实际问题工程问题教案

工程问题是很有实际意义的一类应用题。相比小学的代数法，用列方程求解的更简便。在学习的过程中同时渗透建模，类比，分类等思想方法。

１.掌握工程问题中有关量的基本关系式，并会寻求等量关系列方程求解. 提高利用一元一次方程解决实际问题的能力；

２.经历将实际问题转化为数学问题的过程，进一步体会并认识到方程是刻画现实世界的一个很有效的数学模型，渗透数学建模思想.培养学生的抽象、概括、分析和解决问题的能力；

３.通过学习，进一步认识到方程与现实世界的密切联系. 感受数学的应用价值，增强用数学的意识，从而激发学生学习数学的热情.

体会在解决问题的过程中同学之间交流合作的重要性. 让学生在探究中感受学习的快乐。

重难点

重点：找到工程问题中的相等关系，建立数学模型，正确列出一元一次方程进行求解。建立模型解决实际问题的一般方法和步骤。

工程总量=工作效率×工作时间

工作量=人均工效×人数×工作时间

1.一项工作甲独做5天完成，乙独做10天完成，

那么甲每天的工作效率是，

乙每天的工作效率是，

两人合作1天完成的工作量是，

两人合作3天完成的工作量是 .

明确工程问题各个量之间的关系。工作总量=工作效率×工作时间

2、整理一块地，由一个人做要80小时完成。

（1）一个人做1小时完成的工作量是；

（2）一个人做4小时完成的工作量是

（3）一个人做x小时完成的工作量是

(4)工作效率相同的5个人做1小时完成的工作量是

(5)工作效率相同的m个人做1小时完成的工作量是

(6)工作效率相同的m个人做x小时完成的工作量是

小结：

1、在工程问题中，当不知道总工程的具体量时，通常把全部工作量简单的表示为1。

2、如果一件工作需要n小时完成，那么平均

每小时完成的工作量就是，

m 小时完成的工作量是。

3、工程问题中，人均工作效率相同时：

工作量=人均工效×人数×工作时间

例1：一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做10小时完成．那么两人合做多少小时完成？

练习1：一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做10 小时完成．甲先单独做9小时，后因甲有其它任务调离，余下的任务由乙单独做。那么乙还要多少小时完成这件工作？

2”让学生思考方程的哪里延伸：针对练习1做点变化，把“完成这件工作”改为“完成这件工作的

3

需要改变？

3变式：一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天。如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线的一半？

例2

例2整理一批图书，由一个人做要40h完成。现计划由一部分人先做4h，然后增加2人和他们一起做8，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？

练习2(列方程，不求解)

1、整理一批数据，由一人做需要80小时完成，现在先安排一些人做了2小时，再增加了5人做了

3，求最开始时安排了多少人整理数据？

8小时，完成了这项工作的

4

2、2014年3月12日植树节，学校组织植树活动，如果一个人植树需80小时完成，现计划由一部分人先植树5小时，再增加2人和他们一起做4小时完成这次植树任务，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人参加植树？

拓展（能力提升）：

1检查一处住宅区的自来水管，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲乙两人合作，合作期间乙中途离开了一段时间，后两天由乙，丙合作完成。那么，乙中途离开了几天？

2、（2013年中考）某地为了打造风光带，将一段长为360 m的河道整治任务交给甲，乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m,乙工程队每天整治16 m。甲，乙两

个工程队分别整治了多长的河道？

一、基本工程问题

例1：甲、乙两队开挖一条水渠。甲队单独挖要8天完成，乙队单独挖要12天完成。现在两队同时挖了几天后，乙队调走，余下的甲队在3天内完成。乙队挖了多少天？

例2：加工一批零件，甲单独做20天可以完工，乙单独做30天可以完工。现两队合作来完成这个任务，合作中甲休息了2 .5天，乙休息了若干天，这样共14天完工。乙休息了几天？

例3：一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满。乙单独开几小时可以灌满？ 例4：某工程，甲、乙合作1天可以完成全工程的

24

5

。如果这项工程由甲队单独做2天，再由乙队单独做3天，能完成全工程的

24

13

。甲、乙两队单独完成这项工程各需要几天？ 例5：一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合做7天，这样才能完成全工程的一半。已知甲、乙工效的比是2:3。如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？ 例题详解：

例1解：可以理解为甲队先做3天后两队合挖的。

⎪⎭

⎫

⎝⎛+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-121813811=3（天） 例2解：分析：共14天完工，说明甲做（14－2.5）天，其余是乙做的，用14天减去乙做的天数就是乙休息的天数。

14－301

205.2141÷⎪⎭⎫ ⎝

⎛--=141（天）

例3解：分析：把乙先开做6小时看作与甲做2小时，与丙做2小时，还有2小时，现在可理解为

甲乙同开2小时，乙丙同开2小时，剩下的是乙2小时放的。1÷⎭⎬⎫

⎩⎨⎧÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2241511=20（小时）

例4解：分析：可以理解为两队合作2天，余下的是乙1天做的，乙的工效

8

122452413=⨯-， 甲：⎪⎭

⎫

⎝⎛-÷812451=12（天）

例5解：分析：乙的工效是甲工效的3÷2=1.5倍，设甲的工效为x ，乙的工效为1.5x ， （2+7）x+1.5x ×7=

21，解之得：x=39

1

，乙工效1÷1.5x =26（天） 基本练习（附参考答案）：

1、修一条公路，甲队独修15天完工，乙队独修12天完工。两队合修4天后，乙队调走，剩下的路由甲队继续修完。甲队一共修了多少天？

2、一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲、乙合做几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天。乙请假多少天？

3、一条公路由甲、乙两个筑路队合修要12天完成。现在由甲队修3天后，再由乙队修1天，共修了这条公路的

20

3

。如果这条公路由甲队单独修，要多少天才能修完？ 4、两列火车同时从甲、乙两地同时相对开出。快车行完全程需要20小时，慢车行完全程需要30小时。开出后15小时两车相遇。已知快车中途停留4小时，慢车停留了几小时？

5、师徒两人共同加工一批零件，2天加工了总数的31

。这批零件如果全部由师傅单独加工，需

10天完成。如果全部由徒弟加工，需要多少天才能完成？

6、一项工程，甲、乙两队合作30天完成。如果甲队单独做24天后，乙队再加入合作，两队合作12天后，甲队因事离去，由乙队继续做了15天才完成。这项工程如果由甲队单独完成，需要多