实际问题工程问题教案
七年级数学上册《工程问题》教案、教学设计
4.通过课后实践作业，让学生将所学知识运用到实际生活中，提高学生的动手操作能力和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的热情，增强学生学习数学的自信心。
2.培养学生面对问题时，勇于挑战、积极思考的良好品质，提高学生解决问题的耐心和毅力。
2.解决工程问题时，学生容易忽视约束条件，导致解题偏差。
3.学生在运用方程解决工程问题时，对等量关系的把握不够准确。
（教学设想）
1.针对教学重点，设计具有实际情境的问题，引导学生发现数量关系，建立数学模型。
-通过生活中的实例，如家庭装修、农田灌溉等，让学生体验工程问题的实际背景，激发学生探究的兴趣。
2.选做题：
-探究题：选择一个实际工程问题，如家庭装修预算分配、农田灌溉方案设计等，进行深入探究，要求学生结合实际情况，提出解决问题的方案，并在方案中体现数学模型和计算过程。
-拓展题：研究不同工程问题中的数量关系和解决方法，总结规律，撰写一篇关于工程问题解决策略的小论文。
作业要求：
1.学生在完成作业时，应认真思考，独立完成，尽量避免抄袭现象。
-鼓励学生将所学知识应用到生活中，提高学生的数学应用能力。
5.教学评价多样化，关注学生的全面发展。
-采用课堂提问、课后作业、小组讨论等多种评价方式，全面了解学生的学习情况。
-注重过程性评价，关注学生在解决问题过程中的思维方法和策略，培养学生的自主学习能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：通过一个生活中的实例，如学校组织的一次植树活动，向学生展示工程问题的实际背景。提出问题：“如果我们需要在一个上午完成100棵树的种植任务，现有30名学生，每个学生平均种植多少棵树才能完成任务？如果种植速度不同，又将如何分配任务？”
初中数学教学课例《实际问题与一元一次方程(2)——工程问题》教学设计及总结反思
为实现本节课的教学内容，我事先了解了学生在小
学阶段掌握本知识的情况，然后根据学生的基础参差不
课例研究综 齐的实际，设计了由浅入深的内容，在构建高效课堂的
述
背景下，为更好实现育人目标，教师要尽量避免满堂灌，
多采用自主探究、小组合作等方式真正体学生的主体地
位，让学生的能力得到全面地发展。
6 小时完成．甲先单独做 6 小时，余下的乙单独做，那
么乙还要多少小时完成？
3.整理一块地，一个人做需要 80 小时完成.现在一
些人先做了 2 小时后，有 4 人因故离开，剩下的人又做
Hale Waihona Puke 了 4 小时完成了这项工作的，假设这些人的工作效率相
同，求一开始安排的人数。设开始安排 x 人，列方程得
_____________________________
初中数学教学课例《实际问题与一元一次方程（2）——工 程问题》教学设计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《实际问题与一元一次方程（2）——工程问题》
称
本节课的内容是实际问题与一元一次方程（2）——
工程问题,其教学重点是寻找等量关系，准确列出方程， 教材分析
教学难点是准确把握工程问题中的各种数量关系，正确
元一次方程解决工程问题却是大多数学生的难点。
通过采用由浅入深、由熟悉到陌生的层层递进的内 教学策略选
容设计，降低学生理解和接受的难度，再采用小组合作 择与设计
探究的形式，从而实现课堂有效甚至高效
教学过程
第一步：交流预习
环节一：教师提问 1.工程问题中的基本量及其关系: 2.通常设完成全部工作的总工作量为__ 3.一项工作，甲用 a 小时完成，则甲的工作效率是. 若这项工作乙用 b 小时完成，则乙的工作效率是. 4.如果一项工作分几个阶段完成,那么各阶段工作 量的和=,这是工程问题列方程的依据. 环节二：师友释疑 1.一项工作甲独做 5 天完成，乙独做 10 天完成， 那么甲每天的工作效率是，乙每天的工作效率是，两人 合作 1 天完成的工作量是，两人合作 3 天完成的工作量 是 2、一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 12 小时完成。 （1）两人合作 32 小时完成对吗？为什么？ （2）甲每小时完成全部工作的；甲 x 小时完成全 部工作的；乙每小时完成全部工作的；乙 x 小时完成全 部工作的 3.判断(打“√”或“×”) (1)一件工作，某人 5 小时单独完成，其工作效率 为() (2)一项工程，甲单独做 4 小时能完成，乙单独做
人教版七年级上册3.4实际问题与一元一次方程-产品配套问题和工程问题(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元一次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
6.总结回顾环节，学生对本节课的知识点掌握情况较好。但在课后，我还需要关注学生的复习情况，及时解答他们在学习过程中遇到的疑问。
（2）工程问题：
-难点：如何根据题目中的条件找出工程总量、工作效率和时间之间的关系。
-举例：在上述例子中，需要引导学生理解甲、乙两个部分的工作效率以及合作完成工程的时间，进而得出方程。
Байду номын сангаас（3）一元一次方程的解：
-难点：理解方程解的实际意义，如何将解代入原问题检验。
-举例：在解决问题过程中，引导学生将方程解代入原问题，验证解的正确性和实际意义。
1.数学抽象：通过分析实际问题，培养学生将现实问题转化为数学模型的能力，提高数学抽象思维。
2.逻辑推理：在解决产品配套和工程问题的过程中，引导学生运用逻辑推理，分析问题，找到解决问题的方法。
3.数学建模：使学生掌握一元一次方程在实际问题中的应用，培养数学建模能力。
4.数学运算：培养学生准确、熟练地进行一元一次方程运算，提高数学运算能力。
人教版七年级上册3.4实际问题与一元一次方程-产品配套问题和工程问题（教案）
一、教学内容
人教版七年级上册3.4节“实际问题与一元一次方程”中的产品配套问题和工程问题是本节课程的核心内容。主要包括以下两部分：
1.产品配套问题：结合实际生活中的例子，引导学生理解什么是产品配套问题，掌握运用一元一次方程解决此类问题的方法。例如，某工厂生产两种产品，要求确定两种产品的生产数量，以满足市场需求。
人教版数学七年级下册8.3实际问题与二元一次方程组—工程问题优秀教学案例
3.创设开放性问题情景，鼓励学生从不同角度思考问题，培养他们的发散性思维和创新意识。
4.注重情景的动态变化，引导学生适应不同情境下的数学问题，提高他们解决实际问题的能力。
（二）问题导向
1.教师将引导学生从情景中发现问题、提出问题，培养学生的问题意识。
2.小组成员共同探讨问题，分工合作，共同完成二元一次方程组的建立和求解。
3.鼓励小组成员相互交流、讨论，分享解题思路和经验，提高团队的整体解题能力。
4.教师在小组合作过程中，适时给予指导和评价，引导小组内部反思和总结，促进团队合作能力的提升。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结二元一次方程组的建立与求解方法，提高自我监控能力。
2.引导学生树立正确的价值观，认识到数学知识的学习不仅仅是为了应付考试，更是为了解决实际问题，服务于社会。
3.培养学生的责任感，让他们明白解决实际问题需要严谨、细心的态度，激发他们为国家和民族的繁荣富强而努力学习的决心。
4.通过解决工程问题，让学生体会团队合作的力量，培养他们的集体荣誉感，增强集体凝聚力。
4.让学生通过解决实际问题，培养他们的逻辑思维能力和运算能力，提高数学素养。
（二）过程与方法
1.采用情境教学，引入生活中的工程问题，引导学生从实际情境中发现问题、提出问题，培养他们的观察能力和问题意识。
2.通过小组合作、讨论交流等方式，让学生在探索解决问题的过程中，学会倾听、表达、沟通和协作，培养团队合作精神。
人教版数学七年级下册8.3实际问题与二元一次方程组—工程问题优秀教学案例
一、案例背景
工程问题教案
工程问题教案教案题目：处理工程问题教学目标：1. 学生能够识别和分析工程问题；2. 学生能够找到适当的解决方案来解决工程问题；3. 学生能够运用解决问题的方法来解决实际工程问题。
教学准备：1. PowerPoint幻灯片；2. 工程问题案例；3. 班级讨论小组。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生思考，并提出问题：“你们在生活中遇到过什么工程问题？”2. 让学生分享自己的经历，并引导他们思考如何解决这些问题。
二、识别工程问题（10分钟）1. 介绍工程问题的特点和常见类型，如设计错误、施工问题、工程质量问题等。
2. 展示一些工程问题案例，让学生分析问题所在，并提出自己的见解。
三、分析工程问题（15分钟）1. 让学生分组讨论并分析一个给定的工程问题案例。
2. 引导学生思考问题产生的原因、影响以及可能的解决方案。
3. 每个小组向全班汇报他们的发现和解决方案。
四、解决工程问题（15分钟）1. 教授一些常见的解决问题的方法，如问问题、分析问题根源、制定解决方案等。
2. 让学生应用这些方法，找到解决方案来解决他们小组讨论的工程问题。
五、讨论解决方案（10分钟）1. 让学生分享他们找到的解决方案，并分析每个方案的优缺点。
2. 引导学生思考如何选择最佳的解决方案，并讨论如何实施这些方案。
六、应用实践（10分钟）1. 提供一些实际的工程问题，让学生运用所学的方法和思路来解决这些问题。
2. 学生分组讨论并提出他们的解决方案。
3. 每个小组向全班汇报他们的发现和解决方案。
七、总结（5分钟）1. 引导学生回顾本节课学到的知识和技能。
2. 鼓励学生在以后的工程实践中运用所学的方法来解决问题。
教学反思：通过本节课的学习，学生能够对工程问题有一个更深的了解，并学会了如何识别、分析和解决这些问题。
通过实际案例的讨论和分析，学生能够加深对知识的理解，并培养解决问题的能力。
通过学生的讨论和思考，学生们能够在团队中进行合作和交流，提高解决问题的能力。
《工程问题》教案
《工程问题》教案教学内容：工程问题教学目标：1. 能够理解和分析基于实际工程问题的数学问题；2. 能够通过列方程式、解方程组，解决实际工程问题。
3. 能够运用数学知识解决工程中的实际问题，培养学生实际解决问题的能力。
教学准备：1. 数学课本；2. 紫园等数学辅导材料；3. 班级中的物理学科教材。
教学过程：一、导入新课（3分钟）教师提问：“我们平时所生活的社会中，哪些地方需要用到数学知识？”学生回答，“商场、超市、银行、买车等等。
”教师引导学生思考如何在工程问题中灵活地运用数学知识。
二、讲解工程问题（10分钟）教师围绕工程问题进行讲解：如何使用数学知识解决工程问题；不同的工程问题分别用什么方法解决等等，并结合实际案例进行讲解，以便让学生能更好地理解和掌握知识。
三、简单工程问题的解决（15分钟）教师在黑板上列出数学方程式，围绕购买物品时的实际问题进行示范和讲解，如何列出方程式，如何解方程式，如何通过答案来验证是否有误等等。
四、复杂工程问题的解决（20分钟）教师在黑板上列出各种不同难度的实际问题，如何利用所学知识解决，当然也要鼓励学生自己想办法。
五、自主解决工程问题（10分钟）教师给每个学生发一份工程问题的练习册，让学生根据书上的练习进行练习，老师巡视班级，为学生解决问题提供帮助。
六、作业布置（2分钟）教师向学生布置30分钟的练习，要求学生运用所学知识解决书上的练习。
七、课后辅导（10分钟）教师为需要加强掌握的学生进行课后一对一辅导。
教学总结：教师对本节课的教学过程进行了回顾，总结了所学内容，鼓励学生平时在生活中多加注意习惯于将数学知识运用到实际问题中去，提高实际解决问题的能力。
八、教学反思通过本节课的教学，我发现学生虽然掌握了数学方程式的基本方法，但在解决实际问题时还是比较生疏的，需要更多的实际练习。
因此，下一步的教学中，需要将更多时间和精力放在实际练习上，在提高学生的解题能力和应用能力方面有所突破。
工程问题教案模板及范文
课时：2课时年级：五年级教材：《小学数学》五年级上册教学目标：1. 让学生理解工程问题的概念，掌握工程问题的解题方法。
2. 培养学生运用工程问题的解题方法解决实际问题的能力。
3. 培养学生团结协作、勇于挑战的精神。
教学重点：1. 工程问题的概念及解题方法。
2. 工程问题在实际问题中的应用。
教学难点：1. 工程问题的解题方法。
2. 工程问题在实际问题中的应用。
教学过程：第一课时一、导入新课1. 引导学生回顾已学过的分数、百分数等知识，激发学生对工程问题的兴趣。
2. 提问：生活中有哪些问题可以用工程问题的方法来解决？二、新课讲解1. 讲解工程问题的概念：工程问题是指在一定时间内，完成某项工程需要的人数、时间或工作效率之间的关系问题。
2. 举例说明工程问题的解题方法：假设、求比、计算。
三、课堂练习1. 出示工程问题，让学生运用所学方法解题。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 总结工程问题的概念及解题方法。
2. 强调工程问题在实际问题中的应用。
第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所学内容，引导学生复习工程问题的概念及解题方法。
2. 提问：如何运用工程问题的方法解决实际问题？二、新课讲解1. 讲解工程问题在实际问题中的应用：如工程进度、工程成本、工作效率等。
2. 举例说明工程问题在实际问题中的应用。
三、课堂练习1. 出示实际工程问题，让学生运用所学方法解决。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 总结工程问题在实际问题中的应用。
2. 强调工程问题在实际生活中的重要性。
教学评价：一、课堂表现1. 学生对工程问题的概念及解题方法的掌握程度。
2. 学生在课堂练习中的参与度。
二、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 寻找生活中的工程问题，尝试运用所学方法解决。
教学反思：1. 教师应根据学生的实际情况，调整教学进度和难度。
2. 注重培养学生的实际操作能力，提高学生的综合素质。
用一元一次方程解决实际问题—工程问题
用一元一次方程解决实际问题——工程问题学习目标1.能利用线性示意图、表格、扇形示意图等手段分析实际问题中的等量关系列方程；2.经历和体验运用方程解决实际问题的过程，提高分析问题、解决问题的能力；3.培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的经验，激发学生的学习热情.学习重、难点借助线性示意图、表格、扇形示意图等手段分析实际问题中的等量关系.学习过程一、问题导向1、观看大国基建的视频，感悟每一项工程都是由不同团队合作完成的。
2、将一批资料录入电脑，甲单独做需18h完成，乙单独做需12h完成．现在先由甲单独做8h，剩下的部分由甲、乙合做完成，甲、乙两人合做了多少时间?1.问题中的已知量、未知量分别是什么?2.怎样理清其中的数量关系?（1）若把全部工作量看作1，设甲、乙两人合做的时间是x小时，则可以列出表格：全部工作量甲单独做的工作量甲、乙合做的工作量1问题中的相等关系是：，根据等量关系，可列出方程：．（2）若把全部工作量看作1，设甲、乙两人合做的时间是x小时，还可以列出这样的表格吗?全部工作量甲做的工作量乙做的工作量1问题中的相等关系是：，根据等量关系，可列出方程：．（3）若把全部工作量看作1，我们还能用扇形示意图来表示其中的数量关系吗?总结：利用表格或圆形示意图来分析工程类的问题，常见数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间．分析时，常需抓住其中的一个量——工作总量（或时间或效率）来找出相等关系．二、自主学习例1、将一批会计报表输入电脑,甲单独做需20h 完成,乙单独做需12h 完成,现在先由甲单独做4h,剩下的部分由甲、乙合做完成,甲、乙两人合做了多长时间?解：设两人合作了x 小时由题意得11212014201=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯x 解得x=6答：甲乙两人合作了6个小时。
例2、整理一批图书,由一个人做要40h 完成.现在计划由一部分人先做4h,再增加2人和他们一起做8h 完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,那么应先安排多少人工作? 解：设应先安排x 人工作由题意得140)2(8404=++x x 解得x=2答：应先安排2人工作三、成果展示1、一个水池装有一根进水管和一根排水管，单开进水管10分钟可住满水池，单开排水管20分钟可将满池水排完，若池中无水，两管同时打开，则几分钟可注满水池?2、一项工程，甲单独做要10天，乙单独做要15天，丙单独做20天，三人合作期间，甲因故请假，工程6天完工，请问甲请了几天假?3、甲能在12天内完成某项工作，乙的工作效率比甲高20％，那么乙完成这项工作的天数为( )A ．6B ．8C ．10D ．114、加工1500个零件，甲单独做需要 12 小时，乙单独做需要 15 小时，若甲、乙两人合作 x 小时可以完成，依题意可列方程为（ ） A. 1500151121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x B.1500151500121500=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x C. 1500151500121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x D.1151500121500=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x5. 某项工作，甲单独做要a天完成，乙单独做要b天完成．现在甲单独做2天后，剩下工作由乙单独做，则乙单独完成剩下的工作所需的天数是( )A．2ab-B．1(1)2b-C．2ba-D．⎪⎭⎫⎝⎛-ab216. 一项工程，甲单独做需15天完成，乙单独做需 10 天完成，由甲、乙合作完成需要多少天?四、拓展延伸1、某项工作，甲、乙两人单独完成分别需要 3 小时、5小时，则两人合作此项工作的 80% 需要几小时?2、一项工作，甲单独做12天完成，乙单独做8天完成.现在先由甲、乙合做3天，剩下的部分由乙单独完成，剩下的部分还需几天完成?3、将一批会计报表输入电脑，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成.现在先由甲、乙合做4小时，再由甲单独做4小时，剩下的部分再由甲、乙合做，剩下的部分还需几小时完成?4、用甲、乙、丙三部抽水机从矿井里抽水，单独用一部抽水机抽尽，用甲需要24小时，用乙需30小时，用丙需40小时，现甲、丙同抽了6小时后，把乙机加入，问从开始到结束，一共用多少小时才能把井里的水抽完?5、某地为了打造风光带，将一段长为360 米的河道整治任务分配给甲、乙两个工程队，他们先后接力完成，共用时20天．已知甲工程队每天整治24 米，乙工程队每天整治16 米，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道?五、教学反思通过本节课的学习，学生不仅掌握了如何利用扇形图解决实际问题，更是对于工程问题有了更深的了解，体会到了数学问题来源于生活，并能用之于生活。
工程问题教案
工程问题教案教案：解决工程问题一、教学目标1. 知识目标：掌握解决工程问题的基本方法和步骤。
2. 技能目标：学会运用基本方法和步骤解决具体的工程问题。
3. 情感目标：培养学生积极解决问题的意识和能力，培养学生的合作意识和团队精神。
二、教学重点1. 解决工程问题的基本方法和步骤。
2. 运用基本方法和步骤解决具体的工程问题。
三、教学难点学会将解决工程问题的基本方法和步骤运用到实际问题中。
四、教学方法1. 归纳概括法：通过总结归纳，理清解决工程问题的基本方法和步骤。
2. 合作学习法：通过小组合作，解决工程问题，培养学生合作和团队精神。
五、教学准备1. 教师准备相关案例和问题，以供学生解决。
2. 学生准备纸笔、尺子等工具，以便解决问题时进行计算。
六、教学过程步骤一：导入（5分钟）教师通过提问或故事的方式，激发学生对工程问题的兴趣，引导学生思考如何解决工程问题。
步骤二：学习基本方法和步骤（10分钟）教师通过归纳概括法，向学生介绍解决工程问题的基本方法和步骤，并讲解每个步骤的具体内容。
步骤三：案例分析（20分钟）教师提供一个具体的工程问题案例，让学生小组合作分析问题，并按照解决问题的步骤进行解答。
步骤四：小组讨论（15分钟）教师指导学生进行小组内讨论，共同解决问题，并指导学生找出问题的关键点和解决思路。
步骤五：小组展示（10分钟）教师要求每个小组派一名代表上台展示解决问题的思路和结果，并进行点评和总结。
步骤六：巩固练习（15分钟）教师提供若干个类似的工程问题，让学生个别或小组进行解答，并进行相互检查和交流，巩固解决问题的方法和步骤。
步骤七：拓展运用（5分钟）教师提出更复杂的工程问题，并鼓励学生运用所学的方法和步骤进行解答，培养学生创新和拓展思维能力。
步骤八：总结反思（5分钟）教师引导学生总结学习到的解决工程问题的基本方法和步骤，学生进行自我评价，思考在今后的学习和生活中如何运用所学的方法和步骤解决问题。
七、教学反思通过本课的学习，学生能够掌握解决工程问题的基本方法和步骤，培养了学生积极解决问题的意识和能力，同时也培养了学生的合作意识和团队精神。
初中下册工程问题教案
初中下册工程问题教案教学目标：1. 理解并掌握工程问题的基本概念和解题方法。
2. 能够运用工程问题的解题方法解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 工程问题的基本概念和解题方法。
2. 实际工程问题的解决。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入工程问题的概念，让学生了解工程问题的实际背景。
2. 举例说明工程问题的解题方法。
二、新课（20分钟）1. 讲解工程问题的基本概念，如工作量、工作效率、工作时间等。
2. 介绍工程问题的解题步骤，如确定工作量、工作效率和工作时间的关系，建立方程等。
3. 通过例题讲解工程问题的解题方法，引导学生思考和解决问题。
三、练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学的工程问题解题方法。
2. 引导学生思考和解决实际工程问题。
四、拓展（10分钟）1. 引导学生思考和解决更复杂的工程问题，如多个工程队合作完成工程的问题。
2. 引导学生思考和解决工程问题中的优化问题，如如何分配工程量以最短时间完成工程。
五、总结（5分钟）1. 总结本节课所学的工程问题的解题方法和步骤。
2. 强调工程问题在实际生活中的应用和重要性。
教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对工程问题基本概念和解题方法的掌握程度。
2. 通过课后作业和实际工程问题的解决，评价学生对工程问题的应用能力。
教学资源：1. PPT课件：包含工程问题的基本概念、解题步骤和例题讲解。
2. 练习题：包括不同难度的工程问题题目，以巩固学生的解题能力。
教学建议：1. 在讲解工程问题时，结合实际情况和实际背景，让学生更好地理解和掌握工程问题的解题方法。
2. 在解题过程中，引导学生运用逻辑思维和数学知识，培养学生的解决问题的能力。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，提高学生的学习兴趣和动力。
实际问题工程问题教学省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
作 业:
1 教材第102页第8、9
2
2x
补充（1）
3
5x
2
34
(2) 2 (x 1) 2 x 1 (x 1)
3
2
(3) 1 2 y 2 5 y
2y
56
(4) 2x 1 1 4x 1
3
6
第14页
•That is all for today
•
See you later
第15页
第9页
变式练习:
• 一个道路工程，甲队单独施 工9天完成，乙队单独做24 天完成。现在甲乙两队共同 施工3天，因甲另有任务，剩 下工程有乙队完成，问乙队 还需几天才能完成？
第10页
问题2 :
• 问题2 ：整理一批图书，由一 个人做要40小时完成．现在计 划由一部分人先做4小时，再增 加两人和他们一起做8小时，完 成这项工作．假设这些人工作 效率相同，详细应安排多少人 工作？
第3页
相信你能行
步骤
去分 母
•
详细做法
在方程两边都乘以各分母最 小公倍数
依据
等式 性质2
注意事项
不要漏乘不含分母项
去括 普通先去小括号, 再去中括号, 分配律 去
号
最终去大括号
括号法则
移项
把含有未知数项移到方程一边, 其它项都移到方程另一边, 注
意移项要变号
移项法 则
不要漏乘括号中每一项
1）移动项一定要变号, 不移项不变号
2）注意移项较多时不要漏项
合并 同类 项
把方程变为ax=b （a≠0 ) 最简形式
合并同类项 法则
系数 将方程两边都除以未知数系数a, 等式性
沪教版六年级上册数学教学设计 实际问题工程问题 一
工程问题教学目标：1. 理解工程问题的数量关系，掌握工程问题的特征、分析思路及解题方法。
2. 能正确熟练的解答这类应用题。
3. 进一步培养学生的逻辑思维能力。
教学重（难）点：理解用单位“1”表示工作总量，用工作总量的“几分之几”表示工作效率。
掌握工程问题的特点和解答方法。
教学过程：师：为了配合学校艺术节的顺利举行，学校管乐团委托服装厂加工一批服装。
（出示）一批服装，服装厂甲车间单独加工需15天完成，乙车间单独加工需10天完成。
师：所以校长想知道两个车间的加工能力，甲车间单独加工每天能加工多少？乙车间单独加工每天完成多少？你能帮校长解决这个问题吗？生1：不能。
因为我们不知道这批服装的总数量。
生2：能。
甲车间每天完成这批服装的1/15；乙车间每天完成这批服装的1/10。
师：你是怎样想的？生2：我是把这批服装的总数量看作单位“1”。
甲车间15天完成，就是把单位“1”平均分成15份，所以，每天完成1/15；乙车间10天完成，所以，每天完成1/10。
师：厂长接到校长的通知，艺术节要提前举行，因此服装加工任务也必须提前完成。
这可给厂长出了一个难题，既要保证质量，又要加快速度。
怎么办？生3：如果让乙车间加工，再增加一些工人。
生4：如果让甲车间加工，再延长工人每天的工作时间。
生5：让甲乙两个车间共同加工。
师：你觉得这些方法怎样？生6：我认为增加工人不合适。
因为增加工人一般都缺乏经验，质量难以保证。
生7：延长工人的工作时间也不行，因为这样违反《劳动法》。
师：是呀，厂长既要考虑合法，又要考虑质量。
那么，他最可能采用什么方法？生；甲乙两个车间共同加工。
师：那么，采用甲乙两个车间共同加工的办法，究竟需要几天才能完成任务？出示：甲乙两个车间共同加工需几天完成任务？师：请大家猜一下，两个车间共同加工需要的时间大概会是几天？生8：可能是7天。
生9：我认为会是12.5天，因为（15+10）/2=12.5。
生10：肯定比10天少，因为一个车间才干10天，两个车间合作所用时间应该更少。
工程问题教案(多应用)
教案工程问题教案一、教学目标1.让学生了解工程问题的基本概念和特点，掌握解决工程问题的基本方法。
2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.培养学生的团队协作能力和沟通能力。
二、教学内容1.工程问题的定义和特点2.解决工程问题的基本方法3.工程问题的案例分析4.工程问题的讨论和总结三、教学步骤1.引入工程问题的概念，让学生了解工程问题的定义和特点。
2.讲解解决工程问题的基本方法，如分析问题、设计解决方案、实施解决方案等。
3.通过案例分析，让学生了解工程问题的实际应用，并引导学生运用所学知识解决实际问题。
4.组织学生进行小组讨论，让学生就工程问题进行深入探讨，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
5.对学生的讨论进行总结，归纳出解决工程问题的有效方法，并给出建议。
四、教学评价1.通过课堂问答、作业和考试等方式，评估学生对工程问题概念和解决方法的理解和掌握程度。
2.通过小组讨论和案例分析，评估学生的团队协作能力和沟通能力。
3.收集学生的反馈意见，对教学方法和教学内容进行改进和优化。
五、教学资源1.教材：提供工程问题的相关教材，供学生学习和参考。
2.案例：提供工程问题的实际案例，供学生分析和讨论。
3.网络资源：提供相关的网络资源，供学生进行深入学习和研究。
六、教学建议1.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的主动性和积极性。
2.引导学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的实践能力。
3.注重培养学生的团队协作能力和沟通能力，提高学生的综合素质。
4.及时给予学生反馈和指导，帮助学生解决问题和提高能力。
5.不断更新教学资源和方法，提高教学效果和质量。
七、教学反思通过本教案的实施，教师可以反思自己的教学方法和教学内容，评估学生的学习效果和能力提升，从而不断改进和优化教学，提高教学质量。
同时，教师也可以通过与学生的互动和沟通，了解学生的学习需求和问题，更好地满足学生的学习需求，促进学生的全面发展。
重点关注的细节：解决工程问题的基本方法解决工程问题的基本方法是本教案的核心内容，它直接关系到学生能否掌握解决工程问题的能力。
小学数学教案工程问题
小学数学教案工程问题
【教学目标】：
1. 理解并掌握利用数学知识解决工程问题的方法。
2. 能灵活运用数学知识解决实际工程问题。
3. 培养学生的动手能力和分析解决问题的能力。
【教学内容】：
1. 工程问题的基本概念和解决方法。
2. 小学数学知识在工程问题中的应用。
3. 利用数学知识解决实际工程问题的例子。
【教学方法】：
1. 案例分析法：通过实际工程问题案例，引导学生分析和解决问题。
2. 启发式教学法：鼓励学生自己探索解决问题的方法，培养思维能力。
3. 合作学习法：组织学生小组合作解决工程问题，培养合作精神和团队意识。
【教学过程】：
1. 导入：介绍工程问题的基本概念和实际意义。
2. 分析：通过一些生活中常见的工程问题案例，让学生分析问题背景，并思考如何利用数学知识解决。
3. 练习：组织学生进行练习，解决一些简单的工程问题，巩固知识点。
4. 拓展：引导学生思考更复杂的工程问题，激发学生求知欲。
5. 总结：总结本节课的重点知识，强调数学知识在解决工程问题中的重要性。
【教学评价】：
1. 通过课堂练习和小组合作活动，评价学生解决问题的能力。
2. 对学生的表现进行点评和鼓励，激励学生进一步学习和提高能力。
【拓展延伸】：
1. 鼓励学生参加一些数学建模比赛或工程设计比赛，提高实际应用能力。
2. 鼓励学生运用数学知识解决生活中的实际问题，培养动手能力和实践经验。
人教版七年级上册3.4实际问题与一元一次方程(配套问题与工程问题)优秀教学案例
5.作业小结巩固知识与技能：通过布置相关的作业，让学生在课后巩固所学知识，提高解题技巧。作业的设计既能够检验学生对一元一次方程的应用能力，又能够进一步巩固所学知识。
人教版七年级上册3.4实际问题与一元一次方程（配套问题与工程问题）优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版七年级上册第三单元《实际问题与一元一次方程》中的工程问题部分。通过前面的学习，学生已经掌握了方程的基本概念和一元一次方程的解法，本节课将引导学生将实际问题转化为方程，并运用一元一次方程解决问题。
为了提高学生的学习兴趣和实际应用能力，我设计了一个关于“学校图书馆书籍整理”的案例。案例中，学校图书馆有A、B两个书库，分别有300本和200本书。为了方便学生阅读，学校决定将两个书库的书籍合并在一起，并按照书籍的分类重新整理。已知A书库的书籍数量是B书库的1.5倍，请问合并后，A书库和B书库分别有多少本书？
（三）小组合作
本节课采用小组合作的学习方式，让学生在小组内共同探讨和解决问题。我会将学生分成若干小组，每组成员共同分析问题、讨论解题策略，并共同完成练习题。小组合作不仅能够提高学生的合作意识和团队精神，还能够激发学生的思维碰撞，促进知识的共享和互补。
（四）反思与评价
在教学过程中，我将引导学生进行自我反思和评价。学生需要思考自己在解决问题过程中的优点和不足，总结经验教训，不断提高自己的学习能力。同时，我也会组织学生进行同伴评价，让同学之间相互反馈，共同进步。通过反思与评价，学生能够培养批判性思维和自我调整的能力，为今后的学习奠定坚实的基础。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
小学六年级数学教案 工程问题9篇
小学六年级数学教案工程问题9篇工程问题 1课题：列一元一次方程解有关工程问题的应用题1、使学生会列一元一次方程解有关应用题。
2、培养学生分析解决实际问题的能力。
1、在小学里我们学过有关工程问题的应用题，这类应用题中一般有工作总量、工作时间、工作效率这三个量。
这三个量的关系是：2、由以上公式可知：一件工作，甲用a小时完成，则甲的工作量可看成________，工作时间是________，工作效率是_______。
若这件工作甲用6小时完成，则甲的工作效率是_______。
一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。
问：甲乙合做，需几小时完成这件工作？Ⅰ:这道题目的已知条件是什么？Ⅱ：这道题目要求什么问题？Ⅲ：这道题目的相等关系是什么？有一个蓄水池，装有甲、乙、丙三个进水管，单独开甲管，6分钟可注满空水池；单独开乙管，12分钟可注满空水池；单独开丙管，18分钟可注满空水池，如果甲、乙、丙三管齐开，需几分钟可注满空水池？此题的处理方法：Ⅰ：先由一名学生阅读题目；Ⅱ：然后由两名学生板演；丙管改为排水管，且单独开丙管18分钟可把满池的水放完，问三管齐开，几分钟可注满空水池？要求学生口头列出方程。
一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。
若甲先单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做，问：还需几小时完成？（1）先由学生阅读题目（2）引导：Ⅰ:这道题目的已知条件是什么？Ⅱ：这道题目要求什么问题？Ⅲ：这道题目的相等关系是什么？（3）由一学生口头设出求知数，并列出方程，师生共同解答；同时教师在黑板上写出解题过程，形成板书。
若乙先做2小时，然后由甲、乙合做，问还需几小时完成？以上两题的处理方法：（1）根据方程：3/12+x/12+x/6=1，编应用题。
（2）事由：打一份稿件。
条件：现在甲、乙两名打字员，若甲单独打这份稿件需6小时打完，若乙单独打这份稿件需12小时打完。
要求：甲、乙两名打字员都要参与打字，并且要打完这份稿件。
实际问题与一元一次方程——工程问题教案
实际问题与一元一次方程——工程问题教案【教学目标】：（一）知识与技能：1、并使学生进一步掌控列于一元一次方程求解应用题的方法和步骤；2、熟练掌握追及问题中的等量关系。
（二）过程与方法培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决实际问题的能力。
（三）情感态度价值观：培养学生勤于思考、乐于探究、敢于发表自己观点的学习习惯，从实际问题中体验数学的价值。
体会观察、分析、归纳对数学知识中获取数学信息的重要作用，进一步掌握列一元一次方程解应用题的方法和步骤，能在独立思考和小组交流中获益。
【教学重难点】：1、重点：找等量关系列一元一次方程，解决追及问题。
2、难点：将实际问题转变为数学模型，并找到等量关系。
【教学方法】：探究式【教学过程】：一、创设问题情景，导入新课：1、行程问题中有哪些基本量？它们间有什么关系？2、行程问题存有哪些基本类型？二、知识应用，拓展创新：行程问题应用题就是中小学数学应用题中很关键的一类，学生难以认知，不难掌控。
行程问题的题型千变万化，引致许多学生深感束手无策，难以奈何。
其实深入细致分析，就可以辨认出行程问题应用题主要存有三种基本类型：赴援问题、碰面问题和航行问题，而且三个基本量之间的基本关系“路程=速度×时间”维持维持不变。
三、例题讲解基准1（同时相同地）甲乙两人距离米，甲在前每秒走3米，乙在后每秒走5米。
两人同时启程，同向而行，几秒后乙能甩开甲？分析：在这个直线型追及问题中，两人速度不同，跑的路程也不同，后面的人要追上前面的人，就要比前面的人多跑米，而两人跑步所用的时间是相同的。
所以有等量关系：乙走的路程—甲走的路程=求解：设x秒后乙能甩开甲根据题意得5x—3x=Champsaurx=50答：50秒后乙能追上甲。
小结：针对本题展开小结、概括，它属行程问题应用题（赴援问题）中的同时相同地问题，以后碰到此类题，该如何化解。
例2（同地不同时）两匹马赛跑，黄色马的速度是5m/s，棕色马的速度是6m/s。
工程问题小学数学教案
工程问题小学数学教案
教学内容：解决工程问题的基本方法
教学目标：学生能够运用所学知识解决实际工程问题。
教学重点：培养学生分析问题的能力，掌握解决工程问题的基本方法。
教学难点：运用所学数学知识解决工程问题。
教学准备：教学课件、教学实例、练习题等
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引入工程问题的概念，并简单介绍解决工程问题的基本方法。
二、讲解（15分钟）
1. 介绍几个实际工程问题，让学生了解问题的背景和需求。
2. 讲解解决工程问题的基本方法，包括识别问题、制定解决方案、执行方案、确认结果等步骤。
3. 通过教学实例，演示如何应用数学知识解决工程问题。
三、练习（20分钟）
1. 学生进行练习，尝试解决几个简单的工程问题。
2. 学生可以结合所学知识，选择合适的方法解决问题。
四、讨论（10分钟）
1. 学生展示自己的解决方法，进行讨论和交流。
2. 教师总结学生的解决方案，指导学生在实际问题中应用所学知识。
五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，要求学生练习解决更多的工程问题。
教学反思：在教学过程中，要重视培养学生的创新思维和解决问题的能力，让学生在实际工程问题中运用所学知识。
同时要注意引导学生学会合作，共同解决难题，促进学生综合素质的提升。
3.4.1实际问题与一元一次方程配套问题和工程问题(教案)
最后，总结回顾环节，我觉得学生对这节课的知识点掌握得还算不错，但在实际应用方面还有待提高。因此，我计划在下一节课中增加一些具有挑战性的实际问题，让学生在解决实际问题的过程中，进一步巩固所学知识。
其次，在新课讲授环节，我发现理论介绍部分，学生们对一元一次方程的基本概念掌握得还不错，但在案例分析时，有些学生在将实际问题抽象成方程的过程中遇到了困难。这让我意识到，在讲解过程中，我要更加注重培养学生的抽象思维能力，通过具体实例让他们逐步学会如何从问题中提炼出关键信息。
在新课的实践活动环节，我发现学生们在分组讨论时表现得相当积极，但部分小组在讨论过程中还是显得有些迷茫，不知道如何将一元一次方程应用到实际问题中。这可能是因为我在引导方面做得还不够，今后我需要更加关注学生的讨论过程，及时给出建议和指导。
2.工程问题：学会运用一元一次方程解决工程问题，例如：一项工程由甲、乙两队合作完成，甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天，求甲、乙两队合作完成工程所需的时间。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的逻辑推理、数学建模和问题解决能力。通过配套问题和工程问题的学习，使学生能够：
1.运用逻辑推理能力，分析实际问题中的数量关系，抽象出一元一次方程同类项等基本解方程方法，确保学生能够熟练掌握并应用。
2.教学难点
-抽象思维的培养：学生在将实际问题抽象成数学方程的过程中，往往难以理解如何从具体问题中提炼出数学模型。例如，从零件配套问题中看出1:2的比例关系，并将其转化为方程2x = y，这对学生的抽象思维能力是一个挑战。
人教版七年级数学集体备课教案3.4实际问题-工程问题
1.理论介绍：首先，我们要了解工程问题的基本概念。工程问题是研究工作量、工作效率、工作时间之间的数量关系。它在我们的生产生活中有着广泛的应用，学会解决工程问题能够帮助我们合理安排时间和资源。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设要修建一段公路，甲单独完成需要10天，乙单独完成需要15天，我们该如何计算甲乙合作完成的时间？通过这个案例，我们可以直观地了解工程问题的解决方法。
另外，我也在思考如何在教学中更好地突出重点和难点。虽然我在课堂上特别强调了工作量、工作效率、工作时间之间的关系，以及一元一次方程的应用，但显然这还不够。我需要找到更有效的教学方法，比如设计一些互动性强的小游戏，让学生在游戏中自然而然地理解和应用这些概念。
在总结回顾环节，我尝试让学生们自己总结今天的学习内容，这是一个很好的复习巩固过程。不过，我也意识到有些学生可能还没有完全消化吸收所有的知识点。为了确保每一个学生都能跟上教学进度，我打算在下一节课开始时，先进行一个简短的复习，然后再进入新的教学内容。
五、教学反思
在这次“实际问题-工程问题”的教学中，我发现学生们对工程问题的概念和解决方法掌握得还算不错。通过引入日常生活中的例子，他们能够很快地理解工程问题的实际意义。然而，我也注意到在具体的解题过程中，有些学生对于如何将实际问题转化为数学模型还存在一定的困难。
特别是在案例分析环节，当面对较为复杂的工程问题，比如涉及到加速、减速或合作的情况时，一部分学生显得有些迷茫。这可能是因为他们在将问题抽象成数学表达式时遇到了挑战。针对这一点，我觉得在未来的教学中，我应该更多地提供直观的图示和具体的例子，帮助学生建立起数学模型与现实问题之间的联系。
在实践活动和小组讨论中，学生们的参与度很高，他们能够积极地讨论和分享自己的观点。这让我感到很欣慰，因为这说明学生们对工程问题的探究有着浓厚的兴趣。不过，我也观察到有些小组在讨论时可能会偏离主题，或者在解决问题时走弯路。为了提高讨论效率，我考虑在未来的讨论中加入一些引导性问题，帮助学生更聚焦于核心知识点。
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工程问题是很有实际意义的一类应用题。
相比小学的代数法，用列方程求解的更简便。
在学习的过程中同时渗透建模，类比，分类等思想方法。
１.掌握工程问题中有关量的基本关系式，并会寻求等量关系列方程求解. 提高利用一元一次方程解决实际问题的能力；２.经历将实际问题转化为数学问题的过程，进一步体会并认识到方程是刻画现实世界的一个很有效的数学模型，渗透数学建模思想.培养学生的抽象、概括、分析和解决问题的能力；３.通过学习，进一步认识到方程与现实世界的密切联系. 感受数学的应用价值，增强用数学的意识，从而激发学生学习数学的热情.体会在解决问题的过程中同学之间交流合作的重要性. 让学生在探究中感受学习的快乐。
重难点重点：找到工程问题中的相等关系，建立数学模型，正确列出一元一次方程进行求解。
建立模型解决实际问题的一般方法和步骤。
工程总量=工作效率×工作时间工作量=人均工效×人数×工作时间1.一项工作甲独做5天完成，乙独做10天完成，那么甲每天的工作效率是，乙每天的工作效率是，两人合作1天完成的工作量是，两人合作3天完成的工作量是 .明确工程问题各个量之间的关系。
工作总量=工作效率×工作时间2、整理一块地，由一个人做要80小时完成。
（1）一个人做1小时完成的工作量是；（2）一个人做4小时完成的工作量是（3）一个人做x小时完成的工作量是(4)工作效率相同的5个人做1小时完成的工作量是(5)工作效率相同的m个人做1小时完成的工作量是(6)工作效率相同的m个人做x小时完成的工作量是小结：1、在工程问题中，当不知道总工程的具体量时，通常把全部工作量简单的表示为1。
2、如果一件工作需要n小时完成，那么平均每小时完成的工作量就是，m 小时完成的工作量是。
3、工程问题中，人均工作效率相同时：工作量=人均工效×人数×工作时间例1：一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做10小时完成．那么两人合做多少小时完成？练习1：一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做10 小时完成．甲先单独做9小时，后因甲有其它任务调离，余下的任务由乙单独做。
那么乙还要多少小时完成这件工作？2”让学生思考方程的哪里延伸：针对练习1做点变化，把“完成这件工作”改为“完成这件工作的3需要改变？3变式：一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天。
如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线的一半？例2例2整理一批图书，由一个人做要40h完成。
现计划由一部分人先做4h，然后增加2人和他们一起做8，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？练习2(列方程，不求解)1、整理一批数据，由一人做需要80小时完成，现在先安排一些人做了2小时，再增加了5人做了3，求最开始时安排了多少人整理数据？8小时，完成了这项工作的42、2014年3月12日植树节，学校组织植树活动，如果一个人植树需80小时完成，现计划由一部分人先植树5小时，再增加2人和他们一起做4小时完成这次植树任务，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人参加植树？拓展（能力提升）：1检查一处住宅区的自来水管，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲乙两人合作，合作期间乙中途离开了一段时间，后两天由乙，丙合作完成。
那么，乙中途离开了几天？2、（2013年中考）某地为了打造风光带，将一段长为360 m的河道整治任务交给甲，乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m,乙工程队每天整治16 m。
甲，乙两个工程队分别整治了多长的河道？一、基本工程问题例1：甲、乙两队开挖一条水渠。
甲队单独挖要8天完成，乙队单独挖要12天完成。
现在两队同时挖了几天后，乙队调走，余下的甲队在3天内完成。
乙队挖了多少天？例2：加工一批零件，甲单独做20天可以完工，乙单独做30天可以完工。
现两队合作来完成这个任务，合作中甲休息了2 .5天，乙休息了若干天，这样共14天完工。
乙休息了几天？例3：一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。
现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满。
乙单独开几小时可以灌满？ 例4：某工程，甲、乙合作1天可以完成全工程的245。
如果这项工程由甲队单独做2天，再由乙队单独做3天，能完成全工程的2413。
甲、乙两队单独完成这项工程各需要几天？ 例5：一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合做7天，这样才能完成全工程的一半。
已知甲、乙工效的比是2:3。
如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？ 例题详解：例1解：可以理解为甲队先做3天后两队合挖的。
⎪⎭⎫⎝⎛+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-121813811=3（天） 例2解：分析：共14天完工，说明甲做（14－2.5）天，其余是乙做的，用14天减去乙做的天数就是乙休息的天数。
14－301205.2141÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--=141（天）例3解：分析：把乙先开做6小时看作与甲做2小时，与丙做2小时，还有2小时，现在可理解为甲乙同开2小时，乙丙同开2小时，剩下的是乙2小时放的。
1÷⎭⎬⎫⎩⎨⎧÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2241511=20（小时）例4解：分析：可以理解为两队合作2天，余下的是乙1天做的，乙的工效8122452413=⨯-， 甲：⎪⎭⎫⎝⎛-÷812451=12（天）例5解：分析：乙的工效是甲工效的3÷2=1.5倍，设甲的工效为x ，乙的工效为1.5x ， （2+7）x+1.5x ×7=21，解之得：x=391，乙工效1÷1.5x =26（天） 基本练习（附参考答案）：1、修一条公路，甲队独修15天完工，乙队独修12天完工。
两队合修4天后，乙队调走，剩下的路由甲队继续修完。
甲队一共修了多少天？2、一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。
甲、乙合做几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天。
乙请假多少天？3、一条公路由甲、乙两个筑路队合修要12天完成。
现在由甲队修3天后，再由乙队修1天，共修了这条公路的203。
如果这条公路由甲队单独修，要多少天才能修完？ 4、两列火车同时从甲、乙两地同时相对开出。
快车行完全程需要20小时，慢车行完全程需要30小时。
开出后15小时两车相遇。
已知快车中途停留4小时，慢车停留了几小时？5、师徒两人共同加工一批零件，2天加工了总数的31。
这批零件如果全部由师傅单独加工，需10天完成。
如果全部由徒弟加工，需要多少天才能完成？6、一项工程，甲、乙两队合作30天完成。
如果甲队单独做24天后，乙队再加入合作，两队合作12天后，甲队因事离去，由乙队继续做了15天才完成。
这项工程如果由甲队单独完成，需要多少天？7、一项工程，甲、乙两队合做每天能完成全工程的409。
甲队独做3天，乙队独做5天后，可完成全工程的87。
如果全工程由乙队单独做，多少天可以完成？ 8、甲、乙两队合作，20天完成一项工程。
如果两队合作8天后，乙队再独做4天，还剩下这项工程的158。
甲、乙两队独做各需几天完成？ 9、一项工程，甲、队独做10天可以完成，乙队独做30天可以完成。
现在两队合作期间甲队休息了2天，乙队休息了8天（两队不在同一天休息）。
从开始到完工共用了多少天？10、一项工程，如甲队独做，可6天完成。
甲3天的工作量，乙要4天完成。
两队合做了2天后，由乙队单独做，乙队还需做多少天才能完成？ 参考答案1、1511241÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10（天）2、16－301162011÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=10（天）3、1÷()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫⎝⎛-13121203=120（天）4、15－()3014152011÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯-=221（小时）5、1÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷101231=15（天）6、分析：甲先做24天，乙最后做15天，可以理解为又合做15天加先合做12天，共合做27天。
()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫⎝⎛⨯-÷152********=90（天）7、可理解为两队合做了3天。
()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫⎝⎛⨯-÷353409871=10（天）8、乙的工效415882011÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=601乙需的天数：1÷601=60（天） 甲乙需的天数：1÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-601201=30（天）9、分析：可理解为甲多做6天。
⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-30110161011+8=11（天）10、甲的工效61，乙的工效81463=÷，81281611÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=331（天）二、工程问题的拓展题例1：某工程先由甲单独做63天，再由乙队独做28天即可以完成。
如果甲、乙两人合作，需48天完成，现在甲先独做42天，然后再由乙单独完成，那么还需要多少天？例2：一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。
甲队先做若干天后，由乙队接着做，共用36天完成任务。
甲、乙两队各做了多少天？例3：搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。
有同样的仓库A 和B ，甲在A 仓库，乙在B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。
丙帮助甲、乙各搬运了几小时？例4：一项工程，乙队先独做4天，继而甲、丙两队合做6天，剩下的工程甲队又独做9天才全部完成。
已知乙队完成的是甲队的31，丙队完成的是乙队的2倍。
如果甲、乙、丙单独做，各需多少天？例5：客车由甲站开往乙站需要8小时，货车从乙站开往甲站需要12小时。
两车同时从两站相向开出，相遇时客车离乙站还有156千米。
两站相距多少千米？例题详解：例1分析：可以理解为两队合做28天，甲的工效：()8412863284811=-÷⎪⎭⎫⎝⎛⨯-乙的工效：481－1121841=，还要1121428411÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=56（天）例2分析：设乙做x 天，甲做（36－x ）天，()x x -⨯+36301401=1，解之得x=24，甲做36－x=36－24=12（天）例3分析：可以看作甲、乙、丙合作搬运A 、B 两仓，2÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++151121101=8（小时），甲在A 仓库运8小时，余下的是丙搬运的，乙在B 仓库搬运8小时，余下的是丙搬运的。
丙运A 仓库15181011÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=3（小时），丙运B 仓库15181211÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=5（小时）例4分析：把乙做4天的工作量看作1份，甲做（6+9）天的工作量看作3份，丙做6天的工作量看作2份，把这项工程看作6份。