时涵盖导数、积分或者微分方程的内容，解出的答案一般都是保留3位小数。

微积分总结(下册)

微积分总结（下册）微积分总结chapter 8 多元函数微分学多元函数的极限先看极限是否存在）。

如果存在，能先求的先求，能用等价无穷小替换的就替换，最后考虑夹逼准则。

偏导数点导数定义fx(x,y)=limDx?0f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)Dxfx(x0+Dx,y0)-fx(x0,y0)Dxfxx(x0,y0)=lim例：求Dx?0f(x,y)=xy,fx(0,0),就是求分段函数的点偏导数 f(x,y)在(x0,y0)连续，但偏导数不一定存在全微分函数可微，则偏导数必存在zzDz=Dx+Dy+o(r)xyzzdz=dx+dyxy 例：对于某一点处的全微分，也可能要用到点导数。

多元复合函数求导链式求导法则z(x,y)=f(u(x,y),v(x,y))?z?f?u?f?v=+?x?u?x?v?x链式求导法则要求函数对每个中间变量求偏导，乘以中间变量对自变量求偏导。

而所谓函数对第一中间变量求偏导就是说另外把两个中间变量看做不变。

小心：中间变量要带入，例：这里的u,v要带入，并且z是具体的函数，所以在对中间变量求偏导数时，偏导数可以求出来隐函数求偏导全微分性质的不变性例：①用全微分形式的不变性两边同时取全微分，相当于为中间变量，求出全微分后，直接出偏导②想象z=z(x,y)即z是复合函数，两边对x,y求导也能的出来隐函数求导公式一个方程dyFxF(x,y)=0=>=-dxFyFy?zFx?zF(x,y,z)=0=>=-,=-?xFz?yFz分母上的做函数，分子上的做一个自变量，对分子上的求偏导如：若求偏x，那就把方程看成z=z(x,y)对z求导。

注意，x,yy独立，然而z对x，y求导不是0方程组F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0u观察方程组，4个变量，两个等式，那么说有两个自变量。

让求?y,就是把方程组看成u=u(x,y),v=v(x,y), 上下对y求导。

空间曲线的几何应用空间曲线的切线与法平面{x't,y't,z't}特殊地，{1,y'x,z'x}无论方程如何给出，弄出对x或对t的导数十分关键。

微积分(下册)主要知识点汇总

微积分(下册)主要知识点汇总一、第一换元积分法（凑微分法）：对于形如$\int g[\phi(x)]\phi'(x)dx$的积分，可以令$u=\phi(x)$，则$du=\phi'(x)dx$，将原式转化为$\int g(u)du$的形式，然后进行积分，最后再将$u$用$\phi(x)$表示回去，即可得到结果$\int g[\phi(x)]\phi'(x)dx=F[\phi(x)]+C$。

二、常用凑微分公式：1.积分类型换元公式：int x^\mu(x^\mu-1)f(x)dx=\int x^\mu d(x^{\mu-1})$$当$\mu\neq 1$时成立。

int x^3f(\ln x)dx=\int x^3d(\ln x)=\int x^3\frac{1}{x}dx$$int e^xf(e^x)dx=\int e^xd(e^x)=e^xf(e^x)$$int_a^b f(x)dx=\int_{\ln a}^{\ln b}f(e^t)e^tdt$$当$a,b>0$时成立。

int \frac{f(\sin x)\cos x}{\sqrt{1-\sin^2 x}}dx=\int f(\sin x)d(\cos x)$$int \frac{f(\cos x)\sin x}{\sqrt{1-\cos^2 x}}dx=-\int f(\cos x)d(\sin x)$$int \frac{f(\tan x)}{\cos^2 x}dx=\int f(\tan x)d(\tan x)$$int \frac{f(\cot x)}{\sin^2 x}dx=-\int f(\cot x)d(\cot x)$$int f(\arctan x)\frac{1}{1+x^2}dx=\int f(t)dt$$int f(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\int f(t)dt$$三、第二换元法：对于形如$\int f(x)dx=\intf[\psi(t)]\psi'(t)dt=F(t)+C=F[\phi(x)]+C$的积分，可以令$\psi(t)=x$，则$\psi'(t)dt=dx$，将原式转化为$\intf[\psi(t)]\psi'(t)dt$的形式，然后进行积分，最后再将$t$用$\phi(x)$表示回去，即可得到结果。

微积分下册主要知识点

一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ、二、常用凑微分公式三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的就是化掉根式, 其一般规律如下:当被积函数中含有a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c),22a x - 可令 .sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换tx 1=、四、积分表续 4、3分部积分法分部积分公式:xu x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx xx f x d x f dx xx f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx xx f x d x f dx x x f a b ax d b axf a dx b ax f xx xx x x xx x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμ⎰⎰-=vdu uv udv (3、1)⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3、2)分部积分法实质上就就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算、一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都就是正整数)、.arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n5、1定积分的概念 5、2定积分的性质两点补充规定:(a) 当b a =时, ;0)(=⎰badx x f (b) 当b a >时,⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(、性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f性质2 ,)()(⎰⎰=baba dx x f k dx x kf (k 为常数)、性质3⎰⎰⎰+=bccaba dx x f dx x f dx x f )()()(、性质4 .1a b dx dx baba-==⋅⎰⎰性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰≤babadx x g dx x f ).(b a <推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰badx x f ).(b a <推论2).(|)(|)(b a dxx f dx x f baba<≤⎰⎰性质6 (估值定理)设M 及m 分别就是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使).(),)(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ5、3微积分的基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数:⎰=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数、三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 就是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰、 (3、6)公式(3、4)称为牛顿—莱布尼茨公式、 5、4定积分的换元法积分法与分部积分法一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件: (1),)(,)(b a ==βϕαϕ 且b t a ≤≤)(ϕ;(2))(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(、 (4、1)公式(4、1)称为定积分的换元公式、定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似、但就是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点:(1)用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限;(2) 求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了、二、定积分的分部积分法⎰baudv ⎰-=ba b a vdu uv ][ 或⎰'badx v u ⎰'-=ba b a dx u v uv ][5、5广义积分一、无穷限的广义积分)()(|)()(a F F x F dx x f a a-+∞==∞++∞⎰)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰F b F x F dx x f b b)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞∞-⎰F F x F dx x f二、无界函数的广义积分⎰⎰++→=ba ba dx x f dx x f εε)(lim )(0.)(lim)(0⎰⎰-+→=εεb aba dx x f dx x f5、6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题,一般总可按“分割、求与、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式、可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U (总量)表示为定积分的方法——微元法,这个方法的主要步骤如下:(1) 由分割写出微元根据具体问题,选取一个积分变量,例如x 为积分变量,并确定它的变化区间],[b a ,任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +,求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值,即求出所求总量U 的微元dx x f dU )(=;(2) 由微元写出积分根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分⎰⎰==bab adx x f dU U )(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用,本节与下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用、应用微元法解决实际问题时,应注意如下两点:(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性,即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ∆之与、这一要求就是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键就是正确给出部分量U ∆的近似表达式dx x f )(,即使得U dU dx x f ∆≈=)(、在通常情况下,要检验dx x f U )(-∆就是否为dx 的高阶无穷小并非易事,因此,在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性、二、平面图形的面积(1)直角坐标系下平面图形的面积 (2)极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 θθd r dA 2)]([21=所求曲边扇形的面积 .)]([212θθϕβαd A ⎰=三、旋转体:由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体、这条直线称为旋转轴、旋转体的体积微元 ,)]([2dx x f dV π= 所求旋转体的体积 .)]([2⎰=ba dx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积:如果一个立体不就是旋转体,但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积,那么,这个立体的体积也可用定积分来计算、体积微元 ,)(dx x A dV = 所求立体的体积 .)(⎰=badx x A V5、7积分在经济分析的应用6、1空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中,我们建立了平面直角坐标系,并通过平面直角坐标系,把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来、同样,为了把空间的任一点与有序数组对应起来,我们来建立空间直角坐标系、过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴, 依次记为x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴),统称为坐标轴、它们构成一个空间直角坐标系Oxyz (图6-1-1)、空间直角坐标系有右手系与左手系两种、我们通常采用右手系、二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中,如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F ,而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程,则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题就是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件,建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程,研究曲面的几何形状、平面平面就是空间中最简单而且最重要的曲面、可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1、3)来表示,反之亦然、其中A 、B 、C 、D 就是不全为零常数、方程(1、3)称为平面的一般方程、柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面、这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线、二次曲面在空间直角坐标系中,我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面,从而得到平面与曲面一系列的交线(即截痕),通过综合分析这些截痕的形状与性质来认识曲面形状的全貌、这种研究曲面的方法称为平面截割法,简称为截痕法、椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1、4)椭圆抛物面 q y p x z 2222+=(同号与q p ) 双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号) 单叶双曲面 1222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6、2多元函数的基本概念一、平面区域的概念:内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念定义1 设D 就是平面上的一个非空点集,如果对于D 内的任一点),(y x ,按照某种法则f ,都有唯一确定的实数z 与之对应,则称f 就是D 上的二元函数,它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ,即),(y x f z =,其中x ,y 称为自变量, z 称为因变量、点集D 称为该函数的定义域,数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域、类似地,可定义三元及三元以上函数、当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数、二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义,如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时,函数),(y x f 无限趋于一个常数A ,则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限、记为A y x f y y x x =→→),(lim 00、或 A y x f →),( (),(),(00y x y x →) 也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质与运算法则,在此不再详述、为了区别于一元函数的极限,我们称二元函数的极限为二重极限、四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义,如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续、如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续,则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断、与一元函数类似,二元连续函数经过四则运算与复合运算后仍为二元连续函数、由x 与y 的基本初等函数经过有限次的四则运算与复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数、一切二元初等函数在其定义区域内就是连续的、这里定义区域就是指包含在定义域内的区域或闭区域、利用这个结论,当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时,只要算出函数在该点的函数值即可、特别地,在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理、下面我们不加证明地列出这些定理、定理1(最大值与最小值定理) 在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值与最小值各一次、定理2(有界性定理)在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界、定理3(介值定理)在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次、 6、3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z xf xz x y y x x xy y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如,有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000、类似地,函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记为).,(,,00000000y x f z yfy z y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明,在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量瞧作常数,然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之、二、关于多元函数的偏导数,补充以下几点说明:(1)对一元函数而言,导数dxdy可瞧作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商、但偏导数的记号xu∂∂就是一个整体、 (2)与一元函数类似,对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求、(3)在一元函数微分学中,我们知道,如果函数在某点存在导数,则它在该点必定连续、但对多元函数而言,即使函数的各个偏导数存在,也不能保证函数在该点连续、例如,二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆y yf y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续、三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =,)),(,,(00000y x f y x M 就是该曲面上一点,过点0M 作平面0y y =,截此曲面得一条曲线,其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率(图6-3-1)、同理,偏导数),(00y x f y 就就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率、四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入、记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆与 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆易见,pQ p ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率、而pQ p Qp p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率、称Qp p Q pp Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对价格p 的偏弹性、同理,yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率、而yQ y Qy y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率、称 Qy y Q yy Q Q E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对收入y 的偏弹性、五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型就是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c ycx y x p aa且,其中p 就是由x 个人力单位与y 个资本单位生产处的产品数量(资本就是机器、场地、生产工具与其它用品的成本)。

微积分下册主要知识点doc资料

微积分下册主要知识点一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.二、常用凑微分公式三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x =xu x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx xx f x d x f dx xx f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx xx f x d x f dx x x f a b ax d b axf a dx b ax f xx xx x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμc) ,22a x - 可令 .sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换tx 1=. 四、积分表续 4.3分部积分法分部积分公式：⎰⎰-=vdu uv udv (3.1) ⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数)..arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n5.1定积分的概念 5.2定积分的性质两点补充规定：(a) 当b a =时, ;0)(=⎰b adx x f (b) 当b a >时,⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f性质2 ,)()(⎰⎰=bab adx x f k dx x kf (k 为常数).性质3 ⎰⎰⎰+=bcc ab adx x f dx x f dx x f )()()(.性质4 .1a b dx dx bab a-==⋅⎰⎰性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰≤bab adx x g dx x f ).(b a <推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰badx x f ).(b a <推论2 ).(|)(|)(b a dx x f dx x f bab a<≤⎰⎰性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使).(),)(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ5.3微积分的基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数：⎰=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数. 三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰. (3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式. 5.4定积分的换元法积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件：（1）,)(,)(b a ==βϕαϕ且b t a ≤≤)(ϕ；（2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(. (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了.二、定积分的分部积分法 ⎰ba udv⎰-=bab a vdu uv ][ 或 ⎰'badx v u ⎰'-=ba b a dx u v uv ][5.5广义积分一、无穷限的广义积分)()(|)()(a F F x F dx x f a a-+∞==∞++∞⎰)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰F b F x F dx x f b b)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞∞-⎰F F x F dx x f 二、无界函数的广义积分⎰⎰++→=ba ba dx x f dx x f εε)(lim )(0.)(lim)(0⎰⎰-+→=εεb aba dx x f dx x f5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U （总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ，任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +，求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值，即求出所求总量U 的微元 dx x f dU )(=；(2) 由微元写出积分根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分⎰⎰==babadx x f dU U )(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用. 应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性，即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ∆之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量U ∆的近似表达式dx x f )(，即使得U dU dx x f ∆≈=)(. 在通常情况下，要检验dx x f U )(-∆是否为dx 的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性.二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 θθd r dA 2)]([21=所求曲边扇形的面积 .)]([212θθϕβαd A ⎰=三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)]([2dx x f dV π= 所求旋转体的体积 .)]([2⎰=ba dx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dx x A dV = 所求立体的体积 .)(⎰=ba dx x A V5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴，依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz （图6-1-1）.空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F ，而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状. 平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示，反之亦然. 其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1.4)椭圆抛物面 qy p x z 2222+=（同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号) 单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 0.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →）也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界. 定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+ 如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z x fx zx y y x x x y y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如，有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim 00000. 类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000, 记为 ).,(,,00000000y x f z y f y z y y y x x y y y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之.二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数dx dy 可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu ∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.例如，二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim )0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim )0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆y y f y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =，)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点，过点0M 作平面0y y =，截此曲面得一条曲线，其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理，偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入. 记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆ 易见，p Qp ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而pQ p Q p p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称 Q p p Q p p Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim0 为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理，y Qy ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而 yQ y Q y y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称 Q y y Q y y QQ E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim 0为需求Q 对收入y 的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c y cx y x p a a 且，其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。

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微积分下册知识点第一章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =ρ，),,(z y x b b b b =ρ，则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±ρρ, ),,(z y x a a a a λλλλ=ρ；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：222z y x r ++=ρ；2）两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4）方向余弦：rz r y r x ρρρ===γβαcos ,cos ,cos 5）投影：ϕcos Pr a a j uρρρ=，其中ϕ为向量a ρ与u ρ的夹角。

（二）数量积，向量积1、数量积：θcos b a b a ρρρρ=⋅1）2a a a ρρρ=⋅2）⇔⊥b a ρρ0=⋅b a ρρ2、向量积：b a c ρρρ⨯=大小：θsin b a ρρ，方向：c b a ρρρ,,符合右手规则1）0ρρ=⨯a a2）b a ρρ//⇔0ρρρ=⨯b a运算律：反交换律 b a a b ρρρρ⨯-=⨯（三）曲面及其方程 1、曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面4、二次曲面（不考）1）椭圆锥面：22222z by a x =+2）椭球面：1222222=++c zb y a x旋转椭球面：1222222=++cz a y a x3）单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x4）双叶双曲面：1222222=--cz b y a x5）椭圆抛物面：z bya x =+22226）双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22227）椭圆柱面：12222=+b y a x8）双曲柱面：12222=-bya x9）抛物柱面：ay x =2 （四）空间曲线及其方程1、一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos3、空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x H（五）平面及其方程1、点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =ρ，过点),,(000z y x2、一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ，4、点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：（六）空间直线及其方程1、一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A2、对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =ρ，过点),,(000z y x3、参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、两直线的夹角：),,(1111p n m s =ρ，),,(2222p n m s =ρ，5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，第二章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

2、多元函数：),(y x f z =，图形：3、极限：A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00 4、连续：),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→5、偏导数：6、方向导数：βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角。

7、梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x ρρ),(),(),(000000+=。

8、全微分：设),(y x f z =，则d d d z zz x y x y∂∂=+∂∂ （二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法1）定义： u x2）复合函数求导：链式法则 z若(,),(,),(,)zf u v u u x y v v x y ===，则v yz z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用 1、极值1）无条件极值：求函数),(y x f z =的极值解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令 ),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，① 若02>-B AC ，0>A ，函数有极小值，若02>-B AC ，0<A ，函数有极大值； ② 若02<-B AC ，函数没有极值； ③ 若02=-B AC ，不定。

2）条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=——— Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(00y x L L y x ϕ2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ，则Γ上一点),,(000z y x M （对应参数为0t ）处的切线方程为：)()()(00000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2）曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ，则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第三章重积分（一）二重积分（一般换元法不考） 1、定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k kDf y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、性质：（6条）3、几何意义：曲顶柱体的体积。

4、计算： 1）直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ，2）极坐标（二）三重积分 1、定义： ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、性质：3、计算： 1）直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z z z y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,( -------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bay x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,( -------------“先二后一” 2）柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ，(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3）球面坐标（三）应用曲面D y x y x f zS ∈=),(,),(:的面积：第五章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分 1、定义：1(,)d lim (,)ni i i Li f x y s f s λξη→==⋅∆∑⎰2、性质： 1） [(,)(,)]d (,)d (,)d .LLLf x y x y s f x y sg x y s αβαβ+=+⎰⎰⎰2）12(,)d (,)d (,)d .LL Lf x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰ ).(21L L L +=3）在L 上，若),(),(y x g y x f ≤，则(,)d (,)d .L L f x y s g x y s ≤⎰⎰4）l s L=⎰d ( l 为曲线弧 L 的长度)3、计算：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为)(),(),(βαψϕ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则（二）对坐标的曲线积分1、定义：设 L 为xoy 面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数),(y x P ，),(y x Q 在 L 上有界，定义∑⎰=→∆=nk k k k L x P x y x P 1),(lim d ),(ηξλ， ∑⎰=→∆=nk k k kLy Q y y x Q 1),(lim d ),(ηξλ.向量形式：⎰⎰+=⋅LLy y x Q x y x P F d ),(d ),(d ρ2、性质：用-L 表示L 的反向弧 , 则⎰⎰⋅-=⋅-LLr y x F r y x F d ),(d ),(ρρ3、计算：设),(,),(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则4、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ：，L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,，)()()(cos 22t t t ψϕϕα'+''=，)()()(cos 22t t t ψϕψβ'+''=，则d d (cos cos )d LLP x Q y P Q s αβ+=+⎰⎰.（三）格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数),(,),(y x Q y x P 在D 上具有连续一阶偏导数, 则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d2、G 为一个单连通区域，函数),(,),(y x Q y x P 在G 上具有连续一阶偏导数，则y Px Q ∂∂=∂∂ ⇔曲线积分 d d LP x Q y +⎰在G 内与路径无关 ⇔曲线积分d d 0LP x Q y +=⎰Ñ⇔ y y x Q x y x P d ),(d ),(+在G 内为某一个函数),(y x u 的全微分（四）对面积的曲面积分1、定义：设∑为光滑曲面，函数),,(z y x f 是定义在∑上的一个有界函数，定义 i i i i ni S f S z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑),,(lim d ),,(10ζηξλ 2、计算：———“一投二换三代入”),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，则（五）对坐标的曲面积分1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、定义：设∑为有向光滑曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数，定义01(,,)d d lim (,,)()n i i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰ 同理，01(,,)d d lim (,,)()n i i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰ 3、性质：1）21∑+∑=∑，则2）-∑表示与∑取相反侧的有向曲面 , 则d d d d R x y R x y -∑∑=-⎰⎰⎰⎰ 4、计算：——“一投二代三定号”),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数，),,(z y x R 在∑上连续，则(,,)d d [,,(,)]d d x y D R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰,∑为上侧取“ + ”， ∑为下侧取“ - ”.5、两类曲面积分之间的关系：其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角。